Prueba de hipotesis para proporciones Est ind clase02

PRUEBA DE
HIPOTESIS II
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
Ing. William León Velásquez
TEMA 02

PRUEBA DE
HIPOTESIS
PARA
PROPORCIONE
S
Error tipo II
Ing William León Velásquez 2

CONTENIDO
 PRUEBA DE HIPÓTESIS
PARA UNA PROPORCION
 PRUEBA DE HIPÓTESIS
PARA DOS
PROPORCIONES
 ERROR TIPO II

PRUEBA PARA UNA
PROPORCIÓN
 Las pruebas de hipótesis con proporciones son
necesarias en muchas áreas del conocimiento y
en especial en la administración e ingeniería.
5
 Se probará que la hipótesis
nula es:
p = p0
 p es el parámetro de la
distribución binomial.
 po es el valor poblacional
• Se considerará el problema de probar la hipótesis de
que la proporción de éxito en un experimento binomial
sea igual a un cierto valor especifico.
Ing William León Velásquez

6
 La información que frecuentemente se
utilizará para la estimación de una
proporción real o verdadera (porcentaje o
probabilidad) es una proporción muestral.
 Que se calcula de la siguiente manera
PRUEBA PARA UNA
PROPORCIÓN
Donde: x es el número de
veces que ha ocurrido un
evento en n ensayos.
𝑝 =
𝑥
𝑛

7
Ejemplo,
 Si una muestra aleatoria de 500 compras
realizadas en una tienda, 200 se realizan
con tarjeta de crédito.
PRUEBA PARA UNA
PROPORCIÓN
 Entonces se puede utilizar esa
cifra como estimación puntual de
la proporción real de compras
realizadas en ese negocio que se
abonaron a tarjetas de crédito.
𝑝 =
200
500

8
Las hipótesis serán:
La hipótesis nula será lo siguiente:
p=po
 La hipótesis alterna puede ser una de
las alternativas usuales: unilateral o
bilateral
 Tales como:
000 ..,.., ppopppp 
PRUEBA PARA UNA
PROPORCIÓN

9
 Un valor Zc calculado a partir de la
muestra se compara con un valor
critico de Z dados en las tablas.
 Zc se obtiene así:
 O también se puede utilizar:
n
qp
ppZc
.


npq
npxZc 
PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN

EJEMPLOS PARA PROBAR UNA
PROPORCIÓN
10
Un político esta interesado en conocer si ha
habido un aumento en la proporción
(porcentaje) de votantes que lo favorecen en
las próximas elecciones;
Un productor de cereales puede querer
conocer si ha ocurrido o no una baja en la
proporción de clientes que prefieren su
marca de cereal;
Un hospital desea confirmar la afirmación de
un fabricante de medicamentos quien indica
que su producto cura al 80% de los
usuarios.
• El procedimiento para probar una proporción en una
población normal es similar al usado para las medias.

11
MÉTODOS PARA PROBAR UNA
PROPORCIÓN
Para probar
una
proporción
De la
región de
rechazo
Por el valor
de p

A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO
(MÉTODO 1)
12
Paso 1
Establecer las hipótesis.
Sea po es la proporción admitida o
requerida.
Ho :p = po
H1 : p > po ó
p < po ó
p ≠ po

13
Paso 2
 Con el nivel de significancia (α) se dibuja la
región de rechazo en la curva normal
estándar (curva z) indicando el valor de Z
proveniente de la tabla Z.

Z
α ó
α/2
(MÉTODO 1)
H1: p > po H1: p < po H1: p ≠ po

14
Paso 3
 Indicar el valor de Zc en el diagrama de
la región de rechazo (Paso 2).
Zc
(MÉTODO 1)
H1: p > po H1: p < po
H1: p ≠ po

15
Paso 4
 Calcular el valor zc para la proporción
muestral usando la fórmula
n
pp
p
)1( 00 
(MÉTODO 1)
𝑝 =
𝑥
𝑛
𝑧 𝑐
𝑝 − 𝑝0
𝜎 𝑝

16
Paso 5
 Si el valor Zc cae dentro de la región de
rechazo (sombreada), entonces se rechaza
Ho.
Si cae fuera de la región sombreada,
entonces no se rechaza la Ho.
Escriba la conclusión de la prueba en términos
de la Ha
(MÉTODO 1)

17
Ejemplo :
 Se desea probar si a habido una variación en la
proporción de 0.4 de mujeres en las carreras de
ingeniería.
 En el ultimo examen de admisión realizado se
selecciona una muestra de 200 ingresantes y se
obtiene una proporción de mujeres de 0.45.
(MÉTODO 1)
• Utilice un nivel de
significancia del 0.01
𝑝 = 0.45, n = 200, y α= 0.01.

18
(MÉTODO 1)
 Solución:
Paso 1
• H0 : p = 0.4
La proporción de mujeres en las carreras
de ingeniería es de 0.4
• H1 : p ≠ 0.4
La proporción de mujeres en las carreras
de ingeniería es diferente de 0.4

19
Paso 2
 Usando α= .01,
 como es de dos colas α/2= 0.005
Entonces Z= -2.575
(MÉTODO 1)

20
Paso 2
 Usando α= .01,
 Z= -2.575 y como es de colas el otro Z=
2.575
 Entonces el diagrama de la región de
rechazo es:
.005.005
-2.575 2.575
(MÉTODO 1)

21
Paso 3
 Calculando el valor z para la proporción
muestral
𝑝 = 0.45, po=0.4
 obtenemos:

 Z=
0346.0
200
)4.01(4.0 p
45.1
0346.0
4.045.0 
(MÉTODO 1)

22
Paso 4
 Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la
región de rechazo (Paso 2) obtenemos:
.005.005
-2.575
2.575
1.45
(MÉTODO 1)

23
Paso 5
 Como el valor z está fuera de la región de
rechazo (sombreada),
 Por lo tanto no se rechaza Ho.
 Conclusión:
 La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería no es diferente de 0.4.
(MÉTODO 1)

