01. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.pdf

PRIMER CURSO DE ESPECIALIZACIÓN ONLINE
“ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO DE ESTRUCTURAS”
SESIÓN N° 01 Y 02
“ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS”
8m
1
3
2
4
5
6
3 4
4.5m 1 2
5
13
14
15
1
16
17
18
2
7
9
10 Tn
8
10
11
12
5 6
4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
ing_erlyenriquez@hotmail.com
12 de Julio del 2018
Lima – Perú
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE PERÚ

ÍNDICE
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN 01
1.2 OBJETIVOS 02
1.3 NOTACIÓN 03
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 05
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD 06
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ 06
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS 07
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES 13
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES 14
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 15
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES 22
4.2 VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO 24

CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES 29
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 32
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES 39
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS 39
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES 40
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA 48
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES 61
8.2 RECOMENDACIONES 61
8.3 BIBLIOGRAFÍA 61

ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS
“ANÁLISIS MATRICIAL”
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX,
tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los
aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto.
Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de
reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico
fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable
sólo a determinados tipos de estructuras.
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos
conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver
manualmente.
Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no
tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto
explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las
estructuras más al siglo XIX que al XX.
Figura 1.1. Hotel Sheraton y el Centro Cívico de Lima construidos en 1970

El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de
estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo en
forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el
tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios
fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o
diferencias físicas entre estructuras, por otro.
Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de
computación. En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos
matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático.
Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación de la
preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el
modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los
resultados. Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una
interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GENERAL
La presente sesión tiene como objetivo realizar el análisis matricial de estructuras
por el método de la matriz Rigidez, para determinar las deformaciones en los nudos y
las fuerzas internas en los elementos.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Comprender el método de la flexibilidad y rigidez.
- Realizar el análisis matricial de armaduras.
- Realizar el análisis matricial de vigas.
- Realizar el análisis matricial de pórticos.
- Realizar el análisis matricial de muros.
- Realizar el análisis matricial de 2° Orden (Efecto P – Δ)

1.3 NOTACIÓN
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
{ }
{ }
{ }
{ }

CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua
real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades
pueden expresarse en forma matricial.
Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de
manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades
elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa
el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a
resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se
incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura
continua original.
El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien
definidas, a saber:
- Acción sobre la estructura
- Acción sobre los elementos
- Respuesta de los elementos
- Respuesta de la estructura
Figura 2.1. Proceso para el análisis matricial de estructuras

2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.2.1 COMPATIBILIDAD
Las deformaciones de la estructura deben ser compatibles con las deformaciones
de los elementos.
Figura 2.2. Compatibilidad entre deformaciones de la estructura y elementos
2.2.2 EQUILIBRIO
Toda la estructura o cualquier parte de ella, debe estar en equilibrio bajo la acción
de cargas externas y fuerzas internas.
Figura 2.3. Equilibrio en la estructura o cualquier parte de ella

2.2.3 LEYES CONSTITUTIVAS
Son las curvas esfuerzo – deformación del material. La ley constitutiva para materiales
elásticos es la ley de Hooke.
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura
estática determinada y estable. Luego se obtienen soluciones complementarias que
permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de
ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la
condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
En este método se obtiene primero una estructura modificada bloqueando los
desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego se superponen
otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que
ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado
de grados de libertad. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de
equilibrio.

2.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
L
w
B C
L/2 L/2
P
A
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y RC.
L
L/2 L/2
w
P
A B C
RB RC
Figura a1.1. Estructura real
L
L/2 L/2
w
P
A
B C
B0
C0
Figura a1.2. Estructura primaria (estática y estable)
L
A B C
B1
C1
F = 1
L
x RB
Figura a1.3. Primera solución complementaria

L
A B C
B2
C2
F = 1
L
x RC
Figura a1.4. Segunda solución complementaria
Equilibrio: Resolver cada sistema simple
Compatibilidad:
(a1.1)
(a1.2)
Expresando Matricialmente las Ec. (a1.1) y (a1.2):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (a1.3)
Despejando las Reacciones en la Ec. (a1.3):
[ ] [ ]
-
- [ ] (a1.4)
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y C.
L
L/2 L/2
w
P
A
B
C
B
B
C
Figura b1.1. Estructura real

L
L/2 L/2
w
P
A
B C
MB0 MC0
Figura b1.2. Estructura primaria (se bloquean los desplazamientos)
L
A
B C
MB1 MC1
L
=1
=1
x B
Figura b1.3. Primera solución complementaria
L
A
B C
MB2 MC2
L
=1
x C
Figura b1.4. Segunda solución complementaria
Compatibilidad: Determinación de cada sistema
Equilibrio:
(b1.1)
(b1.2)
Expresado Matricialmente las Ec. (b1.1) y (b1.2):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (b1.3)
Despejando los giros en la Ec. (b1.3):
[ ] [ ]
-
- [ ] (b1.4)

