Ari iiib 5° sec

ARITMÉTICA
CONTENIDO TEMÁTICO
 SISTEMA DE NUMERACIÓN
 Cambios de Base
 Propiedades de la Numeración
 CUATRO OPERACIONES
 Adición
 Sustracción
 Multiplicación
 División
 TEORÍA DE LA DIVISIBILDAD
 Divisibilidad en el Binomio de
Newton
 Restos Potenciales
ARITMÉT
Prof: ANTHONY VILLACORTA PANDURO 1

ARITMÉTICA
SISTEMA DE NUMERACIÓN
INTRODUCCIÓN:
Antiguamente los egipcios, griegos y
romanos tenían formas distintas de
representar los números, la base de su
numeración era decimal. Otros pueblos
elaboraron distintos sistemas. Por ejemplo,
los babilónicos tenían como base el
sesenta; los mayas en América,
desarrollaron un sistema de base veinte.
En cambio los Hindúes habían desarrollado
un práctico sistema de numeración
numeral, al descubrir el cero y el valor
posicional de las cifras. Loa árabes dieron
a conocer el sistema de Europa a partir del
siglo VII por eso nuestras cifras se llaman
indoarábicos. En el siglo XVIII Leibnits
descubrió la numeración de base binaria y
la posibilidad de infinitos sistemas de
numeración.
En la actualidad el lenguaje de los números
en forma hablada y escrita tiene su
alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas
las naciones y se denomina Sistema
Decimal de Numeración que utiliza las diez
cifras del 0 al 9 Además, el uso de los
sistemas binarios y hexadecimal que son
los que utilizan las computadoras para
realizar sus cálculos.
NOCIONES PREVIAS
NUMERO:
Idea o abstracción de una cantidad
observada en la realidad concreta.
NUMERAL:
Símbolo empleado para representar un
número. Es como un vehículo para
comunicar ideas de números. Por
ejemplo, algunos numerales para
representar al número cinco son:
5 ; V ; cinco ; 22 + 1 ; 32-22 ; …, etc
ORDEN
Lugar o posición, contado de derecha a
izquierda, que ocupan una cifra dentro de
un numeral. Por ejemplo:
7 6 2 5 8
1er orden u orden 0
2do orden u orden 1
3er orden u orden 2
4to orden u orden 3
5to orden u orden 4
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Conjunto de símbolos, reglas y
nomenclaturas que rigen la expresión de
los cardinales de un conjunto.
CONSIDERACIONES IMPORTANTES
La base de un sistema de numeración debe
ser un numeral entero y mayor que 1; en
consecuencia, existen infinitos sistemas de
numeración, siendo los principales:
Ba
se
Sistema de
Numeración
Cifras que utiliza
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario o Dual
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario o
Hexanario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal o
Décuplo
Undecimal
Duodecimal
0;1
0;1;2
0;1;2;3
0;1;2;3;4
0;1;2;3;4;5
0;1;2;3;4;5;6
0;1;2;3;4;5;6;7
0;1;2;3;4;5;6;7;8
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;
;
Otros sistemas utilizados son el
hexadecimal (Base16) y el vigesimal (Base
20).
REPRESENTACIÓN LITERAL DE
NUMERALES
* Numeral de 3 cifras de base “n”:
abc a n b n c n  .  .  2
* Numeral de 4 cifras del sistema
decimal:
mcdu  m.10  c.10  d.10  u 3 2
* Numeral de 3 cifras del sistema
heptanario:
mnp  m.7  n.7  p 2
7
* Numeral capicúa: Es aquel cuyas
cifras equidistantes del centro son
iguales, y se les reconoce porque su
escritura y lectura de izquierda a
derecha es igual que de derecha a
izquierda.
Capicúa de 2 cifras: aa
Capicúa de 3 cifras: aba
Capicúa de 4 cifras: abba
Capicúa de 5 cifras: abcba
Capicúa de 6 cifras: abccba

