TRIGONOMETRÍA 2.pdf

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G r u p o E d i t o r i a l
TRIGONOMETRÍA
2
INICIALES TRIGONOMETRÍA.indd 1 5/12/19 10:28

Te ayudarán a desarrollar los temas de una manera ordenada y progresiva.
Geometría Analítica
Pablo llevó a la biblioteca a sus hijos Maritza y
Valentín para que buscaran información comple-
mentaria a sus estudios.
A la mitad de la lectura de una publicación de in-
ternet, Maritza encontró el siguiente gráfico:
(0; 15)
(0; 0)
(12; 0)
θ ¿La tgθ = es?
¿Cómo podrías obtener dicho valor?
¿Es posible obtener el resultado pedido?
Geometría analítica
En esta sección, estudiaremos las propiedades trigo-
nométricas que se cumplen en un sistema cartesiano.
Sistema Cartesiano
Es un sistema formado por dos rectas numéricas
perpendiculares cuyo punto de intersección reci-
be el nombre de origen de coordenadas.
X
II Cuadrante
(II C)
III Cuadrante
(III C)
I Cuadrante
(I C)
Y
0
IV Cuadrante
(IV C)
Eje X: Eje de las abcisas
Eje Y: Ejedelasordenadas
Punto 0: Origen
Ubicación de un punto en el sistema cartesiano
Todo punto P ubicado en el plano cartesiano, está
determinado por un par ordenado (x;y), el cual re-
cibe el nombre de “coordenada de P”. Su repre-
sentación geométrica es la siguiente:
Se denominan:
x: abcisa del punto P
y: ordenada del punto P
Y
X
P(x; y)
y
x
Observación:
a. El signo de las ordenadas y las abscisas depen-
derá del cuadrante al que pertenecen, es decir:
II C
x < 0 ⋀ y > 0
III C
x < 0 ⋀ y < 0
I C
x > 0 ⋀ y > 0
IV C
x > 0 ⋀ y < 0
Y
X
0
b. Si el punto está ubicado en el Eje X, la coorde-
nada de la ordenada será igual a cero.
X
P
Y
x
P ∈ eje X ⇒ P = (x; 0)
c. Si el punto está ubicado en el Eje Y, la coorde-
nada de la abscisa será igual a cero.
X
Y
P
y P ∈ eje Y ⇒ P = (0; y)
Distancia entre dos puntos en el sistema
cartesiano
a. Distancia horizontal (Dh): si dos puntos se encuen-
tran sobre una misma recta paralela al eje X, su
distancia horizontal, se calcula restando las absci-
sas de cada punto.
X
X1
X2
Y
y
Q P
Dh
D x x
h 2 1
= -
Donde: x2 > x1
b. Distancia vertical (Dv): si dos puntos se encuen-
tran sobre una misma recta paralela al eje Y, su
distancia vertical, se calcula restando las orde-
nadas de cada punto.
D y y
v 2 1
= -
Donde: y2 > y1
X
y2
y1
P
Y
Q
Dv
x
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
24
1. De la gráfica mostrada, calcula el valor de «x»
A
C
B
2x
10° – x/2
Primero, dibujamos ambos ángulos en el
mismo sentido
A
C
B
2x
–(10° – x/2)
Luego:
– x
10
2
° -
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O + 2x = 180° & x
10
2
°
- + + 2x = 180°
x
2
5
= 190° & 5x = 380° & x = 76°
2. Del gráfico mostrado, determina el valor de «x»
A
B
80°
x
C
Dibujamos ambos ángulos en el mismo
sentido
A
B
80°
–x
C
Luego
–x + 80° = 90°
& x = −10°
3. Observa la figura mostrada y halla el valor de a b
3
+
A
B
C
a b
D
A
B
C
–a –b
D
Luego
–a + 90° – b = 180° & –(a + b) + 90° = 180°
& a + b = –90° & a b
3 3
90°
+
= -
= –30°
4. Halla el valor de «x»
A
C
B
3x + 50°
10° – 4x
A
C
B
3x + 50°
–(10° – 4x)
Luego:
–(10° – 4x) + (3x + 50°) = 180°
–10° + 4x + 3x + 50° = 180°
7x + 40° = 180° & 7x = 140° & x = 20°
5. Si se sabe que: j – ω=140°. Calcula el valor de y,
en la gráfica mostrada.
A
D
C
B
–170°
–y
ω
ϕ
Dibujamos todos ángulos en el mismo sentido
A
D
C
B
–(–170°)
– ω
–(–y)
ϕ
Luego: j – ω + y + 170° = 360°
Por dato: j – ω = 140°, entonces
140° + y + 170° = 360°
& y + 310° = 360° & y = 50°
6. De la figura mostrada, determina el valor de b + θ
D O
30°
2β
2θ
C B
A
D O
30°
–(2β)
–(2θ)
C B
A
Luego
30° – 2b – 2θ = 180° & –2(b + θ) + 30° = 180°
& –2(b + θ) = 150° & b + θ =
2
150°
- = –75°
Prohib
ida
la
reprod
ucción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualqu
ier
medio
o
proced
imiento
sin
permis
o
expres
o
de
la
Editoria
l.
9
Trigonometría
Unida
d
1
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los
aprendizajes
esperados.
Formula preguntas
para orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta
un conflicto
cognitivo
relacionado
con el enfoque
transversal.
Los ejercicios
resueltos son
ejemplos
de como
se deben
resolver los
problemas
referidos a
los temas
propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Trigonometría
Valoramos la
importancia de nuestro
proceso de aprendizaje
Unidad I
• Reconoce los elementos de un ángulo
trigonométrico.
• Resuelve problemas que involucran ángulos
en sentido horario y antihorario.
• Interpreta convenientemente los conceptos
sobre medidas angulares.
• Realiza conversiones entre sistemas
angulares de manera correcta.
• Identifica los elementos de un sector circular
con su respectivo valor.
• Representa geométricamente un sector
circular y determina su área correspondiente.
Unidad II
• Reconoce las razones trigonométricas de
ángulos agudos dentro de un triángulo
rectángulo.
• Resuelve problemas aplicando las razones
trigonométricas de ángulos agudos.
• Identifica las razones trigonométricas
recíprocas y de ángulos complementarios.
• Efectúa problemas de razones
trigonométricas recíprocas y
complementarias para ángulos agudos.
• Define las razones de ángulos notables y
determina el valor de las relaciones entre
dichos ángulos.
• Identifica los principales casos de triángulos
notables.
Unidad III
• Interpreta la definición de ángulos de
elevación y depresión.
• Utiliza las razones trigonométricas de
ángulos agudos para la aplicación de
ángulos de elevación y depresión.
• Reconoce las componentes de un plano
cartesiano para resolver problemas de
distancia entre dos puntos.
• Resuelve problemas trigonométricos dentro
de un plano cartesiano.
• Reconoce de forma gráfica un ángulo en
posición normal.
• Efectúa problemas relacionados con
ángulos en posición normal.
Unidad IV
• Reconoce los ángulos cuadrantales dentro
• Resuelve problemas en donde se emplean
las razones trigonométricas de ángulos
cuadrantales.
• Realiza la reducción de ángulos al primer
cuadrante de ángulos en posición normal.
• Identifica todos los casos de reducción de
ángulos al primer cuadrante.
• Reconoce las propiedades de las razones
trigonométricas en la circunferencia unitaria.
• Resuelve problemas de áreas mediante
las propiedades de la líneas seno, coseno y
tangente.
Durante la reunión de padres de familia, el profesor a cargo de los estudiantes del 2° de secundaria
habló acerca de la importancia de la construcción de los aprendizajes en los estudiantes; los cuales
tienen mucha influencia en su desarrollo personal, más aún en el ámbito profesional.
En la actualidad se observa mucho descuido por parte de los estudiantes en el ámbito educativo, en
muchos casos generada por la distracción con aparatos tecnológicos o falta de motivación en ellos
mismos.
Es por ello, que el profesor exhortó a los padres a dialogar más con sus hijos con la finalidad de crear
en ellos un ambiente de mayor interés por el estudio y reconocer la importancia de construir sus
aprendizajes de forma autónoma.
Búsqueda de la
excelencia.
Enfoque transversal
Perseverancia,
liderazgo.
Valores
Desempeños
• ¿Sobre qué tema trato el tutor en la reunión de padres de familia?
• ¿Crees que es importante que los padres incentiven a sus hijos a mejor su desempeño educativo?
• ¿Qué otros factores crees que ocasionan la dificultad del desarrollo del aprendizaje?
Observamos y respondemos
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
6 7
Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra
el enfoque
transversal y los
valores a trabajar
en la unidad.

