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1. PROGRESIONES
ARITMÉTICAS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Deducción de las fórmulas para obtener cada uno de los
elementos:
• De la fórmula 𝒖 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒓, se despejan a, r y n. Esto es:
• Primer término:
𝒂 = 𝒖 − 𝒏 − 𝟏 𝒓
• Razón:
𝒓 =
𝒖 − 𝒂
𝒏 − 𝟏
• Número de términos:
𝒏 =
𝒖 − 𝒂
𝒓
+ 𝟏 𝒐 𝒏 =
𝒖 − 𝒂 + 𝒓
𝒓

3. • Ejercicios:
1. El 15vo término de una progresión aritmética es 20 y la razón
2
7
. Hallar el
primer término.
2. Hallar la razón de la progresión 𝑃. 𝐴. = −1, ⋯ , −4 , donde -4 es el décimo
término.
3. ¿Cuántos términos tiene la 𝑃. 𝐴. = 4, 6, ⋯ , 30
Ejercicios:

4. Términos equidistantes
• Sea la 𝑃. 𝐴. = 𝑎, ⋯ , 𝑚, ⋯ , 𝑝, ⋯ , 𝑢 de razón r. Si entre a y m hay n términos y
entre p y u también hay n términos, entonces m y n son términos
equidistantes.
• Si hay n términos entre a y m, se tiene:
𝒎 = 𝒂 + 𝒏 + 𝟏 𝒓 … … . . 𝟏
ya que al término m le precede (n+1) términos contando al término a.
• De la misma forma, si hay n términos entre p y u, se tiene que:
𝒖 = 𝒑 + 𝒏 + 𝟏 𝒓 … … . . 𝟐

5. • Restando 2 en 1, se tiene 𝒎 − 𝒖 = 𝒂 − 𝒑, o bien, 𝒎 + 𝒑 = 𝒂 + 𝒖
• Esto demuestra que en toda progresión aritmética, la suma de dos términos
equidistantes es igual a la suma de los extremos.

6. Suma de los términos de una progresión aritmética:
• Sea la 𝑃. 𝐴. = 𝑎, 𝑏, 𝑐, ⋯ , 𝑙, 𝑚, 𝑢 , que consta de n términos. Si S es la suma de
los términos, se tiene que:
𝑺 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + ⋯ + 𝒍 + 𝒎 + 𝒖 …1
• O bien que:
𝑺 = 𝒍 + 𝒎 + 𝒖 + ⋯ + 𝒂 + 𝒃 + 𝒄…2
• Sumando 1 y 2:
𝟐𝑺 = 𝒂 + 𝒖 + 𝒃 + 𝒎 + 𝒄 + 𝒍 … + 𝒍 + 𝒄 + (𝒎 + 𝒃) + (𝒖 + 𝒂)

7. • Pero se sabe que todos los términos son iguales a (a + u) por ser equidistantes, esto
implica que:
𝟐𝑺 = 𝒂 + 𝒖 + 𝒃 + 𝒎 + 𝒄 + 𝒍 … + 𝒍 + 𝒄 + (𝒎 + 𝒃) + (𝒖 + 𝒂)
• Pero como la progresión tiene n términos:
𝟐𝑺 = 𝒂 + 𝒖 𝒏
Despejando S se obtiene la suma de los términos de una progresión aritmética:
𝑺 =
𝒂 + 𝒖 𝒏
𝟐

8. Ejercicios
1. Hallar la suma de los 9 primeros términos de 𝑃. 𝐴. = 31, 38, 45, ⋯
2. Obtener la suma de los primeros 14 términos de 𝑃. 𝐴. =
3
10
,
2
5
,
1
2
⋯
3. Hallar el doceavo término de 𝑃. 𝐴. = 11, 6, 1, ⋯
4. Hallar el 15vo término de 𝑃. 𝐴. =
2
7
,
1
8
, ⋯