ARITMÉTICA
CAMBIOS DE BASE
Caso I: DE BASE DIFERENTE DE 10 A
BASE 1
Ejemplo 2674 del sistema de numeración
octanario al sistema de numeración
decimal.
 Por el método de la
descomposición canónica:
2 6 7 48 = 2.83 + 6.82 + 7.8+4
= 2 (512) + 6 (64) + 7(8) + 4
= 1 024 + 384 + 56 + 4
= 1 468
 2 6 7 48 = 1 468
 Por el método de Ruffini:
2 6 7 4
(+) (+) (+)
8 16 176 1 464
(x8) (x8) (x8)
2 22 183 1468
 26748 = 1 468
Caso II : DE BASE 10 A BASE
DIFERENTE DE 10
Ejemplo: Convertir 7 426 al sistema de
numeración nonario.
 Por el método de las divisiones
Sucesivas:
7426 9
925 9
102 9
11 9
1
7
3
 7426 = 1 2 3 7 19
2 1
Caso III : DE BASE DIFERENTE DE 10 A
BASE DIFERENTE DE 10
Ejemplo: Convertir 3 5 2 67 al sistema de
numeración undecimal.
Paso1: Convertir 3 5 2 67 al sistema
decimal (Caso I)
 3 5 2 67 = 3 . 73 + 5 . 72 + 2 . 7 + 6
= 3 (348) + 5 (49) + 2 (7) +
6
= 1 029 + 245 + 14 + 6
= 1 294
Paso2: Convertir 1 294 al sistema de
numeración undecimal (Caso II)
1294 11
117 11
7 10
7
 35267 =  7711 (: Diez)
CASOS ABREVIADOS DE CONVERSIÓN
Caso I: DE BASE “n” A BASE “nR” (RZ+)
Se divide al numeral de base “n” en grupos
de “R” cifras (comenzando por la derecha)
y luego a cada grupo se le convierte
directamente (mediante descomposición
polinómica) al sistema de base “nR”.
Ejemplo: Convertir:
101001101011111000112 al sistema
octanario.
De base 2 a base 8 = 23 (n = 2  R = 3)
Por descomposiciónpolinómica
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 12
2 4 6 5 7 4 3
 101001101011111000112 =
24657438
Caso II : DE BASE “nR” A BASE “n”
(nz+).
A cada una de las cifras del numeral de
base “nR” se les convierte directamente
(mediante divisiones sucesivas) al sistema
de base “n” teniendo cuidado de obtener
grupos de “R” cifras por cada cifra
convertida (los grupos incompletos se
llenan con ceros a la izquierda)
Ejemplo: Convertir 6 4 2 6 7 38 al sistema
de numeración binario.
De base 23 a base 2 (n = 2  R = 3)
6 4 2 6 7 3
110 100 010 110 111 011
 6426738 = 1101000101101110112

ARITMÉTICA
PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN
1. Toda base es mayor que cualquiera de
sus cifras.
BASE > CIFRA
* CIFRA MAYOR = BASE – 1
2. Si un número se expresa en dos
sistema de numeración, se cumple que:
“A mayor representación aparente le
corresponde menor base y viceversa”
Por ejemplo, en la igualdad:
y x mnpabcd
Por tener una mayor número de cifras, se
prevee que: mnp a bcd 
 x< y
CONSIDERACIONES FINALES
1. Para convertir al mayor numeral de “R”
cifras de base “n” al sistema decimal
se puede utilizar la siguiente relación:
      R
n n n n n n

( 1)( 1)( 1)...( 1) 1
R cifras
" "
Ejemplos:
* 6 6 67 = 73.1 = 343.1 = 342
* 5 5 5 56 = 64.1 = 1296.1 = 1 295
* 3 3 3 3 34 = 45.1 = 1 024.1 = 1 023
2. Para bases sucesivas, o bases de
bases, puede usarse:
1a
1b
c1
n 1x
= n (a + b + c + … + x)
PROBLEMAS APLICATIVOS
Convertir 235(6) a base 10
Convertir 423 a base 4
Convertir 524 a base 3
1. Hallar: a + b + c
aabc (7)  babb (5)
a) 4 b) 5 c) 8
d) 9 e) 10
2. Hallar: a2 + b2 + c2. Si:
abc (8)  cba (17)
a) 33 b) 34 c) 35
d) 36 e) 32
3. Hallar “n” en : nnn 4210n
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
4. Hallar(a+b), si:
  1 5  b bbbaab
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
5. Al responder una encuesta, un
ganadero escribe en la ficha lo
siguiente:
n.ºde toros:24
n.º de vacas:32
total de cabezas:100
El sistema de numeración que utiliza el
ganadera es :
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
6. A es el conjunto de los números
de 2 cifras en base 7;B es el conjunto de
los números de 3 cifras en base 4. El
numero de elemento que tiene la
intersección de A y B es:
a)23 b)25 c)31 d)33 e)35
7. Si a un número de tres cifras que
empieza por 9, se le suprime esta cifra, el
número resultante es 1/21 del número
original. La suma de las tres cifras de
dicho número es:
a) 12 b)18 c)15 d)24 e)21
8. Se tiene un número de dos cifras,
si se agrega un 2 a la izquierda del
número se convierte en un número igual a
5 veces el número original. Hallar la suma
de las cifras de dicho número
a) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5

