Raz. matematico

01 02
P= a% de N
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
REGLA DEL TANTO
TANTO POR CIENTO (%)
Es el número de centésimas partes de una
cantidad.
Ejemplo:
De 100 personas que viajan en un ómnibus; 40
son blancos.
Luego :
40 por cada 100 personas son blancas
40 por cada ciento de personas son blancas
40 por ciento de personas son blancas
40 % del N° de personas son blancas
⇒
100
40
(N° personas son blancas)
En general: 100 < > N
a < > P
de donde: P = Nx
100
a
P = El “a” por ciento de “N”
a% : tanto por ciento
N : cantidad
P : porcentaje
Ejemplos:
El 28% de 50 = 1450x
100
28
=
El 15% de 60 = 960x
100
15
=
El 25% de 40 = 1040x
100
25
=
Gráficamente:
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
.................
3
100
= 3%
unidad < > 100 partes iguales
En general:
A) Conversión de tanto por ciento a fracción
o decimal
1% = 01,0
100
1
=
2% = 02,0
50
1
100
2
==
15% = 15,0
20
3
100
15
==
40% = 4,0
5
2
100
40
==
60% = 6,0
5
3
100
60
==
80% = 8,0
5
4
100
80
==
120% = 2,1
5
6
100
120
==
200% = 2
100
200
=
0,6% = 006,0
100
6,0
=
004,0
250
1
500
2
100
5
2
%
5
2
====





0275,0
400
11
100
4
11
%
4
11
%
4
3
2 ===





=
EQUIVALENTES NOTABLES:
100% = 1 (total)
75% =
4
3
(tres cuartas partes)
50% =
2
1
(mitad)
25% =
4
1
(cuarta parte)
20% =
5
1
(quinta parte)
10% =
10
1
(décima parte)
200% = 2 (doble)
Luego :
“Toda cantidad representa el 100% de sí misma”
B) Conversión de fracción o decimal a tanto
por ciento
%40%100x
5
2
5
2
==
0,06 = 0,06 x 100% = 6%
5 = 5 x 100% = 500%
OPERACIONES CON PORCENTAJE:
20% a + 50% a = 70% a
80% b - 60% b = 20% b
a + 20% a = 120% a
b - 35% b = 65% b
3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a
20% (a + b) = 20% a + 20% b
80% b ÷ 20% b = 4
b%20
b%80
=
60% a ÷ 2 = (60 ÷ 2)% a = 30% a
%16%40
100
40
%)40(%)40(%)40( 2
=





==
5
3
10
6
100
36
%36 ===
PROBLEMAS RESUELTOS
01. ¿Cuál es el 20% de 400?
Solución:
(+) (-)
400 - 100 %
x - 20 %
x = 80
100
)20)(400(
=
A toda cantidad menor que la referencial le
corresponde un porcentaje inferior al 100%.
S3RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S3RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
I
BIMESTRE
R.T.
D.
a % =
100 % a = a

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
02.Hallar el 10% de 240.
Solución:
Una cantidad cuando no sufre ninguna
variación esta representada por su 100%,
según el ejercicio.
240 es el 100%, entonces formando una regla
de tres:
100% ......... 240
10% ......... x
De donde:
x = (240 x 10)/100 = 24
03.Hallar el 12% de 50.
Solución:
50 .......... 100%
x ........... 12%
De donde:
x = ( 50 x 12)/100 = 6
04.Hallar el 16 2/3% de 42.
Solución:
42 ........... 100%
x ........... 16 2/3%
De donde:
x = (42)(50/3)/100
x = ( 42 x 50/3)/100
x = 7
05.Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333...
Solución:
=
100
25
x
100
4
x 300 x
9
12
=
4
1
x
25
1
x 300 x
3
4
=
100
300
x
3
4
= 3 x
3
4
= 4.
06.Calcular el
3
1
% de los
4
3
del triple de
120
Solución:
=
300
1
x
4
3
x 3 x 120 =
400
360
=
10
9
.
Hallar un número cuando se conoce un tanto
por ciento de él.
07. De qué número es 40 el 25%?.
Solución:
Asumimos que el número es x, luego el
100% de ese número es x, y según la
pregunta su 25% es 40. Entonces formamos
la regla de tres:
25% ......... 40
100% ......... x
x = (100% x 40)/25% = 160.
08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%?
Solución:
378 ......... 45 %
x ......... 100 %
x = 840
45
)100)(378(
=
09.De que número es 75 el 20%?.
Solución:
20% ........ 75
100% ........ x
x = (100% x 75)/20% = 375.
10.De que número es 200 el 12,5%?.
Solución:
12,5% .......… 200
100% ……... x
x = (100% x 200)/12,5% = 1600
Dados dos números, averiguar que tanto por
ciento es uno del otro.
11. Qué porcentaje es 75 de 1250?.
Solución:
Asumimos, que x es el porcentaje buscado.
Luego: 1250 esta representado por el 100% y
75 por el x %.
Formando la regla de tres correspondiente:
1250 ...…… 100%
75 ……... x %
x = (75 x 100%)/1250 = 6%.
12. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.
Solución;
512 ....…… 100%
0,64 ........... x %
x =
8
1
512
64
512
%100x64,0
== %
13.Qué porcentaje es la mitad de los tres
cuartos de 800, de 2400?.
Solución:
2400 .......… 100%
2
1
.
4
3
. 800 .......… x %
x = =












2400
%100.800.
4
3
.
2
1
12,5%.
14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480?
Solución:
480 ........ 100 %
695 ........ x %
x = %145
480
)695)(100(
=
Si la cantidad referencial se descompone en
otras varias, entonces la suma de los
porcentajes correspondientes a las partes
deberá ser siempre 100%.
15.Un futbolista dispara 17 penales, acertando
todos ellos. ¿Cuántos debe tirar luego,
fallando, para tener una eficiencia del 85%?
Solución:
100 % = 85 % + 15 %
17 ......... 85 %
x ......... 15 %
x = =
85
)15)(17(
3 tiros
Decir por ejemplo el 72% equivale a:
72.0
100
72
=
Recordar que, en los negocios:
Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) +
Ganancia (G)
PV = PC + G
PRACTICA DE CLASE
Hallar :
01. El 33 1/3% de 100.
a) 32 b) 40% c) 25%