Cuaderno de trabajo
61
Prohibid
a
la
reprodu
cción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquie
r
medio
o
procedim
iento
sin
permiso
expreso
de
la
Editoria
l.
Básico
Intermedio Avanzado
Unida
d
3
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si Katty observa desde un punto en tierra a 16
metros de la base de un edificio, observa su
parte más alta con un ángulo de elevación de
37°. Determina la altura del edificio.
37°
16 m
h
a. 10 m
b. 12 m
c. 14 m
d. 16 m
2. Desde un punto que se encuentra a 4 metros
de un poste, se observa su parte más alta con
un ángulo de elevación de θ. Halla la altura del
poste, si tg θ =
2
3
θ
h
4 m
a. 6 m
b. 8 m
c. 9 m
d. 10 m
3. Si Víctor tiene 1.5 metros de estatura, y está
ubicado a 16 metros de una torre de 13.5 me-
tros de altura. Calcula el ángulo de elevación
con que Víctor observa la parte más alta de la
torre.
1,5
m
1,5 m
16 m
θ
12 m a. 37°
b. 45°
c. 53°
d. 60°
Nivel intermedio
4. Si desde un punto en tierra ubicado 21 metros
de un edificio, se observa su parte alta con un
ángulo de elevación de 53° ¿Cuál es la altura
del edificio?
a. 23 m b. 25 m c. 28 m d. 30 m
5. Joselis tiene una estatura de 2 metros, y está
ubicada a 10 metros de una torre y observa la
parte más alta con un ángulo de elevación de
45°. ¿Cuál es la altura de la torre?
a. 20 m b. 18 m c. 15 m d. 12 m
6. Un gato de 0,6 metros de estatura observa una
pelota en el suelo con un ángulo de depresión
de 37° ¿Cuántos centímetros de distancia hay
entre el gato y la pelota?
x
37°
0,6 m a. 60 cm
b. 80 cm
c. 85 cm
d. 90 cm
7. Desde lo alto de una azotea de una casa se ob-
serva un roedor en el suelo con un ángulo de
depresión θ y ctg θ = 2. Si el roedor se encuen-
tra a 12 metros de la base de la casa ¿A qué
altura está la azotea?
12 m
h
θ
θ
a. 8 m
b. 7 m
c. 6 m
d. 5 m
Nivel avanzado
8. Un bote que se encuentra a 36 metros del pie de
un faro, observa su parte más alta con un ángulo
deelevaciónde45°¿Cuántodebeacercarseelbote
paraqueelnuevoángulodeelevaciónsea53°?
36 m
45°
53°
a. 18 m
b. 15 m
c. 12 m
d. 9 m
9. Sonia observa desde un punto en tierra la altu-
ra de un edificio con un ángulo de elevación θ.
Si Sonia se acerca 50 metros el ángulo de ele-
vación seria α. Calcula la altura del edificio, si
ctg θ − ctg α= 0.5
a. 100m b. 110 m c. 120m d. 200m
Nivel destacado
10. Un niño de 1.5 metros de estatura observa una
cometa con un ángulo de elevación de 45°, se
acerca 18 metros y vuelve observar la cometa con
un ángulo de elevación de 53°. Halla la altura des-
de el punto en tierra hasta donde esté la cometa.
a. 85 m b. 82.5m c. 73.5m d. 70 m
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b a a c d b c d a c
Interiores
Este
no
prac
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos
que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información sus-
tancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades senci-
llas que deberás realizar en el aula.
TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela-
cionada al tema tratado.
Metacognición: son preguntas formula-
das para que reflexiones sobre tu propio
aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos que
brindan información complementaria al
tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
•
• Seno y secante no son R.T. recíprocas
•
• Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
•
• Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
TIC
cuadrantales:
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
62
Prohibida
la
reproducció
n
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimien
to
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Recordamos lo aprendido
Sistema Cartesiano
X
II Cuadrante
(II C)
III Cuadrante
(III C)
I Cuadrante
(I C)
Y
0
IV Cuadrante
(IV C)
Eje X: Eje de las
abcisas
Eje Y: Eje de las
ordenadas
Punto 0: Origen
Se denominan:
Y
X
P(x; y)
y
x
II C
x < 0 ⋀ y > 0
III C
x < 0 ⋀ y < 0
I C
x > 0 ⋀ y > 0
IV C
x > 0 ⋀ y < 0
Y
X
0
Distancia entre dos puntos en el sistema cartesiano
a. Distancia horizontal (Dh): b. Distancia vertical (Dv):
X
x1
x2
Y
y
Q P
Dh
X
y2
y1
P
Y
Q
Dv
x
D x x
h 2 1
= -
Donde: x2 > x1
D y y
v 2 1
= -
Donde: y2 > y1
Distancia entre dos puntos en el sistema cartesiano
C
Dv
A(x1; y1)
x1
x2
Dh
B(x2; y2)
y2
y1
d
,
d A B x x y y
2 1
2
2 1
2
= - + -
^ ^ _
h h i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Indica si las siguientes proposiciones son ver-
dadero (V) o falso (F) según corresponda:
a. (−4;2) pertenece al II C … ( )
b. (8;7) pertenece al III C … ( )
c. (2;3) pertenece al I VC … ( )
2. Determina a que cuadrante pertenecen los si-
guientes puntos. Justifica tu respuesta.
A(−5;2); B(3;−7); C(−5;−12); D(13;17)
3. Halla el valor de C = DH + DV
X
DH
(−6; 1)
(−8; −7)
(−6; −6)
(1; −7)
Y
Dv
O
Para el desarrollo
de los ejercicios
presentamos un
resumen de la
teoría.
Presentamos una
serie de ejercicios
para reforzar lo
aprendido en
clase.
Presentamos un
ejercicio para
plantearnos
retos.
Presentamos los problemas con una
jerarquía de niveles: nivel básico,
intermedio y avanzado.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
•
• ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
•
• ¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que...

Texto escolar
1
Valoramos la
importancia de
nuestro proceso
de aprendizaje
6 - 7
Valores
Perseverancia,/
liderazgo.
Enfoque
transversal
Búsqueda de la
excelencia
Ángulo trigonométrico 8
Sistema de medidas angulares 10
Sector circular 12
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos 15
Razones trigonométricas recíprocas y
de ángulos complementarios 17
Razones trigonométricas de ángulos notables 19
3
Ángulos verticales 22
Geometría analítica 24
Razones trigonométricas
de ángulos en posición normal 26
4
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales 29
Reducción del primer cuadrante 31
Circunferencia trigonometríca 33
Cuaderno de trabajo
1
Ángulo trigonométrico 38
Sistema de medidas angulares 41
Sector circular 44
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos 49
Razones trigonométricas recíprocas y
de ángulos complementarios 52
Razones trigonométricas de ángulos notables 55
3
Ángulos verticales 59
Geometría analítica 62
Razones trigonométricas
de ángulos en posición normal 65
4
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales 70
Reducción del primer cuadrante 73
Circunferencia trigonometríca 76

UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
TRIGONOMETRÍA
1

Valoramos la
importancia de nuestro
proceso de aprendizaje
Unidad I
• Reconoce los elementos de un ángulo
trigonométrico.
• Resuelve problemas que involucran ángulos
en sentido horario y antihorario.
• Interpreta convenientemente los conceptos
sobre medidas angulares.
• Realiza conversiones entre sistemas
angulares de manera correcta.
• Identifica los elementos de un sector circular
con su respectivo valor.
• Representa geométricamente un sector
circular y determina su área correspondiente.
Unidad II
• Reconoce las razones trigonométricas de
ángulos agudos dentro de un triángulo
rectángulo.
• Resuelve problemas aplicando las razones
trigonométricas de ángulos agudos.
• Identifica las razones trigonométricas
recíprocas y de ángulos complementarios.
• Efectúa problemas de razones
trigonométricas recíprocas y
complementarias para ángulos agudos.
• Define las razones de ángulos notables y
determina el valor de las relaciones entre
dichos ángulos.
• Identifica los principales casos de triángulos
notables.
Durante la reunión de padres de familia, el profesor a cargo de los estudiantes del 2° de secundaria
habló acerca de la importancia de la construcción de los aprendizajes en los estudiantes; los cuales
tienen mucha influencia en su desarrollo personal, más aún en el ámbito profesional.
En la actualidad se observa mucho descuido por parte de los estudiantes en el ámbito educativo, en
muchos casos generada por la distracción con aparatos tecnológicos o falta de motivación en ellos
mismos.
Es por ello, que el profesor exhortó a los padres a dialogar más con sus hijos con la finalidad de crear
en ellos un ambiente de mayor interés por el estudio y reconocer la importancia de construir sus
aprendizajes de forma autónoma.
Búsqueda de la
excelencia.
Enfoque transversal
Perseverancia,
liderazgo.
Valores
Desempeños
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Trigonometría
Unidad III
• Interpreta la definición de ángulos de
elevación y depresión.
• Utiliza las razones trigonométricas de
ángulos agudos para la aplicación de
ángulos de elevación y depresión.
• Reconoce las componentes de un plano
cartesiano para resolver problemas de
distancia entre dos puntos.
• Resuelve problemas trigonométricos dentro
• Reconoce de forma gráfica un ángulo en
posición normal.
• Efectúa problemas relacionados con
ángulos en posición normal.
Unidad IV
• Reconoce los ángulos cuadrantales dentro
• Resuelve problemas en donde se emplean
las razones trigonométricas de ángulos
cuadrantales.
• Realiza la reducción de ángulos al primer
cuadrante de ángulos en posición normal.
• Identifica todos los casos de reducción de
ángulos al primer cuadrante.
• Reconoce las propiedades de las razones
trigonométricas en la circunferencia unitaria.
• Resuelve problemas de áreas mediante
las propiedades de la líneas seno, coseno y
tangente.
• ¿Sobre qué tema trato el tutor en la reunión de padres de familia?
• ¿Crees que es importante que los padres incentiven a sus hijos a mejor su desempeño educativo?
• ¿Qué otros factores crees que ocasionan la dificultad del desarrollo del aprendizaje?
Observamos y respondemos
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7
2 TRIGO.indd 7 29/11/19 19:45

