Este documento trata sobre variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una variable aleatoria discreta toma valores separados en la recta real, mientras que una continua puede tomar cualquier valor. También define la distribución de probabilidad, valor esperado y varianza para variables aleatorias discretas y presenta ejemplos como la binomial y Poisson.

1. Instituto Tecnológico Superior de
Zacapoaxtla
Departamento de Desarrollo
Académico
María del Consuelo Valle Espinosa

2. Variable aleatoria
Magnitud de interés que vienen determinadas por el resultado
de un experimento
Variable aleatoria discreta
Cuando sus posibles valores forman una sucesión de puntos
separados de la recta real
Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los n
posibles valores posibles: x1, x2, … , xn, P[X=xi] representará la
probabilidad de que X se igual a xi. El conjunto de estas
probabilidades se denomina distribución de probabilidades de
X, por el axioma 2 se sabe:
n
P[ X xi ] 1
i 1

3. Ejercicio:
Supongamos que X es una variable aleatoria que puede tomar uno
de los valores 1, 2 o 3. Si P[X=1] = 0.4 y P[x=2]= 0.1 ¿cuál es el valor
de P[X=3]?
Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los n
posibles valores posibles: x1, x2, … , xn, el valor esperado de
X, denotado por E[X], se define como:
E[ X ] xi P[ X xi ]
Otros nombres utilizados para identificar E[X] son esperanza de X
y media de X

4. El concepto de valor esperado es análogo al concepto físico del
centro de gravedad de una distribución de masas.
Considere una variable aleatoria cuyas probabilidades son
p(xi), i≥1.
Si se imagina una barra en la que se cuelgan pesos p(xi) en los
puntos xi, el punto en el que la barra se encontraría en
equilibrio se conoce como centro de gravedad.

5. Aunque el valor esperado representa la media ponderada de todos
lo valores posibles de la variable aleatoria, no proporciona
información alguna de la variación, o dispersión de dichos valores.
Dado que uno espera que la variable aleatoria tome valores
alrededor de su media E[X], una forma razonable de medir la
variación de X es considerar en qué medida X tiende a separarse de
su media. La medida más conveniente de la dispersión es la:
Varianza
Si X es una variable aleatoria con un valor esperado E[X] = µ, la
varianza de X, denotada por Var(X), se define como:
2
Var ( X ) E [( X ) ]
Desviación estándar
SD ( X ) Var ( X )

6.  Ensayo de Bernoulli.
 Familia Binomial.
 Familia Poisson.
 Familia Binomial Negativa

9. Algunas gráficas de miembros de esta familia
Número de ensayos
n = 10
con probabilidades de éxito,
p = .2 p = .5 p = .8

10. Si X es Binomial con parámetros n y p, se tiene que:
E[X] = np
Var (X) = np(1-p)
La pruebas independientes con iguales probabilidades de
éxito fuero inicialmente estudiadas por el matemático suizo
Jacques Bernoulli (1654 – 1705). En su libro Ars Conjectandi
(El arte de la conjetura), publicado en 1713 por su sobrino
Nicholas, ocho años después de su muerte, Bernoulli
demostró que, si el número de pruebas era suficientemente
grande, la proporción de éxitos es próxima a p con una
probabilidad próxima a 1.

11. 0.3
0.25
0.2
0.2
0.15
0.1 0.15 0.12
0.05 0.1
0.1
0 0.08
0 5 10 15 20 0.05
0.06
0 0.04
0 5 10 15 20 0.02
2 0
0 10 20 30
5
15

14. Gráfica de Binomial Negativa donde xi es el número de fracasos
antes de lograra r = 5 éxitos, para probabilidades p = .2, p =
.5, p = .8
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0.5
0 2 4 6
0.4
0.35 0.3
0.3 0.2
0.25
0.1
0.2
0
0.15
0 2 4 6
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6
La distribución binomial negativa también se puede
definir como el número de pruebas hasta la aparición
de r éxitos

15. Algunas consideraciones que permiten la elección de los
modelos de probabilidad aquí presentados.

16. Referencia:
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
ROSS, SHELDON M. Editorial REVERTE
ISBN: 978-84-291-5039-1