d) 33 1/3 e) 35%
02. ¿El 10% de que número es 32?.
a) 320 b) 310 c) 420
d) 240 e) 150
a) 1200 b) 1400 c) 1120
d) 2470 e) 1536
a) 677 b) 108 c) 320
d) 249 e) 600
05. ¿De qué número es 48 el 3 1/5%?.
a) 2200 b) 1040 c) 1200
d) 1324 e) 1500
06. ¿De qué número es 82 el 5 1/8%?.
a) 1234 b) 1345 c) 1220
d) 1600 e) 1500
07. ¿De qué número es 20 el 10% de 25%?.
a) 200 b) 810 c) 800
d) 624 e) 715
08. ¿De qué número es 70 el 3 ½%?
a) 2000 b) 1000 c) 2010
d) 2400 e) 1500
09. ¿De qué número es 150 el 7 ½%?.
a) 2120 b) 1070 c) 2000
d) 1240 e) 1450
10. ¿El 20% del 25% de 500 de qué número es
400?.
a) 12 b) 10 c) 20
d) 24 e) 16
11. ¿De qué número es el 25% de 6000, el 10%?.
a) 15000 b) 10000 c) 20000
d) 12400 e) 15890
12. ¿Qué porcentaje de 95 es 30,4?
a) 32% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 45%
13. ¿Qué porcentaje de 1320 es 3.3?
a) 2,5% b) 0,25% c) 2%
d) 2,4% e) 25%
14. ¿Qué porcentaje de 1950 es 156?
a) 2% b) 1% c) 12%
d) 8% e) 5%
15.¿La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje
es de los ¾ de 3600?
a) 22% b) 17.78% c) 20%
d) 14% e) 15%
16. ¿Los 3/5 de los 4/3 de 800,qué porcentaje es
del 20% de la mitad de 100 000?
a) 2,8% b) 7,0% c) 6,4%
d) 2,5% e) 6,5%
17.¿Qué porcentaje de 18 es 0,045?
a) 0,2% b) 0,10% c) 2%
d) 0,24% e) 0,25%
18.¿Qué porcentaje de los ¾ del 60% de 400,es
la mitad de 60?.
a) 21% b) 10,67% c) 16,67%
d) 24% e) 15%
19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del doble
de uno?.
a) 25% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
20. ¿En una canasta tenia 240 manzanas he
comido 60 manzanas, que porcentaje me
sobra?
a) 52% b) 75% c) 12%
d) 24% e) 65%
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
Hallar :
01.El 20% de 900.
a) 210 b) 180 c) 200
d) 240 e) 150
02.El 12,5% de 4000.
a) 280 b) 810 c) 200
d) 240 e) 500
03.El 15% de 4800.
a) 720 b) 810 c) 920
d) 924 e) 715
04.El 12,5% del 10% de 2000.
a) 28 b) 50 c) 20
d) 24 e) 25
05.El 40% de la mitad de 12000.
a) 2000 b) 1000 c) 2090
d) 2400 e) 1500
06.3/4 % de 200 000.
a) 1200 b) 1000 c) 1120
d) 1500 e) 1235
07.El 33 1/3% de 200.
a) 33,3 b) 66,67 c) 27
d) 55,6 e) 65,67
08.¿El 10% de que número es 64?.
a) 200 b) 640 c) 620
d) 624 e) 615
09.¿El 25% de que número es 700?.
a) 2800 b) 1210 c) 1200
d) 1240 e) 1500
10.¿De qué número es 164 el 10 1/4%?.
a) 1200 b) 1000 c) 2000
d) 1600 e) 1500
11.De qué número es 40 el 20% de 50%?.
a) 820 b) 710 c) 200
d) 400 e) 150
12.¿El 20% del 25% de 1 000 de qué número es
400?.
a) 8 b) 10 c) 20
d) 24 e) 15
13.¿De qué número es el 50% de 12000, el
10%?.
a) 60000 b) 10000 c) 20000
d) 24000 e) 15000
a) 2% b) 1% c) 3%
d) 4% e) 5%
a) 32% b) 23% c) 20%
d) 24% e) 15%
a) 0,2% b) 0,10% c) 20%
d) 0,24% e) 0,25%

a) 8% b) 10% c) 2%
d) 4% e) 5%
18.¿La mitad de los 2/5 de 4800, qué porcentaje
es de los ¾ de 7200?
a) 2,78% b) 10,78% c) 20%
d) 24% e) 17,78%
19.¿La mitad de uno qué porcentaje es del triple
de uno?.
a) 20,67% b) 10,67% c) 20%
d) 16,67% e) 15,67%
20.¿En una canasta tenia 480 naranjas he comido
120 naranjas, que porcentaje me sobra?
a) 75% b) 70% c) 90%
d) 74% e) 65%
TAREA DOMICILIARIA
01. El 25% de 450.
a) 72,5 b) 125,8 c) 112,5
d) 52,8 e) N.a.
02. El 6,25% de 2000.
a) 172 b) 125 c) 168
d) 148 e) N.a.
03. El 7,5% de 2400.
a) 180 b) 128 c) 186
d) 370 e) N.a.
04. Hallar el 56% de 3000.
a) 72 b) 128 c) 1680
d) 528 e) N.a.
05.En una reunión el 40% del total de personas
son hombres. Si se retira la mitad de estos.
¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.
a) 20% b) 30% c) 25%
d) 15% e) 10%
06.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?.
a) 2% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
07.Si el 40% de los que votan a favor de una
moción es el 60% de los que votan en contra.
¿Qué parte de los votantes aprueban la
moción?.
a) 4/5 b) 3/5 c) 2/3
d) 1/2 e) 1/10
08.Si gastara el 40% del dinero que tengo y
ganara el 38% de lo que quedaría, perdería S/.
5160. ¿Cuánto tengo?.
a) 45000 b) 20000 c) 25000
d) 30000 e) 35000
09. Una persona gasta el 20% de lo que tiene,
luego el 30% de lo que le queda y por último
gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con
tan sólo 33600 unidades monetarias. ¿Cuánto
tenía al principio?
a) 85 000 b) 87 000 c) 89 500
d) 96 000 e) 100 000
10.¿Qué porcentaje de 1/4 es 1/5 ?.
a) 60% b) 80% c) 40%
d) 20% e) 125%
DESCUENTOS Y
AUMENTOS
Idea de Incremento o Disminución
porcentual
El incremento o disminución porcentual de una
determinada cantidad, siempre se dará sobre el
100% de la misma.
Ejemplos:
1. X incrementado en su 20% es igual a:
120% de X =
100
120
. X
2. X incrementado en su 15% es igual a:
115% de X =
100
115
. X
3. M disminuido en su 20% es igual a:
80% de M =
100
80
. M
4. M disminuido en su 15% es igual a:
85% de M =
100
85
. M
5. La expresión 150%.Y representa un
incremento de Y en su 50%.
6. La expresión 70%.K representa una
disminución de K en su 30%.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Calcular el porcentaje de descuento único,
equivalente a dos descuentos sucesivos del
20% más 30%.
Solución:
Si asumimos que N es la cantidad (100% de
N), sobre la cual se aplica el descuento del
20%; obtendremos:
80% de N =
100
80
. N
Aplicando sobre la cantidad resultante, el
descuento del 30% se obtendrá el 70% de la
misma; así:
= 70% del 80% de N
=
100
70
.
100
80
. N
=
100
56
. N
Observe que la cantidad resultante
100
56
. N
también se puede representar como 56%.N,
que es una expresión que implica una
disminución (descuento) del 44% de N.
Por lo tanto:
Descuento único equivalente = 44%
Forma Práctica:
= (100 - 20)% . (100 - 30)% . N
= 80% . 70% . N
=
100
80
.
100
70
. N
=
100
56
.N
= 56% . N
Descuento único = (100 - 56)% . N
= 44%. N
02.Calcular el porcentaje de descuento único,
10% más 20%.
Solución:
Del enunciado del problema tenemos:
= (100 - 10)% . (100 - 20)% . N
= 90% . 80% . N
=
100
90
.
100
80
. N