Pregunta 2. Para la estructura mostrada formada por los 4 resortes con rigideces K1,
K2, K3 y K4 se pide:
a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
k1
4 2
3 5
1
k4
k3
F1
k2
F3
Figura a2.1. Sistema de resortes en serie y paralelo
k1
k4
k3
k2
2
4
1
3 5
Figura a2.2. Desplazamientos en los nudos
k1
k4
k3
k2
p4
p4
p1
p1
p2
p2
p3
p3
Figura a2.3. Fuerzas internas en los Elementos
F1
F2
p3
p4 p4
1
p1
F4
4
p2
p1
2
p2
F3
3
F5
p3
5
Figura a2.4. Equilibrio en nudos

Relación de compatibilidad deformación – desplazamiento
ε1 Δ2 – Δ4 (a2.1)
ε2 Δ3 – Δ2 (a2.2)
ε3 Δ5 – Δ3 (a2.3)
ε4 Δ1 – Δ2 (a2.4)
Relación de Constitutivas
p1 = k1ε1 (a2.5)
p2 = k2ε2 (a2.6)
p3 = k3ε3 (a2.7)
p4 = k4ε4 (a2.8)
Relación de Equilibrio
F1 = p4 (a2.9)
F2 = p1 – p2 – p4 (a2.10)
F3 = p2 – p3 (a2.11)
F4 = -p1 (a2.12)
F5 = p3 (a2.13)
Introduciendo las Ec. (a2.1), (a2.2), (a2.3) y (a2.4) en las Ec. (a2.5), (a2.6), (a2.7) y (a2.8)
p1 = k1(Δ2 – Δ4) (a2.14)
p2 = k2(Δ3 – Δ2) (a2.15)
p3 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.16)
p4 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.17)
Introduciendo las Ec. (2.14), (2.15), (2.16) y (2.17) en las Ec. (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) y (2.13)
F1 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.18)
F2 = k1(Δ2 – Δ4) – k2(Δ3 – Δ2) – k4(Δ1 – Δ2) (a2.19)
F3 = k2(Δ3 – Δ2) – k3(Δ5 – Δ3) (a2.20)
F4 = -k1(Δ2 – Δ4) (a2.21)
F5 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.22)
Ordenando Matricialmente
[ ]
[
-
- - -
-
-
-
-
]
[ ]
(a2.23)

Introduciendo condiciones de borde
[ ]
[
-
- - -
-
-
-
-
]
[ ]
(a2.24)
Sistema de Ecuaciones que define la solución del Problema
[ ] [
-
- -
-
] [ ] (a2.25)
[ ] [
-
-
] [ ] (a2.26)
De la Ec. (2.25) determinamos los desplazamientos Δ1, Δ2 y Δ3.
De la Ec. (2.26) determinamos las reacciones R4 y R5.
b) La matriz rigidez del Sistema
4 2 2 3 3 5 2 1
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 4 5
[ ]
Introduciendo Condiciones de Borde
[ ]

CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
E, A, L
1
3
2
1
4
2
1
{ } [ ] { }
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1 2
1
D=1
{ } [ ] [ ]
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
E, A, L
1
1 D=1
2
{ } [ ] [ ]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ] [ ]

3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ]

3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez [ ] de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz transformación [ ] de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
[ ] [ ] [ ][ ]
4) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } { }
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ] { }
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si { } { } luego:
{ } [ ] { }
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si { } { } luego:
{ } [ ]{ }
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
{ } [ ][ ]{ }

Pregunta 1. A = 0.001 m2
, E = 2x108
kN/m2
Solución.
1.. PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS
ELEM. E A L Ø (°)
1 2E+08 0.001 3.00 0
2 2E+08 0.001 3.00 90
3 2E+08 0.001 3.00 90
4 2E+08 0.001 3.00 0
5 2E+08 0.001 4.24 45
6 2E+08 0.001 4.24 -45
B
D
3m
3m
A
C
100 kN
3m
3m
100 kN
1
3
3 2
2
5
4
4
7
6
1 1
8
2 3
4
5
6

2.. MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES
66667 0 -66667 0
0 0 0 0
-66667 0 66667 0
0 0 0 0
66667 0 -66667 0
0 0 0 0
-66667 0 66667 0
0 0 0 0
66667 0 -66667 0
0 0 0 0
-66667 0 66667 0
0 0 0 0
66667 0 -66667 0
0 0 0 0
-66667 0 66667 0
0 0 0 0
47140 0 -47140 0
0 0 0 0
-47140 0 47140 0
0 0 0 0
47140 0 -47140 0
0 0 0 0
-47140 0 47140 0
0 0 0 0
k'1 =
k'2 =
k'3 =
k'4 =
k'5 =
k'6 =

3.. MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00 -1.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 0.00 -1.00 0.00
1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00
0.71 0.71 0.00 0.00
-0.71 0.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71 0.71
0.00 0.00 -0.71 0.71
0.71 -0.71 0.00 0.00
0.71 0.71 0.00 0.00
0.00 0.00 0.71 -0.71
0.00 0.00 0.71 0.71
T5 =
T6 =
T1 =
T2 =
T3 =
T4 =