ARITMÉTICA
9. Si los siguientes numerales están
correctamente escritos:
m n p n32q ; p21 ;n3m6 ;1211
Calcular el máximo valor de (m+n+p+q)
a)13 b)14 c)15 d)16 e)17
10. Hallar el valor numérico de a+b, si
se cumple que: 10ab6  ab78
a) 5 b) 8 c)9 d)10 e)12
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar: a + b. Si: ) a b( 23 aba  
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. Hallar: a + b. Si: baab  99(1  ba)
a) 8 b) 10 c) 11
d) 12 e) 9
3. Si: abc (n 
1)  146
(n) de  d(d  e)
Hallar: a + b + c + e – d
a) 9 b) 11 c) 12
d) 10 e) 13
4.
( ) (6)  5059 S AMPER
Hallar: A + M + P + E + R + S
a) 10 b) 16 c) 15
d) 17 e) 18
5. ¿en cuantos sistemas de
numeración el numero 1234 se escribe
con 3 cifras
a)10 b)15 c)30 d)25 e)20
6. Si los siguientes números son
diferentes de cero:
10 4 , 2bc  , bbc  ̅1̅0̅̅̅∝̅4 :
Determinar:
a)6 b)5 c)4 d)3 e)7
7. El menor número de 4 cifras de la
base “n” se escribe en la base diez como
5ab . Hallar a + b + n y expresar el
resultado en base 2.
a) 1 0112 b) 1012 c) 1 1112
d) 3542 e) N.A.
8. Un ciclista viaja por una carretera a
velocidad constante parte en el km b0a y
una hora después esta en el km aab . Si
en la primera media hora llego al km 0ab .
Hallar: (a + b)
a) 3 b) 14 c) 15
d) 16 e) N.A.
9. El cuádruplo de un número es de la
forma ab , pero si al número se le
multiplica por 3 y luego se le divide entre
2 se obtiene ba .
Hallar: (a - b)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 8
10. Sabiendo que:
23a9  27bn  36a p
Determinar el valor de: b-a+n+p
a)17 b)18 c)19 d)20 e)21
CUATRO OPERACIONES
INTRODUCCIÓN:
En este capítulo se va a estudiar las cuatro
operaciones fundamentales (adición,
sustracción, multiplicación y división)
Daremos énfasis al análisis de los
problemas tipo; los cuales serán resueltos
empleando sólo operaciones básicas, lo que
no descarta que se den como notas
adicionales algunos métodos de solución
prácticos.
NOCIONES PREVIAS
SUMAS IMPORTANTES
A) Suma de los “n” primeros números
enteros positivos.
Sn = 1+2+3+…+n=
n(n 1)
2
B) Suma de los “n” primeros pares
positivos
Sp = 2+4+6+…+(2n) = n (n+1)
C) Suma de los “n” primero números
impares positivos
S1 = 1+3+5+…+(2n-1) = n2

ARITMÉTICA
D) Suma de los “n” primeros números
cuadrados perfectos (0)
2 = 12+22+32+…+n2=
Sn
n(n 1)(2n 1)
6
E) Suma de los “n” primeros números
cubos perfectos (0)
B = 13+23+33+…+n3=
Sn
2
  n n
) 1 (
2





F) Suma de los “n” primeros productos
de dos números consecutivos.
S = 1+2+2+3+3+…+n2=
) 1 2)(1 (   n n n
3
G) Suma de los “n” primeros potencias
naturales de un número A.
S = A0+A1+A2+A3+…+An-1=

1

1
A n
A
H) Suma triangulares
a) Dadas las siguientes sumas:
S1 = 1+2+3+4+…+ n
S2 = 2+3+4+…+ n
S3 = 3+4+…+ n

Se cumple que:
n n n
(  1)(2 
1)
6
S S S Sn 
     
1 2 3
b) Dadas las siguientes sumas:
S1= 12+22+32+42+…+n2
S2= 22+32+42+…+n2
S3= 32+42+…+n2