=
100
72
. N
= 72% . N
Descuento único = (100 - 72)% . N
= 28%. N
03.Calcular el porcentaje de incremento único,
equivalente a dos aumentos sucesivos del
10% más 20%.
Solución:
Del enunciado del problema:
=(100+10)% . (100+20)% . N
= 110% . 120% . N
=
100
110
.
100
120
. N =
100
132
. N
= 132% . N
Aumento único = (132-100)% . N
= 32%. N
04.Calcular el porcentaje de incremento o
descuento único, equivalente a un aumento
del 10% seguido de un descuento del 20%.
Solución:
Del enunciado del problema:
= (100+10)% . (100 - 20)% . N
= 110% . 80% . N
=
100
110
.
100
80
. N =
100
88
. N
= 88% . N
Como la expresión resultante es menor del
100% se deduce, que N ha disminuido
(Descuento).
Descuento único = (100-88)% . N
Descuento único = 12%. N
05.Dos artefactos se han vendido en 297 cada
uno. Si en el primero se ganó el 10% y en el
segundo se perdió el 10%. ¿Se perdió o se
ganó?
Solución:
En el primero En el segundo
297 – 110% 297 – 90%
x – 100% y – 100%
⇒ x = 270 ⇒ y = 330
Costo total = x + y = 270 + 330 = 600
Venta total = (297) (2) = 594
Ganancia = PV – PC
Ganancia = 594 – 600 = - 6
∴ Luego pierde 6
06.Dos descuentos sucesivos de 40% y 20%
equivale a un único descuento de:
Solución:
Sea 100 la cantidad de la que se descuenta el
40%
Luego queda 60 de la cantidad original.
60 – 100 %
x – 20 %
x = 12
100
)20)(60(
=
Luego queda 60 – 12 = 48
Si por 100 queda 48 lo descontado es de 100
– 48=52, por lo tanto el descuento es de 52%.
07.Si la longitud del radio de una circunferencia
aumenta en 40%. ¿En qué porcentaje
aumenta el área del círculo?
Solución:
Área original: A = π r2
Nueva área: A = π (r + 0.40r)2
⇒ A = π (1.40r)2
⇒ A = π (1.96)r2
Aumento del área: 1.96π r2
- πr2
= 0.96π r2
∴ el área aumenta en un 96%
08. Si las dimensiones de una caja rectangular
son: largo = 3x, ancho= 2x y alto = x; ¿En
qué porcentaje debe disminuir su alto para
que el volumen no se altere, sabiendo que su
largo aumenta en 550% y el ancho en 40%?.
Solución:
Para este tipo de problemas, tenemos que
tener en cuenta que en un momento inicial
cuando sus elementos no varían tampoco
varía su volumen; es decir están
representados por su 100%.
Entonces analizamos que:
Su nuevo largo será el 150%.
Su nuevo ancho será el 140%.
Su volumen sigue siendo el 100%.
Recordando que el volumen se calcula así:
V = (largo)(ancho) (alto); reemplazando:
(100%) =(150%)(140%)(alto); reduciendo
100 % = (150/ 100) (140/100) ( alto)
100% = 2,1 (alto)
47,6% = alto
Entonces el alto debe disminuir en:
100% - 47,6 % = 52,3%.
09. Un comerciante compra cierta mercadería y
vende 1/3 ganando el 14%, la mitad ganando
el 13% y para que la ganancia total sea el
14,5% vende el resto a S/. 2 800. ¿Cuánto le
costó la mercadería?.
Solución:
Vende:
Cantidad Ganancia
1/3 14% (PC /3)
1/2 13% (PC /2)
[1- (1/3+1/2)] X% (PC /6)
Sumando:
14%(PC/3)+13% (PC/2)+x%(PC/6)=14,5%
PC
Entonces: x = 20.
Luego tenemos que:
120%( PC /6) = 2800
PC = S/. 14 000.
PRACTICA DE CLASE
01. Incrementar N en 30% y al resultado quitarle
su 20%. Al final tendríamos:
a) 180%N b) 104%N c) 102%N
d) 100%N e) N. a.
02. Disminuir N en 20% y al resultado
incrementarlo en su 20%. Al final tendríamos.
a) 100%.N b) 104%.N c) 102%.N
d) 96%.N e) No varia.
equivalen a un único del:
a) 154% b) 41% c)50%
d) 46% e) 48%
equivalen a un único del:
a) 47% b) 46% c) 45%
d) 44% e) 43%
05.Tres descuentos sucesivos de 10%, 40% y
20% equivalen a un único del:
a) 70% b) 56,8% c) 60%
d) 67% e) 65%
06.¿A qué porcentaje único de aumento
equivalen tres aumentos sucesivos del 10%,
20% y 25%?
a) 50% b) 55% c) 60%