4.. MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
6 7 1 8
66667 0 -66667 0 6
0 0 0 0 7
-66667 0 66667 0 1
0 0 0 0 8
6 7 2 3
0 0 0 0 6
0 66667 0 -66667 7
0 0 0 0 2
0 -66667 0 66667 3
1 8 4 5
0 0 0 0 1
0 66667 0 -66667 8
0 0 0 0 4
0 -66667 0 66667 5
2 3 4 5
66667 0 -66667 0 2
0 0 0 0 3
-66667 0 66667 0 4
0 0 0 0 5
6 7 4 5
23570 23570 -23570 -23570 6
23570 23570 -23570 -23570 7
-23570 -23570 23570 23570 4
-23570 -23570 23570 23570 5
2 3 1 8
23570 -23570 -23570 23570 2
-23570 23570 23570 -23570 3
-23570 23570 23570 -23570 1
23570 -23570 -23570 23570 8
k3 =
k4 =
k5 =
k6 =
k2 =
k1 =

5.. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LAESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8
90237 -23570 23570 0 0 -66667 0 -23570 1
-23570 90237 -23570 -66667 0 0 0 23570 2
23570 -23570 90237 0 0 0 -66667 -23570 3
0 -66667 0 90237 23570 -23570 -23570 0 4
0 0 0 23570 90237 -23570 -23570 -66667 5
-66667 0 0 -23570 -23570 90237 23570 0 6
0 0 -66667 -23570 -23570 23570 90237 0 7
-23570 23570 -23570 0 -66667 0 0 90237 8
6.. FUERZAS EN LOS NUDOS
0 1
100 2
0 3
0 4
0 5
R6 6
R7 7
R8 8
7.. DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS
0.0007 1
0.0036 2
0.0007 3
0.0029 4
-0.0007 5
0.0000 6
0.0000 7
0.0000 8
8.. REACCIONES EN LOS APOYOS
-100 6
R = -100 7
100 8
K =
F =
D =

9.. FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS
0.0000 -50 6
0.0000 0 7
0.0007 50 1
0.0000 0 8
0.0000 -50 6
0.0000 0 7
0.0036 50 2
0.0007 0 3
0.0007 50 1
0.0000 0 8
0.0029 -50 4
-0.0007 0 5
0.0036 50 2
0.0007 0 3
0.0029 -50 4
-0.0007 0 5
0.0000 -71 6
0.0000 0 7
0.0029 71 4
-0.0007 0 5
0.0036 71 2
0.0007 0 3
0.0007 -71 1
0.0000 0 8
S6 = k'6 x T6 x =
S4 = k'4 x T4 x =
S5 = k'5 x T5 x =
S3 = k'3 x T3 x =
S1 = k'1 x T1 x =
S2 = k'2 x T2 x =

CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
E, I, L
1 2
1
4
2
{ } [ ] { }
E, I, L
2
1 3
4
1
D=1
1
{ } [ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, I, L
2
1 3
1
D=1
1
{ } [ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄ ]

E, I, L
1
3 D=1
2
1
2
1
{ } [ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
2
E, I, L
1
1 3
D=1
1
{ } [ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Matriz rigidez en coordenadas globales:
[ ]
[ ]

4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga uniformemente repartida:
WL
L
12
2
WL
WL
12
WL
2
1 2
{ } {
⁄
⁄
⁄
⁄ }
Carga puntual en el medio del tramo:
PL
P
L/2
8
P
2
PL
8
P
2
1 2
L/2
{ }
{
⁄
⁄
⁄
⁄
}
Carga puntual dentro del tramo:
Pab
P
a
L
Pb
L
Pa
L
1 2
b
L
2
2
Pa b
L
2
2
{ } {
⁄
⁄
⁄
⁄ }

1) Determinar la matriz rigidez [ ] de los elementos en coordenadas globales.
2) Ensamblar la matriz de rigidez [ ] de la estructura.
3) Determinar el vector fuerzas de empotramiento { } de los elementos.
4) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
{ } { } { }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } { }

Pregunta 1. EI constante
Solución.
ELEM. E I L
1 1 1 4.00
2 1 1 6.00
2.. MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN CORDENADAS GLOBALES
4 1 5 2
0.19 0.38 -0.19 0.38 4
0.38 1.00 -0.38 0.50 1
-0.19 -0.38 0.19 -0.38 5
0.38 0.50 -0.38 1.00 2
5 2 6 3
0.06 0.17 -0.06 0.17 5
0.17 0.67 -0.17 0.33 2
-0.06 -0.17 0.06 -0.17 6
0.17 0.33 -0.17 0.67 3
k1 =
k2 =
4 m 6 m
3 Tn/m
4 m 6 m
3 Tn/m
4
1
6
5
3
2
1 2
1 2 3