Ángulo Trigonométrico
Triángulo trigonométrico
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de
un rayo alrededor de su origen llamado vértice,
desde una posición inicial (lado inicial) hasta una
posición final (lado final).
A'
A
O
θ
Elementos:
• O: vértice del ángulo.
• OA : lado inicial.
• OA' : lado terminal
• θ: medida del ángulo trigonométrico.
Características del ángulo trigonométrico
1. Sentido
De acuerdo al sentido de rotación del rayo OP ,
el ángulo trigonométrico puede ser:
a. Positivo: cuando el sentido de rotación es
contrario al movimiento de las manecillas de
un reloj (antihorario).

O
P
α
a: ángulo positivo
b. Negativo: cuando el sentido de rotación es
igual al movimiento de las manecillas de un
reloj (horario).
O
P
β b: ángulo negativo
Durante la época de exámenes, Carlos busca
optimizar su tiempo de estudio al máximo, es
por ello que su hermana Daniela le ayuda a
controlar sus tiempos. Como él asiste a clases
en las tardes, empieza a estudiar a partir de las
8:30 am y culmina a las 11:00 am, dándole así
tiempo para alistarse e ir a clases.
¿Cuántas horas estudia Carlos?
¿En qué sentido se encuentra el ángulo dibu-
jado en la imagen?
2. Magnitud
La medida de un ángulo trigonométrico puede
extenderse de forma ilimitada, dependiendo
de la rotación en que se genere, puede ser
positivo o negativo.
Gráficamente, se representa de la siguiente
manera:

α β
+3 –3
a . 0°

b , 0°
Observaciones:
• Si se cambia el sentido de la rotación de un
ángulo, entonces su medida cambiara de
signo.

α
O
B
A
–α
O
B
A
• Para sumar o comparar ángulos
trigonométricos, estos deben tener el mismo
sentido.
Ejemplo:
Determina el valor de α

100°
α
Solución:
Lo primero es cambiar el sentido al ángulo α

100°
–α
–α + 100° = 180°
–α = 80°
& α = –80°
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TEX_2SCMTRIGONOMETRIA_1UNIDAD_1-3.indd 8 5/12/19 10:31

1. De la gráfica mostrada, calcula el valor de «x»
A C
B
2x 10° – x/2

Primero, dibujamos ambos ángulos en el
mismo sentido
A C
B
2x –(10° – x/2)
Luego:
–
x
10
2
° -
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O + 2x = 180° &
x
10
2
°
- + + 2x = 180°
x
2
5
= 190° & 5x = 380° & x = 76°
2. Del gráfico mostrado, determina el valor de «x»

A
B
80°
x
C

Dibujamos ambos ángulos en el mismo
sentido
A
B
80°
–x
C
Luego
–x + 80° = 90°
& x = −10°
3. Observa la figura mostrada y halla el valor de
a b
3
+
A
B C
a b
D

A
B C
–a –b
D
Luego
–a + 90° – b = 180° & –(a + b) + 90° = 180°
& a + b = –90° &
a b
3 3
90°
+
=
-
= –30°
4. Halla el valor de «x»
A C
B
3x + 50°
10° – 4x

A C
B
3x + 50°
–(10° – 4x)
Luego:
–(10° – 4x) + (3x + 50°) = 180°
–10° + 4x + 3x + 50° = 180°
7x + 40° = 180° & 7x = 140° & x = 20°
5. Si se sabe que: j – ω=140°. Calcula el valor de y,
en la gráfica mostrada.

A
D
C
B
–170°
–y
ω
ϕ

Dibujamos todos ángulos en el mismo sentido
A
D
C
B
–(–170°)
– ω
–(–y)
ϕ
Luego: j – ω + y + 170° = 360°
Por dato: j – ω = 140°, entonces
140° + y + 170° = 360°
& y + 310° = 360° & y = 50°
6. De la figura mostrada, determina el valor de β + θ
D O
30°
2β
2θ
C
B
A

D O
30°
–(2β)
–(2θ)
C
B
A
Luego
30° – 2β – 2θ = 180° & –2(β + θ) + 30° = 180°
& –2(β + θ) = 150° & β + θ =
2
150°
-
= –75°
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9
Trigonometría
Unidad
1

Sistema de medidas angulares
Jenny, Karen y Margarita se encontraban realizan-
do su tarea de geometría, y para ello se apoyaban
de algunas páginas de internet. Pero se dieron con
la sorpresa que en una de ellas encontraron un
triángulo dibujado de la siguiente forma:
50g 45°
2
p
¿Estará bien representado él triángulo?
¿Son equivalentes 50g y 45°?
1. Sistema sexagesimal
Llamado también sistema inglés, divide el án-
gulo de una vuelta en 360 partes iguales, su
unidad de medida es un grado sexagesimal (1°).
90°
270°
0°
360°
180°
Equivalencias
1 vuelta = 360°
1°= 60'
1'= 60"
1°= 3600"
Ejemplo:
Si a°b'c"= 6°+87'+93", halla el valor de
M = a × b+c.
Solución:
Realizamos las conversiones respectivas
93" = 60" + 33" = 1' + 33"
87'+1' = 88' = 60' + 28" = 1° + 28'
6°+1° = 7°
Luego,
a°b'c" = 7° + 28' + 33"
a°b'c" = 7°28'33"
a = 7; b = 28; c = 33
Reemplazando los valores en la expresión:
M = a × b − c =7 × 28 − 33 = 163
2. Sistema centesimal
El sistema centesimal o francés, divide el ángu-
lo de una vuelta en 400 partes iguales, su uni-
dad de medida es un grado centesimal (1g).
100g
300g
0g
400g
200g
Equivalencias
1 vuelta = 400g
1g = 100m
1m = 100s
1g = 10000s
Ejemplo:
Convertir 3g 20m a minutos centesimales.
Solución:
Se tiene: 3g 20m = 3g + 20m
3g 20m = 3 × 1g + 20m
Remplazamos 1g = 100m en:
3g 20m = 3 × 100m + 20m
3g 20m = 300m + 20m
Por lo tanto, 3g 20m = 320m
3. Sistema radial
En el sistema radial o circular tiene como uni-
dad de medida el radian (rad).
1 vuelta <> 2prad
prad <> 180°
R
R
R
1rad
Ejemplos:
• Expresa 3p radianes en grados sexagesimales:
Solución:
Si p rad = 180° ⟹ 3p = 3(p rad)
3p = 3(180°) ⟹ 3p = 540°
• Determina 135° en radianes:
Solución:
Se tiene:
135°×
rad
rad
180 4
3
p
p
=
c ⟹ 135°= rad
4
3
p
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10