d) 65% e) 70%
07.¿A qué porcentaje único de aumento
equivalen tres aumentos sucesivos del 10%,
10% y 30%?
a) 60% b) 55% c) 60%
d) 157% e) 57,3%
08.Un incremento del 15%, seguido por un
descuento del 15%. ¿A qué único descuento o
incremento equivale?
a) No varía b) 97,5% c) 2,5%
d) 30% e) N. a.
09.Un incremento del 25%, seguido por un
descuento del 30%. ¿A qué único descuento o
incremento equivale?
a) 55% b) 5% c) 87,5%
d) 12,5% e) 43%
10.En una tienda se ofrecen 3 tipos de
descuentos para escoger, uno del 30%, otro
10% y 22% ó el equivalente a tres descuentos
sucesivos del 5%, 20% y 10%. ¿Cuál es el
más conveniente?
a) Son iguales b) el primero
c) el segundo d) El tercero
e) N. a.
11.Hallar el descuento único que reemplace a
dos descuentos sucesivos de 15% y 20%?.
a) 30% b) 35% c) 32%
d) 15% e) 10%
12.El largo de un rectángulo se disminuye en un
20% de su longitud. ¿En cuánto tendrá que
aumentarse el valor de la longitud del ancho,
para que el área permanezca invariable?
a) 40% b) 50% c) 35%
d) 30% e) 25%
13.El largo de un rectángulo aumenta en 20% y
el ancho disminuye en 20%, entonces el área
del rectángulo varía en 160 m2
. ¿Cuál era el
área inicial?.
a) 200 m2
b) 4000 m2
c) 400 m2
d) 1600 m2
e) 2000 m2
14.Un círculo disminuye en 36% de su área. ¿En
qué porcentaje habrá disminuido su radio?.
a) 60% b) 40% c) 20%
d) 80% e) N.a.
15.Pinocho vendió 2 bicicletas en S/. 540, cada
una. En la primera ganó el 20% y en la otra
perdió el 20%. ¿Ganó o perdió y cuánto?.
a) No gana ni pierde
b) Ganó 90 c) Perdió 45
d) Perdió 90 e) Ganó 45
16. Un trabajador observa que su salario ha sido
descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el
porcentaje de aumento para que reciba su
salario?.
a) 20% b) 25% c) 30%
d) 22% e) 27,5%
17. Tres descuentos sucesivos del 30%, 40% y
10% equivalen a un descuento único de:
a) 37,8% b) 42,6% c) 57,4%
d) 62,2% e) N.a.
18.¿Cómo varía el área de un rectángulo, si su
largo se aumenta en un 60% y el ancho
disminuye en 40%?
a) Aumenta en 10%
b) Disminuye en 4%
c) Aumenta en 12%
d) Disminuye en 8%
e) N.a.
19.Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4%
equivalen a uno solo de:
a) 0,7% b) 100,7012%
c) 7,012 % d) 0,7012%
e) 107,01 %
20.En una tienda se ofrecen 3 tipos de
descuento: un descuento del 30%, dos
descuentos sucesivos del 10 y 22%, ó 3
descuentos sucesivos del 5, 20 y 10%.
¿Cuál es el más conveniente?
a) El primero b) El segundo
c) El tercero d) Los 3 son iguales
e)El primero y el tercero son igualmente
convenientes.
01.Hallar el descuento único equivalente a los
descuentos sucesivos de 20%, 25%, 40% y
10%
a) 95% b) 75% c) 64,8%
d) 67,6% e) N.a.
02.El precio de lista de un artefacto eléctrico es
S/. 400000 si se le hace 3 descuentos
sucesivos del 10%, 40% y 60% ¿Con qué
precio sale a la venta?
a) S/. 240000 b) S/. 172800
c) S/. 216000 d) S/. 172800
e) N.a.
03.El precio de costo de un artículo es el 75%
del precio de venta. ¿Qué porcentaje de la
ganancia es el precio de venta?
a) 25% b) 75% c) 2005
d) 400% e) 500%
04.Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4%
equivalen a uno solo de:
a) 0,7 % b) 10,7012 %
c) 7,012 % d) 0,7012 %
e) 107,01 %
05.Hallar el descuento único que reemplace a
dos descuentos sucesivos de 15% y 20%
a) 30 % b) 35 % c) 32 %
d) 15 % e) 10 %
06.Tres descuentos sucesivos de 30%, 40% y
10% equivalen a un descuento único de:
a) 37,8% b) 42,6% c) 57,4%
d) 62,2% e) N.a.
07.¿Cuánto es el 20% más del 20% menos de
60?
a) 62 b) 64 c) 57,6
d) 80 e) 2,4
08.Si el 125% de x es igual al 80% de (x+a)
¿Qué porcentaje de x es a?
a) 11,25% b) 45% c) 22,5%
d) 56,25% e) 67,5%
09.Una sortija se vende en 250 soles; ganando el
25% del costo.¿Cuál es el costo?
a) 200 b) 204 c) 207
d) 205 e) 202
10.Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la
nueva cantidad se le disminuye también su
20%. Se puede afirmar con respecto a la
cantidad inicial que:
a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%
c) Disminuye 4% d) No varía
e) Disminuye 8%
11.Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara
el 28% de lo que me quedaría, perdería
S/.156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?
a) 3500 b) 2000 c) 1500
d) 1560 e) 1800

12.Si el lado de un triángulo equilátero
disminuye en un 50%. ¿En cuánto disminuye
su área?
a) 25% b) 50% c) 75%
d) 85% e) 65%
13.Si el radio de un círculo disminuye en su
10%. ¿En cuánto disminuye su área?
a) 81% b) 21% c) 29%
d) 19% e) 39%
14.La base de un rectángulo disminuye en su
30% y la altura aumenta en su mitad. ¿Qué
pasó con el área?
a) Aumenta 5%b) Disminuye 5%
c) Aumenta 10% d) Disminuye 10%
e) Aumento 105%
15.Para fijar el precio de un artículo se aumento
su costo en el 50% del 40% de dicho precio.
Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de
este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del
costo se ganó?
a) 10% b) 12% c) 16%
d) 8% e) 16%
16.Una persona gasta el 20% de lo que tiene,
luego el 30% de lo que queda y por último
gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con
tan sólo 33 60 u.m. ¿Cuánto tenía al
principio?
a) 85 00 b) 87 00 c) 89 50
d) 96 00 e) 100 00
17.Un comerciante compra un artículo de 8
000 ¿Cuál debe ser el precio a qué debe
fijarlo para qué rebajando el 20% de este
precio aún gane el 30% del precio de costo?
a) S/. 11 100 b) S/. 12 250 c) S/. 13 000
c) S/. 13 400 d) S/. 13 350
18. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la
20% se puede afirmar con respecto a la
a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%
c) No varía d) Disminuye 4%
e) Disminuye 8%
19.Si a una cantidad se le aumenta su 40% y a la
40%. Se puede afirmar con respecto a la
a) Aumenta 10% b)Disminuye 16%
c) Disminuye 4% d) No varía
e) Disminuye 8%
20.Si el largo y el ancho de un rectángulo
aumenta en 20% y 25% respectivamente. Su
área aumenta en 2400 m2
. Hallar el área
inicial del rectángulo.
a) 3600 m2
b) 4800 m2
c) 3200 m2
d) 4500 m2
e) 7200 m2
TAREA DOMICILIARIA
01.Al sueldo de un empleado se le hace un
aumento del 20% al comenzar el año, y en el
mes de Julio un aumento del 10% sobre el
total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año
anterior recibirá en agosto?.
a) 128% b) 130% c) 103%
d) 125% e) 132%
02.Dos aumentos sucesivos del 20% y 20%
respectivamente, equivalen a uno solo de:
a) 40% c) 20% c) 36%
d) 38% e) N.a.
03.Dos Descuentos sucesivos del 20% y 80%
respectivamente, equivale a uno solo de:
a) 100% c) 60% c) 40%
d) 84% e) N.a.
04.Si gastara el 30% del dinero que tengo y
ganara el 28% de lo que me quedaría perdería
S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?.
a) 3500 b) 2000 c) 1500
d) 1560 e) 1800
05.Un objeto se ofrece con el 20% de recargo y
luego se descuenta el 20% por factura. El
descuento es:
a) 0% b) 5 c) 6
d) 4 e) 10
06.Se estima que una mezcladora de concreto
sufre una depreciación de 10% por cada año
de uso, respecto al precio que tuvo al
comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su
precio es de S/. 131 220, entonces el costo
original de la mezcladora fue de:
a) S/. 200 000 b) S/. 150 000
c) S/. 250 000 d) S/. 300 000
e) S/. 170 000
07.Un comerciante vende dos artículos a S/. 480
cada uno. Si en uno de ellos ganó el 25% del
costo y en el otro perdió el 20% de su costo.
Al final, ¿el comerciante ganó o perdió y
cuánto?.
a) Ganó S/. 24 b) Perdió S/. 24
c) Ganó S/. 36 d) Perdió S/. 36
e) No se gana ni se pierde.
08.Si una parte de una mercancía se vende con
un 8% de pérdida y el resto se vende ganando
un 7%. ¿Qué parte del total se vendió en la
primera venta si el total se ganó 4%?
a) 2/5 b) 1/5 c) 1/4
d) 2/3 e) 1/8
09.Rocío tiene un artículo que vale 1 000 soles y
se lo vende a Liz con una ganancia de 10%.
Liz revende el artículo a Rocío con una
pérdida del 10% siendo así:
a) Rocío no gana nada.
b) Rocío gana 110 soles.
c) Rocío pierde 90 soles.
d) Rocío gana 100 soles.
e) Rocío pierde 100 soles
10.¿Cuál es el porcentaje único de descuento que
equivale a tres descuentos sucesivos de 10, 15
y 20%?
a) 36,6% b) 38,8 c) 42,2
d) 45,5 e) 49,9
TEORÍA DE
La teoría de Exponentes se basa
fundamentalmente en las propiedades de la
Potenciación y de la Radiación, por lo tanto, para
una mejor comprensión definiremos las
operaciones de potenciación y luego
explicaremos cada una de sus propiedades.
LA POTENCIACIÓN:
Es una operación que abrevia la multiplicación:
n
vecesn
a)a)...(a)(a)(a( =  
Donde : a es la base
n es el exponente
an
es la potencia o resultado.
Ejemplos:
a) 32
= 3 x 3 = 9
b)
81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4
=