B. MÉTODO DEL VALOR P
(MÉTODO 2)
24
 Sea po es la proporción admitida o requerida.
 Paso 1 Se establece las hipótesis:
H0 : p = p0
H1 : p > p0 ó
p < p0 ó
p ≠ p0

Paso 2
 Calcular el valor de Zc para la
proporción muestral usando la
fórmula:
donde
25
n
pp
p
)1( 00 
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
𝑧 𝑐
𝑝 − 𝑝0
𝜎 𝑝
𝑝 =
𝑥
𝑛

26
Paso 3
 Utilizando la hipótesis alternativa dibujar la región
bajo la curva z que representa los valores
extremos y con el valor de Zc. Ir a la tabla y
encontrar el valor de p
Zc
p o p/2
H1: p > po H1: p < po
H1: p ≠ po

27
Paso 4
El valor p = al área de la cola
sombreada (s) en el Paso 3.

28
Paso 5
 Si el valor p< α, entonces se rechaza H0
 Si el valor p >= α, entonces no se rechaza H0.
 Escribir la conclusión de la prueba, en términos de
la Ha

29
Ejemplo :
 Se desea probar si a habido una variación
en la proporción de 0.4 de mujeres en las
carreras de ingeniería.
 Se selecciona una muestra de 200
ingresantes y se obtiene una proporción de
mujeres de 0.45.
 Utilice un nivel de significancia del 0.01
𝑝 = 0.45,
n = 200, y
α= 0.01.

30
Paso 1
 Formulación de la hipótesis
H0 : p = 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería es de 0.4
H1 : p ≠ 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería no es de 0.4
 Asuma que
𝑝 = 0.45,
n = 200, y
α = 0.01.

31
Paso 2
o Calculo del valor z de 𝑝
o Se obtiene
Z = 45.1
0346.0
4.045.0 
0346.0
200
)4.01(4.0 p
(MÉTODO 2)

32
Paso 3
 El valor P= para una de las áreas.
Z= 1.45
 =1.4 +0.05 =1.45
(MÉTODO 2)

33
Paso 3
 La región bajo la curva z que contiene
los valores extremos de es 0.0735 en
ambos lados de la curva
P/2P/2
0.07350.0735

34
Paso 4
 El valor p de una de las áreas es 0.0735
(p/2)
 Por lo tanto el valor total de los dos
extremos para poder comparar con el α
es sumando las dos regiones del Paso 3
p= 2(el área a la izquierda de 1.45)
p= 2(0.0735)
p= 0.147

35
Paso 5
 Como alfa es 0.01
 Y sabemos que si el valor p >= α, entonces no
se rechaza H0
 Se tiene que 0.147 >=0.01 por lo tanto no se
rechaza la Ho
Conclusión:
La proporción de mujeres en
las carrera de ingeniería no es
diferente de 0.4.

EJEMPLO 1:
36
 Se afirma que, de todas los trabajadores
que se contratan en una empresa por lo
menos el 30 % proviene del cono sur.
• Si una muestra de 600
contrataciones tomada al azar
de los registros de la oficina de
Recursos Humanos revela que
de las personas contratadas
153 fueron del cono sur.
• Se desea verificar tal
afirmación con un nivel de
significancia del 1%

37
SOLUCIÓN:
 Para calcular la proporción p lo primero
que se ha de hacer es determinar la
proporción muestral.
,..255.0
600
153,..600  pn 
,..70.0,...30.0  qp
EJEMPLO 1:
• Se probará la hipótesis nula p = 0.30 contra
la hipótesis alternativa p < 30 con un α=0.01
153x
Para calcular el error estándar de la proporción

38
1.- Hipótesis:
30.0:
30.0:
1
0


pH
pH
EJEMPLO 1:
Ho: El porcentaje de trabajadores
que proviene del cono sur es
del 30%
H1: El porcentaje de trabajadores
que proviene del cono sur es
menor del 30%

39
2.- Cálculo del valor critico
33.2Z
con un nivel de significancia del 1 %
para una prueba de una cola se tiene α=0.01.
EJEMPLO 1:

40
 Regla de decisión o Región crítica:
Se rechaza la Hipótesis nula si:
ZZc 
es decir, .
33.2cZ
EJEMPLO 1:

41
3.- Cálculo del estadístico de
prueba
Aplicando formula se tiene:
O también Aplicando:
41.2
0187.0
045.0
00035.0
045.0
600
7.03.0
300.0255.0
.
 cc Z
x
n
qp
ppZ

41.2
225,11
27
126
180153
)70.0)(30.0(600
)30.0(600153 
npq
npxZ
EJEMPLO 1:

42
4.- Conclusión:
Como Zc es menor que Zα, se rechaza Ho .
33.241.2 cZ
EJEMPLO 1:
Esto se observa en la grafica donde Zc
cae fuera del área de no rechazo
.001
-2.33
-2.41
 Se puede afirmar con un nivel
de significancia del 1% que El
porcentaje de trabajadores que
proviene del cono sur es menor
del 30%
 Por lo tanto, la afirmación de
que, de todas los trabajadores
que se contratan en una
empresa por lo menos el 30 %
proviene del cono sur, es falsa.
Zc
AREA
DE NO
RECHAZ
O

43
 Un fabricante de semiconductores produce
controladores que se emplean en el sistema
eléctrico de vehículos.
 El cliente requiere que la proporción de
controladores defectuosos no sea mayor de 0.05,
y que el fabricante demuestre estas
características del proceso de fabricación con
este nivel de calidad, con un nivel de
significancia del 5 %.
EJEMPLO 2:
• El fabricante de semiconductores
toma una muestra aleatoria de
200 dispositivos y encuentra
que 4 de ellos son
defectuosos.
• ¿El fabricante puede demostrar
al cliente la calidad exigida?
Obtener sus conclusiones.Ing William León Velásquez

44
SOLUCIÓN:
 Calcular la proporción muestral
 Para resolver el problema hay que plantear una
hipótesis alternativa unilateral de una cola por la
izquierda
 Es decir, p< 0.05
EJEMPLO 2:
n=200
x=4
𝑝 =
4
200
= 0.02
Para calcular el error
estándar de la proporción se
tiene que considerar la
proporción poblacional de
éxitos y fracasos:
p=0.05 y q=0.95 Ing William León Velásquez

