1. MATEMÁTICAS TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Juan Jesús Pascual
ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
A. Introducción teórica
B. Ejercicios resueltos
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Ecuaciones Logarítmicas
En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas aparece
expresada bajo un logaritmo. Para que las incógnitas estén libres,
aplicaremos las propiedades de los logaritmos de forma conveniente.
El juego que se sigue suele ser el siguiente: los números que aparecen
en la ecuación logarítmica se expresan como logaritmos y luego se
eliminan los logaritmos de la ecuación, quedando las incógnitas libres
para ser despejadas.
Ejemplo: log 10 ( x − 2 ) = 2
Solución:
Expresamos el 2 como un logaritmo:
2 = 2 log 10 10 = log 10 10 2
Entonces: log 10 ( x − 2 ) = log 10 100
Como tenemos logaritmos en ambos miembros de la
ecuación, simplificamos y resolvemos:
log 10 ( x − 2 ) = log 10 100 ⇒ x − 2 = 100 ⇒ x = 102
A.2. Ecuaciones exponenciales
En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas es el
exponente en una potencia. Para quitar la incógnita de un exponente se
usan a veces las propiedades logarítmicas. En otras ocasiones es útil
expresar todos los términos en forma de potencia con la misma base.
Puede ser útil, en ocasiones recurrir a un cambio de variable para poder
simplificar la ecuación a resolver. Hay ecuaciones en las que tendremos
que aplicar todos estos recursos.
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2. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas TIMONMATE
Ejemplo: 7 x − 1 = 49
Solución:
Expresamos el 49 en forma de potencia 49 = 7 2
Entonces: 7 x − 1 = 7 2
De aquí es inmediato que:
7 x−1 = 7 2 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3
B. Ejercicios resueltos
1. log 2 x = 8
Solución:
Módo de resolución 1:
- Aplicamos simplemente la definición de logaritmo:
log 2 x = 8 ⇒ x = 2 8
Modo de resolución 2:
- Intentamos reescribir el miembro de la derecha en función de un
logaritmo y luego lo cancelamos con el logaritmo del término de la
izquierda.
- El miembro de la derecha se reescribe como sigue:
3
8 = 2 3 = 2 3 log 2 2 = log 2 2 2 = log 2 2 8
- Finalmente igualamos ambos miembros y simplificamos:
log 2 x = log 2 2 8 ⇒ log 2 x = log 2 2 8 ⇒ x = 2 8
2. log 5 x = −1
Solución:
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3. TIMONMATE Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas
1
Aplicamos la definición de logaritmo: log 5 x = −1 ⇒ x = 5−1 =
5
3. log 3 log 5 x = −1
Solución:
1
Aplicamos la definición de logaritmo: log 5 x = 3−1 ⇒ log 5 x =
3
Volvemos a aplicar la definición de logaritmo:
1
1 3
log 5 x = ⇒ x = 5 3 = 5
3
4. log (x + 6) − log (2x − 1) = 0
Solución:
En esta ecuación logarítmica los logaritmos se van de forma inmediata:
log (x + 6) − log (2x − 1) = 0 ⇒ log (x + 6) = log (2x − 1) ⇒ x + 6 = 2x − 1
Ahora simplemente despejamos x:
x + 6 = 2x − 1 ⇒ x = 7
5. log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = 3
Solución:
Debemos expresar el número 3 en forma de logaritmo, con el fin de tener
logaritmos en ambos miembros.
3 = 3 log 3 3 ⇒ 3 = log 3 33
Entonces:
log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = log 3 3 3
El primer miembro de la ecuación puede escribirse en función de un solo
logaritmo:
log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = log 3 ( x + 2)(x − 4)
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4. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas TIMONMATE
Teniendo esto en cuenta, la ecuación logarítmica a resolver es:
log 3 (x + 2)(x − 4) = log 3 33
Simplificando:
log 3 (x + 2)(x − 4) = log 3 33 ⇒ log 3 (x + 2)( x − 4) = log 3 33 ⇒
⇒ (x + 2)(x − 4) = 27 ⇒ x 2 − 2x − 35 = 0
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son:
2 ± 4 + 140  x 1 = 7

x 2 − 2x − 35 = 0 ⇒ x = =

2 x = −5 (no verifica la ecuación)
 2

x2
6. 3 log x − log 30 = log
5
Solución:
x2 x2 x3 x2
3 log x − log 30 = log ⇒ log x 3 − log 30 = log ⇒ log = log ⇒
5 5 30 5
x3 x2
= ⇒ x 3 − 6x 2 = 0 ⇒
30 5
x 1 = 0; x 2 = 0 (no verifican la ecuación)