=






c) ( 0,1 )3
= ( 0,1 ) ( 0,1 ) ( 0,1 ) = 0,001
LA RADICACIÓN:
Es una operación inversa a la potenciación:
a
n
= b
raíz enésima
signo
radical
radicando o cantidad sub radical
indice del
radical
abba nn
=⇔=
Ejemplos :
a) 255525 5
=⇔=
b) 51288512 33
=⇔=
c) 0016.0)2.0(2.00016.0 44
=⇔=
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA
RADICACIÓN
1. Producto de bases iguales
Es igual a otra potencia de la misma base,
cuyo exponente resulta de sumar los
exponentes iniciales. Su forma general es:
am
. an
= a m + n
Ejemplos:
a) 23
. 25
= 2 3+ 5
= 28
b) ( - 5 )2
( - 5 )4
= ( - 5 ) 2+ 4
= 5 6
c)
106464
5
1
5
1
5
1
5
1






=





=











+
2. Cociente de bases iguales
Es igual a otra potencia de la misma base,
cuyo exponente resulta de restar ambos
exponentes. Su forma general es:
nm
n
m
a
a
a −
=
Ejemplos:
a) 2555
5
5 224
2
4
=== −
b)
1728)12()12(
)12(
)12( 347
4
7
−=−=−=
−
− −
c) 6425,025,0
25,0
25,0 385
8
5
=== −−
3. Potencia de un producto
Es igual al producto de sus factores, cada uno
afectados con el mismo exponente. Su forma
general es:
( a . b )n
= an
. bn
Ejemplos:
a) ( 5 x 3 )2
= 52
x 32
b) ( 7 . 5 ) 3
= 73
( 5 ) 3
c) ( )
4
4
4
5
2
8
5
2
.8 





=





d)
( ) ( )232
23
53.)25,0(53x25,0 =
4. Potencia de un cociente
Es igual al cociente de sus factores, cada uno
afectados con el mismo exponente. Su forma
general es:
n
nn
b
a
b
a
=





Ejemplos:
a)
512
343
8
7
8
7
3
33
==





b)
( )
4
44
11
3
11
3
=








c)
( )23
2
2
3
9
)5,2(
9
5,2
=








d)
( )
( ) 44
44
4
44
)2(11
)5(3
211
53
211
53
==








5. Potencia de potencias
Es igual a una potencia de la misma base,
cuyos exponentes se multiplican. Su forma
general es:
( a m
) n
= a m . n
Ejemplos:
a) ( )[ ] ( ) 63x232
)2,7(2,72,7 ==
b)
15
3
5
3
1
3
1






=














c)
2
3
3.
4
1
.2
3
4
1
2
2
7
2
7
2
7
−
−−








=








=
































NOTA:
Cuando se presentan varios exponentes, esta
propiedad recibe el nombre de cadena de
potencia, cuya forma general se representa
así:
[ ] zyxn
z
yxn
aa =












6. Potencia de exponentes:
Presenta la siguiente forma:
a
n
x
y
La solución de este caso especial, se efectúa
en forma progresiva de arriba hacia abajo tal
como indica la flecha.
Ejemplos:
M = 2
2
2
2
8
0
= 2
2
2
2
8
0
= 2
2
2
2
1
= 2
2
2
2
= 2
2
4
= 2
16
a)
5
4
2
- 1
= 5
4
2
- 1
= 5
4
1/2
= 5 = 5
2
= 25b)
4
c) Hallar "E":
1aa
aE
+
= , si aa
= 2
Transformamos la expresión así:
[ ] 4E42aaE 2
aaaaa.a
=⇒====
7. Exponente nulo
Todo término con exponente cero, es igual a
la unidad, tal que la base sea diferente de
cero. Su forma general es: a0
= 1
Ejemplos :

a) 70
= 1
b) ( 3 5 )0
= 1
c) 12
2
3
0
3
=





d) Comprobando esta propiedad se tiene:
mm
m
m
a
a
a −=
1 = a0
⇒ a0
= 1
8. Exponente negativo
Toda base con exponente negativo es igual a
su recíproco o inverso con exponente
positivo. Su forma general es:
nn
n
n
a
b
b
a
:también
a
a 





=





=
−
− 1
Ejemplos:
a)
9
1
3
1
3
2
2
==−
b)
5
5
m
1
m =−
c)
64
125
4
5
4
5
5
4
3
333
==