Se cumple que:
2
n n
  
( 1)
S S S Sn 
     
1 2 3 2


SUSTRACCIÓN
M – S = D ; M  Minuendo
S  Sustraendo
D  Diferencia
PROPIEDAD (A):
M = S + D
PROPIEDAD (B):
M + S + D = 2M
PROPIEDAD (C):
“Si a un número de 3 cifras (con su cifra
de centenas mayor que su cifra de
unidades) se le resta el número que
resulta de invertir el orden de sus cifras,
entonces en la diferencia, la cifra de
decenas siempre es 9 y la suma de sus
cifras de unidades y centenas es 9”
Sea el número abcdonde a>c;
si: mnp cba abc   , se cumple:
n = 9
m + p = 9
a – c = m + 1
MÉTODO DE SUMAS Y DIFERENCIAS
“Se cumple cuando el problema a resolver
tiene como datos tanto la suma como la
diferencia de las cantidades
desconocidas. Por lo general el cálculo de
estas cantidades se hace operando
mecánicamente con los datos (suma y
diferencia) de la manera como se indica
en el siguiente cuadro:
Cantidad mayor =
Suma Diferencia
2
Cantidad menor =
Suma Diferencia
2
ESQUEMA ILUSTRATIVO:
1) Suma – Diferencia = dos veces menor
2) Diferencia + Menor = Mayor
MULTIPLICACIÓN
M m P M M M M P
  ...

m veces
" "
Donde: M  Multiplicando
m Multiplicador
P  Producto
FORMA GENERAL DE LA
MULTIPLICACIÓN
Multiplicando N 
Multiplicador a b c
Nc
Productos
Nb
parciales
Na
Producto

ARITMÉTICA
DIVISIÓN EN Z (DIVISIÓN ENTERA)
Es aquel caso particular de la división, en
el cual todos sus términos números
enteros.
Z= …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …
Esquema:
Dividendo Divisor (dZ+)
(DZ)
Cociente (qZ)
D d
q
r
Resto o Residuo
(rZ+) ) 0( d r  
EXPRESIÓN GENERAL: D = d  q + r
CLASES DE DIVISIÓN:
(I) División Exacta (r = 0)
D d
0 q
II) División Inexacta (r0)
(A) Por Defecto
D d
q
r
(0<r<d)
(B) Por Exceso
D d
q+1
r
(0<r<d)
D = d x q
D = d x q + r … ()
D = d (q + 1) - r … ( )
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
INEXACTA EN Z
1.En todo división inexacta la suma del
resto por
r + r’ = d
Demostración: De (): D = d (q) + r
De (): D = (q+1) – r’
Igualando:
d x q + r = d (q+1) – r’
d x q + r = d x q + d – r’
r = d – r’
 r + r’ = d
2.Si en una división INEXACTA, se
multiplica o divide al dividendo y al divisor
por un mismo número, el cociente no se
altera, pero el resto queda multiplicado o
dividido por ese número:
Por defecto:
D d D x n d x n
q q
r r x n
Por exceso:
D d D x n d x n
q+1 q
r r x n
3.En toda división el divisor es mayor que
el residuo:
d > r
Las relaciones de Cardano:
Rmáximo = d – 1
Rmínimo = 1
COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN
NUMERAL
Sea N un número de “k” cifras entonces
se define el complemento aritmético de
N: C.A.
C.A. (N) = 10k - N
Ejemplo: C.A. (47) = 102 – 47 = 53
2 cifras
C.A. (272) = 103-272 = 728
3 cifras
C.A. (5042) = 104-5042 = 4958
4 cifras
Método Práctico: A la primera cifra
significativa, a partir de la derecha se le
resta de 10 y a todas las cifras que
quedan a la izquierda se les resta de 9.
Si existen ceros al final del número, estos
se conservan en el complemento
aritmético.