⇒ x 2 ( x − 6) = 0 ⇒ 

 x3 = 6


 x+1  
7. log 3 
 2x − 1  = 2
 
 
Solución:
 x+1    x+1    x+1  
 2x − 1  = 2 ⇒ log 3  2x − 1  = log 3 (3 ) ⇒ log 3  2x − 1  = log 3 (3 )
log 3 
 

2


2
 
  
  

Ahora resolvemos la ecuación de grado uno en la que se ha simplificado
la ecuación logarítmica:
x+1 10
= 9 ⇒ 9 (2x − 1) = x + 1 ⇒ 18x − 9 = x + 1 ⇒ x =
2x − 1 17
 x4 + 2 
= 1
8. log 2 x+1 
 

 
 2x + 1 
Solución:
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5. TIMONMATE Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas
 x4 + 2 
 = 1 ⇒ log  x4 + 2 
 = log
 
log 2 x+1  
 2 x +1  
 2 x+ 1 ( 2x + 1) ⇒
 
 2x + 1   
 2x + 1 
 x4 + 2 
 = log x4 + 2

⇒ log 2 x+1  
 2 x +1 ( 2x + 1) ⇒ = 2x + 1 ⇒
 2x + 1 
  2x + 1
1
⇒ x 4 + 2 = 4x 4 + 4x + 1 ⇒ x =
4
9. log 3 (3x − 8) = 2 − x
Solución:
log 3 (3 x − 8) = 2 − x ⇒ log 3 (3x − 8) = (2 − x) log 3 3 ⇒
32
⇒ log 3 ( 3x − 8) = log 3 32−x ⇒ 3x − x
− 8 = 0 ⇒ 32 x − 8 ⋅ 3 x − 9 = 0
3
Hacemos el cambio 3x ≡ t . Entonces:
t = 9
 
3 x = 3 2 x=2

2x x 2 
3 − 8 ⋅ 3 − 9 = 0 ⇒ t − 8t − 9 = 0 ⇒  ⇒ x
 ⇒

 t = −1  3 = −1 

  
 
sin solución
10. 7 3x−2 = 1
Solución:
2
7 3x−2 = 7 0 ⇒ 3x − 2 = 0 ⇒ x =
3
11. 3x − 31− x = 2
Solución:
= 2 ⇒ ( 3x ) − 3 = 2 ⋅ 3x
1 2
3 x − 31 − x = 2 ⇒ 3 x − 3 ⋅ x
3
Ahora hacemos el cambio t ≡ 3x . Así:
(3 ) x 2
− 3 = 2 ⋅ 3x ⇒ t 2 − 2t − 3 = 0
Resolviendo esta ecuación de segundo grado de forma usual obtenemos
las soluciones:
t 1 = 3
t 2 − 2t − 3 = 0 ⇒ 
 t 2 = −1
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6. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas TIMONMATE
Deshacemos el cambio de variable:
t 1 = 3 3 = 3
 x 
x=1
 ⇒ x ⇒ x
t 2 = −1 3 = −1 3 = −1 no tiene solución
 
12. 2 2x − 2 x = 12
Solución:
Hacemos el siguiente cambio de variable: 2 x ≡ z . Entonces la ecuación se
puede escribir del siguiente modo:
2
2 2
−(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (−12) 1±7
z − z = 12 ⇒ z − z − 12 = 0 ⇒ z = = =
2⋅1 2
z 1 = 4

⇒

z 2 = −3


Ahora tenemos que deshacer el cambio:
2 x = z ⇒ 2 x = 4 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x = 2