=





−
Comprobando esta propiedad tenemos:
n0
n
0
a
a
a −
=
↓
n
nn
n
a
1
aa
a
1
=⇒= −−
9. Exponentes fraccionarios
Todo término con exponente fraccionario es
equivalente a un radical de la siguiente forma:
n mn
m
aa =
Ejemplo :
a) 32
3
55 =
b)
222646464 6
6
6 666 16
1
=====
c)
aaa 5
5
5 5
==
d) 55
1
10
2
2.0
7777 ===
sabemos que:
52.0
77
5
1
10
2
2,0 =⇒==
10.Raíz de un producto
Es igual al producto de cada factor bajo el
mismo radical siendo su forma general la
siguiente:
nnn
b.ab.a =
Ejemplo :
a) 727474 == xx
b) 333
512512 xx =
c) 555
25
7
3
2
25
7
3
2
xx =
Comprobando esta propiedad, en su forma
general tenemos:
nn )b.a(b.a
1
=
Luego por potencia de un producto, se
transforma en:
nn b.a
11
Finalmente por exponente fraccionario
tenemos:
nnnnn
b.ab.ab.a =⇒
11.Raíz de un cociente
Es igual al cociente de cada término bajo el
mismo radical cuya forma general es:
n
n
n
b
a
b
a
=
Ejemplos :
a)
3
2
3
2
=
b)
3
3
3
10
7
10
7
=
c) 55
5
5
27
1
81
3
81
3
==
d)
5,0
4,0
25,0
16,0
25,0
16,0
==
12.Raíz de Raíz
Es igual al radicando cuyo índice del radical
resultante es el producto de los índices dados.
Su forma general es:
p.n.mm n p
aa =
Ejemplos :
a)
30
1
8también
30
8
2.5.3
8
3 5 p
a ==
b)
16
1
162.2.2.2
5también555 ==
c)
( ) 30
1
302.3.55 3 2
5/1
3/12/1
44444 ====



13.Potencia de un radical
Esta propiedad es una aplicación del
exponente fraccionario cuya forma general es:
n ma
m
n
a =





Ejemplos :
a) 3 25
2
3 5 =





b) 2232
3
2 ==




c) 1642
4
5 52
5 432 ==








=
Comprobando esta propiedad tenemos:
n mn
m
n m
m
n
1m
n
aaaaa =→=










=




PROBLEMAS RESUELTOS
01.Simplifica la siguiente expresión:
mm2
3:3 −
Solución
Aplicando las propiedades tenemos por la raíz
de un cociente.
m
m2
3
3
M
+
=
Luego aplicamos la propiedad del exponente
fraccionario:

2
m
2
m2
3
3
M
+
=
Finalmente aplicamos la propiedad de
Cociente de bases iguales.
3333M 2
2
2
mm2
2
m
2
m2
====
−+
−
+
⇒ M = 3
02.Halla el doble de E, si:
E = ( 2m + n
)- 1
( 2m + n – 1
)
Solución:
Aplicando la propiedad del exponente
fraccionario al primer factor, se tiene:
( ) nm
1nm
1nm
nm
2
2
E2
2
1
E
+
−+
−+
+
=⇒





=
Luego, por el cociente de bases iguales y
simplificando los exponentes se obtiene:
E = 2m + n – 1 – m – n
E = 2 -1
Por el exponente negativo resulta:
E = 2 – 1
= 1/2
Finalmente, como se trata de obtener el doble
de esta expresión:
1
2
1
2E =





=
03.Calcula el valor de M, si:
33 4
3.33M =
Solución:
Resolviendo el primer factor según la
propiedad 11 (raíz de raíz) y 8 (exponente
fraccionario) tenemos:
36 4
3.33M =
3126 4 3.3.3M =
2
3
12
1
6
4
3.3.3M =
Luego por el producto de bases iguales,
resulta:
4
9
3M2
3
12
1
6
4
3M =⇒
++
=
04.Simplifica:
3ab3ab.b3a3b6a
Solución:
Este ejercicio a diferencia del anterior
empezaremos eliminando los radicales y
agrupando bases iguales, tenemos:
2
3
2
1
3
5
2
1
2
3
36
baabbaba=
4
2
9
2
3
10
2
7
2
15
2
9
2
3
5
2
7
2
15
babababa ==
4
1
2
9
2
310
1
2
7
2
15
baba
















=
Aplicando la potencia de potencia, resulta:
8
9
8
3
20
7
20
15
ba.ba=
40
59
8
9
8
9
8
3
20
7
4
3
baba.ba ==
05.Halla la mitad de la expresión P, si:
3
3
9
3
132
9
8
3
2
5
4
8P
−










−−−














−





−





=
Solución:
Resolviendo primeramente las operaciones
que se encuentran en la base (corchete)
tenemos:
132
8
9
2
3
4
5
8 





−





−





=
8
9
8
27
16
25
8 −−





=
)1....(8
8
64
8
9
8
27
2
25
==−−=
Luego simplificamos el exponente:
( ) )2(....
3
1
27
9
3
9
9
3
3
333
3
===








−
Por lo tanto la expresión P queda reducida
según ( 1 ) y ( 2 ) a:
( ) 2
3
83
1
8 ==
Finalmente, la mitad de P es:
1
2
2
2
P
==
06.Determinar el resultado de simplificar
R =
6n8y.8n15x
4)1n2y(5)2n3x(
−+
−+
Solución:
Teniendo en cuenta que:
1) n.man)ma( =
2) nma
na
ma −=
En el numerador efectuamos la potencia de
potencia:
R =
6n8y.8n15x
4n8y.10n15x
−+
−+
Tenemos potencia de la misma base en el
numerador y denominador.
R = 6n84n8y.8n1510n15x +−−−−+
R = 22
y.x
07.Determinar el resultado de simplificar:
S =
2n 3n3n 4n a aa.
a aa
+ ++ +
Solución:
Teniendo en cuenta que:
nma
m na =
(1) nma
m na =
(2) nma
na
ma −=
(3)
nmana.ma +=
En primer lugar eliminamos los radicales
S = 2n
3n
3n
4n
a
a
a.a
a
a +
+
+
+
Obsérvese que tenemos una división de dos
potencias de la misma base.
S =
2n3na3n4na
a.a
−−+−−+
S = aa
a.a
S = a2
a
08.Calcular el resultado de simplificar:
P = 3
xxxx

Solución:
Recordando que:
3
b6a
3
b2a =
Vamos a introducir la “x” al siguiente radical.
P = 3
xxx.3x
P = 6
xx4x
Nuevamente repetimos la misma operación.
P = 6
xx.8x
P = 12
x.18x
12
x9x =
P = 24 19x
09. Determinar el resultado de simplificar:
1
329
129
16.64S
−
−−−
−−−
















=
Solución:
Recordando que
1)
n4
1n4 =−
2)
2
112 =−
S = 13/143/19
)16).(64( −−−−−
Transformando lo que está con línea
punteada:
2
1
4
1
2/14
12/14)1 ===−
3
1
9
1
2/19
12/19)2 ===−
( ) ( ) 12/13/1
16.64S
−−−
=
2/116.
3
1
64
1
S =
16
3
64
1
S =
4.
4
1
S =
S = 1
10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a >
2b.
b2a
1ab7
1ab7
.
a7
a5
.
b235
1a27
E −
+
−+
=
Solución:
Expresando b2b2b2
5.735 = , además
teniendo en cuenta que tenemos a la vista la
división de 2 radicales del mismo índice:
b2a
1ab7
1ab7
a7
a5
.
b25.b27
1a27
E
−
+
−+
=
Efectuando las operaciones con las potencias
de la misma base:
E=
b2a 2b2a1a2
75ab27
− −−+
⋅−−
b2a 1b2a1b2a
7.5.7E
− −−+−
=
E = 35
PRACTICA DE CLASE
Indicar el resultado de efectuar:
01.
2
32
)4(
)2(.)3(
−
−
= ..................................
02. ( )
3/1
3/1
2
1
.16 