3.. MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL DE LAESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6
1.00 0.50 0.00 0.38 -0.38 0.00 1
0.50 1.67 0.33 0.38 -0.21 -0.17 2
0.00 0.33 0.67 0.00 0.17 -0.17 3
0.38 0.38 0.00 0.19 -0.19 0.00 4
-0.38 -0.21 0.17 -0.19 0.24 -0.06 5
0.00 -0.17 -0.17 0.00 -0.06 0.06 6
4.. VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
6.00 4
4.00 1
6.00 5
-4.00 2
9.00 5
9.00 2
9.00 6
-9.00 3
4.00 1
5.00 2
-9.00 3
6.00 4
15.00 5
9.00 6
-4.00 1
-5.00 2
9.00 3
R4 - 6 4
R5 - 15 5
R6 - 9 6
K =
F =
Fe1 =
Fe2 =
Fe =

-1.00 1
-6.00 2
16.50 3
0.00 4
0.00 5
0.00 6
-2.63 6.00 3.38 4
R = 4.38 + 15.00 = 19.38 5
-1.75 9.00 7.25 6
0.00 -2.63 6.00 3.38 4
-1.00 -4.00 4.00 0.00 1
0.00 2.63 6.00 8.63 5
-6.00 -6.50 -4.00 -10.50 2
0.00 1.75 9.00 10.75 5
-6.00 1.50 9.00 10.50 2
0.00 -1.75 9.00 7.25 6
16.50 9.00 -9.00 0.00 3
+
=
=
D =
S2 = k2 x + F'2 =
S1 = k1 x + F'1 = +
CAPÍTULO V

ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
E, A, I, L
1
4
2
1
6
3
1
{ } [ ]{ }
E, A, I, L
1 2
1
D=1
{ } [ ] [ ]
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
2
1 5
6
2
D=1
1
{ } [ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄ ]

E, A, I, L
2
1 5
2
D=1
1
{ } [ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
1
1 D=1
2
{ } [ ] [ ]
Cálculo de la quinta columna de la matriz rigidez:
E, A, I, L
1
5 D=1
2
1
3
2
{ } [ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Cálculo de la sexta columna de la matriz rigidez:

2
E, A, I, L
1
2 5
D=1
1
{ } [ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Matriz rigidez en coordenadas locales:
[ ]
[ ]
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES

X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø
Mi
Mj
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

2) Determinar la matriz de transformación [ ] de los elementos.
[ ] [ ] [ ][ ]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos { }.
6) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura { }.
{ } [ ] { }
7) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
{ } { } { }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ]{ }
{ } [ ][ ]{ } { }

Pregunta 1. Columna:E = 1.9x107
kN/m2
, b = 0.30 m, h = 0.40 m
Viga: E = 1.9x107
kN/m2
, b = 0.30 m, h = 0.35 m
Solución.
ELEM. E I A L Ø (°)
1 1.9E+07 0.0016 0.1200 4.00 90
2 1.9E+07 0.0011 0.1050 4.00 0
4m
4m
30 kN/m
10
kN/m
3
4 m
30 kN/m
6
5
1
9 7
2
3
4
1
2 2
8
4 m
10
kN/m
1

570000 0 0 -570000 0 0
0 5700 11400 0 -5700 11400
0 11400 30400 0 -11400 15200
-570000 0 0 570000 0 0
0 -5700 -11400 0 5700 -11400
0 11400 15200 0 -11400 30400
498750 0 0 -498750 0 0
0 3819 7637 0 -3819 7637
0 7637 20366 0 -7637 10183
-498750 0 0 498750 0 0
0 -3819 -7637 0 3819 -7637
0 7637 10183 0 -7637 20366
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.00 0.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 -1.00 0.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
k'2 =
k'1 =
T1 =
T2 =

5 6 1 2 3 4
5700 0 -11400 -5700 0 -11400 5
0 570000 0 0 -570000 0 6
-11400 0 30400 11400 0 15200 1
-5700 0 11400 5700 0 11400 2
0 -570000 0 0 570000 0 3
-11400 0 15200 11400 0 30400 4
2 3 4 7 8 9
498750 0 0 -498750 0 0 2
0 3819 7637 0 -3819 7637 3
0 7637 20366 0 -7637 10183 4
-498750 0 0 498750 0 0 7
0 -3819 -7637 0 3819 -7637 8
0 7637 10183 0 -7637 20366 9
5.. MATRIZ RIGIDEZ DE LAESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9
30400 11400 0 15200 -11400 0 0 0 0 1
11400 504450 0 11400 -5700 0 -498750 0 0 2
0 0 573819 7637 0 -570000 0 -3819 7637 3
15200 11400 7637 50766 -11400 0 0 -7637 10183 4
K = -11400 -5700 0 -11400 5700 0 0 0 0 5
0 0 -570000 0 0 570000 0 0 0 6
0 -498750 0 0 0 0 498750 0 0 7
0 0 -3819 -7637 0 0 0 3819 -7637 8
0 0 7637 10183 0 0 0 -7637 20366 9
k1 =
k2 =