45
1.- Hipótesis:
05.0:
05.0:
1
0


pH
pH
EJEMPLO 2:
Ho: La proporción de controladores
defectuosos es 0.05
H1: La proporción de controladores
defectuosos es menor a 0.05

46
645,1Z
2.-Cálculo del Z crítico
Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda
es decir un α=0.05
EJEMPLO 2:

47
 Regla de decisión o Región crítica:
Se rechaza la Hipótesis nula si
 Es decir,
ZZc 
645,1cZ
EJEMPLO 2:

48
3.- Calculo el Z de los datos
Aplicando formula se tiene:

200
95.005.0
05.002.0
. x
n
qp
ppZc

95.1
0154.0
03.0
0002375.0
03.0  cZ
EJEMPLO 2:

49
4.- Conclusión:
 Como Zc es menor que Zα, es decir,
, se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.05.
645.195.1 cZ
EJEMPLO 2:
 Esto se podrá observar en una
grafica en donde Zc caerá dentro
del área de rechazo
.005
-1.645
-1.91
• Por lo tanto La proporción de
controladores defectuosos es
menor a 0.05
Es decir
• El fabricante puede
demostrar al cliente la
calidad exigida

PRUEBA DE HIPOTESIS
PARA DOS PROPORCIONES
50

• El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar
si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos
poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de
elementos con determinada característica.
PRUEBA DE PROPORCIONES
DE DOS MUESTRAS
51Ing William León Velásquez
• La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia
dividida entre la desviación estándar de la distribución de
muestreo) entre las dos proporciones muestrales.
• Diferencias pequeñas denotan únicamente la variación
casual producto del muestreo (se acepta H0), en tanto que
grandes diferencias significan lo contrario (se rechaza H0).

• La proporción de semillas que germinan
siendo tratadas o no con un funguicida.
• El porcentaje de hombres y de mujeres
que votan a determinado candidato.
• La proporción de piezas defectuosas de un
lote de fabricación, correspondiente al
turno diurno y nocturno
DE DOS MUESTRAS
• Ejemplos:

• Para efectuar esta comparación se requiere
 Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída
de la población 1 con parámetro p1
 Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída
de la población 2 con parámetro p2
REQUISITOS

• Se comparará las dos proporciones
haciendo inferencia sobre p1-p2
(diferencia entre las dos proporciones
poblacionales).
•Si las dos proporciones poblacionales
son iguales, entonces p1-p2 = 0.
•El mejor estimador de p1-p2 es la
diferencia entre las dos proporciones
muestrales:
DE DOS POBLACIONES
54
𝑝1 − 𝑝2 =
𝑥1
𝑛1
−
𝑥2
𝑛2

EL ESTADISTICO DE LA PRUEBA
55
Para obtener el estadístico Zc de la
diferencia de proporciones
Proporción ponderada
0 por Ho
𝑧 =
𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑝 1 − 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑝 =
𝑛1 𝑝1 + 𝑛2 𝑝2
𝑛1 + 𝑛2
= 𝑝 =
𝑥1 + 𝑥2
𝑛1 + 𝑛2

PASOS A SEGUIR EN UNA
PRUEBA DE HIPOTESIS
1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha
56
Ho: P1 – P2 = 0
Ha: P1 – P2 ≠ 0
Ha: P1 – P2 > 0
Ha: P1 – P2 < 0
La hipótesis nula es:
La hipótesis alternativa puede ser:

PRUEBA DE HIPOTESIS
• El nivel de significancia es la
probabilidad de rechazar la
hipótesis nula cuando es
verdadera es a lo que se llama
error Tipo I.
• El nivel de significancia se define
con la letra griega alfa (α ).
• Se le llama también nivel de riesgo.
2. Definir el nivel de significancia y la zona de
rechazo
5757

PRUEBA DE HIPOTESIS
La zona de rechazo tiene:
• Una magnitud dada por α y
• Una dirección dada por la hipótesis
alternativa.
• A través de la tabla Z se obtendrá el
estadístico critico
2 Definir el nivel de significancia y la zona de
rechazo
58

PRUEBA DE HIPOTESIS
4. Calcular el estadístico de prueba a partir
de los datos muestrales considerando
H0 como verdadera
5959
𝑧 =
𝑝1 − 𝑝2
𝑝 1 − 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑝 =
𝑥1 + 𝑥2
𝑛1 + 𝑛2
Donde la proporción ponderada
𝑝 =
𝑛1 𝑝1 + 𝑛2 𝑝2
𝑛1 + 𝑛2

PRUEBA DE HIPOTESIS
5. Decidir si H0 no se rechaza o se
rechaza.
Y Concluir en términos del contexto
del problema.
6060

La administración de una gran tienda cree, sobre la
base de una investigación, que el porcentaje de hombres
que visitan sus tiendas 9 a más veces al mes (clientes
frecuentes) es mayor que el porcentaje de mujeres que
hacen lo mismo.
EJEMPLO 1
Con los datos
proporcionados probar esta
hipótesis 61
Para probar esta información se toma una muestra de
clientes hombres y se identifica a 45 que visitan 9 a mas
veces la tienda al mes y representan un 58% del total,
luego se toma una muestra de mujeres y se encuentra
que 71 so las clientes mas frecuentes y representan el 42
% del total
Utilice un nivel de significación
de 0.05
.

EJEMPLO 1
62
La información proporcionada es:
𝑛 𝐻 = 45 𝑛 𝑀 = 71
𝑝 𝐻 = 0.58 𝑝 𝑀 = 0.42
𝑝 𝐻 − 𝑝 𝑀 = 0.58 − 0.42 = 0.16
Se especifica el nivel de
significación de 0.05
.