4. Equivalencia entre los sistemas de medidas an-
gulares
• Consideremos las siguientes notaciones:
S: medida del ángulo en grado sexagesimales.
C: medida del ángulo en grados centesimales.
R: medida del ángulo en radianes.
S C
rad
Rrad
360 400 2
g
g
p
= =
c
c
Luego de reducir la expresión anterior, llega-
mos a la siguiente equivalencia:
S C R
180 200 p
= =
• Con las mismas notaciones utilizadas anterior-
mente, un mismo ángulo trigonométrico,
puede ser expresado mediante los 3 sistemas
de la siguiente forma:
S k C k R
k
9 10 20
/ /
p
= = =
Ejercicios resueltos
1. Determina el valor de «x» si
(3x − 18)° = rad
15
6p
Convertimos rad
15
6p
agradossexagesimales
rad
rad rad
rad
15
6 180
15
1080
72
#
p
p p
p
= =
c c
c
rad
15
6
72
p
= c
Luego:
(3x−18)°=72° ⟹ 3x−18=72°
3x=90°⟹ x=30°
Por lo tanto, el valor de «x» es 30°.
2. Si S y C representan un mismo ángulo
trigonométrico. Reduce la siguiente expresión.
A C S
C S
6
= +
+
+
Como C y S representan un mismo ángulo
⟹ S = 9k ∧ C = 10k
Luego, reemplazando en la expresión ante-
rior, tenemos que:
A
k k
k k
k
k
10 9
10 9
6
19
6
=
-
+
+ = +
A 19 6 25 5
= + = =
3. Reduce la expresión
''
' ''
''
' ''
E 17
3 24
15
4 45
= +
Primero, convertimos el numerador de
cada fracción a segundos sexagesimales.
3'24"= 3(60")+24"= 180"+ 24"= 204"
4'45"= 4(60")+45"= 240"+ 45"= 285"
Reemplazando los valores en la expresión:
E = ''
''
''
''
17
204
15
285
+
E = 12+19=31
Por lo tanto, E es igual a 31.
4. Calcula el valor de «x».
A C
x+5°
50g
B
Del gráfico tenemos:
x + 5° = 50g
x + 5°= 50g × 200
180
g
c
= 45°
⟹ x + 5°= 45° ⟹ x = 40°
Por lo tanto, el valor de «x» es 40°.
5. Expresa el valor de α + β en el sistema
sexagesimal
α = rad
9
7
50 12
g
p
+ + c
β = rad
5
3
60 20
g
p
+ + c
Convertimos ambas expresiones al sistema
sexagesimal:
Para 𝛼:
9
7
9
7 180
140 9
7
140°
(
# 12
p p
p
p
= =
c
c
50g = 50g ×
200
180
g
c
= 45° ⟹ 50g <> 45°
⟹ α = 140°+45°+ 12°=197°
Para β:
°
5
3
5
3 180
108 5
3
108
(
# 12
p p
p
p
= =
c
c
60g <> 60g × 200
180
g
c
= 54° ⟹ 60g <> 54°
⟹ β = 108°+54°+20°=182°
Finalmente α + β = 197° + 182° = 379°.
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11
Trigonometría
Unidad
1

Sector Circular
Sector Circular
Se llama sector circular a una parte de la circunfe-
rencia comprendida por un arco y los radios que
lo conforman.
Representación
Se distinguen los siguientes elementos:
R: radio de la circunferencia
AB
%
: arco de circunferencia
L: longitud de arco
A
B
L
R
R
O
α
Longitud de Arco (L)
Es la medida del arco que forma al sector circular.
Para obtener la longitud utilizamos la siguiente
fórmula:
R
θ
R
O
A
B
L
L = q 3 R
q: está expresado
en radianes
De la cual se deducen las siguientes fórmulas
auxiliares:
q =
R
L
R =
L

Longitud de la Circunferencia
La longitud de la circunferencia se obtiene me-
diante la fórmula de longitud de arco.
2π
R
O
L9 = 2π × R
Los padres del 2° grado de secundaria se reunie-
ron para dialogar de que forma pueden contri-
buir en el desarrollo del aprendizaje de sus hijos.
La reunión fue exitosa, por lo que ellos decidie-
ron realizar este tipo de reuniones de forma
más seguida.
¿Sobre qué tema trataron los padres de familia
en la reunión?
En la figura mostrada, ¿cómo obtendrías el área
de la región limitado por los puntos A, O y B?
Propiedad (Relación de Longitudes)
Si en un sector circular se tienen dos longitudes
de arco, la relación de estos será igual a la relación
de sus respectivos radios.
A
B
O
Lr
LR
r
r
R
R
L
L
r
R
r
R
=
Forma General
A continuación, generalizamos la propiedad
para más de dos longitudes de arco en un sector
circular.
Caso 1: Si los arcos se encuentran separados a
igual distancia, se cumple:
k: constante de
proporcionalidad
O
n
n
θ
n
L1 L2 L3 L4 ...
n
n
n
n
n
...
L L L
k
1 2 3
1 2 3
= = = =
Caso 2: Si las distancias entre los arcos son dife-
rentes, se cumple:
O
a
L1 L2 L3
θ
b
c
...
( ) ( )
...
a
L
a b
L
a b c
L
k
1 2 3
=
+
=
+ +
= =
O
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12

Área del Sector Circular (S)
Es el área de la región limitada por un sector cir-
cular. Para obtener el área utilizamos la siguiente
fórmula:
R
θ
R
O
A
B
L S =
R
2
2
#

Fórmulas auxiliares para calcular el área de un
sector circular:
• En función de la longitud de arco y el ángulo
central:
L = R × θ R =
L

Reemplazamos en la fórmula:
S =
R
L L L
L
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2
2
#
# #
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
= = = =
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Entonces: S =
L
2
2

• En función del radio y la longitud de arco:
Sabemos que: L = R × θ
Reemplazamos en la fórmula:
S =
( )
R R R R L
2 2 2
2
# # # #
θ θ
= =
Entonces: S =
R L
2
#
Área de la Circunferencia
El área de la circunferencia se calcula mediante la
fórmula de área del sector circular.
2π
R
O
S9 = π × R2
Área del Trapecio Circular
Se llama trapecio circular a aquella región que se
encuentra limitada por la diferencia de dos sec-
tores circulares concéntricos. Su área se calcula
mediante la siguiente fórmula:
A
B
O
ST
L l
h
h
h
h
ST =
L l
h
2
#
+
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
Propiedad (Relación de Áreas)
Si en un sector circular encontramos diferentes
regiones, el área de estos se calculará dependien-
do de los siguientes casos:
Caso 1: Si los arcos se encuentran separados a
igual distancia, se cumple:
...
S S S
k
1 3 5
1 2 3
= = = =
k: constante de
proporcionalidad
S1 S2 S3
O θ
n
n
n
...
Caso 2: Si las distancias entre los arcos son dife-
rentes, se cumple:
r2
r2
r3
r3
r1
r1
S1 S2 S3
O θ ...
...
r
S
r
S S
r
S S S
k
1
2
1
2
2
1 2
3
2
1 2 3
=
+
=
+ +
= =
1. Determina el valor de A =
S S
S S
2
5 3
1 2
2 1
-
-

S2 S1
O

Observamos el caso 1, de la propiedad de
relación de áreas, entonces:
S S
k
1 3
2 1
= =
S2 = k / S1 = 3k
Reemplazamos en la expresión A:
A =
S S
S S
2
5 3
1 2
2 1
-
-
A =
( ) ( )
( ) ( )
k k
k k
3 2
5 3 3
-
-
A =
k k
k k
k
k
3 2
5 9 4
-
-
=
-
Por tanto, el valor de A será –4.
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13
Trigonometría
Unidad
1

UNIDAD
2
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
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14

Razones trigonométricas de ángulos agudos
Triángulo Rectángulo
Se denomina triángulo rectángulo a todo triángulo
que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°.
Sea el triángulo ABC (recto en C), las posiciones
relativas de los lados del triángulo respecto a sus
ángulos agudos son:
C
a
β
α
c
b
hipotenusa
cateto
cateto
B
A
• Para α:
a = Cateto opuesto
b = Cateto adycente
c = Hipotenusa
• Para β:
a = Cateto adyacente
b = Cateto opuesto
c = Hipotenusa
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en todo trián-
gulo rectángulo se cumpla lo siguiente: «La longitud
de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los dos catetos».
En el triángulo ABC del gráfico anterior, se tiene:
c2 = a2 + b2
Este teorema nos permite relacionar los tres lados
de un triángulo rectángulo, cuando conocemos
dos de ellos y queremos saber el valor del terce-
ro. Por el Teorema de Pitágoras deducimos las si-
guientes fórmulas:
c = a b
2 2
+ b = c a
2 2
- a = c b
2 2
-
Ejemplo:
Calcula el valor de «x» en el siguiente triángulo
rectángulo:
12
15
x
Jaime esta pendiente de los aprendizajes de su
hijo, es por ello que en ocasiones le plantea al-
gunos retos, con el fin de ayudar a mejorar su
aprendizaje. Esta ves le planteo el reto siguiente:
3
5
α
Si: senα= 2
p
, ¿cuánto es
senα + 3?
¿Cuál será el resultado?
¿Conoces otras expresiones similares a senα?
Solución:
Por la fórmula deducida del Teorema de Pitágoras:
x = 15 12 225 144 81
2 2
- = - =
` x = 9
Razones Trigonométricas de ángulos
agudos (R.T.)
Las razones trigonométricas (R.T.) de un ángulo
agudo son los cocientes que se forman entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángu-
lo, con respecto a cada ángulo agudo.
Las razones trigonométricas son seis y las presen-
tamos en la siguiente tabla:
Razón
Trigonométrica
Abreviatura Forma
Seno sen
hipotenusa
cateto opuesto
Coseno cos
hipotenusa
cateto adyacente
Tangente tg
cateto adyacente
cateto opuesto
Cotangente ctg
cateto opuesto
cateto adyacente
Secante sec
cateto adyacente
hipotenusa
Cosecante csc
cateto opuesto
hipotenusa
Para los ángulos agudos α y β del triángulo ABC:
• sen a = c
a
csc a = a
c
cos a = c
b
sec a =
b
c
tg a =
b
a
ctg a = a
b
• sen b = c
b
cos b =
b
c
cos b = c
a
sec b = a
c
tg b = a
b
ctg b =
b
a
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15
Trigonometría
Unidad
2