6.. VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE CADAELEMENTO
0.00 5
20.00 6
13.33 1
0.00 2
20.00 3
-13.33 4
0.00 2
60.00 3
40.00 4
0.00 7
60.00 8
-40.00 9
7.. VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE LAESTRUCTURA
-20.00 5
0.00 6
13.33 1
-20.00 2
0.00 3
-13.33 4
0.00 2
60.00 3
40.00 4
0.00 7
60.00 8
-40.00 9
13.33 1
-20.00 2
60.00 3
26.67 4
Fe = -20.00 5
0.00 6
0.00 7
60.00 8
-40.00 9
F'e1 =
F'e2 =
Fe1 =
Fe2 =

8.. VECTOR FUERZAS EN LOS NUDOS
-13.33 1
20.00 2
-60.00 3
F = -26.67 4
R5 - 20 5
R6 6
R7 7
R8 - 60 8
R9 + 40 9
-0.0002 1
0.0001 2
-0.0001 3
-0.0005 4
D = 0.0000 5
0.0000 6
0.0000 7
0.0000 8
0.0000 9
7.50 -20.00 -12.50 5
56.16 0.00 56.16 6
R = -27.50 + 0.00 = -27.50 7
3.84 60.00 63.84 8
-5.37 -40.00 -45.37 9
0.0000 56.16 0.00 56.16 5
0.0000 -7.50 20.00 12.50 6
-0.0002 -13.33 13.33 0.00 1
0.0001 -56.16 0.00 -56.16 2
-0.0001 7.50 20.00 27.50 3
-0.0005 -16.68 -13.33 -30.02 4
0.0001 27.50 0.00 27.50 2
-0.0001 -3.84 60.00 56.16 3
-0.0005 -9.98 40.00 30.02 4
0.0000 -27.50 0.00 -27.50 7
0.0000 3.84 60.00 63.84 8
0.0000 -5.37 -40.00 -45.37 9
+
=
=
S2 = k2 x T2 x + F'e2
=
=
S1 = k1 x T1 x + F'e1 +

CAPÍTULO 6
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOCALES
[ ]
[ ]
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS EN COORD. LOCALES
[ ]
[ ]

6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø
Mi
Mj
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

2) Determinar la matriz de transformación [ ] de los elementos.
[ ] [ ] [ ][ ]
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura [ ].
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos { }.
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ]{ }
{ } [ ][ ]{ }

Pregunta 1. t = 0.30 m, E = 2500000 Tn/m2
, G = 0.4E
Solución.
ELEM. E I G A L Ø (°) θ
1 2500000 0.2000 1000000 0.60 3.00 90 1.3333
2 2500000 0.0054 - 0.18 3.00 90 -
3 2500000 0.0054 - 0.18 1.70 0 -
a 1.00
b 0.30
2m 1.7m 0.6m
2.7m
0.6m
10 Tn
1 2
3
1
3
2
4
1
3
2
4
6
5
8 11
7 10
9 12
3m
3m
10 Tn

500000 0 0 -500000 0 0
0 95238 142857 0 -95238 142857
0 142857 380952 0 -142857 47619
-500000 0 0 500000 0 0
0 -95238 -142857 0 95238 -142857
0 142857 47619 0 -142857 380952
150000 0 0 -150000 0 0
0 6000 9000 0 -6000 9000
0 9000 18000 0 -9000 9000
-150000 0 0 150000 0 0
0 -6000 -9000 0 6000 -9000
0 9000 9000 0 -9000 18000
264706 0 0 -264706 0 0
0 32974 61001 0 -32974 37920
0 61001 120794 0 -61001 62210
-264706 0 0 264706 0 0
0 -32974 -61001 0 32974 -37920
0 37920 62210 0 -37920 51549
3. MATRIZ TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.00 0.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 -1.00 0.00 0
0 0 0 0 0 1.00
0.00 1.00 0 0 0 0
-1.00 0.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 -1.00 0.00 0
0 0 0 0 0 1.00
1.00 0.00 0 0 0 0
0.00 1.00 0 0 0 0
0 0 1.00 0 0 0
0 0 0 1.00 0.00 0
0 0 0 0.00 1.00 0
0 0 0 0 0 1.00
T1 =
T2 =
k'3 =
k'1 =
k'2 =
T3 =