1. Se formula las hipótesis:
Las especificaciones requeridas y el procedimiento
para probar esta hipótesis es la siguiente:
Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:
EJEMPLO 1
la proporción de hombres que reportan 9 a
más visitas por mes es la misma que la
proporción de mujeres que hacen lo
mismo.
la proporción de hombres que reportan 9
a más visitas por mes es mayor a la
proporción de mujeres que hacen lo
mismo.
Ho: Ph – Pm = 0
H1: Ph – Pm >0

2. Especifica el nivel de significación de α = .05 .
El valor crítico para la prueba de una sola cola es
de 1.64.
EJEMPLO 1
64 64
645,1Z

EJEMPLO 1
65
3. Calculo del estadístico de la prueba:
65
𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H)
𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M)
nH = tamaño de muestra hombres
nM = tamaño de muestra mujeres
𝑃 =
𝑛 𝐻 𝑝 𝐻 + 𝑛 𝑀 𝑝 𝑀
𝑛 𝐻 + 𝑛 𝑀
a. Calculamos el P (la proporción ponderada)
Reemplazando se obtiene:
𝑃 =
45(0.58)+71(0.42)
45+71
=0.48

EJEMPLO 1
b. Se estima el error estándar de la diferencia de las
dos proporciones:
𝑃 = proporción ponderada
nH = tamaño de muestra hombres
nM = tamaño de muestra mujeresReemplazando se obtiene:
P=0.48
𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 𝑃(1 − 𝑃)
1
𝑛 𝐻
+
1
𝑛 𝑀
𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 0.48(1 − 0.48)
1
45
+
1
71
=0.1

EJEMPLO 1
67
Z=
0.58−0.42 −(0)
0.1
=1.6
67
c. Calculamos el Z de la muestra
Reemplazando se obtiene:
𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H)= 0.58
𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M)= 0.42
Sph-m=0.1
Dif. entre proporciones observadas= 𝑝 𝐻 - 𝑝 𝑀
𝑍 =
𝑑𝑖𝑓. 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝. 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 − (𝑑𝑖𝑓. 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝. 𝐻 𝑜
𝑆𝑝ℎ−𝑚

4.- La hipótesis nula no se rechaza, porque el valor
de la Z calculada (1.60) es menor que el valor
crítico Z. (1.64)
EJEMPLO 1
68
.005
1.64
1.6
cZ
Conclusión:
La administración no puede concluir con un nivel de
significancia del nivel de 0.05, que la proporción de
hombres que visita 9 a más veces a la gran tienda es
mayor que la proporción de mujeres que hacen lo
mismo.

69
EJEMPLO 02
 Se considera cierto cambio en un proceso de
fabricación de partes de componentes. Se
toman muestras del procedimiento existente y
del nuevo, para determinar si éste tiene como
resultado una mejoría.
• Si se encuentra que 75 de 1500
artículos del procedimiento actual
son defectuosos y 80 de 2000
artículos del procedimiento nuevo
también lo son.
• Encuentre un intervalo de
confianza de 95% para la
diferencia real en la fracción de
defectuosos entre el proceso
actual y el nuevo. Ing William León Velásquez

70
EJEMPLO 02
Solución:
 Sean P1 y P2 las proporciones reales
de defectuosos para los procesos
actual y nuevo, respectivamente.
 De aquí,
𝑝1 =75/1500 = 0.05 y
𝑝2 = 80/2000 = 0.04

71
EJEMPLO 02
1.- Formulación de la hipótesis:
Ho: Pa – Pn = 0
H1: Pa – Pn >0
Ho: La proporción de defectuosos del proceso
existentes es igual al nuevo proceso
Ho: La proporción de defectuosos del proceso
existentes es mayor al nuevo proceso

72
EJEMPLO 02
645,1Z
2. Obtención del valor crítico:
 Con el uso de la tabla encontramos que z para
un nivel de confianza del 95% (alfa=0.05)

73
EJEMPLO 02
3.- Cálculo de los valores del intervalo
𝑃1 − 𝑃2 = (𝑝1−𝑝2) + 𝑧
𝑝1 𝑞1
𝑛1
+
𝑝2 𝑞2
𝑛2
=
𝑃1 − 𝑃2 = 0.05 − 0.04 + 1.645
(0.05)(0.95)
1500
+
(0.04)(0.96)
2000
P1-P2>0.0217
0 > 0.0217
p1-p2=0.0217P1-P2=0Ing William León Velásquez

74
EJEMPLO 02
4.- Conclusión:
Como el intervalo contiene el valor de cero, no se
rechaza la hipótesis nula
Es decir
La proporción de defectuosos del proceso existentes no
es mayor al nuevo proceso con un nivel de significancia
del 5%
Por lo tanto
no hay razón para creer que el nuevo
procedimiento producirá una disminución
significativa en la proporción de artículos
defectuosos comparado con el método existente.

 Si la hipótesis alterna es una hipótesis simple, por ejemplo
H1 : µ = 43, se tendrá, para un valor fijo de α, un valor de β;
no obstante lo usual es que la hipótesis alterna sea una
hipótesis compuesta tal vez H1 : µ > 40, obligando a que
exista un valor de β para cada posible valor del parámetro
mayor que 40.
 Así al no rechazar H0, el investigador se ve precisado a
especular posibles valores plausibles de µ y para cada uno de
ellos encontrar el riesgo que se está asumiendo en esta
prueba al no rechazar la hipótesis nula. Esto genera una
“imprecisión” en el riesgo que se tiene al no rechazar H0.
INTRODUCCION
El problema de la falta de atención al error tipo II en
parte puede deberse a que generalmente no existe un
valor único de β, y este hecho marca una diferencia
sustancial con el empleo del valor α.

