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1.
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN
CAÑAS” MATEMATICA IV SECCIÓN 03 CICLO 02-2015 “Funciones Gamma y Beta” Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate. Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde. Parte I. Calcular el valor de cada uno de los problemas que a continuación se le presentan. 1. 𝛤(3)𝛤( 3 2 ) 𝛤( 9 2 ) R/ 16 105 2. 𝛤 ( 1 2 ) 𝛤 ( 3 2 ) 𝛤 ( 5 2 ) R/ 3 8 𝜋 3 2 3. 𝛤 ( 7 2 ) R/ 15 8 √ 𝜋 4. 𝛤 (− 7 2 ) R/ 16 105 √ 𝜋 5. 𝛽(3,5) R/ 1 105 6. 𝛽 ( 1 2 , 1 2 ) R/π 7. 𝛽 ( 1 3 , 2 3 ) R/ 2𝜋 √3 Parte II. Calcular el Valor de las siguientes integrales: 8. ∫ 𝑑𝑥 √− ln(𝑥) 1 0 R/√ 𝜋 9. ∫ 𝑒−𝑥3 𝑑𝑥 ∞ 0 R/ 1 3 𝛤 ( 1 3 ) 10. ∫ 𝑒−√ 𝑥 √ 𝑥4∞ 0 𝑑𝑥 R/ 3 2 √ 𝜋 11. ∫ (ln(𝑥))41 0 𝑑𝑥 R/24 12. ∫ 𝑦3 𝑒−2𝑦5∞ 0 𝑑𝑦 R/ 𝛤( 4 5 ) 5 √16 5 13. ∫ √ln ( 1 𝑥 ) 31 0 𝑑𝑥 R/ 1 3 𝛤 ( 1 3 ) 14. ∫ (4 − 𝑥2 ) 3 2 2 0 𝑑𝑥 R/3π 15. ∫ 𝑥2 (1 − 𝑥)31 0 𝑑𝑥 R/ 1 60
2.
16. ∫ 𝑑𝑦 √𝑎4−𝑦4 𝑎 0 R/ {𝛤( 1 4 )} 2 4𝑎√2𝜋 17. ∫
(4 − 𝑥) 3 2 2 0 𝑑𝑥 R/ 64 5 18. ∫ 𝑐𝑜𝑠5(𝜃)𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 𝜋 2 0 𝑑𝜃 R/ 8 105 19. ∫ 1 √3𝑥−𝑥2 3 0 𝑑𝑥 R/π 20. ∫ 𝑥 1+𝑥6 ∞ 0 𝑑𝑥 R/ 𝜋 3√3 21. ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝜋 2 0 𝑑𝜃 R/ 𝜋 16 22. ∫ 𝑑𝑥 1+𝑥4 ∞ 0 R/ 𝜋√2 4 23. ∫ 𝑠𝑒𝑛5 (𝜃) 𝜋 0 𝑑𝜃 R/ 16 15 24. ∫ 𝑦4 √𝑎2 − 𝑦2𝑎 0 𝑑𝑦 R/ 𝑎6 32 𝜋 25. ∫ √tan(𝜃) 𝜋 2 0 𝑑𝜃 R/ 𝜋 √2 Parte III. Demostrar el valor de las siguientes integrales. a) ∫ 𝑥 𝑚 (ln(𝑥)) 𝑛1 0 𝑑𝑥 = (−1) 𝑛 𝑛! (𝑚+1) 𝑛+1 ; 𝑛 ∋ ℕ, 𝑚 > −1; 𝑆𝑈𝐺𝐸𝑅𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴: 𝑥 = 𝑒−𝑦 b) ∫ (𝑥 − 𝑡) 𝑎 𝑡 𝑏 𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑎!𝑏! (𝑎+𝑏+1)! 𝑥 𝑎+𝑏+1 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑥 > 0 c) ∫ 𝑥 𝑝−1 1+𝑥 ∞ 0 𝑑𝑥 = 𝛤(𝑝)𝛤(1 − 𝑝) Parte IV. Calcular el valor de los problemas que se le presentan a continuación. i. 𝜞(𝟑)𝜞(𝟐∗𝟓) 𝜞(𝟓∗𝟓) ii. 𝜞 (− 𝟏 𝟐 ) iii. 𝜞 (− 𝟓 𝟐 ) iv. ∫ 𝒙 𝟔 𝒆−𝟐𝒙∞ 𝟎 𝒅𝒙 v. ∫ √ 𝒚 ∞ 𝟎 𝒆−𝒚 𝟑 𝒅𝒚 vi. ∫ 𝟑−𝟒𝒛 𝟐∞ 𝟎 𝒅𝒛 vii. ∫ 𝒙 𝟒𝟏 𝟎 (𝟏 − 𝒙) 𝟑 𝒅𝒙 viii. ∫ 𝒙 𝟐 √𝟐−𝒙 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 ix. ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒(𝜽)𝒅𝜽 𝝅 𝟎
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