ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales
Matemáticas Avanzadas
Alumno: Rolando Fernando
Echavarría Velázquez
Profesor: Lic. Edgar Mata Ortiz
Grupo: 7º ‘’A’’ T.M.

2. Concepto de ecuaciones
diferenciales
Una ecuación diferencial es una expresión que
involucra a una función desconocida y sus
derivadas.
Ejemplo:
Y+Y¹= 0
Definición de y
Y’ = Y prima
Y’’= Y biprima

3. Las ecuaciones diferenciales se
clasifican en :
-Ordinarias
-Parciales
Orden de una ecuación diferencial: Son los
grados y El orden de la derivada máxima que
aparece en la ecuación

4. Solución de una ecuación
diferencial
La solución en una función
desconocida’’ y’’ la variable
independiente ‘’X’’ definida en un
intervalo y es una función que satisface
la ecuación diferencial para todos los
valores de ‘’X ‘’en el intervalo

5. 1-. Solución Y’’ + 4y =0
Y= sen2x + cos2x
Y’= 2cos2x – 4cos (2x)
Y’’= – 4sen2x – 4 cos (2x)
La comprobación nos arroja
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
Esto nos arroja una solución general

6. 2-. Y= 5sen2x + 3cos2x
5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)
Y¹= – 6sen2x + 10cos2x
Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
Comprobación :
–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
Esto nos arroja una solución particular

7. Comprobar
3-. Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
Y¹ = 2x
2x + (x² – 1 ) ²= 1

8. 4-. Y’ + Y² = 0
Y=
1
푥
Y’= –
1
푋²
Y’’=
2
푋³
–
1
푋²
+ – (
1
푋
)² = 0
–
1
푋²
+ –
1
푋²
= 0

9. 5-. Y = 푒2푥
Solución :Y’’ + Y’ – 6 Y = 0
Y’=2 푒2푥
Y’’= 4 푒2푥
Comprobacion:
4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 ( 푒2푥) = 0
6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0

10. 6-.Y= 푒^(−2푥) + 푒^3푥
Solución :Y’’ + Y ‘ - 6Y = 0
Y ‘ = - 2 푒−2푥 + 3 푒3푥
Y’’ = - 4 푒−2푥 + 9푒3푥
Comprobación
-4 푒−2푥 + 9 푒3푥 - 2 푒−2푥+ 3 푒3푥 - 6 (푒−2푥 +
푒3푥) =0

11. 7-. Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y’ = 2 x² + 푒푥 + 푒−2푥
Y’’ = 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥
2+ 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥 -2 (x² + 푒푥 + 푒−2푥)= 0
2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥- 2 x²- 2 푒−2푥 =
2( 1+ X - x² )
2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

12. 8-.Y= C1 푒2푥 + C2 푒2푥
Solución : y‘’ - 4y´ + 4y = 0
Y’= 2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥
Y’’= 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥
Comprobación
=4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 4(2 C1
푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 ) + 4 (C1 푒2푥 + C2 푒2푥 ) =0
4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 8C1 푒2푥 -
8C 2 푥푒2푥 - 4 C 2 푒2푥 + 4C1 푒2푥 + 4 C2 푒2푥 = 0
8C1 푒2푥 + 8C 2 푥푒2푥 + 4 C 2 푒2푥 -12C2 푒2푥 - 8 C1 푒2푥 =
0
Y= 0

13. 푑푦
푑푥
=
푦
푥
∫
푑푦
푦
= ∫
푑푥
푥
Lny= Lnx + l n C1
Lny = LnC1x
Aplicado antilogaritmos
Y= C1x
Comprobación
Y= C1x
푑푦
= C1
푑푥

14.  Comprobación:
풚 = 푪ퟏ풙
풅풚
풅풙
= 푪ퟏ
Sustituyendo:
풅풚
풅풙
=
풚
풙
푪ퟏ =
푪ퟏ풙
풙
푪ퟏ = 푪ퟏ
풅풚
풅풙
=
풙
풚
풚풅풚 = 풙풅풙
풚ퟐ
ퟐ
=
풙ퟐ
ퟐ
+
푪ퟏ
ퟐ
2
풚ퟐ = 풙ퟐ + 푪ퟏ

15. Ecuaciones diferenciales exactas
1-. 푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2dy = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥
푁=푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
No existe posibilidad para separar las variables , por lo tanto se tiene que
buscar otro metodo

16. 푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푁
= 4
=4
∂ 푦
∂ 푥
 Si es una ecuación diferencial exacta por que :
 ∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4

17. 2-. 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푁
= 2푦
=푦
∂ 푦
∂ 푥
No es exacta porque:
∂ 푀
∂ 푦
= 2푦
son diferentes
∂ 푁
∂ 푥
=푦
A veces es posible encontrar un factor ( que llamamos factor
integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial
la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante
Se usa la siguiente formula:

18. utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por
medio de la expresión:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
푒
1
푥
푑푥 푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial original por este
integrante y el resultado de la multiplicación será una ecuación
diferencial exacta.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푁
=2푥푦
∂ 푦
∂ 푥
= 2푥푦

19. Simplemente aplicamos el método de solución de ecuaciones
diferenciales exactas:
Integramos: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
푥2
푥3
+ 푦2 +
+ 푔푦
4
2
3
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔푦
‘’f’’’ significa función
푥2푦 + gy = 푥2푦
Simplificando:
+푔푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔푦=0
Si 푔푦=0 entonces gy= C1

20. Por lo tanto la función buscada es :
Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
푥4
푥2
푥3
+ 푦2 +
+ 퐶1 = 퐶2
4
2
3
Simplificando
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
Multiplicando por 12 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶

21. 3-. 3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
SOLUCION : 3푥2 + 푦2
푀 = 3푥2 + 푦2 푁 = −2푥푦푑푦
휕푀
휕푁
= 2y
= −2y
휕푦
휕푋
No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar el factor
integrante:
휕푀
휕푁
−
휕푦
휕푥
푁
=
2푦−(−2푦)
−2푥푦
=
2푦+2푦
−2푥푦
=
4푦
−2푦
=
−2
푥
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
−2
푑푥
푒
푑푥 −2
푥
푒푥 푒푙푛푥
−
2
= 푥−2 =
1
푥2
3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
1
푥2
3 +
푦2
푥2 푑푥 −
2푦
푥
푑푦 = 0
푀 = 3 +
푦2
푁 = −2푦
푥2 푥
휕푀
휕푦
=
2푦
푥2 푢 = −2푦 푣 = 푥
푣
푑푢
푑푥
−푢
푑푣
푑푥
푣2
푑푢
푑푥
= 0
푑푣
푑푥
= 1
휕푁
휕푥
=
푥 0 − 2 −2푦 (1)
(푥)2
휕푁
휕푥
= 2푦
푥2

22.  Integramos : 3 +
푦2
푥2 dx
3 +
푦2
푥2 dx =3 푑푥 + 푦2
푑푥
푥2 = 3푥 + 푦2 푥−2
푓 = 3푥 + 푦2 푥−1
−1
+ 푔푦
푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 푔푦
Determinar : 푔푌
휕푓
2푦
= −
+ 푔푦
휕푦
푥
−
2푦
푥
+ 푔푦=−
2푦
푥
푔푦=−
2푦
푥
+
2푦
푥
= 푔푦=0

23. Sustitución 푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 퐶1 푠표푙푢푐푖표푛: 3푥 −
푦2
푥
+ C1 = C2
Reduciendo 3푥 −
푦2
푥
= C 푥
Multiplicando por x 3푥
푦2
푥
= C 푥
Solución = 3푥2 − 푦2 = 퐶푥