ARITMÉTICA
Ejemplo:
9 9 10 (9-5) (9-7) (10-2)
C.A. (5 7 2) = 4 2 8
En base a este ejemplo te presento los
siguientes:
9 9 9 10
C.A. (2 0 4 3) = 7957
9 9 10
C.A. (2 5 7 0 0) = 74 300
DETERMINACIÓN A PRIORI DE LA
CANTIDAD DE CIFRAS ENTERAS DE
UN PRODUCTO Y UN COCIENTE
OBSERVACIONES PREVIAS:
Si “N” tiene 4 cifras  N1000; 1001;
1002; … ; 9999
Luego: 1000  N < 10000
103 N< 104
Si “N” tienen 12 cifras  1011 
N < 1012
Si “N” tiene de 6 a 19 cifras  105  N
< 1019
Si “N” tiene entre 8 a 15 cifras  108  N
< 1014
Si: 107  N  108  “N”
tiene 8 cifras
Si: 106  N  1018  “N”
tiene como mínimo 7 cifras y como
máximo 18 cifras.
En general:
10mN<10n =
mínimo: m+1
cifras
máximo: n
cifras
1. Entre dos personas tienen S/.785,
si una de ellas diese S/.21 a la otra, la
diferencia que hay entre las dos partes
aumentaría hasta S/.135.¿ cuánto tiene
cada una?
a)439 y 346 b) 429 y 346
c) 439 y 326 d) 430 y 346
e) 339 y 346
2. Naty compra 6 manzanas por S/.4
y vende 4 manzanas por S/.6 ¿Cuantas
manzanas tendrá que vender para ganar
S/.180?
a)215 b)216 c)217
d)218 e)219
3. Patty divide la cantidad de dinero
que tiene en su cartera entre 100,
resultando un numero entero ”a”. Si da “a”
monedas de S/.10 a un mendigo, aún le
quedan S/.2160.¿Cuanto tenia en su
cartera?
a)2300 b)2400 c)2500
d)2600 e)2700
4. Para ganar S/.500 en la rifa de un
T.V se hicieron 150 boletos; se vendieron
solo 120 boletos originándose una perdida
de S/.400.¿cuanto valía el T.V?
a)2000 b)3000 c)4000
d)5000 e)6000
5. ¿Cuántos son los números
naturales que divididos entre 210 arrojan
un residuo que es igual al cubo del
cociente?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
6. El producto de un numero por “a”
es 448 y por “b” es 336.Hallar el producto
de este numero por el mayor numero
capicúa de 3 cifras que se puede formar
con “a” y “ b”.
a)48608 b)54302 c)51608
d)38416 e)27548
7. Encontrar un numero de 5 cifras
que al ser multiplicado por 4, de un
producto formado por las mismas cifras del
original, pero dispuestas en orden invertido.
Dar la suma de cifras de dicho numero
a)21 b)22 c)25 d)27 e)29
8. La suma de los 4 términos de una
división entera inexacta es igual a
544.Hallar el dividendo si el cociente es 12
y el resto, la mitad del divisor
a)564 b)470 c)462 d)480 e)475
9. El cociente y el resto de una
división inexacta son 17 y 9
respectivamente. Pero si al dividendo se le
aumenta 49 unidades, el cociente seria 21
y el resto 6. Hallar la suma de dividendo y
divisor primitivos
a)238 b)240 c)244 d)241 e)243
10. En una división entera inexacta, el
divisor es 23 y el resto 4.¿cual es la
máxima cantidad que se le puede agregar
al divisor de manera que el cociente
aumente en 3?
a)65 b)42 c)66 d)88 e)87

ARITMÉTICA
1. Un vaso lleno de aceite pesa
1,69kg y lleno de alcohol 1,609kg.Sabiendo
que la densidad del aceite es 0,9g/l y la del
alcohol 0,84g/l, ¿Cuál es el peso del vaso
vacio?
a)0,456 b)0,475 c)0,450
d)0,356 e)0,357
2. El producto de dos factores, es
2184, si el multiplicando aumenta en 5, el
producto resulta 2444.Hallar la suma de los
dos factores.
a)92 b)93 c)94 d)95 e)96
3. Para ganar S/.2800 en una rifa de
un cuadro, se hicieron 90 boletos, pero no
se vendieron mas que 75 y origino una
perdida de S/.1700¿Cuánto valía el
cuadro?
a)24200 b)23400 c)22300
d)24310 e)25300
4. Encuentre un número de 4 cifras
cuyo complemento aritmético sea igual a la
suma de sus cifras. Dar como respuestas
su menor cifra
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
5. Se tiene un numero de 4 cifras
significativas, cuya suma de cifras es 21
¿Cuál es la suma de las cifras de su
complemento aritmético?
a)13 b)14 c)15 d)16 e)17
6. Se ha pagado una deuda d 265
soles, con monedas de 5 soles y de 2
soles. El número de monedas de 2 soles es
mayor que el de 5 soles en 17 monedas.
¿Cuanto suman las monedas de 2 soles y
de 5 soles?
a)73 b)83 c)93
d)103 e)105
7. Un obrero trabajo durante 2 meses
con su hijo en una misma fábrica. El primer
mes, por 14 días del padre y 24 del hijo
recibieron S/.118, el segundo mes por 21
días el padre y 19 del hijo recibieron
S/.143.¿ Cual es la diferencia de jornales
diarios del padre y del hijo?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
8. La suma de 4 números diferentes
es 24; la suma delos 2 mayores es el doble
de la suma de los 2 menores; la suma del
menor con el mayor es igual a la suma de
los otros 2 números. Hallar la suma de las
diferencias del mayor con el menor y de los
intermedios del mayor con menor( suponer
que M es el numero mayor)
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
9. El producto de dos números
impares es 925, si se divide el numero
mayor entre el menor se obtiene un
cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos
números.
a)37 y 25 b) 27 y 35 c) 17 y
25 d) 47 y 25 e) 37 y 55
10. La suma de los términos de una
sustracción es 700. Hallar el sustraendo si
es la quinta parte del minuendo.
a)60 b)70 c)81
d)72 e)69
DIVISIBILDAD
INTRODUCCIÓN:
Las operaciones aritméticas son
imprescindibles y en algunos casos, se debe
conocer con profundidad dichas
operaciones para personas cuyos trabajos
estén ligados con los cálculos. Por ejemplo,
quienes diseñan tuercas y pernos en forma
artesanal; el cálculo es preciso y su
distribución también, dada una escala, allí
se aplica la divisibilidad, para realizar dicha
distribución aprovechando al máximo el
material y obteniendo tamaños iguales en
cada pieza
NOCIONES PREVIAS
DIVISIBILIDAD:
Se dice que un número entero A es
divisible entre otro número entero positivo
B llamado módulo, cuando la división
entera de A entre B es exacta.
A es divisible A B
entre B K

