Derivada Direccional Autora: Angyra Ariza.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal Edo- Táchira.
Escuela de Arquitectura.
Autora:
Angyra Ariza.
C.I. 26.759.072.

2. LA DERIVADA DIRECCIONAL (O
BIEN DERIVADA SEGÚN UNA DIRECCIÓN)
DE UNA FUNCIÓN MULTIVARIABLE, EN LA
DIRECCIÓN DE UN VECTOR DADO,
REPRESENTA LA TASA DE CAMBIO DE LA
FUNCIÓN EN LA DIRECCIÓN DE DICHO
VECTOR. ESTE CONCEPTO GENERALIZA
LAS DERIVADAS PARCIALES, PUESTO QUE
ESTAS SON DERIVADAS DIRECCIONALES
EN LOS VECTORES PARALELOS A LOS EJES.
¿Qué es?
La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por
el vector unitario que determina la dirección.
Definición formal de derivada direccional:
Si f es una función diferenciables de x e y, su derivada
direccional en la dirección del vector unitario u es
Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u
Ejemplo: Hallar la derivada direccional de
f (x, y)=3x2 − 2y 2
en el punto (−3/4 , 0), en la dirección del segmento recto que
va de P = (−3/4 , 0) a Q = (0, 1).
En cada punto ( x, y, z ) el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor
concreto; pero el vector dr puede ser cualquiera; puede tener
cualquier módulo y cualquier dirección.

3. 1.) Verificación de la regla de la cadena. Verificar la regla de
la cadena para h/x donde h(x; y) = f(u(x; y); v(x; y)) y
xyyx
eyxveyxu
vu
vu
vuf 


 
);(,);(,);( 22
22
SOLUCIÓN:
Para hacer la verificación, primero aplicaremos la fórmula
de la regla de la cadena y luego haremos el reemplazo de
u y v en f y haremos el cálculo como derivada parcial.
Aplicando la regla de la cadena tenemos:
   
xyyx
ye
vu
vvuvuv
e
vu
uvuvuu
x
v
v
f
x
u
u
f
x
h
222
2222
222
2222
2)()(2
)(
2)()(2

















 
Operando tenemos:
   
     
)1(
44
)(
4
4
)(
4
2222
222
2222
22
2222
2
ydesen términoy
desexpresionelas
pordoReemplazan
222
2
222
2
y
ee
e
ye
ee
ee
e
ee
ee
ye
vu
vu
e
vu
uv
x
h
xyyx
yxxy
xy
xyyx
yxxy
yx
xyyx
xyyx
yxvu
xyyx

























Ahora haremos el mismo cálculo
reemplazando u y v en f y derivando
parcialmente:
     
 
   2222
442442
2222
422222244
422244244
2222
222222222222
222
222
22
22
442222
2222
2222
));();;(();(
);(,);(,);(
xyyx
yxxyyxxy
xyyx
xyyxxyyxxyyx
xyyxxyyxxyyx
xyyx
xyyxxyyxxyyxxyyx
xyyx
xyyx
xyyx
ee
yee
ee
yeeyee
yeyeee
ee
yeeeeeeyee
x
h
ee
ee
yxvyxufyxh
eyxveyxu
vu
vu
vuf







































Esta última expresión es equivalente
a la que habíamos hallado por regla
de la cadena, con lo cual hemos
verificado esta última.

4. 2.) Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas
direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores
unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al
vector dado:
a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j
b) f(x; y) = exy + yz, (x0; y0; z0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1)
SOLUCIÓN:
a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el
gradiente de la función y un vector unitario en la
dirección dada.
   
     
  eee
eeyyxyxy
xyxyyxyxyy
eeeeefeef
eeeefxxx
x
y
exe
x
y
e
y
e
x
e
y
e
x
x
y
x
x
yxf
13
17
13
12
;
13
5
·;)·;();(
13
12
;
13
5
125
)12;5(
;);(log;log;
;;;);(
22
loglog
loglogloglog




























































uD
d
d
u
u
b) En este caso tendremos:
       
33
1
;
3
1
;
3
1
)·1;1;()·1;1;1()1;1;1(
3
1
;
3
1
;
3
1
1)1(1
)1;1;1(
)1;1;()1;1;1(;;;;);;(
222
e
eff
efyzeyze
z
yze
y
yze
x
zyxf xxxx





 






 




















uD
d
d
u
u