Ejemplo:
Determina todas las R.T. con respecto al ángulo α,
en el siguiente triángulo:
15
α
8
17
Las R.T. para α serán:
sen α =
17
8
cos α =
17
15
tg α =
15
8
ctg α =
8
15
sec α =
15
17
csc α =
8
17
Observación:
Para α: ángulo agudo
1. Dado que, la longitud de la hipotenusa siem-
pre es mayor que la medida de los catetos, en-
tonces las razones trigonométricas que tengan
de denominador a la hipotenusa siempre serán
menores que la unidad, es decir:
0 sen α 1
0 cos α 1
2. El caso de las razones trigonométricas que ten-
gan de numerador a la hipotenusa, serán ma-
yores a la unidad, es decir:
sec α 1
csc α 1
Ejemplo:
Determina el intervalo al que pertenece la si-
guiente expresión, si θ es un ángulo agudo:
G = 3sen θ + 4
Solución:
Por la Observación N° 1, sabemos que:
0 sen θ 1
Luego:
0 3sen θ 3
4 3sen θ + 4 7
` G ! 4; 7
1. Halla el valor de a, si ctg δ =
5
3
.
δ
39
a

• Del gráfico: ctg δ = a
39
• De dato: ctg δ =
5
3
Igualando:
a
39
5
3
= a = 65
2. Si ctg β =
2
3
, calcula el valor de A = 13 sen β

• Primero, construimos el triángulo
rectángulo

h
β
3
2
• Aplicando la fórmula del Teorema de
Pitágoras:
h = 3 2
2 2
+
h = 13
• Finalmente, reemplazando en la
expresión:
A = 13 sen β = 13
13
2
J
L
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
` A = 2
3. En un triángulo ABC (recto en C), determina el
valor de la expresión G = ctg B.sen B + 2cos B,
si sen A = 0.55555...(periódico puro).

• sen A = 0.55555... =
9
5
, construimos el
triángulo:

A
b
9
5
C B
• Aplicando la fórmula deducida del
Teorema de Pitágoras:
b = 9 5 56 2 14
2 2
- = =
• Reemplazando en la expresión:
G = ctg B.sen B + 2cos B
G =
2 14
5
9
2 14
2
9
5
+
J
L
K
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
` G =
9
5
9
10
3
5
+ =
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
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16

Razones trigonométricas recíprocas y de ángulos
complementarios
Razones trigonométricas recíprocas
Dos razones trigonométricas de un ángulo agudo
serán denominadas recíprocas, si su producto es
igual a 1.
¿Cuáles serán las Razones Trigonométricas recí-
procas entre sí?
Analicemos las RT para 0° α 90°
sen a = c
a
cos a = c
b
tg a =
b
a
csc a = a
c
sec a =
b
c
ctg a = a
b
a
b
c
a
De la tabla, observamos:
sen α . csc α = c
a
a
c
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O sen α . csc α = 1
cos α . sec α = c
b
b
c
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O cos α . sec α = 1
tg α . ctg α =
b
a
a
b
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O tg α . ctg α = 1
Obteniendo así las razones trigonométricas recí-
procas entre sí son:
• sen α y csc α
• cos α y sec α
• tg α y ctg α
Propiedades
1. Para un ángulo 0° α 90° se cumple:

sen a = csc
1
a cos sec
1
a a
=
tg ctg
1
a a
=
Daniel se encontraba estudiando lo aprendido sobre
el tema de razones trigonométricas de ángulos agu-
dos, cuando se percató de algo en particular para un
determinado gráfico
7
25
24
α
θ
senα=cosθ
¿Es correcto lo que dedujo Daniel?
¿Se cumplirá esta propiedad para 2 ángulos dentro
de un triángulo rectángulo?
2. Para los ángulos agudos 0° α, β 90° se
cumple:

sen α . csc β = 1 α = β
cos α . sec β = 1 α = β
tg α ∙ ctg β = 1 α = β
Ejemplos:
a. Reduce la siguiente expresión:
G =
( ). ( )
( ). ( )
cos sec
tg x ctg x
x x
3 2 2 1
5 1 1 3
-
+ + +
Solución:
Sabemos que cos y sec de un mismo ángulo
son recíprocos, así como también tg y ctg, por
tanto, se cumplirá:
cos(x + 1) . sec(x + 1) = 1
tg(2x) . ctg(2x) = 1
Finalmente, reemplazamos en la expresión:
G =
( )
( )
3 1 1
5 1 3
2
8
-
+
= = 4
b. Determina el valor de α + θ si se cumple:
csc(3θ – 20°) . sen 70° = 1
tg(50° + α) . ctg(6α) = 1
Solución:
Por la Propiedad N° 2
• 3θ – 20° = 70°
3θ = 90° θ = 30°
• 50° + α = 6α
50° = 5α a = 10°
Finalmente, calculamos el valor de la expresión:
α + θ = 10° + 30° = 40°
` α + θ = 40°
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17
Trigonometría
Unidad
2

Razones trigonométricas de ángulos
complementarios
Dos ángulos agudos se denominan complemen-
tarios si la suma de dichos ángulos es 90°.
¿Qué relación tienen las razones trigonométricas
de ángulos complementarios?
Analicemos las RT para α y β complementarios en
el siguiente triángulo rectángulo (α + β = 90°)
sen a = c
a
sec a =
b
c
tg a =
b
a
cos b = c
a
csc b =
b
c
ctg b =
b
a
a
b
c
a
b
De la tabla, observamos:
sen α . cos b tg α . ctg b sec α . csc b
En forma análoga, también se cumplirá:
sen b . cos a tg b . ctg a sec b . csc a
Debido a esto, surge un nuevo término, las Co-
Razones Trigonométricas, que se van a definir del
siguiente modo:
Co – RT(α) = RT(β)
donde α y β son complementarios.
Ejemplos:
• seno (40°) = co-seno (50°), pues 40° + 50° = 90°
• secante (78°) = co-secante (12°), pues 78° + 12° = 90°
Observaciones:
1. Son Co-Razones las siguientes RT:
• seno y coseno
• secante y cosecante
• tangente y cotangente
2. Dado que α y (90° – α) son complementarios:
• sen α = cos (90° – α)
• sec α = csc (90° – α)
• tg α = ctg (90° – α)
Propiedad
Sean dos ángulos agudos 0° α; β 90°
sen α = cos β α + β = 90°
sec α = csc β α + β = 90°
tg α = ctg β α + β = 90°
Ejemplo:
Calcula el valor de β, si:
csc(3β + 42°) = sec(2β – 12°)
Solución:
De la observación N° 1, sabemos que sec y csc son
co-razones, entonces por la propiedad:
(3β + 42°) + (2β – 12°) = 90°
5β + 30° = 90°
5β = 60° β = 12°
1. Reduce la siguiente expresión:
G =
( )
( ) ( ) ( )
cos
ctg
sen tg
70
75 20 15
°
° ° °
+ -

75° + 15° = 90° sen(75°) = cos(15°), que-
dando en la expresión:
G =
( )
( )
ctg
tg
70
20
°
°
20° + 70° = 90° tg(20°) = ctg(70°),
quedando finalmente:
G = 1
2. Determina el valor de «x»:
sen(5x – 30°) =
( )
csc x 50
1
°
+

Desarrollando la expresión, obtenemos la
siguiente igualdad:
sen(5x – 30°) . csc(x + 50°) = 1
Por la propiedad N° 2 de RT recíprocas:
5x – 30° = x + 50°
4x = 80° x = 20°
3. Halla el valor de α, si:
sec(β + 3α + 40°) – csc(2α – β + 10°) = 0

Desarrollando la expresión, obtenemos la
siguiente igualdad:
sec(β + 3α + 40°) = csc(2α – β + 10°)
Sabemos que sec y csc son co–razo-
nes y por la propiedad de RT de ángulos
complementarios:
(β + 3α + 40°) + (2α – β + 10°) = 90°
5α = 40° α = 8°
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18

Razones trigonométricas de ángulos notables
Ángulos notables
Los ángulos notables, son aquellos ángulos que
aparecen con mayor frecuencia en la resolución
de problemas sobre triángulos rectángulos.
Los ángulos notables que destacan son los de
medida: 30°, 60°, 45°, 53°, 37°, 16°, 74°.
Razonestrigonométricasdeángulosnotables
Las razones trigonométricas de ángulos notables no
dependen de la longitud de los lados del triángulo
rectángulo, sólo dependen de la medida del ángu-
lo notable, el cual nos va permitir conocer la propor-
ción en la que se encuentran los lados del triángulo.
Razones trigonométricas de 37° y 53°
La proporción de los lados del triángulo para los
ángulos notables de 37° y 53°están dado de la si-
guiente manera:
4k
3k
5k
37°
53°
k: constante de
proporcionalidad
Las R.T. para 37° y 53° son:
R.T. 37° 53°
sen 5
3
5
4
cos 5
4
5
3
tg 4
3
3
4
ctg 3
4
4
3
sec 4
5
3
5
csc 3
5
4
5
Martha busca fomentar el proceso de investigación en
sus estudiantes, es por ello que les pide buscar infor-
mación sobre las propiedades de un ángulo notable.
En forma de ayuda le muestra los siguientes gráficos:
1
2
60°
30°
3
1
1
45°
2
45°
¿Qué observas en los gráficos?
¿Conoces algún ángulo notable?
Observación:
La proporción de los lados de los triángulos con
ángulos de medida 53°/2 y 37°/2, será:
k
2k
53°/2
5 k
k
3k
37°/2
10 k
Las R.T. para los ángulos notables de 30° y 60° son:
R.T. 30° 60°
sen 2
1
2
3
cos
2
3
2
1
tg
3
1
3
ctg 3
3
1
sec
3
2
2
csc 2
3
2
Observación:
Para hallar las R.T. de los ángulos notables de 30°
y 60°, asociamos dichos ángulos al triángulo equi-
látero con su altura:
60°
60°
2k 2k
k
k
3 k
30°
30°30°
30°
k
2k
30°
60°
3 k
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19
Trigonometría
Unidad
2