7 8 9 1 2 3
95238 0 -142857 -95238 0 -142857 7
0 500000 0 0 -500000 0 8
-142857 0 380952 142857 0 47619 9
-95238 0 142857 95238 0 142857 1
0 -500000 0 0 500000 0 2
-142857 0 47619 142857 0 380952 3
10 11 12 4 5 6
6000 0 -9000 -6000 0 -9000 10
0 150000 0 0 -150000 0 11
-9000 0 18000 9000 0 9000 12
-6000 0 9000 6000 0 9000 4
0 -150000 0 0 150000 0 5
-9000 0 9000 9000 0 18000 6
1 2 3 4 5 6
264706 0 0 -264706 0 0 1
0 32974 61001 0 -32974 37920 2
0 61001 120794 0 -61001 62210 3
-264706 0 0 264706 0 0 4
0 -32974 -61001 0 32974 -37920 5
0 37920 62210 0 -37920 51549 6
k1 =
k2 =
k3 =
5. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
359944 0 142857 -264706 0 0 -95238 0 142857 0 0 0 1
0 532974 61001 0 -32974 37920 0 -500000 0 0 0 0 2
142857 61001 501746 0 -61001 62210 -142857 0 47619 0 0 0 3
-264706 0 0 270706 0 9000 0 0 0 -6000 0 9000 4
0 -32974 -61001 0 182974 -37920 0 0 0 0 -150000 0 5
0 37920 62210 9000 -37920 69549 0 0 0 -9000 0 9000 6
-95238 0 -142857 0 0 0 95238 0 -142857 0 0 0 7
0 -500000 0 0 0 0 0 500000 0 0 0 0 8
142857 0 47619 0 0 0 -142857 0 380952 0 0 0 9
0 0 0 -6000 0 -9000 0 0 0 6000 0 -9000 10
0 0 0 0 -150000 0 0 0 0 0 150000 0 11
0 0 0 9000 0 9000 0 0 0 -9000 0 18000 12
K =

10.00 1
0.00 2
0.00 3
0.00 4
0.00 5
0.00 6
R7 7
R8 8
R9 9
R10 10
R11 11
R12 12
0.000173 1
0.000004 2
-0.00005 3
0.000169 4
-0.00001 5
0.000016 6
0.00 7
0.00 8
0.00 9
0.00 10
0.00 11
0.00 12
-8.84 7
-2.06 8
22.17 9
-1.16 10
2.06 11
1.66 12
R =
F =
D =

0.00000 -2.06 7
0.00000 8.84 8
0.00000 22.17 9
0.00017 2.06 1
0.00000 -8.84 2
-0.00005 4.36 3
0.00000 2.06 10
0.00000 1.16 11
0.00000 1.66 12
0.00017 -2.06 4
-0.00001 -1.16 5
0.00002 1.81 6
0.00017 1.16 1
0.00000 -2.06 2
-0.00005 -4.36 3
0.00017 -1.16 4
-0.00001 2.06 5
0.00002 -1.81 6
S3 = k3 x T3 x =
=
S2 = k2 x T2 x =
S1 = k1 x T1 x

CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral,
el movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición
deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales, normalmente
conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería estructural, a este
comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya que los momentos
adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del producto de los pesos
de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos laterales (Δ).
Se han propuesto diversos métodos para realizar análisis de segundo orden. Los
procedimientos más antiguos proponen métodos iterativos para estimar los efectos P –
Δ, considerando al problema como uno asociado a deformaciones no lineales de los
elementos (o de no linealidad geométrica), y generalmente están restringidos y se
emplean en análisis estáticos.
Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible
incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que permiten
incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de rigidez y de
flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P – Δ tanto en
análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en muchos
casos pudiera considerarse como exacta.
Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer
las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor
parte de los casos el efecto P – Δ.

7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos
adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que
participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la carga
lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis avanzado de
estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se presenta cuando la
deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios notables en la geometría
de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de equilibrio se deben formular
en la configuración deformada de la estructura. Esto significa que la relación lineal que
existe entre las cargas externamente aplicadas, {F}, y los desplazamientos asociados a
ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse utilizando.
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a
medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones para
calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por
medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento representa un
incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las ecuaciones de
continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos no lineales que
deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La derivación de estas
relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden consultarse en otros trabajos
relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de
rigidez del elemento [ ’], de manera que:
[ ] [ ] [ ]
donde [ ] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales
asociada a su configuración original y [ ] es la denominada matriz de rigidez
geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las
fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan para
cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la
estructura se calcula como:
[ ] [ ] [ ]

Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por
ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada
considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la solución
puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas internas
actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso en dos
pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las cargas
actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema calculando la matriz
de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el primer paso. Sin embargo, si
se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento no lineal del material, se requiere
de un proceso iterativo para llegar a obtener una solución satisfactoria.
1) Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2) Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
[ ]
[ ]
3) Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales.
[ ]
[ ]

4) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
[ ] [ ] [ ]
5) Determinar la matriz de transformación.
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
7) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
{ } [ ]{ }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ]{ }
{ } [ ][ ]{ }

Pregunta 1. Vigas: A = 0.01 m2
, I = 0.000125 m4
, E = 2x107
Tn/m2
Columnas: A = 0.015 m2
, I = 0.00025 m4
, E = 2x107
Tn/m2
Solución.
ELEM. E I A L Ø (°) P
1 2E+07 0.00025 0.015 4.50 90 -93.58
2 2E+07 0.00025 0.015 4.50 90 -106.42
3 2E+07 0.00025 0.015 4.50 90 -46.97
4 2E+07 0.00025 0.015 4.50 90 -53.03
5 2E+07 0.00013 0.010 8.00 0 -0.03
6 2E+07 0.00013 0.010 8.00 0 -4.99
8m
4.5m
10 Tn
4.5m
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn
8m
1
3
2
4
5
6
3 4
4.5m 1 2
5
13
14
15
1
16
17
18
2
7
9
10 Tn
8
10
11
12
5 6
4.5m 3 4
6
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn

2.. MATRIZ RIGIDEZ ELÁSTICADE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0 -66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
0 1481 4444 0 -1481 2222
-66667 0 0 66667 0 0
0 -658 -1481 0 658 -1481
0 1481 2222 0 -1481 4444
66667 0 0 -66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
0 1481 4444 0 -1481 2222
-66667 0 0 66667 0 0
0 -658 -1481 0 658 -1481
0 1481 2222 0 -1481 4444
66667 0 0 -66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
0 1481 4444 0 -1481 2222
-66667 0 0 66667 0 0
0 -658 -1481 0 658 -1481
0 1481 2222 0 -1481 4444
66667 0 0 -66667 0 0
0 658 1481 0 -658 1481
0 1481 4444 0 -1481 2222
-66667 0 0 66667 0 0
0 -658 -1481 0 658 -1481
0 1481 2222 0 -1481 4444
25000 0 0 -25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 0 25000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0 -25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 0 25000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
ke1 =
ke2 =
ke4 =
ke5 =
ke6 =
ke3 =

3.. MATRIZ RIGIDEZ GEOMÉTRICADE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -24.95 -9.36 0.00 24.95 -9.36
0.00 -9.36 -56.15 0.00 9.36 14.04
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 24.95 9.36 0.00 -24.95 9.36
0.00 -9.36 14.04 0.00 9.36 -56.15
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -28.38 -10.64 0.00 28.38 -10.64
0.00 -10.64 -63.85 0.00 10.64 15.96
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 28.38 10.64 0.00 -28.38 10.64
0.00 -10.64 15.96 0.00 10.64 -63.85
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -12.53 -4.70 0.00 12.53 -4.70
0.00 -4.70 -28.18 0.00 4.70 7.05
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 12.53 4.70 0.00 -12.53 4.70
0.00 -4.70 7.05 0.00 4.70 -28.18
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -14.14 -5.30 0.00 14.14 -5.30
0.00 -5.30 -31.82 0.00 5.30 7.95
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 14.14 5.30 0.00 -14.14 5.30
0.00 -5.30 7.95 0.00 5.30 -31.82
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 -0.03 0.00 0.00 0.01
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 -0.03
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 -0.75 -0.50 0.00 0.75 -0.50
0.00 -0.50 -5.32 0.00 0.50 1.33
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.75 0.50 0.00 -0.75 0.50
0.00 -0.50 1.33 0.00 0.50 -5.32
kg1 =
kg2 =
kg3 =
kg4 =
kg5 =
kg6 =

4.. MATRIZ RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORD. LOCALES
66667 0 0 -66667 0 0
0 633 1472 0 -633 1472
0 1472 4388 0 -1472 2236
-66667 0 0 66667 0 0
0 -633 -1472 0 633 -1472
0 1472 2236 0 -1472 4388
66667 0 0 -66667 0 0
0 630 1471 0 -630 1471
0 1471 4381 0 -1471 2238
-66667 0 0 66667 0 0
0 -630 -1471 0 630 -1471
0 1471 2238 0 -1471 4381
66667 0 0 -66667 0 0
0 646 1477 0 -646 1477
0 1477 4416 0 -1477 2229
-66667 0 0 66667 0 0
0 -646 -1477 0 646 -1477
0 1477 2229 0 -1477 4416
66667 0 0 -66667 0 0
0 644 1476 0 -644 1476
0 1476 4413 0 -1476 2230
-66667 0 0 66667 0 0
0 -644 -1476 0 644 -1476
0 1476 2230 0 -1476 4413
25000 0 0 -25000 0 0
0 59 234 0 -59 234
0 234 1250 0 -234 625
-25000 0 0 25000 0 0
0 -59 -234 0 59 -234
0 234 625 0 -234 1250
25000 0 0 -25000 0 0
0 58 234 0 -58 234
0 234 1245 0 -234 626
-25000 0 0 25000 0 0
0 -58 -234 0 58 -234
0 234 626 0 -234 1245
k'1 =
k'2 =
k'3 =
k'4 =
k'5 =
k'6 =

0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
T1 =
T2 =
T3 =
T4 =
T5 =
T6 =

