Integrales

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
I.-TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
1
3
4
5
6
7
1
.
.
. ln
.
ln
.
. sen cos
. cos sen
a du a u c
u du
u
n
c
du
u
u c
a du
a
a
c
e du e c
u du u c
u du u c
n
n
u
u
u u
 



 
 
 
  
 








8
9
10
11
12
13
14
15
2
2
. ln(cos )
. cot ln sen
. sec ln(sec )
. csc ln(csc cot )
. sec
. csc cot
. sec sec
. csc cot csc
tan u du u c
u du u c
u du u tan u c
u du u u c
u du tan u c
u du u c
u tan u du u c
u u du u c
  
 
  
  
 
  
 
  








16
17
1
18
1
19
1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
. sen
.
. sec
. ln
du
a u
arc
u
a
c
du
u a a
arctan
u
a
c
du
u u a a
arc
u
a
c
du
u a a
u a
u a
c

 

 

 









20
1
2
21
2 2
2 2
2 2
. ln
. ln
du
a u a
a u
a u
c
du
u a
u u a c






  

 

 


 
22
1
2
1
2
23
1
2
1
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
. sen
. ln
a u du u a u a arc
u
a
c
u a du u u a a u u a c
    
      


II.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
1. La integral indefinida de la suma o resta de dos o
más funciones es igual a la suma o resta de sus
integrales.
 f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )   
2. El factor constante se puede sacar del signo de la
integral.
c f x dx c f x dx( ) ( ) 
III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE
En algunos casos, para obtener integrales que no se pueden
calcular en forma inmediata, se arregla el integrando
mediante un cambio de variable de tal manera que tome la
forma de una integral inmediata. Esto es, si la integral
existe en la forma:
f x dx f g x g x dx
Inte l no
inmediata
Funcion
erna
Derivada
de la funcion
erna
( ) ( ( )) '( )
gra int
int
 
      
Haciendo el cambio de variable:  xgu  y por tanto
  ,dxxgdu  se facilita la integración:
f x dx f u du( ) ( ) 
IV.- INTEGRACION POR PARTES
Cuando la integral no es inmediata, pero el integrando es
igual al producto o al cociente de dos funciones; es decir,
de la forma:
 f g dx o dx f
g
dx
f
g






 





  
1
,
La integración se hace aplicando la fórmula de integración
por partes:
u dv uv v du   ,
Donde se debe:
1) Identificar a las funciones u y dv.
2) Determinar du diferenciando, y v integrando.
3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula de
integración por partes y calcular la integral
v du

2. FORMULARIO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA
V.- INTEGRACION POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión de la forma:
a u u a o a u2 2 2 2 2 2
  ,
elevada a cualquier exponente, la integración se realiza
mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la
siguiente tabla:
FORMA DEL TRIANGULO SUSTITUCION
RADICAL RECTANGULO TRIGONOMETRICA
a u2 2
 sen  = u / a
a sen  = u
a cos  d = du
a u2 2
 tan  = u / a
a tan  = u
a sec2
 d = du
u a2 2
 sec  = u / a
a sec  = u
a sec  tan  d = du
VI.- INTEGRACION DE FRACCIONES
PARCIALES
La integración por el método de fracciones parciales
consiste en descomponer una fracción propia de la forma
 
 
,
xQ
xP en una suma de dos o más fracciones parciales.
Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen
mediante la factorización de  xQ en factores lineales y
cuadráticos. Se tienen así los siguientes casos:
1.- Los factores de  xQ son todos lineales y ninguno se
repite, es decir, el denominador se descompone en raíces
reales de primer grado y diferentes. La descomposición se
da en la forma:
P x
Q x
A
x a
B
x b
C
x c
D
x d
( )
( )








 
2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se
repiten; es decir, las raíces del denominador son números
reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de Q(x)
de la forma (ax + b)n
le corresponde una suma de n
fracciones parciales :
     
A
ax b
A
ax b
A
ax b
A
ax b
n
n
1 2
2
3
3




 


3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos con
raíces complejas que no se repiten. Para cada factor
cuadrático ax2
+ bx + c existe la fracción parcial:
Ax B
ax bx c

 2
4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos con
raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático
(ax2
+ bx + c)n
le corresponde la suma de n fracciones
parciales:
   
A x B
ax bx c
A x B
ax bx c
A x B
ax bx c
n n
n
1 1
2
2 2
2 2 2

 


 
 

 

VII.- FORMULAS DE REDUCCION
Las fórmulas de reducción se obtienen integrando por
partes, y entre las más comunes se encuentran las
siguientes:
1
2
3
4
5
6
1 1 1 2
1 1 1 2
1
1
1 2
1
1
1 2
1
1
2 2
1
2
1
1
2 2
1
2
.
.
.
.
.
.
sen sen cos sen
cos cos sen cos
cot cot cot
sec sec sec
csc cot csc csc
n
x dx
n
n
x x
n
n
n
x
n
x dx
n
n
x x
n
n
n
x
tan
n
x dx
n
tan
n
x tan
n
x dx
n
x dx
n
n
x
n
x dx
dx
dx
n
x dx
n
tanx
n
x
n
n
n
x dx
n
x dx
n
x
n
x
n
n
n
x dx
 


 



 





 

















 







7
1 1
1 2
. cos sen
cos sen
cos sen
m
x
n
x dx
m
x
n
x
m n
m
m n
m x n x dx

 








8
9
10
11
1 1
1 2
1
1
1
.
.
sen cos
sen cos
sen cos
. sen cos cos
. cos sen sen
m
x
n
x dx
m
x
n
x
m n
m
m n
m
x
n
x dx
xn x dx xn x n xn x dx
xn x dx xn x n xn x dx
xn ex dx xn ex xn ex dx


 






   
  
  





VIII. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CALCULO: Si f es una función continua en [a ,b y
F (x) una función primitiva de f, entonces:
 f x dx F x F b F aa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )  