En este documento se realiza detalladamente la demostración matemática de la obtención de la Ecuación de Rayeigh en función de la volatilidad relativa a partir de la Ecuación inicial de Rayleigh y la definición de la Volatilidad Relativa (para concentración en equilibrio)

1. [Operaciones de Transferencia de Masa.
Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 408]
I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A
U n i v e r s i d a d d e P a m p l o n a
Yorman Zambrano Silva (1)
Transferencia de Masa II
Programa de Ingeniería Química
Universidad de Pamplona
Colombia
(1) yorman.zambrano@unipamplona.edu.co
OBTENER LA ECUACIÓN DE RAYLEIGH EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD RELATIVA (α).
A partir de la ecuación (9.42):
Obtener la ecuación (9.45):
La ecuación (9.45) es una expresión matemática que relaciona la Ecuación de Rayleigh con la Volatilidad
Relativa.
[Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E.
Treybal. 2 Ed. Pág 407]
( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

 
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xF
Ln Ln Ln
W x z z
     
     
      

2. [Operaciones de Transferencia de Masa.
Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 387.
Primera Ecuación de la Página]
SOLUCIÓN.
Si la ecuación de Rayleigh es: 0 0 (y x)
L x
L x
dL dx
L

 
Para encontrar una expresión de Rayleigh para la volatilidad relativa se debe hacer cambio de límites:
L F x zf (xf)
L0 W x0 xw
Entonces la ecuación de Rayleigh queda: ( )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

  donde y = y*
Y, si la volatilidad relativa en función de y* es:
*
1 ( 1)
x
y
x



 

3. Se reemplaza
*
1 ( 1)
x
y
x



  en la integral ( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x

 
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L x
x
x



  
     
 
Solución de la Integral paso por paso:
(1 ( 1))
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L x x x
x
 


   
   
 
2
1 ( 1)
( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x x

 
 

   
La integral queda entonces:
1. Resta de fracciones del denominador.
2. Se aplica ley de extremos y medios.

4. 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x

 
 

   
2
1 ( 1)
( )( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x


 

  
1 ( 1)
(1 )( 1)
F
W
F z
W x
dL x
dx
L x x


 

  
3. Factorización del denominador.
3.1 La expresión
2
( 1)x x x    es igual
2
( 1) ( 1)x x   
3.2 La expresión
2
( 1) ( 1)x x    es igual
2
( )( 1)x x  
3.3 Si
2
( ) (1 )x x x x   quedaría la integral entonces
4. Realizando fracción homogénea
a b a b
c c c

    la integral queda entonces:
1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1) (1 )( 1)
F F F
W W W
z z z
x x x
x x
dx dx dx
x x x x x x
 
  
   
        
  

5. 1
(1 ) ( )
(1 )
A x B x
x x
  

1 (1 ) ( )A x B x  Se simplifica a:
Si 0x  1 (1 (0)) (0)A B  
Entonces 1 BSi 1x  1 (1 (1)) (1)A B  
Entonces 1 A
1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1)
F F
W W
F z z
W x x
dL x
dx dx
L x x x x

 
 
      
  
1 1 1
( 1) (1 ) (1 )
F F
W W
F z z
W x x
dL
dx dx
L x x x
 
     
  
5. Se cancelan los términos y se simplifican las integrales que resultaron:
)(1
1F
W
z
x
dx
x x
6. Se resuelve por fracciones parciales la siguiente integral:

6. 1 1 1
(1 ) (1 )
F F F
W W W
z z z
x x x
dx dx dx
x x x x
 
    
  
La integral queda finalmente como dos integrales que se resuelven fácilmente:
1 1 1 1
1 (1 ) (1 )
W W W
F F F
W x x x
F z z z
dL
dx dx dx
L x x x
  
        
   
(2)
7. Donde introduciendo todas las integrales:
(1) (3) (4)
Cabe resaltar que la Integral (3) y (4) son integrales iguales y por simplicidad se hace
en un mismo paso.

7. (1)
F
W
dL F
Ln
L W
 
  
 

(2)
1 1 1
1 1
F
W
z
F
x
W
z
dx Ln
x x 
 
  
   

8. Solucionando cada una de las cuatro integrales:
(3) y (4) Son integrales iguales
1 1
1 (1 )
F
W
z
x
dx
x  
1
(1 )
F
W
z
x
dx
xy
Sustitución:
1m x
dm dx
dm dx
 
 
 

8. 1F
W
z
x
dx
m


1F
W
z
x
dx
m

Cambio de Límites para
quitar el Negativo:
 
1W
F
x
z
dx Ln m
m

W
x
Fz
Reemplazando la variable original donde 1m x  :
 
1
1
1
W
F
x
z
dx Ln x
x
 

W
x
Fz
11
1 1
W
F
x
W
z
F
x
dx Ln
x z
 
  
  

9. Introduciendo la respuesta de todas las integrales, queda como:  
1
(1) (2) (3) (4)
1
  

1 11
1 1 1
W WF
W F F
x xzF
Ln Ln Ln Ln
W x z z
        
         
         
Propiedad de Logaritmo  (a) ( ) .Ln Ln b Ln a b 

9. Se tiene entonces por propiedad de Logaritmo Natural que:
1 (1 )
1 (1 )
W F WF
W F W F
x z xz
Ln Ln Ln
x z x z
     
     
     
Obteniendo finalmente la expresión de Rayleigh en función de volatilidad relativa:
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xF
Ln Ln Ln
W x z z
     
     
      