Este documento define tensión y deformación, y explica cómo se transmiten las fuerzas externas a través de los sólidos. Describe que la tensión representa la fuerza por unidad de área y puede descomponerse en componentes normales y cortantes. Luego, presenta las ecuaciones que relacionan las componentes del tensor de tensiones y resuelve un ejemplo numérico para calcular las tensiones normal y cortante en un plano dado.

1. Estados de Tensión y
Deformación
Resolución del Ejercicio N° 1 de
la Guía de la Práctica – TP N° 2
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Introducción
Veamos la definición
de Tensión:
Se denomina tensión a la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área
en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio
continuo.
Con el objeto de explicar cómo se transmiten a través de los sólidos las fuerzas externas
aplicadas, es necesario introducir el concepto de tensión, siendo este, el concepto físico
más relevante de la mecánica de los medios continuos, y de la teoría de la elasticidad.
Dependiendo de la orientación del plano en cuestión,
el vector tensión puede no ser perpendicular al
mismo, y puede descomponerse en dos vectores: una
componente normal al plano, llamada tensión
normal (), y otro componente contenida en el plano,
denominada tensión cortante ().

3. Introducción

x
y
z
xy
xz
zx
yx
zy
yz
x
y
z
A
Consideremos el equilibrio de un tetraedro
elemental ABCD:
Conociendo x, y, z, xy, yz, xz la tensión 
que se ejerce sobre un plano que pasa por A,
cuya normal tiene por cosenos directores (l, m,
n) y considerando que…
…si ds es el área de la cara BCD, las áreas de las
caras ACD, ABD y ABC serán respectivamente:
l.ds, m.ds, n.ds…
l.ds
m.ds
n.ds
B
C
D ds
…el equilibrio del tetraedro conduce a
las siguientes ecuaciones:























n
m
l
n
m
l
n
m
l
z
yz
xz
z
zy
y
xy
y
zx
yx
x
x













4. Introducción
z
y
x
A
Consideremos el equilibrio de un tetraedro
elemental ABCD:
… siendo las componentes x, y, z …
x
y
z

… estas relaciones muestran que el conjunto de las
tensiones alrededor de un punto forman un tensor
simétrico:
























n
m
l














z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
… siendo además:
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
sin
cos
n
m
l
n
m
l z
y
x
z
y
x

































n (normal al plano BCD)
C
D
B
… donde:


x
y
z
xy
xz
zx
yx
zy
yz
 (proyección
de  sobre la
normal n)
 (proyección
de  sobre el
plano BCD)

5. Introducción
z
y
x
A
…por lo tanto:
El vector  tendrá las siguientes componentes:
x, y, z referidas al la terna x, y, z …
x
y
z

n (normal al plano BCD)
C
D
B


… y las siguientes componentes: ,  referidas
a la normal n y al plano BCD …
Las componentes x, y, z son invariantes para
un determinado estado tensional, pero las , 
dependerán del plano de referencia…
… por lo tanto habrá un plano para el cual, las
tensiones  serán máximas y las tensiones 
mínimas (min = 0) …
… estas direcciones definen las direcciones
principales y las tensiones  correspondientes
serán las tensiones principales.

6. Enunciado
Veamos el siguiente
ejemplo:
Referido a una terna (x, y, z) se ha determinado para un plano cuya normal “n” exterior
tiene los cosenos directores (l, m, n) que las componentes del vector de tensión  son
(x, y, z). Se pide:
Escribir las ecuaciones vectoriales de los vectores “n” y .
Determinar la componente normal  y la tangencial .
Hacer la figura de análisis.
Datos: l = 0,4; m = 0,6; x = 20 MN/m2; y = 100 MN/m2; z = 30 MN/m2

7. Resolución
Definiremos primero el valor del coseno
director “n”:
 
2
2
2
2
2
1
1 m
l
n
n
m
l 






Siendo:   6928
,
0
6
,
0
4
,
0
1 2
2




 n
…por lo tanto, el vector “n” será:
z
y
x e
e
e
n 





 6928
,
0
6
,
0
4
,
0






 k
j
i
n 6928
,
0
6
,
0
4
,
0
…y el vector  resulta: k
m
MN
j
m
MN
i
m
MN








 2
2
2
30
100
20


8. Resolución
Determinamos la componente
normal  y la tangencial :
Las determinamos como sigue…
            2
2
2
2
2
2
2
30
,
106
30
100
20
m
MN
z
y
x 







 




    



 6928
,
0
;
600
,
0
;
400
,
0
30
;
100
;
20
n

 2
78
,
88
m
MN



    


2
2



…y siendo:
…calculamos el módulo del vector tensión :
…calculamos su proyección sobre la normal al plano “n” por medio de producto escalar :
2
46
,
58
m
MN




9. Resolución
…y la figura de
análisis será:
z
y
x
A
x
y
z

n (normal al plano BCD)
C
D
B



10. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

11. Muchas Gracias