ERROR TIPO II
 Puede también ocurrir que no rechacemos la hipótesis nula, y sea en
realidad falsa. Este tipo de error denominado Error de tipo II .
 Su valor se hace menor cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n.
 Para este nivel de significación habrá de estudiarse la región crítica asociada.
 Cuando la hipótesis nula establezca que la media es igual o superior a un valor
la región crítica quedará a la izquierda.
 Si la hipótesis nula establece que la media tiene un valor determinado, la
región crítica se habrá de establecer a ambos lados, de forma que el área total
que ocupen las dos subregiones sea igual al nivel de significación.
POSIBLES ERRORES
ERROR TIPO I
• Se establece el nivel de significación que es la probabilidad de que
rechacemos la hipótesis nula, siendo en realidad cierta. Se utiliza la letra α
para denominarlo.
• Este nivel de significación es la cantidad de error que nos podemos permitir, y
su elección depende en cada caso de la persona que realiza la prueba. No
depende del tamaño de la muestra.
• Los más usuales son 10%, 5%, 1% , 0,1%. Se le denomina Error de tipo I

3/04/2017 Ing William León Velásquez 78
 Se tiene interés en el tiempo que dura el
procesamiento de un producto.
 Se sabe que la velocidad con que procesa el
producto es una variable aleatoria que puede
describirse con una distribución de probabilidad.
 Específicamente, se requiere decidir si: la media de
la velocidad de procesamiento es 50 cm/seg. con
±1.5 cm/s
 Se sabe que σ=2.5 cm/seg.
Ho: µ=50
Ha: µ≠50
EJEMPLOS

 El resultado obtenido es que:
– La hipótesis nulas es verdadera
– La hipótesis nula es falsa
 No existe certeza total de que el resultado sea correcto
(tendría que examinarse a la población completa)
 Existe una probabilidad de llegar a una conclusión
incorrecta.
 El rechazo de la hipótesis nula, lleva siempre a aceptar
la hipótesis alternativa
EJEMPLOS. RESULTADOS DE
LA PRUEBA DE HIPOTESIS

EJEMPLOS. PROCEDIMIENTO
GENERAL
1. Tomar una
muestra
aleatoria
2. Calcular el
estadístico de
prueba de los
datos
muestrales
3. Se toma una
decisión a cerca
de la hipótesis
nula con base
en el estadístico
de prueba.

EJEMPLOS. CRITERIO DE NO
RECHAZO DE LA HIPÓTESIS NULA
Región No crítica

 Podría llegarse a una conclusión incorrecta en varios casos
 Error tipo I:
– Rechazo la hipótesis nula, cuando en verdad es
verdadera.
– Puede deberse a que una muestra particular tomada
arroja un valor estadístico en la región critica cuando en
realidad esta en la región de no rechazo.
 Error tipo II:
– No rechazo de la hipótesis cuando en realidad es falsa.
– Puede deberse a que la media muestral cae en la región
de no rechazo, cuando en realidad esta en la región
critica
EJEMPLOS.
CONCLUSIONES INCORRECTAS

83
 El nivel de significancia es la
probabilidad de que ocurra
un error tipo I
 Se denota por al letra α
 También se el llama amplitud
de la prueba
 Suponiendo que se cumplen
las condiciones del teorema
del limite central, la
probabilidad de error tipo I
será el área de la región
sombreada, con:
EJEMPLOS. NIVEL DE
SIGNIFICACIÓN DE LA PRUEBA
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
=
2.5
10
= 0.79
Debe hacerse la transformación de
x a una variable aleatoria normal
estándar
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
Luego α=0.0287+0.0287=0.0574
𝑧1 =
48.5 − 50
0.79
= −1.9 𝑧2 =
51.5 − 50
0.79
= 1.9
La región critica de Ho:
µ=50 vs Ha: µ≠50 y n=10

 Para el ejemplo anterior:
 El 5.74% de las posibles muestras aleatorias que
se tomen llevarían a un error tipo I (Rechazo de
la hipótesis cuando en realidad es verdadera).
 ¿Cómo se puede reducir la probabilidad de
error de tipo I?
Ampliando la región de no rechazo
Aumentando el numero de la muestra
EJEMPLOS. INTERPRETACION
DEL RESULTADO

 A la probabilidad de que ocurra un error tipo II se le denotará por
β.
Ejemplo:
 Se tiene una hipótesis nula con µ=50, pero que en realidad es 52
 Los valores críticos que limitan la región de no rechazo son 48.5 y
51.5
 Según la muestra tomada, existirá una probabilidad β de que la
media este en la región crítica: 48.5 < x < 51.5 (área sombreada)
EJEMPLOS. PROBABILIDAD
DEL ERROR TIPO II
La probabilidad del
error tipo II con
µ’=52 y n=10
Ho:µ=50 H1:µ=52

 La probabilidad de error de
tipo II aumenta conforme el
verdadero valor de µ se
acerca al valor propuesto en
la hipótesis.
 Para el ejemplo de la figura
el área sombreada (β)
aumenta con respecto al
ejemplo anterior.
 Si esta muy cerca los
valores hipotético y real, no
preocupa mucho
equivocarse y no rechazar la
hipótesis
EJEMPLOS. PROBABILIDAD
DEL ERROR TIPO II
La probabilidad del error tipo II
con µ’=50.5 y n=10
Ho:µ=50
H1:µ=50.5

 El tamaño de la región crítica y por consiguiente la probabilidad de un error tipo I,
siempre puede reducirse mediante la selección apropiada de los valores críticos.
 Los errores tipo I y II están relacionados. Una reducción de la probabilidad de un tipo
de error resulta en un incremento en la probabilidad del otro (no cambia el tamaño de
la muestra, n)
 Un incremento del tamaño de la muestra (n) generalmente dará como resultado una
reducción tanto α como de β (si los valores críticos permanecen constantes).
 Cuando una hipótesis nula es falsa, β se incrementa conforme el verdadero valor del
parámetro se aproxima al valor hipotético propuesto en la hipótesis nula.
EJEMPLOS.
FACTORES QUE AFECTAN α Y β
Región de no
rechazo
Tamaño de la
muestro (n)
α β con µ=52 β con
µ=50.5
48.5< x < 51.5 10 0.0576 0.2643 0.8923
48<x<52 10 0.0114 0.5000 0.9705
48.5<x<51.5 16 0.0164 0.2119 0.9445
48<x<52 16 0.0014 0.5000 0.9918