ARITMÉTICA
Ejemplo 1: ¿Será 91 divisible entre 13?
Veamos: 91 13
7  91 es divisible
entre 13
Ejemplo 2: ¿Es -24 divisible entre 8?
Veamos: -24 8
-3  -24 es divisible
entre 8
MULTIPLICIDAD:
Un número entero A es múltiplo de otro
número entero B, si se verifica que:
A = B  n
Donde “n” es un número entero cualquiera,
es decir:
n…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …
Notación: A es múltiplo de B <> A =
o
B 
o
B es múltiplo de B
Ejemplos:
o
1. 85 17, pues : 85 17
y 5Z
o
2.  36  9, pues : 36  9(4)
y (-4)Z
o
3. 0  11, pues : 0  11
y (0) Z
4. Los múltiplos de 8 son de la forma
8.n, donde “n” es un número entero
cualquiera. Esto permite afirmar que
los múltiplos de 8 serán:
…; 24; -16; -8; 0; 8; 16; 24; …
5. Los múltiplos de 17 son de la forma
17.n, donde “n” es un número entero
cualquiera. Esto permite afirmar que
los múltiplos de 17 serán:
…; 51; -34; -17; 0; 17; 34; 51; …
CONCEPTOS EQUIVALENTES:
Que un número A sea divisible por otro B
puede tener las siguientes interpretaciones:


 





o
A B
 
A es divisible por B
A es divisiblede B
B es divisor de A
B dividea A
B es factor de A
DEFINICIONES BÁSICAS:
1. El cero (0) es divisible por todo
número entero positivo
2. Todo número entero positivo es
divisible por sí mismo.
3. La unidad es divisor de todo
número entero.
PRINCIPIOS
Sea “n” un número y
o
n un múltiplo de él,
entonces se cumplirá que:
Para una adición:
o o o
n n n  
Para una sustracción:
o o o
n n  n
Para la multiplicación:
o o
n R  n , donde:
RZ
Para una potencia:
o
R
o

n n  




, donde:
RZ+
TEORÍA DE EUCLIDES.
Si un cierto módulo divide al producto de
dos números enteros y no tiene divisores
comunes (aparte de la unidad) con uno de
dichos números, entonces divide al otro
número.
Si
o o
A B  n , y : A con “n” tienen un solo
divisor común (la unidad) 
o o
B  n
Ejemplos:
1. Si 9.
o
P 13 , entonces
o
P 13, pues
9 y 13 solo tienen como divisor común a
la unidad.
2. Si 18.
o
Q  7 , entonces
o
Q  7 , pues 18
y 7 tienen como único divisor común a la
unidad.

ARITMÉTICA
PROPIEDADES:
1ro.- Si un número entero “A2 no es
divisible por otro número entero positivo B,
entonces puede expresarse de dos
maneras:
o o
A  B  r  A  B 
r'
Donde r y r’ son los restos por
defecto y por exceso respectivamente, de
la división entera de A entre B.
2do.- Si un número entero posee “n-ésima”
parte entera y exacta, entonces es múltiplo
de “n”, siendo “n” un número entero y
positivo.
o
entero A n
A
n
#  
3ra.- Todo número entero es múltiplo de los
factores positivos que lo forman y de toda
combinación que con ellos se pueda
efectuar.
Sea: N  abc
o o o o o o o o
Luego: N 1; a; b; c; ab; bc; ac; N
Donde a, b y c son números enteros
positivos y se les llama FACTORES de N.
4ta.- Si un número entero es divisible por
dos módulos, que no poseen divisores
comunes (aparte de la unidad), entonces
será divisible por el producto de dichos
módulos.
o
o
N  a  a  b 
c
o
N a b
N b a b c
  




