Óptica

1. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
La perturbación en el punto P0(x0,yo) es
∫∫
Σ
+
+
−
= 1
1
)
,
(
2
21
01
)
´
´
(
0
0
1
1
21
01
´
´
cos
)
,
( dy
dx
e
r
r
Ae
i
y
x
U
y
x
f
i
r
r
ik
λ
π
λ
α
y la aproximación de f(x1,y1) es
]
´
)
(
´
)
(
)
´
1
´
1
)(
[(
2
1
)
,
(
21
2
1
2
1
2
01
2
1
0
1
0
21
01
2
1
2
1
1
1
r
y
m
x
l
r
y
m
x
l
r
r
y
x
y
x
f
+
−
+
−
+
+
=

2. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Para resolver esta expresión se usará la relación:
)
sin(
)
cos( x
i
x
eix
+
=
y la expresión se escribirá como
∫∫
Σ
−
= 1
1
)
,
(
0
0
1
1
)
,
( dy
dx
e
B
y
x
U y
x
ikf
donde
21
01
)
´
´
(
´
´
cos 21
01
r
r
e
A
i
B
r
r
ik +
=
λ
α

3. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Entonces
)
(
)
,
( 0
0 iS
C
B
y
x
U +
−
=
y la intensidad
)
(
)
,
(
)
,
( 2
2
2
2
0
0
0
0 S
C
B
y
x
U
y
x
I +
=
=
donde
∫∫
Σ
= 1
1
1
1 )
,
(
cos dy
dx
y
x
kf
C ∫∫
Σ
= 1
1
1
1 )
,
(
sin dy
dx
y
x
kf
S
y

4. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Para simplificar el problema consideraremos el
siguiente arreglo
x
P0
δ
P2
z
δ
δ
cos
0
sin
2
0
2
0
2
0
=
=
=
=
=
=
n
n
m
m
l
l

5. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Así
dudv
v
u
D
S
y
dudv
v
u
D
C )
(
2
sin
)
(
2
cos 2
2
´
´
2
2
+
=
+
= ∫∫
∫∫ Σ
Σ
π
π
donde
δ
λ
λ
δ
λ
cos
)
´
1
´
1
(
2
1
)]
´
1
´
1
(
2
[
]
cos
)
´
1
´
1
(
2
[
21
01
2
1
21
01
2
2
1
2
21
01
2
r
r
D
y
y
r
r
v
x
r
r
u
+
=
+
=
+
=

6. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Usando las identidades
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
sin
sin
cos
cos
)
cos(
sin
cos
cos
sin
)
sin(
−
=
+
+
=
+
se tiene
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
Σ
Σ
Σ
Σ
+
=
−
=
´
2
2
´
2
2
´
2
2
´
2
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
dudv
v
u
dudv
v
u
D
S
dudv
v
u
dudv
v
u
D
C
π
π
π
π
π
π
π
π

7. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Si Σ´, el área de integración, permite separar las
integrales en u y v, por ejemplo en el caso de un
rectángulo de lados 2a y 2b, paralelos a u y v:
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+
=
−
=
a b
a b
a b
a b
dv
v
du
u
dv
v
du
u
D
S
dv
v
du
u
dv
v
du
u
D
C
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
2
2
sin
2
cos
4
2
cos
2
sin
4
2
cos
2
cos
4
2
cos
2
cos
4
π
π
π
π
π
π
π
π

8. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Que se pueden expresar como
∫
∫ =
=
−
=
−
=
x
x
dt
t
x
FresnelC
y
dt
t
x
FresnelS
donde
b
FresnelS
a
FresnelC
b
FresnelC
a
FresnelS
D
S
b
FresnelS
a
FresnelS
b
FresnelC
a
FresnelC
D
C
0
2
0
2
2
cos
)
(
2
sin
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
4
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
4
π
π

9. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Espiral de Cornú

10. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Ejemplo. Una orilla recta
t
x1
δ z1
y1
P2
P0

11. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
La región de integración es:
δ
λ
ω
ω
cos
)
´
1
´
1
(
2
21
01
1
1
l
l
r
r
donde
v
u
o
y
x
+
=
∞
<
<
∞
−
<
<
∞
−
∞
<
<
∞
−
<
<
∞
−

12. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∞
−
∞
∞
−
∞
−
∞
∞
−
∞
−
∞
∞
−
∞
−
∞
∞
−
+
=
−
=
ω
ω
ω
ω
π
π
π
π
π
π
π
π
dv
v
du
u
dv
v
du
u
D
S
dv
v
du
u
dv
v
du
u
D
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
)
(
)
(
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
0
2
0
2
0
2
0
2
2
ω
π
π
π
π
π
ω
ω
ω
FresnelC
FresnelC
du
u
du
u
du
u
du
u
du
u
+
∞
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
−

13. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Así:
)]}
(
)
(
[
)]
(
)
(
{[
)]}
(
)
(
[
)]
(
)
(
{[
ω
ω
ω
ω
FresnelS
FresnelS
FresnelC
FresnelC
D
S
FresnelS
FresnelS
FresnelC
FresnelC
D
C
+
∞
−
+
∞
=
+
∞
−
+
∞
=
y la distribución de intensidad es
( )2
21
01
2
2
2
2
21
01
)
´
´
(
2
2
2
0
0
´
´
cos
´
´
cos
)
(
)
,
(
21
01
r
r
A
B
y
r
r
e
A
i
B
donde
S
C
B
y
x
I
r
r
ik
λ
δ
λ
δ
=
=
+
=
+

14. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Finalmente se tiene que
2
21
01
2
0
2
2
0
0
0
)
´
´
(
}
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
{[
2
1
)
,
(
r
r
A
I
donde
FS
FS
FC
FC
I
y
x
I
=
+
∞
+
+
∞
= ω
ω
FC=FresnelC
FS=FresnelS

15. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
∫
=
ω π
ω
0
2
)
2
cos(
)
( dt
t
FresnelC
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
)
2
cos(
)
(
0
)
2
cos(
)
0
(
0
2
0
0
2
−
=
−∞
−
=
−
=
=
∞
=
=
∫
∫
∞
FresnelC
x
FresnelC
x
FresnelC
dt
t
FresnelC
dt
t
FresnelC
π
π

16. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
}
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
{[
2
1
}
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
{[
2
1
)
,
(
2
2
0
2
2
0
0
0
−∞
+
+
−∞
−
=
+
∞
+
+
∞
=
FS
FS
FC
FC
I
FS
FS
FC
FC
I
y
x
I
ω
ω
ω
ω
Recordando que
2
0
2
0 )
(
)
( y
y
x
x
d −
+
−
=
es la distancia entre (x,y) y (x0,y0), entonces
I(x0,y0) es la distancia al cuadrado entre
(FC(ω),FS(ω)) y (FC(∞),FS(∞).

17. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL

18. 5.2) DIFRACCION DE FRESNEL
Distribución de intensidad en la difracción de Fresnel

19. 5) DIFRACCION
Transformada Fraccional de Fourier
∫
∞
∞
−
−
−
= dy
e
y
t
e
i
x
U
xy
t
i
x
i )]
csc(
2
)
cot(
[
2
)
cot( 2
2
)
(
2
)
cot(
1
)
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
donde
)
(
2
x
T
U =
π
)
(
0 y
t
U = y
T es la transformada de Fourier de t(y)

20. 6) APLICACIONES
Lentes (Disco de Airy)
Rejilla de difracción

21. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
y
Rejilla binaria
Rejilla senoidal
Rejillas de amplitud

22. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
Rejilla senoidal
Rejilla binaria
Rejillas de fase

23. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
La función de transmisión
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
0
1
1
1
1
y
x
U
y
x
U
y
x
F =
x1
y1
U0(x1,y1) es la perturbación
si no existe la pantalla.
U(x1,y1) es la perturbación
en presencia de la pantalla
)
,
( 1
1 y
x
U
Luz
es la función de transmisión.

24. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
f(x1,y1)
Para una rejilla de N surcos
)
,
(
)
,
(
1
0
1
1
1
1 ∑
−
=
−
=
N
n
y
nd
x
f
y
x
F

25. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
∫∫
Σ
+
−
= 1
1
)
(
2
1
1
0
0
1
1
)
,
(
)
,
( dy
dx
e
y
x
F
C
y
x
U
y
f
x
f
i y
x
π
donde C es una constante compleja. Si fy = 0
∫∫∑
Σ
−
−
=
−
= 1
)
(
2
1
0
1
1
0
0
1
)
,
(
)
,
( dx
e
y
nd
x
f
C
y
x
U x
f
i
N
n
x
π
Haciendo el cambio de variable, g = x1 – nd:
∑
∫∫
−
=
−
Σ
−
=
1
0
2
1
)
(
2
1
1
0
0
1
)
,
(
)
,
(
N
n
nd
f
i
x
f
i x
x
e
dx
e
y
x
f
C
y
x
U π
π

26. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
y usando la igualdad
d
f
i
d
f
iN
N
n
nd
f
i
x
x
x
e
e
e π
π
π
2
2
1
0
2
1
1
−
−
−
= −
−
=
∑
se tiene
2
1
2
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
)
,
(
)
,
(
}
)
2
cos(
1
)
2
cos(
1
){
,
(
)
,
(
*
)
,
(
)
,
(
)
,
(
∫∫
Σ
=
−
−
=
=
=
dx
e
y
x
f
C
y
x
I
donde
df
Ndf
y
x
I
y
x
U
y
x
U
y
x
U
y
x
I
x
f
i
x
x
x
π
π
π

27. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
Usando la igualdad trigonométrica
)
cos
1
(
2
1
2
sin2
θ
θ
−
=
se llega a
2
1
1
0
0
0
)
2
2
sin
2
2
sin
(
)
2
2
,
(
)
2
2
,
(
)
,
(
)
,
(
d
f
d
Nf
d
f
N
H
donde
d
f
N
H
y
x
I
y
x
I
x
x
x
x
π
π
π
π
=
=

28. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
)
2
2
,
(
d
f
N
H x
π

29. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
I0(x0,y0)
H(N,2πfxd)

30. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
Intensidad de una rejilla

31. 6.1) REJILLA DE DIFRACCION
rejilla
la
de
frecuencia
b
1
=
λ
β
λ
sin
1
1
=
=
=
=
b
f
rejilla
la
de
frecuencia
b
luz
la
de
onda
de
longitud
x
rejilla
la
de
frecuencia
b
1
=
λ
β
Emisión en una rejilla de difracción
b

32. 6.2) LENTE DELGADA
f
Transparencia Plano de la
transformada
de Fraunhofer

33. 6.2) LENTE DELAGADA
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
−
+
= 1
1
)
(
2
1
1
1
1
0
)
(
2
2
0
0
1
1
2
2
)
,
(
)
,
(
)
,
( dy
dx
e
y
x
P
y
x
t
f
i
e
A
y
x
U
f
f
f
f
y
y
x
x
f
i
y
x
f
i
λ
π
π
λ
donde t0(x1,y1) es la función de transmisión de
la transparencia y P(x1,y1) es la función de la
abertura de la lente.
En ausencia de una transparencia t0(x1,y1) = 1.

34. 6.2) LENTE DELGADA
Para una lente de forma circular:
)
,
(
)
,
( 1
1
1
1 y
x
circ
y
x
P =
y para una lente de forma rectangular y esférica:
)
,
(
)
,
( 1
1
1
1 y
x
rect
y
x
P =

35. 6.2) LENTE DELGADA
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
−
+
= 1
1
)
(
2
1
1
1
1
0
)
(
2
2
0
0
1
1
2
2
)
,
(
)
,
(
)
,
( dy
dx
e
y
x
P
y
x
t
f
i
e
A
y
x
U
f
f
f
f
y
y
x
x
f
i
y
x
f
i
λ
π
π
λ
]
2
2
)
2
2
(
2
[
)
2
(
)
,
(
0
0
1
1
1
)
(
2
0
)
(
2
2
0
0
1
1
2
2
λ
π
λ
π
λ
λ
π
π
f
dr
f
dr
J
Const
dy
dx
e
d
r
circ
f
i
e
A
y
x
U
f
f
f
f
y
y
x
x
f
i
y
x
f
i
=
= ∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
−
+
J1(x) es la función Bessel de orden 1.

36. 6.2) LENTE DELGADA
B
Patrón de difracción producido por una lente
en el plano focal.
El círculo central se llama Disco de Airy.

37. 6.2) LENTE DELGADA
El radio del disco de Airy es
D
f
f
donde
f
D
f
R
=
=
=
#
#
22
.
1
22
.
1
λ
λ
D es el diámetro de la lente o el diámetro
del haz de iluminación.