Razones trigonométricas de 45°
Las R.T. para el ángulo notable de 45° son:
R.T. 45°
sen
2
1
cos
2
1
tg 1
ctg 1
sec 2
csc 2
Observación:
Para hallar las R.T. del ángulo notable de 45°, aso-
ciamos a dicho ángulo con un cuadrado y su dia-
gonal trazada:
k
k
k k
45°
45°
2 k
Las R.T. para los ángulos notables de 16° y 74° son:
R.T. 16° 74°
sen
25
7
25
24
cos
25
24
25
7
tg
24
7
7
24
ctg
7
24
24
7
sec
24
25
7
25
csc
7
25
24
25
Razones trigonométricas de ángulos notables
auxiliares
Además de las R.T. mencionadas anteriormente,
también están las R.T. para los ángulos de 8° y 82°;
15° y 75°.
15°
75°
4k
( 6 – 2)k
( 6 + 2)k
2 k
5
8°
82°
k
7k
1. Reduce la siguiente expresión
A = 4csc 82° . sec 45° + ctg 16° . sec 37°

csc 82° =
7
5 2
/ sec 45° = 2
ctg 16° =
7
24
/ sec 37° =
4
5
Reemplazando en la expresión:
A = . .
4
7
5 2
2 7
24
4
5
+
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
`
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
j
A =
7
40
7
30
7
70
+ =
` A = 10
2. Determina el valor de ctg α

A C
D
37°
20
α
B

Según la proporcionalidad de los lados
para el ángulo notable de 37°:
5k = 20 k = 4
A C
D
37°
20
(5k)
(3k)
2k
2k
(4k)
α
B
Reemplazando:
AD = 8
DC = 8
BC = 12
Entonces:
ctg α =
DC
BC
8
12
= ctg(α) =
2
3
3. Del gráfico, halla el valor de «x»

50
x
74° 45°

Trazamos la altura BH y según las pro-
porcionalidades de los ángulos notables
74° y 45°:
25k = 50 k = 2
x = 7k + 24k = 31 k
` x = 62
A
50
H x (24k)
(7k)
(25k)
(24k)
(24k)
C
B
74° 45°
k
k
45°
45°
2 k
25k
7k
24k
16°
74°
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20

UNIDAD
3
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
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21

Ángulos verticales
Ángulos verticales
Son los ángulos determinados en un plano verti-
cal formados por dos líneas imaginarias: una línea
visual o “línea de mira” y una línea horizontal, que
parte de la vista del observador.
Línea visual: une la vista del observador con el ob-
jeto observado.
Línea horizontal: pasa a través de la vista del ob-
servador y es paralela al nivel del piso.
Tierra - suelo
Objeto
Observador
Línea horizontal
Línea visual
a
b
Donde:
• α y β: son ángulos verticales
• α: ángulo de elevación
• β: ángulo de depresión
Ángulo de elevación
Es aquel ángulo agudo que se forma por la línea
horizontal y la línea visual, cuando el objeto ob-
servado se encuentra por encima de la vista del
observador.
Objeto
Línea horizontal
Línea visual
a
Observador Tierra - suelo
α: ángulo de elevación
Ángulo de depresión:
Es aquel ángulo agudo que se forma por la línea
horizontal y la línea visual, cuando el objeto ob-
servado se encuentra por debajo de la vista del
observador.
Objeto
Línea horizontal
Línea visual
b
Observador
Tierra - suelo
β: ángulo de depresión
Ángulo de observación
Es aquel ángulo que se forma por dos líneas vi-
suales al observar un objeto en su totalidad.
Línea visual
Línea visual
d
Observador Tierra - suelo
Objeto
δ: ángulo de observación
Observación:
• Para dar solución a problemas sobre ángulos
verticales, debemos iniciar identificando el án-
gulo vertical para poder construir correctamen-
te el triángulo rectángulo, a partir de los datos
que nos dan.
• Si en el problema no tenemos de dato la altu-
ra del observador, se considera por convención,
que la observación se está realizando desde un
punto ubicado al ras del piso.
El deporte es un factor que contribuye al
aprendizaje de los estudiantes, ya que son
formas de distracción saludable y divertida
a la vez. Es por ello, que el tutor del 2° de
secundaria indicó que es importante que se
complementen.
¿Esimportanteeldeporteparaconlosestudios?
Con respecto al gráfico, α recibe el nombre de
ángulo de depresión, ¿habías visto este término
en alguna otra ocasión?
Ángulo de depresión
α
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22

• Debemos recordar la siguiente propiedad
geométrica de rectas paralelas:
L1
α
α = θ
θ
L2
1. Israel observa la parte más alta de un árbol con
ángulo de elevación de 53°. Si Israel y la línea
visual miden 1.8 m y 10 m respectivamente.
Calcula la altura del árbol.
Con los datos mencionados graficamos el
triángulo rectángulo correspondiente:
5k=10 m
53°
1,8 m
h
H
5k=10 ⇒ k=2
Entonces:
h = 4k = 4(2) ⇒ h = 8 m
Finalmente, del gráfico observamos:
H = h+1.8 = 8+1.8 = 9.8
Por tanto, la altura del árbol será de 9.8 m.
2. Desde lo alto de un edificio de 120 m de altura
se observa un auto estacionado bajo un ángulo
de 74°. Calcula la longitud de la línea visual.
El enunciado describe un problema sobre
ángulo de depresión, graficamos:
74°
x
74°
120m
sen x
x x
x
74
120
25
24 120
24
120 25
125
°

=
= = =
^ h
1 2 3
44444 44444
Por lo tanto, la línea visual mide 125 m.
3. Determina la altura de un poste, si se sabe que
el ángulo de elevación es de 37° en un punto y
de 45° al acercarse 6 m a su base.
Ya que no se menciona la altura del obser-
vador, por la observación N° 2 ubicaremos
dicho punto al ras del suelo, obteniendo:
45°
x
x C
B
A H
37°
6 m
Del gráfico, observamos:
tan
x
x
x
x
37
6
4
3
6
° =
+
=
+
^ h
1 2 3
4444
4 4444
4
3x +18 = 4x ⇒ 18 = x
Por tanto, la altura del poste será de 18 m.
4. Una antena está fijada en lo alto de un edificio. Un
observador de altura imperceptible se encuentra
a 12 m observando la punta de la antena y la parte
superior del edifico con 53° y 37° respectivamente.
Determina la longitud de la antena.
Con los datos mencionados graficamos:
53°
37°
12 m
P
C
H
x
B
A
Para el triángulo APC:
tan
H H
H m
37
12 4
3
12
9
°
= = =
^ h
Para el triángulo ABC:
tan
H x x
x
x x
53
12 12
9
3
4
12
9
21 3 7
°

=
+
=
+
=
+
= =
^
^
^ ^
h
h
h h
Por tanto, la longitud de la antena será de 7 m.
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Trigonometría
Unidad
3