   
Donde a y b no tienen divisores comunes
(aparte de la unidad)
DIVISIBILIDAD EN EL BINOMIO DE
NEWTON
Dado que el binomio de Newton es una
potencia, podemos aplicar en él los
principios de Divisibilidad expuestos con lo
cual se logra establecer que:
o
o
( ) , :
n r k
 n r k
donde RZ  
k
o
n r si R es par


 
( )
k
o
n r si R es impar
 
o
n r
( )
k
 
( )
Ejemplos:
o o
(1) 52 52 (9 2)  9 2
o o
(2) 36 36 (11 4)  11 4
o o
(3) 19 19 (13 5)  13 5
o o
(4) 21 21 (17 5)  17 5
RESTOS POTENCIALES
Son los residuos que se obtienen al dividir
las potencias de exponentes entero y
positivo de un cierto número entre un
módulo determinado.
Por ejemplo los restos potenciales de 5
respecto al módulo 13 serán:
4
1
o
5 13 5
2




 
o
5 13 12
3
 
o
5 13 8
4
 
o
5 13 1






 
g
5
o
5

13  5 6
o
5

13  12 7
o
5

13  8 1 13 5
0
9  
o
5 5 (5 ) (13 1) 13 1 4 4 4      
o o
o o
4 4 
2
     
5 13 1 5 13 12
o o
o o
4  1 4 
3









 
8
o
5 13 5
Restos potenciales
Se denomina gaussiano (g) al número de
restos potenciales diferentes entre sí y
distintos de cero que se repiten en forma
ordenada y periódica. Por ejemplo, en el
caso descrito en el ejemplo el gaussiano es
4, pues hay 4 restos que se repiten: 5; 12;
8 y 1
Utilizando todo lo expuesto hasta aquí,
podemos predecir el resto que se obtendría
al dividir cualquier potencia de 5 entre 13.
Veamos:
k
o
k
o
k k
5  13  5  5  13 
8
CRITERIO DE DIVISIVILIDAD
Llamamos criterios de Divisibilidad a ciertas
prácticas o procedimientos que aplicados a
las cifras de un numeral permiten
determinar su divisibilidad respecto a cierto
módulo.
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9
Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9)
si y sólo si la suma de sus cifras es divisible
entre 3 (o entre 9)

ARITMÉTICA
o o
abcd  3  a  b  c  d  3
o o
abcd  9  a  b  c  d  9
Ejercicio: Calcular el valor de “x” sabiendo
que 414 67  es divisible entre 9.
Resolución:
o
9 414 67  
o
6 7  x  41 4  9
o
22 x  9
5   x
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11
Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de
orden impar y la suma de sus cifras de
orden par es divisible entre 11.
o o


abcde 11  a b  c  d  e 11
Ejemplo: ¿Cuál es el valor que debe tomar
“y” para que el numeral 17 14 y sea divisible
entre 11?
Resolución:
o

14y17 11
Luego:
o
1 4  y 1 7 11
o
 3 y 11
 y  8
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE
POTENCIAS DE 2
Un numeral es divisible entre 2 (=21) si y
sólo si su última cifra es par (0; 2; 4; 6 u 8).
sólo si el numeral formado por sus 2
últimas cifras es divisible entre 4.
sólo si el numeral formado por sus 3
últimas cifras es divisible entre 8.
o o
abcde  2  e  2
21
o o
abcde  4  de 
4
3 21
o o
abcde  8  cde 
8
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE
POTENCIAS DE 5
su última cifra es múltiplo de 5 (0 ó 5).
el numeral formado por sus últimas cifras
es divisible entre 25.
Un numeral es divisible entre 125 si y sólo
si el numeral formado por sus 3 últimas
cifras es divisible entre 125.
o
  
abcd 5 e 0 ó 5
o o
abcde  25  de  25
o o
abcde 125  cde 125
Un numeral es divisible entre 7 si al
multiplicar a cada una de sus cifras (a partir
de la derecha) por: 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3;
… y luego efectuar la suma algebraica
resultante ésta resulta ser divisible entre 7.
1 2 3 1 2 3 1
abcdefg
 7