−
= ..................................
03. ( ) ( ) mnn2m
93
−
= ..................................
04. n
2
n
9
= ..................................
05.
1n
2n
4
−





 = ..................................
06. .4.4
n3 nn3 n
= ...................................
07.
m 2m2
m 1m4
+
+
= ..................................
08.
( )2
n
n
n1n
9
)3( +
= ..................................
09.
6
2
3
xx














= ..................................
10.
n 1n3 3x
+ = ..................................
11.Cuál es el resultado de simplificar:
n7.2
1n72n7 +−+
a) 21 b) 18 c)49
d) 7 e) –1/14
12.Indicar el resultado de simplificar:
n)2(
n4 n)2(x
−
−










a) x+1 b) x c) x
d)
x
x
e)
x
x4
13.Marcar el resultado de efectuar:
n8n32
n16
n
n64
2
+
+
a) 1/4 b) 2 c) n
2
d) n 2 e) 1
14. Calcular el resultado de simplificar:
)2(2
)2(22
3n
n4n
+
+
−
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 7/8 e) 1/8
15.Determinar el resultado de simplificar:
2
323
432
3
432
323
)yx(
)yx(
.
)yx(
)yx(
















−
−
−
−
−
a) 105
yx
1
b) 6
xy
1
c) 3
y
x
d)
3
xy
1






e)
5
5
xy
1









16. Cual es el equivalente de la expresión
n3
2n
n22n
n4
a
a
+
+
a) a b) 2
a c) n
a
d) n
a e) 1
17.Simplifica:
( ){ }
5/4
2/1
5
3 




 −
a) 3 b) 1/3 c) - 1/3
d) - 3 e) N.a.
18.Halla el valor de E, si:
1
2.0 3 5
2
1
8E
−














=
a) 3 b) - 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
19.Simplifica la expresión:
( ){ }
2/1
3/14968
baaM
−
−



=
a) ab b) b4
c) b6
d) a3
b6
e) N.a.
20.Calcular el valor de A:
6
1
a2
a2 a4
nn
nn
A =
a) n b) 2n c) n2
d) nn e) N.a.
01.Calcular el valor de “k”
( )
124
129
129
129
162.06427125k
−−−
−−−
−−−
−−−
+++=
a) 15 b) 21 c) 5/6
d) 18 e) N.a.
02.Simplificar:
n
nnn
nnnnnn
cba
cbbaca
Q
−−−
++
++
=
a) a + b + c b) an
+ bn
+ cn
c) 1 d) abc
e) N.a.
03.Indicar el valor que se obtiene al efectuar:
1a
a13a15
1a31a5a
2a222a4
1a20 −
−+−
−+−
+
+++
+
a) 10 b) 15a
c) 20
d) 1 e) N.a.
04.Calcular el valor de “R”, si:
3/2
3
2
2125,0R
−








=
a) 2 b) 64 c) 5
d) 125 e) N.a.
05.Calcular el valor de “S”:
S =
124964
−−−
a) 8b) 4 c) 4 2
d) 2e) N.a.
06.Efectuar:
E =
16
1/3
-6
5
-1/40
1/2
a) 8b) 4 c) 2
d) 2e) N.a.
07.Simplificar:
2
22
22
n
n15n25
n6n10
−
−
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) 2/5
08.Calcular:
M = 81
- 16
- 32
- 5
- 1
a) 1/9 b) 2 c) - 3
d) 4 e) 1/3
09.Efectúa:
P = 64
- 9
- 2
- 4
0
a) 4 b) 2 c) 1
d) 1/2 e) 1/4
10.Reducir:
26 1226 326 226
x...x.x.xE =
a) x5
b) x4
c) x3
d) x2
e) N.a.
11.Hallar:
E = 16
- 16
- 3
- 8
- 27
- 6
0
a) 1/2 b) - 1/2 c) 2
d) – 2 e) 1
12.Hallar el valor de E, si:
6
2
3
5
7
7
5
E
−−




















=
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8e) N.a.
13.Calcular la octava parte de la expresión P, si
sabemos que:




 −




−+
=
1n33
n333n3
P
a) 24 b) 16 c) 4
d) 3e) N.a.
14.Efectúa:
6
0
5
4
)16(5M
−
−
=
a) 5b) 10 c) 15
d) 20 e) N.a.
15.Halla el valor de la expresión:
1111
2
3
4
1
2
1
8
1
M
−−−−




















−





+





=
a) 2 b) 4 c) 6
d) 12 e) N.a.
16.Si 2xx
x
= , calcula:

X
x
x + x
x + x
x
M =
a) 2b) 4 c) 8
d) 16 e) N.a.
17.Calcula el valor de :
E = 16
- 4
- 2
- 1
- 3
a) 64 b) 32 c) 16
d) 4 e) N.a.
18.Resuelve la expresión:
2
1
n
1n
8
1
3
2.3
E 













=
−
a) 1 b) 3 c) 6
d) 18 e) N.a.
19.Calcula el valor de M, si:
)1n4(4
)n4(43n4
M
−
−+
=
a) 32 b) 48 c) 60
d) 64 e) N.a.
20.¿Cuánto se debe aumentar a la expresión:
0
53
2
5
3


















−−
para que el resultado sea
3
5
a)
5
3
b)
3
5
c)
3
5
−
d) 5 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Simplifica:
281.654.58
4)5.0.(1012.518
E =
a) 729 b) 81 c) 9
d) 3 e) 1/729
02.Efectúa:
2.0
64
3
x.x
x.x








a) x12
b) 12 5x c) 12
x
d) 3 5x e) N.a.
03.Reduce:
3
1
12
64
1
−
−−
















a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/4 e) N.a.
04.Calcular:
P=16
16
- 32
-125
-9
-4
-2
-1
a) 2 b) 3 c) 1
d) 5 e) 4
05.Efectuar:
6m8.9m4
8m16.7m2
++
++
a) 3 b) 5 c) 8
d) 10 e) 12
06.Reducir:
m m22m
2m
2
2
R
+
+
=
a) 1 b) 3 c) 5
d) 2 e) 7
07.Reducir:
ba
abab
baba
yx
yx−
−−
−−
+
+
a) x2
b) y c) xy
d) y2
e) x
08.Reducir:
2,0
81
23/5)27(3/2)27(E
−






+−−+−−=
a) 3/2 b) 2/3 c) 4/9
d) 9/4 e) 27/8
09.Operar:
S = 1
64
-2
-1
(-27)
-3
-1
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) N.a.
10.Señalar el resultado que se obtiene al
simplificar
2/1
12498
1
1249
2.125
−
−−−−
−
−−−


















a) 2 b) 2/3 c) 2/5
d) 4/5 e) N.a.