 El analista puede controlar los valores críticos, luego puede
controlar la probabilidad de rechazar incorrectamente Ho.
 Por tanto, al rechazo de la hipótesis nula Ho siempre se le considera
una conclusión robusta.
 La probabilidad de error de tipo II depende del tamaño de la muestra
(n) y del valor verdadero del parámetro a probar.
 Se considera que la decisión de no rechazar la Ho es una conclusión
débil ( a menos que β sea mas pequeña)
 Terminología:
– Nunca se debe decir que “ se acepta Ho” sino se debe decir “No se
puede rechazar la Ho”
– Por lo tanto “No puede rechazarse Ho” significa que no se ha
encontrado evidencia suficiente para rechazar Ho
– El no poder rechazar Ho no significa necesariamente que exista una
alta probabilidad de que sea verdadera. Puede significar simplemente
que se requieren mas datos para llegar a una conclusión robusta
EJEMPLOS.
CARACTERISTICAS DE LAS
CONCLUSIONES

CURVA CARACTERISICA
POTENCIA DE LA
PRUEBA

 Para calcular el error tipo II o β se debe especificar la
hipótesis alternativa como una hipótesis simple.
 Sin embargo, en la mayoría de los casos, esta
hipótesis se plantea como compuesta.
 Al plantearse la hipótesis alternativa como compuesta,
no se puede calcular el error tipo II asociado con la
prueba.
 Sin embargo, para obviar esta dificultad lo que se hace
es asignarle varios valores a la hipótesis alternativa,
calcular el error tipo II y realizar una curva con estos
valores.
 Esta curva recibe el nombre de "Curva Característica
Operativa o Curva OC", y es muy empleada
principalmente en estudios de control de calidad.
CURVA CARACTERÍSTICA Y
FUNCIÓN DE POTENCIA

 Considérese la hipótesis alternativa de la siguiente
manera:
 Ho: µ = µ0 = 10 H1: µ > µ0 n = 9, α = 0.05
 La región crítica de esta prueba está en c = 10.548, es
decir, se rechaza H0 :µ = 10 si la media de la muestra es
mayor de 10.548.
 Para construir la curva OC se presentan en la tabla
siguiente diferentes valores de la hipótesis alternativa
con sus respectivas probabilidades de aceptación.
µ 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6
β 0.998 0.988 0.950 0.852 0.672 0.438 0.225 0.088 0.025 0.005 0.001

 La siguiente es la Curva Característica Operativa (β vs µ) de
la prueba de hipótesis planteada.
 Si se tiene la hipótesis nula Ho:µ = µ0 contra la hipótesis
alternativa H1:µ = µ1 el valor del error tipo II se obtiene como
una función de los valores alternativos de q bajo H1, es decir,
para cada valor de µ1 se calcula β , valor que a veces
denotamos por β(µ). La gráfica µ vs β(µ) recibe, como ya se
dijo, el nombre de Curva Característica Operativa, Curva OC,
o curva CO.

 Recordemos que β(µ) es la probabilidad de no
rechazar la hipótesis nula H0 cuando la verdadera es
la hipótesis alternativa H1.
 Por lo tanto, 1-β(µ) representa la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando la verdadera es la
hipótesis alternativa, es decir, representa la
probabilidad de rechazar hipótesis falsas.
 Sin embargo, en la mayoría de estudios diferentes a
los de control de calidad, en vez de la curva
característica operativa se emplea la gráfica
denominada "Función de Potencia", donde se grafica
µ vs 1-β(µ ).

Función de Potencia de una prueba.
 La función P(µ) = 1-β(µ) recibe el nombre de función de
potencia, y representa la probabilidad de rechazar la
hipótesis nula cuando ésta es falsa, es decir, mide la
probabilidad de rechazar hipótesis falsas.
 El valor de la potencia es 1-β y puede interpretarse
como la probabilidad de rechazar de manera correcta
una hipótesis falsa.
 La potencia es una medida muy descriptiva y concisa
de la sensibilidad de una prueba estadística, donde por
sensibilidad se entiende la capacidad de una prueba
para detectar diferencia.
CURVA CARACTERÍSTICA
Y FUNCIÓN DE POTENCIA

 Considere la siguiente prueba de hipótesis:
Ho: µ = µ0 = 10
H1: µ > µ0 n = 9, α = 0.05, σ² = 1.
 Considere también las siguientes regiones críticas:
A: Rechazar Ho si 𝑋> 10.65
B: Rechazar Ho si 𝑋> 10.45
 Para calcular β(µ) es necesario darle valores a µ , y
de ahí calcular la potencia
1-β(µ).P(µ) = P(𝑋 >c/µ = µ1) = 1-β(µ)

 Las tablas siguientes presentan los valores de los
errores tipo II y de la potencia para las pruebas
planteadas.
Potencia de la prueba P(µ)
µ 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6 11.8
Prueba A 0.026 0.089 0.227 0.440 0.674 0.853 0.951 0.988 0.998 1.000
Prueba B 0.089 0.227 0.440 0.674 0.853 0.951 0.988 0.998 1.000 1.000
Error tipo II β(µ)
µ 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6 11.8
Prueba A 0.974 0.911 0.773 0.560 0.326 0.147 0.049 0.012 0.002 0.000
Prueba B 0.911 0.773 0.560 0.326 0.147 0.049 0.012 0.002 0.000 0.000

 Un fabricante de pintura de secado rápido afirma que
el tiempo de secado de sus pinturas es de 20 min.
 Un comprador para verificar tal afirmación diseña el
siguiente experimento: pinta 36 tableros y decide
rechazar el producto si el promedio de tiempo de
secado de los mismos supera los 20.75 min.
EJEMPLO 1
• Si por experiencia se
conoce que σ=2.4 min
• ¿Cual es la probabilidad
de rechazar la partida
aún perteneciendo a una
población con media de
20 min. ?