Geometría Analítica
Pablo llevó a la biblioteca a sus hijos Maritza y
Valentín para que buscaran información comple-
mentaria a sus estudios.
A la mitad de la lectura de una publicación de in-
ternet, Maritza encontró el siguiente gráfico:
(0; 15)
(0; 0)
(12; 0)
θ ¿La tgθ es?
¿Cómo podrías obtener dicho valor?
¿Es posible obtener el resultado pedido?
En esta sección, estudiaremos las propiedades trigo-
nométricas que se cumplen en un sistema cartesiano.
Sistema Cartesiano
Es un sistema formado por dos rectas numéricas
perpendiculares cuyo punto de intersección reci-
be el nombre de origen de coordenadas.
X
II Cuadrante
(II C)
III Cuadrante
(III C)
I Cuadrante
(I C)
Y
0
IV Cuadrante
(IV C)
Eje X: Eje de las abcisas
Eje Y: Ejedelasordenadas
Punto 0: Origen
Todo punto P ubicado en el plano cartesiano, está
determinado por un par ordenado (x;y), el cual re-
cibe el nombre de “coordenada de P”. Su repre-
sentación geométrica es la siguiente:
Se denominan:
Y
X
P(x; y)
y
x
Observación:
a. El signo de las ordenadas y las abscisas depen-
derá del cuadrante al que pertenecen, es decir:
II C
x 0 ⋀ y 0
III C
x 0 ⋀ y 0
I C
x 0 ⋀ y 0
IV C
x 0 ⋀ y 0
Y
X
0
b. Si el punto está ubicado en el eje X, la coorde-
nada de la ordenada será igual a cero.
X
P
Y
x
P ∈ eje X ⇒ P = (x; 0)
c. Si el punto está ubicado en el eje Y, la coorde-
nada de la abscisa será igual a cero.
X
Y
P
y
P ∈ eje Y ⇒ P = (0; y)
Distancia entre dos puntos en el sistema
cartesiano
a. Distancia horizontal (Dh): si dos puntos se encuen-
tran sobre una misma recta paralela al eje X, su
distancia horizontal, se calcula restando las absci-
sas de cada punto.
X
X1 X2
Y
y
Q P
Dh
D x x
h 2 1
= -
Donde: x2 x1
b. Distancia vertical (Dv): si dos puntos se encuen-
tran sobre una misma recta paralela al eje Y, su
distancia vertical, se calcula restando las orde-
nadas de cada punto.
D y y
v 2 1
= -
Donde: y2 y1
X
y2
y1
P
Y
Q
Dv
x
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c. Distancia entre dos puntos: si dos puntos cua-
lesquiera ubicados en el plano cartesiano, su
distancia se calcula con ayuda del Teorema de
Pitágoras.
C
Dv
A(x1; y1)
x1 x2
Dh
B(x2; y2)
y2
y1
d
,
d d A B D D
v h
2
2
= = +
_ i
,
d A B x x y y
2 1 2 1
2 2
= - + -
^ ^ _
h h i
Donde:
Dh = x2 – x1
Dv = y2 – y1
d. Punto medio (M): es aquel punto que equidista
a dos puntos o extremos de un segmento.
Q(y1; y2)
M(x0; y0)
P(x1; x2)
x
x x
2
0
1 2
=
+
y
y y
2
0
1 2
=
+
e. Radio vector (r):
r: radio vector punto P
x
y
r
0
P(x; y)
r x y
2 2
= +
1. Calcula el valor de b a
3
-
Q(a; b – 9)
–1
–2
Del gráfico, observamos: a=−1 ⋀ b−9=−2
⇒ a=−1 ⋀ b=7
b a 7 1 8 2
3 3 3
- = - - = =
^ h
2. Determina la distancia del punto P al punto Q
P
(6; 7)
(–10; 3)
(4; –1) Q (8; –1)
Del gráfico, observamos que P y Q son
puntos medios, entonces:
;
P
2
10 6
2
3 7
=
- + +
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
;
P 2 5
= -
_ i
;
Q
2
4 8
2
1 1
=
+ - -
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
;
Q 6 1
= -
_ i
Finalmente, calculamos d(P,Q):
,
,
d P Q
d P Q
6 2 1 5
8 6 100
2 2
2 2
= - - + - -
= + - =
_
_ ^
_ ^
^
^
i
i h
hi
h
h
Por lo tanto d(P,Q) = 10
3. Calcula el área de la circunferencia.
Si PQ es el diámetro de la circunferencia.
P = (10; 5)
O
r
(2; –1) = Q
Sabemos que:
Diámetro = 2r = d(Q, P)
Entonces:
r
r
r
2 10 2 5 1
2 8 6 100 10
5
2 2
2 2

= - + - -
= + = =
=
^ _ ^
h hi
Finalmente calculamos el área de la
circunsferencia:
A ⊝ = π x 52=25 π
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25
Trigonometría
Unidad
3

Ángulo en posición normal
Llamado también ángulo en posición canónica
o estándar; es aquel ángulo cuyo lado inicial
coincide con el semieje positivo de las abscisas
(Eje X) y su vértice con el origen de coordenadas.
Y
Lado inicial
α:ánguloenposiciónnormal
Lado
term
inal
P(x; y)
II C
III C
I C
IV C
α
x
Observación:
a. El lado terminal de un ángulo en posición nor-
mal puede caer en cualquier cuadrante o eje
coordenado (Eje X, Eje Y).
b. El cuadrante al que pertenece un ángulo en
posición normal corresponde al cuadrante en
el que se encuentra su lado terminal.
Ejemplo: Observa y describe los ángulos del si-
guiente gráfico.
Y
X
β
α
θ
II C
III C
I C
IV C
• β ∈ III C, está en posición normal y en sentido
antihorario.
• α ∈IV C, está en posición normal y en
sentido horario.
• θ está en sentido antihorario, pero no está
en posición normal.
Razones trigonométricas de ángulos en
posición normal
Para definir las razones trigonométricas (R.T.) de
un ángulo en posición normal, se necesita conocer
un punto perteneciente a su lado terminal.
Veamos el siguiente gráfico.
y
Y
P(x; y)
X
x
r
θ
r es radio vector del
punto P, entonces:
r x y
2 2
= +
Luego, las R.T. de ángulos en posición normal se
definen de la siguiente manera:
R.T. Forma Según el gráfico
sen
radio vector
ordenada
r
y
cos
radio vector
abscisa
r
x
tg
abscisa
ordenada
x
y
ctg
ordenada
abscisa
y
x
sec
abscisa
radio vector
x
r
csc
ordenada
radio vector
y
r
Razones Trigonométricas de ángulos en
posición normal
Fernando y Gloria van a participar en el concurso
de matemáticas y deciden encontrarse en un
determinado lugar con su profesora para ir
todos juntos. Para una mejor orientación, ella les
envía una imagen de la ubicación en donde va a
realizarse el encuentro. Al final pudieron llegar al
lugar correcto gracias a la imagen que recibieron.
Con respecto a la imagen, ¿habías escuchado
alguna vez el término “ángulo en posición normal”?
Punto de
encuentro
Ángulo en
posición
normal
θ
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26

Signos de las Razones trigonométricas
En el siguiente gráfico, identificaremos los
cuadrantes donde las razones trigonométricas
son positivas.
Sen (+)
Csc (+)
Todas las
R.T. son (+)
90°
270°
180°
0°
360°
Tg (+)
Ctg (+)
Cos (+)
Sec (+)
II C
III C IV C
I C
1. Determina el signo de la siguiente expresión.
A = sen 195°∙ tan 220°
csc 315°+ctg 97°
+ cos 350°
• 195° ∈III C ⇒ sen 195° = (–)
• 220° ∈III C ⇒ tan 220° = (+)
• 315° ∈IV C ⇒ csc 315° = (–)
• 97° ∈II C ⇒ ctg 97° = (–)
• 350° ∈IV C ⇒ cos 350° = (+)
Reemplazando los signos:
A=
(–)(+)
(–)+(–)
+(+)
A=
(–)
(–)
+ (+) = (+) + (+) ⇒ A = (+)
2. Calcula el valor de M = cos csc
10 15
θ θ
-
:
P 10 15
- -
` j
θ
Del punto P sabemos que: x= 10
- ; y= 15
-
Calculamos su radio vector:
r
r r
10 15 10 15
25 5
2 2

= - + - = +
= =
` `
j j
Entonces:
cos r
x
5
10
= =
-
⋀
csc y
r
15
5
= =
-
M= 10
5
10
15
15
5
- - -
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
M = (–2) – (– 5) ⇒ M = 3
3. Halla el valor de la expresión G = tg .ctg
a a
M
S(–8; 2)
T (–2; 8)
α
Del gráfico, observamos que el punto M es
punto medio del segmento (ST), entonces:
x y
; ;
M M
2
8 2
2
2 8 5 5

=
- + - + = -
J
L
K
K
K
K
^ ^
`
N
P
O
O
O
O
h h
j
V S
Entonces:
tg x
y
5
5
1
= =
-
=- ⋀ ctg y
x
5
5
1
= =
-
=-
G G
1 1 1

= - - =
^ ^
h h
4. Si β∈ IV C y tgβ =
3
7
- . Determina 7 senβ + cosβ
Del dato β ∈ IV C y tgβ =
3
7
- entonces el
gráfico será de la forma:
β x
y
tg β= x
y
⇒ x = 3 ⋀ y = 7
-
y su radio vector:
r 3 7 4
2 2
= + - =
` j
Entonces:
sen r
y
4
7
= =
-
⋀ cos r
x
4
3
= =
sen cos
7 7 4
7
4
3
b b
+ =
-
+
c a
m k
sen cos
7 4
7
4
3
1
b b
+ =
-
+ = -
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27
Trigonometría
Unidad
3