      
1 4 3 1 4 3 1
abcdefg
 13

      
1 10 1 10 1
a b c d e
 33

    
o
o
a b c d e f g
2 3 2 3 7
de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -
4; … y luego de efectuar la suma
algebraica, resulta que ésta es divisible
entre 13.
o
o
a b c d e f g
4 3 4 3 13
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 33 Ó 99
de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1 … y
luego efectuar, la suma algebraica obtenida
resulta ser divisible entre 33.
de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1 … y
luego efectuar, la suma algebraica obtenida
resulta ser divisible entre 99.
o
o
a b c d e
10 10 33

ARITMÉTICA
o
o
1 10 1 10 1
a b c d e
 99

a b c d e
    
10 10 99
ECUACIONES DIOFANTICA O
DIOFANTINA
Es aquella ecuación donde tanto los
términos constantes como las variables son
números enteros y además es un sistema
insuficiente, asimismo puede ser una sola
ecuación con dos o más incógnitas y de
cualquier grado. El término “Diofántica” se
utiliza en honor a DIOFANTO, matemático
alejandrino que vivió alrededor de 250 A.C.
La ecuación diofántica lineal con dos
incógnitas tiene la siguiente forma:
ax + by = c … (1)
donde a y b tienen como único divisor a la
unidad.
Siendo x0, y0 una solución particular de la
ecuación (1), su solución general será:
x  x  bt  y  y  at tZ 0 0
1. Del 1 al 2000. ¿Cuántos
números son divisibles entre 13 pero no
entre 7?
a) 153 b) 150 c) 130
d) 131 e) 132
2. Del número 2000 al 3000.
¿Cuántos números son

7 pero no de

13
?
a) 132 b) 134 c) 139
d) 143 e) 151
3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:
1, 2, 3, 4, 5, ……. 284?
a) 90 b) 91 c) 92
d) 93 e) 94
4. Si se cumple que:̅푎̅8̅̅9̅̅8̅̅(̅푚̅̅̅) =
̅8̅1̅̅푚̅̅̅(̅푛̅̅) =̅6̅푚̅̅̅푝̅̅(̅1̅̅2̅̅)
¿Cuál es el valor de a+m+n+p?
a)31 b)33 c)35 d)27 e)8
5. Un número de 4 cifras empieza en
9, y si se le suprime esta cifra, el número
resultante es 1/21 del original. Entonces la
suma de las cifras del numero original es:
a)17 b)18 c)19 d)20 e)21
6. Si se cumple : 458(m)=284(n) y
460(m)=288(n); calcular el valor de : m+n
a)24 b)26 c)28 d)23 e)25
7. Si:̅푎̅4̅̅5̅̅(̅푚̅̅̅) =̅푏̅푏̅̅4̅̅3̅(̅̅푛̅̅) y ̅4̅5̅̅0̅̅(̅푚̅̅̅) =
̅푏̅푏̅̅4̅̅4̅(̅̅푛̅̅) ; calcular el valor de : a+b+m+n
a)15 b)16 c)17 d)18 e)19
8. ¿Cuántos numerales de tres cifras
son múltiplos de 2 pero no de 3, ni de 5?
a)450 b)200 c)240
d)325 e)400
9. Hallar el resto de dividir 2200 entre 7
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
10. Determinar el mayor valor del
producto a x b tal que a y b cumplan con la
siguiente relación: a b ab ba 7.9  8  56  
a)81 b)63 c)72
d)54 e)56
1. ¿Cuántos números de 3 cifras son
múltiplos de 14 y terminan en 8?
a) 18 b) 12 c) 24
d) 13 e) 27
2. Los números de la forma: ab(2a)(2b)
siempre son divisibles entre:
a) 8 b) 12 c) 9
d) 51 e) 68
3. ¿Cuántos múltiplos de 3 y 4 hay en:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. 87?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
4. Por qué número es siempre divisible un
número de la forma: a(2b)ba
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 11

ARITMÉTICA
5. En el sistema de base 7 la cifra de las
unidades del numero:(1459)25 es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
6. Cuando el numero 673 se eleva a la
potencia 5642, el resultado termina en la
cifra.
a)…8 b)…9 c)…5
d)…7 e)…2
7. Se tiene cierto numero N, del cual se
sabe que al dividirlo entre 3,4,5,6 y 9 deja
residuo1.Pero al dividirlo entre7deja residuo
0.Hallar la suma de cifras del menor numero
que cumple con tal condición
a)7 b)8 c)9 d)6 e)10
8. ¿Cuántos números de la forma
bab a1 1 son divisibles entre 63?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
9. Calcular la suma de todos los valores
que toma el número ab si 12a03b es
divisible entre 33
a)164 b)183 c)181
d)171 e)167
10. ¿Cuántos números de tres cifras,
divisibles entre 11, tienen como suma de
cifras a 15?
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

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