 La probabilidad de que el promedio de las muestras
exceda 20.75 min a causa del azar se calcula del
siguiente modo:
 De tabla se obtiene que la probabilidad es 0.03
EJEMPLO 1
Ho: μ=20 min
Ha: μ>20 min
𝜎 𝑋 =
𝜎
𝑛
𝜎 𝑋 =
2.4
36
= 0.4
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
𝑧 =
20.75 − 20
0.4
= 1.875

 Gráficamente se muestra de la siguiente forma
Se rechaza la
Ho
No se rechaza la Ho
ERROR TIPO I
la probabilidad de
que rechacemos la
hipótesis nula,
siendo en realidad
cierta.
ERROR TIPO II
La probabilidad que
no rechacemos la
hipótesis nula, y
sea en realidad
falsa.
El grafico esta hecho sobre valores reales, no normalizados.
El valor normalizado en la posición 20.75 es 1.87 (z de los datos)
Entonces la probabilidad de rechazar erróneamente la hipótesis nula
(μ=20 min) es de aproximadamente 0.03 o bien 3%
EJEMPLO 1

Suponer ahora:
 Que la media real del tiempo de secado es μ= 21
min.
 Luego la probabilidad de obtener una media muestral
menor o igual que 20.75 ( y por lo tanto equivocarse
en el no rechazo) esta dada por
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
=
20.75 − 21
0.4
= −0.625
EJEMPLO 1

101
 Lo que lleva un área (hacia la izquierda) de
0.2660
 Es decir la probabilidad de equivocarse al no
rechazar μ=20 (a pesar de ser μ=21) es de
26.6%
 Gráficamente:
No se
rechaza que
EJEMPLO 1

ANALISIS PARA LA COLA DERECHA
 Hasta el momento no se han atendido a los Errores
Tipo II.
 La elección de µ=21 min en el tiempo de secado fue
arbitraria.
 Veremos que sucede con otros valores de µ.
EJEMPLO 1
CURVAS CARACTERISTICAS DE
OPERACION
L(µ) será la probabilidad de aceptar la Hipótesis Nula
(µ>µo, cola derecha) aun siendo la media µ=21, para
distintos valores de µ.
Rescatando el ejemplo de la pintura, en que µo=20,
σ=2.4 y n=36 y la línea divisoria del criterio en 𝑥=20.75
min se verifica:

EJEMPLO 1
CURVAS CARACTERISTICAS DE
OPERACION
 Para µ=19.5
𝑧 =
−19.5 + 20.75
24
36
= 3.125 𝐿 𝜇 = 0.999
Para µ=20.5
𝑧 =
−20.5 + 20.75
24
36
= 0.625 𝐿 𝜇 = 0.730

µ z L(µ)
19.50 3.125 0.999
19.75 2.500 0.990
20.00 1.875 0.970
20.25 1.250 0.890
20.50 0.625 0.730
20.75 0.000 0.500
21.00 -0.625 0.270
21.25 -1.250 0.110
21.50 -1.875 0.030
21.75 -2.500 0.010
22.00 -3.125 0.001
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
19.00 19.50 20.00 20.50 21.00 21.50 22.00 22.50
L(µ)
µ
Gráficamente queda:
Para los datos de las medias
EJEMPLO 1

ANALISIS PARA LA COLA IZQUIERDA
 Si la hipótesis alterna fuese la contraria (µ<µo,
cola izquierda) con los datos µo=20, σ=24, n=36, y
la línea divisoria de criterio en 𝑥 =19.25 se
verifica:
Para µ=19.5
𝑧 =
19.50 − 19.75
0.4
= −0.625 L(µ)=0.73
EJEMPLO 1

µ z L(µ)
18.50 -1.875 0.030
18.75 -1.250 0.110
19.00 -0.625 0.270
19.25 0.000 0.500
19.50 0.625 0.730
19.75 1.250 0.890
20.00 1.875 0.970
20.25 2.500 0.990
20.50 3.125 0.999
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
18.00 18.50 19.00 19.50 20.00 20.50 21.00
L(µ)
µ
Gráficamente queda:Para los datos de las medias
EJEMPLO 1

ANALISIS PARA DOS COLAS
 Si la hipótesis alterna fuese µ≠µo, bilateral o dos
colas, con los datos µo=20, σ=24, n=36, y la línea
divisoria de criterio entre 𝑥=19.25 min y 𝑥=20.75, se
verifica:
Para µ=19.5
𝑧1 =
19.25 − 19.0
0.4
= 0.625 𝑧2 =
20.75 − 19.0
0.4
= 4.375
L(µ)=0.27
EJEMPLO 1

µ z1 z2 L(µ)
18.50 1.875 5.625 0.030
18.75 1.250 5.000 0.106
19.00 0.625 4.375 0.270
19.25 0.000 3.750 0.500
19.50 -0.625 3.125 0.733
19.75 1.250 2.500 0.880
20.00 -1.875 1.875 0.939
20.25 -2.500 1.250 0.880
20.50 -3.125 0.625 0.733
20.75 -3.750 0.000 0.500
21.00 -4.375 -0.625 0.270
21.25 -5.000 -1.250 0.106
21.50 -5.625 -1.875 0.030
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
18.00 18.50 19.00 19.50 20.00 20.50 21.00 21.50 22.00L(µ
µ
Gráficamente queda:Para los datos de las medias
EJEMPLO 1

 La aplicación de un test en el colectivo de
profesionales de la enseñanza tiene, por
experiencias anteriores, una puntuación media 55
con varianza 121.
 Un psicólogo educativo considera que en la
actualidad el promedio se incrementó, pasando a
ser de 60 puntos.
• Para contrastar la
hipótesis planteada
por el psicólogo, se
somete al test a 50
individuos en los
que se obtiene una
puntuación muestral
media 58.
EJEMPLO 2

a) Con un nivel de significación a = 0'01, ¿ puede
aceptarse el planteamiento del psicólogo ?.
b) Para el nivel a anterior, determine la probabilidad
del error de tipo II.
c) ¿ Qué tamaño
muestral debe
utilizarse para
incrementar la potencia
del contraste en un
10% ?.
EJEMPLO 2