ECUACIONES
Son igualdades relativas cuyas incógnitas
aparecen como exponentes.
Se entiende por igualdad relativa a aquella que se
verifica para algunos valores que se le asigne a
sus incógnitas.
TÉCNICAS DE CONVERTIBILIDAD:
Las ecuaciones exponenciales se convierten en
ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas
que enseguida se enuncian y describen.
1° Conseguir una ecuación donde queden
igualadas dos potencias que tengan la misma
base.
yxaa yx
=⇒=
Ejemplo:
Resolver:
1x2x2
1x2x
3)3(
39
+−
+−
=
↓
=
1x4x2
33 +−
=
Entonces: 2x – 4 = x +1
x = 5
2° En aquellos casos en conde existan términos
de la forma kx
, se hace un cambio de variable
del tipo kx
= y, para obtener una ecuación
algebraica respecto a y.
Ejemplo:
Resolver: 2x
+ 2x+2
= 40
2x
+ 2x
.22
= 40
y + 4y = 40
y = 8
↓
2x
= 23
Entonces: x = 3
3° Existen casos en los que la ecuación se
consigue una igualdad en el exponente.
baba xx
=⇒=
En este caso se admitirá x=0, cuando a ≠b
Ejemplo:
Resolver: (2n)x
= (3 + n)x
Se deduce: 2n = 3 + n
Entonces: n = 3
IMPORTANTE:
Es necesario recordar estructuras que caracterizan
a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican
criterios de la teoría exponencial y ecuaciones
exponenciales.
1° Si:
pares"n"si,nx
impares"n"si,nx
nx n
n
nx
xx
±=
=
〈=

2° Reducir:
nEnE
n
nn
nn
=⇒=
∞
3° Reducir:
1nn n n
AE...AAAE
−
=⇒∞=
4° Reducir:
1nn n n
AE...:A:A:AE
+
=⇒∞=
5° Reducir:
∞++++= ...)1n(n)1n(nE
E = n + 1
PRACTICA DE CLASE
01.Efectuar:
4x 5x
813
− +
=
a) 6 b) 5 c) 4
d) 7 e) N.a.
02.Calcular el valor de “x”:
8022 3x1x
=+ ++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
03.Hallar el valor de “x”:
56222 2x1xx
=++ −−
a) 1 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.a.
04.Calcular el valor de “n”
1a.a
3 8nn
=+−
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
05.Calcular el valor de “x”
2
1
x
4
1
24 =






a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Efectuar:
x10x
25,08 =−
a) 3 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
07.Calcular el valor de “m”
39
1m4
=
−−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Efectuar:
125
65x35
1111 





=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09.Calcular el valor de “x”
1a.a.a
4 1x3 1xx
=+−−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Resolver:
6255 1x2
=−
a) 1 b) 2 c) 2,5
d) 3 e) 4
11.Determinar el valor de “n” en:
1a.a
3 2n5n2
=+−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12.Calcular el valor de “a” en:
69444 1a3a4a
=++ −−−
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
13.Calcular el valor de “b” en:
111333 3b1bb
=++ −−
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 8
14.Efectuar:
1x1x2
6416 −+
=
a) 5 b) -5 c) 3
d) –3 e) 8
15.Resolver:
8x
816 =
a) 5 b) 3 c) 2
d) 8 e) 6
16.Hallar “x”:

5x+1
+ 5x+2
+ 5x+3
+ 5x+4
= 780
a) 0 b) -1 c) 1
d) -2 e) -3
17.Hallar “a”:
3125)7a2( )7a2(
=− −
a) 4 b) 7 c) 6
d) 8 e) 3
18.Hallar “x”:
27 23x 3 322
aa.a.a =
a) 1 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 1/3
19.Hallar “n”:
n
455135 =
a) 1/2 b) 3/4 c) 5/2
d) 2/3 e) 3/2
20.Hallar “x”:
52222 2x3x1x
=−− −−+
a) 6 b) 4 c) -6
d) 8 e) 5
01.Resolver:
9x
3x =
a) 27 b) 9 c) 3
d) 16 e) 1/3
02.Hallar “a”
2a
2aa
=
a) 4 b) 2 c) 8
d) 2 e) 16
03.Hallar “x”:
4x
22xx
=
+
a) 2 b) 2 c)4
d) 4
2 e) 1/2
04.Calcular “x”:
3x
3x
=
a) 3 b) 3 c) 3
3
d) 5 e) N.a.
05.Efectuar:
3xxx
x3x
xx
xx =





−
a) 3
3 b) 3 c) 4
3
d) 5 e) N.a.
06.Efectuar:
3403333 3x2x1xx
=+++ +++
a) 2 b) 1 c) -1
d) - 2 e) 1/2
07.Calcular:
2,025
1
2
x
8
=
−
−
−
−
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) N.a.
08.Efectuar:
416
124x278
=
−−−−−−
a) 9 b) 6 c) 5
d) 2 e) 12
09.Resolver:
2
1
x
5,0x
=
a) 3 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) 8
10.Hallar el mayor valor de “a”:
a2aa12a1
16
81
3
2
.
27
8
−−−






=











a) 1 b) 6 c) 4
d) 8 e) 5
11.Hallar “x”
3
1
243
x
=
−
a) 0,25 b) 0,20 c) 0,50
d) 0,28 e) 0,35
12.Resolver:
28
1
x
9
=
−
−
a) 2 b) 3 c) – 1/2
d) 1/2 e) -2
13.Hallar “x”:
2x
5
x5 x12
5
322
+−
=
a) 1 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 2/3
14.Hallar “x”
1x5n
n5n5
5n5n
36
32
32 −−
−−
−−
=
+
+
a) 1,3 b) 2,5 c) 1,2
d) 1,5 e) 2,7
15.Hallar “n”
( )43
8n2
2a.aaa =








−
a) 12 b) 8 c) 10
d) 16 e) 9
TAREA DOMICILIARIA
01.Resolver:
1024
64
32
8 x
4 x
=
a) 20 b) 25 c) 16
d) 8 e) N.a.
02.Resolver:
4222.2 x
=
a) 9 b) 8 c) 8/9
d) 9/8 e) N.a.
03.Efectuar:
256
1
x
1
16
x
=
−
−
a) 2 b) 2 -4
c) 2 -16
d) 2 -8
e) N.a.
04.Calcular el valor de “n”:
5
55
553
3n
n9
=
+
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) N.a.
05.Efectuar:
1x42x8
42
+−
=
a) 1 b) 2 c) 9
d) 3 e) N.a.

SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01. B D C A
02. E C D A
03. A A C B
04. D D B C
05. D C B A
06. D D C E
07. B C E D
08. B D E A
09. A A E C
10. D C C C
11. D C A B
12. A C A A
13. A D A B
14. B A B D
15. A D B C
16. E E D --
17. A C A --
18. E D E --
19. D B C --
20. A B E --
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Raz. matematico

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