2x = z ⇒  x
1

2 = z 2 ⇒ 2 x = −3 ⇒ log 2 x = log (−3) ⇒ sin solución


1
13. 2 2+x − 2 1+x + 2 x =
2
Solución:
2 2 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 2 x + 2 x = 2 −1 ⇒ 3 ⋅ 2 x = 2 −1
1
Vamos a hacer el cambio 2 x ≡ t . Entonces: 3 ⋅ t = 2−1 ⇒ t = y
6
deshaciendo el cambio:
1 log 2 + log 3 log 3
2 x = ⇒ log (2 x ) = log (6−1 ) ⇒ x = − ⇒ x = −1 −
6 log 2 log 2
14. e x − 6e−x = 1
Solución:
= 1 ⇒ ( ex ) − 6 = ex ⇒ ( ex ) − ex − 6 = 0
6 2 2
e x − 6e − x = 1 ⇒ e x −
x
e
En esta ecuación hagamos ahora el cambio u = e x . Así:
 u 1 = −2
(e )
x 2
− e x − 6 = 0 ⇒ u2 − u − 6 = 0 ⇒  ⇒
u 2 = 3
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7. TIMONMATE Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas
e x = −2 (no tiene solución)

⇒ x
e = 3 ⇒ ln e = ln 3 ⇒ x = ln 3
x

15. 32 x + 1 − 5 = 11
Solución:
32 x + 1 − 5 = 11 ⇒ 3 2 x + 1 = 16 ⇒ 32 x + 1 = 2 4 ⇒ log ( 3 2 x + 1 ) = log ( 2 4 ) ⇒
4 log ( 2 ) 1 2 log ( 2 ) 1
⇒ ( 2x + 1 ) log ( 3 ) = 4 log ( 2 ) ⇒ x = − ⇒ x= −
2 log ( 3 ) 2 log ( 3 ) 2
2 x−y = 256 


16. 
log x = log 1024 − 3 log 2 − log y


Solución:
2 x− y = 2 8 

 x − y = 8


2 = 256 x−y  
⇒
 10 
⇒ 2 7 

2
log x = log 1024 − 3 log 2 − log y log x = log 3  x =

  

2 y 
 y  

27
Llevamos ahora la segunda ecuación del sistema, x = , a la primera
y
ecuación:
27 −8 ± 64 + 4 ⋅ 128 y 1 = −16

− y = 8 ⇒ y 2 + 8y − 128 = 0 ⇒ y = =

y 2 y 2 = 8


Obtenemos, por último, los valores de x:

 7
x 1 = 2 = − 8
y 1 = −16 

  −16
 ⇒

y 2 = 8

  7
x = 2 = 16
 2


 8
Conclusión:
(x1 , y 1 ) = (−8, −16) (no verifica el sistema)




 ( x 2 , y 2 ) = (16, 8)



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8. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas TIMONMATE
5 ⋅ (log x y + log y x) = 26


17. 
x ⋅ y = 64 



Solución:
Estamos interesados en que los logaritmos que aparecen tengan la misma
base, para poder manipularlos fácilmente.
Si aplicamos la expresión de cambio de base de los logaritmos (la cual se
log c x
puede escribir así: log x y = ) de forma conveniente, podremos
log c y
reescribir log y x en función de log x y .
En nuestro caso:
log x x 1
log x y = ⇒ log x y = , por lo que podemos reescribir el
log x y log x y
sistema como sigue:
 1   

5 ⋅ log x y +
 
 = 26

 

log x y  
 


x ⋅ y = 64 

Operamos la primera ecuación del sistema:
 1   = 26 ⇒ 5 (log y)2 − 26 ⋅ log y + 5 = 0
5 ⋅ log x y +



 x x

 
log x y 
Hacemos el cambio log x y ≡ t y resolvemos la ecuación de segundo
grado:
t = 5
 log y = 5 y = x 5
 
  x
 
5t − 26 ⋅ t + 5 = 0 ⇒ 
2
 1 , es decir:  1

⇒ 1
t =
 log x y =
 
y = x 5

 5 
 5 
Tenemos entonces dos casos:
y = x5  

a)  Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en
x ⋅ y = 64

 la primera:
64 64
y= ⇒ = x 5 ⇒ x = 2 , por lo que una solución es
x x
(2, 32)
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9. TIMONMATE Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas
1 

b) y = x5  
 Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en
x ⋅ y = 64


 la primera:
1
64 64
y= ⇒ = x 5 ⇒ x = 32 , por lo que la otra solución
x x
es (32, 2)
***
9/9