 Prueba de la media poblacional. Varianza de la población
conocida
a) Con un nivel de significación a = 0.01, ¿ puede
aceptarse el planteamiento del psicólogo ?.
1. Planteamiento de las hipótesis
Ho: µ =55
Ha: µ >55
La puntuación media es mayor a 55
La varianza de la población se conoce
σ2 =121 σ=11
El estadístico de contraste se distribuye normalmente
Siendo:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
EJEMPLO 2

Valor tabulado zα =z0.01 =2.33
No se rechaza la Ho al ser 1.93<2.33 (z<zα)
No existe suficiente evidencia al nivel de significación del
1% que indique que la puntuación media sea mayor a 55
Por lo tanto al afirmación del psicólogo es equivocado
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
=
58 − 55
11
50
= 1.93
2.33
EJEMPLO 2

b) A partir del nivel de
significación α, podemos
obtener el nivel crítico y el
criterio de decisión.
α=Prob(Rechazar Ho/ Ho es cierta) =Pr(𝑥 > π / µ = 55
Pr 𝑧 >
𝜋−55
11
50
= 0.01
Región de no rechazo
EJEMPLO 2

De aquí consultando las tablas de distribución normal:
𝜋 − 55
11
50
= 2.33 ⟹ 𝜋 = 58.62
El criterio de decisión es ”No rechazamos Ho si la
media muestral es inferior a 58.62”
Lo cual concuerda con la conclusión del apartado a)
Ya que al ser la media muestral 58 < 58.62 nos permite
no rechazar la hipótesis nula.
Conocido el nivel crítico π estamos en condiciones de
calcular β.
EJEMPLO 2

β=Pr(No rechazar Ho / Ho es falsa)
=Pr(𝑥> π / µ =60)
= Pr 𝑧 <
58.62−60
11
50
β=Pr( z<-0.89)=0.1867
La probabilidad del error de tipo II es 0.187
EJEMPLO 2

 La potencia de contraste= η=1-β = 1-0.1867
= 0.8133
 Incrementando η en un 10%, la nueva
potencia será:
 η=0.8133+ 0.10 * 0.8946
 El nuevo valor de β es: β=1-0.8946 = 0.1054
c) ¿ Qué tamaño muestral debe utilizarse para
incrementar la potencia del contraste en un 10% ?.
EJEMPLO 2

 Llegando a este punto nos planteamos el
modo de calculo del tamaño muestral
solicitado.
 El enunciado del problema no es lo
suficientemente preciso para decidir el
criterio de resolución.
 Puede ser interpretado de dos modos
distintos:
EJEMPLO 2

1. Determinación del n, partiendo del valor de β y el margen del
valor que correspondería para α:
β=Pr(No rechazar Ho / Ho es falsa)
=Pr(𝑥 >π / μ =60)
=Pr 𝑧 <
58.62−60
11
𝑛
=0.1054 

58.62 −60
11
𝑛
=1.25  𝑛 =
−1.25∗11
58.62−60
= 9.9638
 n=99.28 = 99
𝑛 =
𝑧 𝛽 ∗ 𝜎
𝑥 − 𝜇
EJEMPLO 2

2. Determinación del n, partiendo del valor
calculado de β manteniendo α=0.01
zα = z0.01 = 2.33
zβ = z0.1054 = 1.25
𝑛 =
𝜎2
𝑧 𝛼 + 𝑧 𝛽
2
𝜇0 − 𝜇1
2
=
121 2.33 + 1.25 2
55 − 60 2
= 62
EJEMPLO 2

 Las determinaciones de colesterol en sangre se
distribuyen normalmente con media 180 mg./dl. y
varianza 450.
• De experimentaciones en la
zona costera de una
determinada provincia se
tiene la creencia de que
esta cifra media es de 192
mg./dl.
• Por lo que se decide
analizar la validez de dicha
hipótesis
EJEMPLO 3

a) Calcular las
probabilidades de error
de tipo I y de tipo II.
b) Trabajando con un
nivel de significación
del 5%, ¿ qué tamaño
muestral se debe
tomar ?.
Se establece como regla de decisión :
"Se aceptará el promedio 180, establecido como
estándar, si la media muestral observada en 80
individuos es inferior a 187 mg./dl.".
EJEMPLO 3

a) Calcular las probabilidades de error de tipo I y de
tipo II.
 Prueba de la media poblacional
Varianza de la población conocida
1. Planteamiento de las hipótesis
Ho: µ =180
Ha: µ >180
El nivel de colesterol es mayor a 180
La varianza de la población se conoce σ2 =450
El estadístico de contraste se distribuye
normalmente
Siendo: 𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
EJEMPLO 3

a.1) α=Pr(Rechazar Ho / Ho es cierta)
= Pr(𝑥> 187 / μ=180)
𝛼 = 𝑃𝑟 𝑧 >
187−180
450
80
= Pr(z > 2.95) = 0.00159
α = 0.00159
EJEMPLO 3

a.2) β=Pr(No Rechazar Ho / Ho es falsa)
= Pr(𝑥< 187 / μ=192)
β = 𝑃𝑟 𝑧 >
187−192
450
80
= Pr(z < -2.11) = 0.01743
β = 0.01743
EJEMPLO 3

b) Se determinará el tamaño muestral n sabiendo que
α=0.05
¿Pero que valor de β se utiliza?
1.- Para el valor obtenido en el apartado anterior:
β=0.01743
𝑛 =
𝜎2∗ 𝑧 𝛼 + 𝑧 𝛽
2
𝜇0−𝜇1
2 =
450∗ 1.64+2.11 2
180−192 2 = 43.95
n=43.95= 44
EJEMPLO 3

2. Al margen del valor de β que correspondería para
α=0.05 y manteniendo el criterio de decisión:
α=Pr(Rechazar Ho / Ho es cierta)
Pr(𝑥 > 187 / μ=180)
Pr 𝑧 >
187−180
450
𝑛
=0.05
187 − 180
450
𝑛
= 1.64 ⇒ 𝑛 =
1.64 ∗ 450
187 − 180
= 4.97 ⇒
⇒ n= 24.7 = 25
EJEMPLO 3

Ing. William León Velásquez 128

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