13 14 15 1 2 3
633 0 -1472 -633 0 -1472 13
0 66667 0 0 -66667 0 14
-1472 0 4388 1472 0 2236 15
-633 0 1472 633 0 1472 1
0 -66667 0 0 66667 0 2
-1472 0 2236 1472 0 4388 3
16 17 18 4 5 6
630 0 -1471 -630 0 -1471 16
0 66667 0 0 -66667 0 17
-1471 0 4381 1471 0 2238 18
-630 0 1471 630 0 1471 4
0 -66667 0 0 66667 0 5
-1471 0 2238 1471 0 4381 6
1 2 3 7 8 9
646 0 -1477 -646 0 -1477 1
0 66667 0 0 -66667 0 2
-1477 0 4416 1477 0 2229 3
-646 0 1477 646 0 1477 7
0 -66667 0 0 66667 0 8
-1477 0 2229 1477 0 4416 9
4 5 6 10 11 12
644 0 -1476 -644 0 -1476 4
0 66667 0 0 -66667 0 5
-1476 0 4413 1476 0 2230 6
-644 0 1476 644 0 1476 10
0 -66667 0 0 66667 0 11
-1476 0 2230 1476 0 4413 12
1 2 3 4 5 6
25000 0 0 -25000 0 0 1
0 59 234 0 -59 234 2
0 234 1250 0 -234 625 3
-25000 0 0 25000 0 0 4
0 -59 -234 0 59 -234 5
0 234 625 0 -234 1250 6
7 8 9 10 11 12
25000 0 0 -25000 0 0 7
0 58 234 0 -58 234 8
0 234 1245 0 -234 626 9
-25000 0 0 25000 0 0 10
0 -58 -234 0 58 -234 11
0 234 626 0 -234 1245 12
k1 =
k2 =
k3 =
k4 =
k5 =
k6 =

7. MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

0.00 1
-50.00 2
0.00 3
0.00 4
-50.00 5
0.00 6
10.00 7
-50.00 8
F = 0.00 9
0.00 10
-50.00 11
0.00 12
R13 13
R14 14
R15 15
R16 16
R17 17
R18 18
0.0268 1
-0.0014 2
-0.0081 3
0.0268 4
-0.0016 5
-0.0081 6
0.0697 7
-0.0021 8
D = -0.0072 9
0.0695 10
-0.0024 11
-0.0071 12
0.0000 13
0.0000 14
0.0000 15
0.0000 16
0.0000 17
0.0000 18

0.00 1
-50.00 2
0.00 3
0.00 4
-50.00 5
0.00 6
10.00 7
-50.00 8
F = 0.00 9
0.00 10
-50.00 11
0.00 12
R13 13
R14 14
R15 15
R16 16
R17 17
R18 18
0.0268 1
-0.0014 2
-0.0081 3
0.0268 4
-0.0016 5
-0.0081 6
0.0697 7
-0.0021 8
D = -0.0072 9
0.0695 10
-0.0024 11
-0.0071 12
0.0000 13
0.0000 14
0.0000 15
0.0000 16
0.0000 17
0.0000 18
-5.03 13
92.87 14
21.31 15
R = -4.97 16
107.13 17
21.30 18

0.0000 92.87
0.0000 5.03
0.0000 21.31
0.0268 -92.87
-0.0014 -5.03
-0.0081 3.83
0.0000 107.13
0.0000 4.97
0.0000 21.30
0.0268 -107.13
-0.0016 -4.97
-0.0081 3.93
0.0268 46.66
-0.0014 5.04
-0.0081 11.34
0.0697 -46.66
-0.0021 -5.04
-0.0072 13.36
0.0268 53.34
-0.0016 4.96
-0.0081 11.24
0.0695 -53.34
-0.0024 -4.96
-0.0071 13.33
0.0268 0.01
-0.0014 -3.79
-0.0081 -15.17
0.0268 -0.01
-0.0016 3.79
-0.0081 -15.16
0.0697 4.96
-0.0021 -3.34
-0.0072 -13.36
0.0695 -4.96
-0.0024 3.34
-0.0071 -13.33
S4 = k4 x T4 x =
S1 = k1 x T1 x =
S2 = k2 x T2 x =
S3 = k3 x T3 x =
S5 = k5 x T5 x =
S6 = k6 x T6 x =

CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
- El método de la matriz rigidez proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas
de computación.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las deformaciones de una
estructura para poder comparar con las deformaciones permisibles que se indican
en las normas.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las fuerzas internas de los
elementos de una estructura para un posterior diseño sísmorresistente.
- El método de la matriz geométrica nos permite obtener los desplazamientos
adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados
por la carga vertical.
- Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final,
el refinamiento en el análisis carece de sentido.
8.2 RECOMENDACIONES
- Se recomienda realizar un programa en cualquier lenguaje de programación para la
solución lineal elástica de una estructura utilizando el método de la matriz rigidez.
- Se recomienda estudiar el método de la matriz rigidez para el análisis de
estructuras antes de usar cualquier software del mercado.
8.3 BIBLIOGRAFÍA
- Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales.
- Erly Marvin Enriquez Quispe. Análisis Estructural de 2° Orden (Efectos P – Δ)
- Hugo Scaletti Farina. Análisis Estructural.
- Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras.
- Luis G. Quiroz Torres. Introducción al Análisis Matricial.
- Mohamed Mehdi Hadi Mohamed. Análisis Matricial de Estructuras.
- R. C. Hibbeler. Análisis Estructural.
- Roberto Aguiar Falconí. Análisis matricial de estructuras.
- Victor Rojas. Análisis Matricial de Estructuras.

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