FUNCIONES ESPECIALES

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 01
CICLO 01-2015
“Funciones Gamma y Beta”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Parte I.
Calcular el valor de cada uno de los problemas que a continuación se le presentan.
1.
𝛤(3)𝛤(
3
2
)
𝛤(
9
2
)
R/
16
105
2. 𝛤 (
1
2
) 𝛤 (
3
2
) 𝛤 (
5
2
) R/
3
8
𝜋
3
2
3. 𝛤 (
7
2
) R/
15
8
√ 𝜋
4. 𝛤 (−
7
2
) R/
16
105
√ 𝜋
5. 𝛽(3,5) R/
1
105
6. 𝛽 (
1
2
,
1
2
) R/π
7. 𝛽 (
1
3
,
2
3
) R/
2𝜋
√3
Parte II.
Calcular el Valor de las siguientes integrales:
8. ∫
𝑑𝑥
√− ln(𝑥)
1
0
R/√ 𝜋
9. ∫ 𝑒−𝑥3
𝑑𝑥
∞
0
R/
1
3
𝛤 (
1
3
)
10. ∫ 𝑒−√ 𝑥
√ 𝑥4∞
0
𝑑𝑥 R/
3
2
√ 𝜋
11. ∫ (ln(𝑥))41
0
𝑑𝑥 R/24
12. ∫ 𝑦3
𝑒−2𝑦5∞
0
𝑑𝑦 R/
𝛤(
4
5
)
5 √16
5
13. ∫ √ln (
1
𝑥
)
31
0
𝑑𝑥 R/
1
3
𝛤 (
1
3
)
14. ∫ (4 − 𝑥2
)
3
2
2
0
𝑑𝑥 R/3π
15. ∫ 𝑥2
(1 − 𝑥)31
0
𝑑𝑥 R/
1
60

2. 16. ∫
𝑑𝑦
√𝑎4−𝑦4
𝑎
0
R/
{𝛤(
1
4
)}
2
4𝑎√2𝜋
17. ∫ (4 − 𝑥)
3
2
2
0
𝑑𝑥 R/
64
5
18. ∫ 𝑐𝑜𝑠5(𝜃)𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
𝜋
2
0
𝑑𝜃 R/
8
105
19. ∫
1
√3𝑥−𝑥2
3
0
𝑑𝑥 R/π
20. ∫
𝑥
1+𝑥6
∞
0
𝑑𝑥 R/
𝜋
3√3
21. ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃)
𝜋
2
0
𝑑𝜃 R/
𝜋
16
22. ∫
𝑑𝑥
1+𝑥4
∞
0
R/
𝜋√2
4
23. ∫ 𝑠𝑒𝑛5
(𝜃)
𝜋
0
𝑑𝜃 R/
16
15
24. ∫ 𝑦4
√𝑎2 − 𝑦2𝑎
0
𝑑𝑦 R/
𝑎6
32
𝜋
25. ∫ √tan(𝜃)
𝜋
2
0
𝑑𝜃 R/
𝜋
√2
Parte III.
Demostrar el valor de las siguientes integrales.
a) ∫ 𝑥 𝑚
(ln(𝑥)) 𝑛1
0
𝑑𝑥 =
(−1) 𝑛 𝑛!
(𝑚+1) 𝑛+1 ; 𝑛 ∋ ℕ, 𝑚 > −1; 𝑆𝑈𝐺𝐸𝑅𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴: 𝑥 = 𝑒−𝑦
b) ∫ (𝑥 − 𝑡) 𝑎
𝑡 𝑏
𝑑𝑡
𝑥
0
=
𝑎!𝑏!
(𝑎+𝑏+1)!
𝑥 𝑎+𝑏+1
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑥 > 0
c) ∫
𝑥 𝑝−1
1+𝑥
∞
0
𝑑𝑥 = 𝛤(𝑝)𝛤(1 − 𝑝)
Parte IV.
Calcular el valor de los problemas que se le presentan a continuación.
i.
𝜞(𝟑)𝜞(𝟐∗𝟓)
𝜞(𝟓∗𝟓)
ii. 𝜞 (−
𝟏
𝟐
)
iii. 𝜞 (−
𝟓
𝟐
)
iv. ∫ 𝒙 𝟔
𝒆−𝟐𝒙∞
𝟎
𝒅𝒙
v. ∫ √ 𝒚
∞
𝟎
𝒆−𝒚 𝟑
𝒅𝒚
vi. ∫ 𝟑−𝟒𝒛 𝟐∞
𝟎
𝒅𝒛
vii. ∫ 𝒙 𝟒𝟏
𝟎
(𝟏 − 𝒙) 𝟑
𝒅𝒙
viii. ∫
𝒙 𝟐
√𝟐−𝒙
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
ix. ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒(𝜽)𝒅𝜽
𝝅
𝟎