UNIDAD
4
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
28
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Unidad
4
En la clase de trigonometría el profesor
escribió lo siguiente:
90°
(0; y1)
α
Se cumple que:
sen α=1
¿Será correcto lo mencionado por él profesor?
El ángulo α, ¿es igual a 90°?
¿En alguna ocasión llegaste a oír la expresión
“ángulo cuadrantal”?
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
Ángulos cuadrantales (A.C.)
Son aquellos ángulos en posición normal cuyo
lado final coincide con alguno de los semiejes
coordenados, ya sea de las abscisas (Eje X) o de
las ordenadas (Eje Y).
Los principales ángulos cuadrantales son: 0°, 90°,
180°, 270° y 360°.
0°
Y
X
90°
Y
X
180°
Y
X
X
270°
Y
360°
Y
X
Las medidas de los ángulos cuadrantales serán
múltiplos de 90° o π
2
rad, es decir, serán de la forma:
A.C. = 90°×n ∨ A.C.=
π
2
×n ; n ∈ N
Veamos:
90° 180° 270° 90° 360° 450° 630° 720°
π
2
π 3π
2
2π 5π
2
3π 7π
2
4π
Observación
• Entonces, para saber si un ángulo es cuadrantal,
bastará con dividirlo entre 90°, si el resultado es
un número entero, será cuadrantal.
Ejemplo:
Determina cuál de los siguientes ángulos son
cuadrantales
1210°; 2089°; 540°; 810°
Solución:
Verifiquemos cuáles de ellos cumplen con la
condición:
• 1210° = 90°(13) + 40°
• 2089° = 90°(23) + 23°
• 540° = 90°(6)
• 810° = 90°(9)
Serán ángulos cuadrantales 540° y 810°, pues son
los únicos divisibles por 90°.
Propiedad
Un ángulo θ en posición normal positivo y menor
a una vuelta, cumple según el gráfico lo siguiente:
90°
270°
360°
180°
o
0°
IIIC
IIC
IVC
IC
θ ∈ I ⇒ 0° θ 90°
θ ∈II ⇒ 90° θ 180°
θ∈III ⇒ 180° θ 270°
θ∈IV ⇒ 270° θ 360°
29
Trigonometría
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Ejemplo:
Indica a que cuadrante pertenecen los siguientes
ángulos son cuadrantales.
135°; 356°
Solución:
Comparamos cada ángulo con relación a los án-
gulos cuadrantales y luego, ubicamos cada ángu-
lo en el cuadrante correspondiente:
• 135°: 90° 135° 180° ⇒ 135° ∈ IIC
• 356°: 270° 356° 360° ⇒ 356° ∈ IVC
R.T. de Ángulos cuadrantales
Las razones trigonométricas de ángulos cuadran-
tales se determinan de manera similar a los ángu-
los en posición normal.
R.T. del ángulo cuadrantal de 90°
Analizamos para el ángulo de 90°, los otros casos
se van a calcular de forma similar.
Dado que, para este ángulo en posición normal
su lado terminal se encuentra en el semi eje posi-
tivo de las ordenadas, el punto de corte con el eje
será de la forma P(0; y0) y se ubicará en el plano
del siguiente modo:
Y
X
90°
o
P(0; y0) x = 0 ^ y = y0
⇒ r = y
02
0
2
+ = y0
Del gráfico:
Reemplazando:
sen 90° =
y
r =
y0
y0
= 1 ctg 90° =
x
y =
0
y0
= 0
cos 90° =
x
r =
0
y0
= 0 sec 90° =
r
x =
y0
0
=N.D.
tg 90° =
y
x =
y0
0
= N.D. csc 90° =
r
y =
y0
y0
= 1
De forma análoga, se obtienen las R.T. de los án-
gulos cuadrantales de medidas 180°, 270° y 360°:
R.T. 0° 90° 180° 270° 360°
sen 0 1 0 −1 0
cos 1 0 −1 0 1
tg 0 N.D. 0 N.D. 0
ctg N.D. 0 N.D. 0 N.D.
sec 1 N.D. −1 N.D. 1
csc N.D. 1 N.D. −1 N.D.
1. Reduce la siguiente expresión.
E=(6sen 90°+3cos 180°)2Sen 270°
sen 90°=1 ; cos 180°=−1 y sen 270°=−1
Reemplazando en la ecuación:
E=(6(1)+3(–1))–2=(3)–2 ⟹ E=
1
9
2. Calcula el valor de f(π), si:
cos sec
f x x x sen
x
2 2 125 2
tg x
3
:
= +
] ] c b
g g lm
Evaluando f en x = π:
cos sec
f sen
2 2 125 2
tg
3
:
p p p
p
= +
p
] ] c b
g g lm
Sabemos que:
π
2
= 90°; π = 180° y 2π = 360°
tg 180°= 0; sec 180°= –1 y cos 360°=1
Reemplazando:
f(π) =
3
2(1)(–1) + (125(1))0
f(π) =
3
–2 + 1 =
3
–1 ⟹ f(π) = –1
3. Del gráfico:
β − 75° α + 15°
Simplifica la siguiente expresión:
C =
(sec(4(α–β)) + 5csc(α–β))
sen(3(α–β))
Del gráfico:
(α + 15°) – (β – 75°) = 180° ⟹ α – β=90°
C =
sec(4(90°)) + 5csc 90°
sen 270°
C =
sec 360° + 5csc 90°
sen 270°
Sabemos que:
csc 90°=1; sen 270°= –1; sec 360°=1
∴ C =
1 + 5(1)
–1
= – 6
30
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Unidad
4
Como trabajo de investigación el profesor le
dejo de tarea a sus estudiantes qué en forma
grupal, investiguen métodos que permiten
estudiar las razones trigonométricas para
ángulos mayores a una vuelta y de ser el caso,
cuáles de estos métodos son los más usuales.
¿De qué forma crees que se puedan calcular
las razones trigonométricas para ángulos de
mayores a una vuelta?
Reducción al Primer Cuadrante
Ángulos cuadrantales (A.C.)
Reducción al Primer Cuadrante
Es el procedimiento que consiste en relacionar
las razones trigonométricas de un ángulo en po-
sición normal (de cualquier magnitud) con las ra-
zones trigonométricas de un ángulo que pertene-
ce al primer cuadrante (agudo). A continuación,
estudiaremos los siguientes casos:
Caso I: Ángulos negativos
A través del siguiente gráfico, comparamos las
R.T. de un ángulo en posición normal en sentido
antihorario (positivo) con las R.T. cuando se en-
cuentra en sentido horario (negativo).
Y
X
y
x
O
r
(x, –y)
(x, y)
α
–α
R.T. para α:
sen α =
y
r csc α =
y
r
cos α =
y
r sec α =
y
r
tg α =
y
r sec α =
y
r
Del cual observamos:
sen(– α) =
– y
r = –
y
r = – sen α
cos(– α) =
x
r = cos α
tg(– α) =
– y
x = –
y
x = – tg α
Entonces:
cos(–α) = cos α
sec(–α) = –sec α
En estos casos, el signo
de la medida angular
no sale, es decir es
absorbido por la razón.
sen(–α) = –sen α
csc(–α) = –csc α
tg(–α) = –tg α
ctg(–α) = – ctg α
En estos casos, el signo
de la medida angular
sale y se coloca delante
de la razón.
Caso II: Ángulos mayores a 360°
Para el caso de los ángulos de medida angular
mayor a una vuelta (360°), la reducción al primer
cuadrante consiste en eliminar la mayor cantidad
de vueltas, es por esto que se efectúa del siguien-
te modo:
1. La medida del ángulo se divide entre 360°
2. El resto de dicha operación será la medida an-
gular resultante
3. La R.T. se mantiene
Es decir:
α=360°.n + θ ⇒ R.T.(α) = R.T.(θ)
31
Trigonometría
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Caso III: Ángulos mayores que 90° y menores a 360°
Antes de desarrollar la reducción al primer cua-
drante de ángulos con medida angular mayor
a 90° y menor a 360°, tengamos en cuenta el si-
guiente gráfico:
IIC IIC
IIIC
Y
O
X
IVC
90° + x
180° – x
180° + x
270° – x
90° – x
270° + x
360° – x
1. Usando los cuadrantales 90° y 270°
Sea el ángulo α cuya medida puede desdoblar-
se usando los cuadrantales verticales, es decir si
α puede expresarse de las siguientes formas:
α=90°+x α=270°+x α=270°– x
La R.T. se cambia por la Co−R.T. y sólo conser-
vamos el ángulo final, es decir, a “x”.
R.T.
90° ± x
270° ± x
=± Co – R.T.(x)
El signo (±) depende del
cuadrante al que pertenece
el ángulo inicial y de su R.T.
2. Usando los cuadrantales 180° y 360°
Si la medida angular de α puede desdoblarse
usando los cuadrantales horizontales, es decir si
α puede expresarse de las siguientes formas:
α = 180°– x α = 180°+ x α = 360°– x
La R.T. se conserva al igual que el ángulo final,
es decir, a “x”.
R.T.
180° ± x
360° ± x =±R.T.(x)
El signo (±) depende del
cuadrante al que pertenece
el ángulo inicial y de su R.T.
1. Determina el valor de sen 1470° + tg(–45°).
1470° = 360°(4) + 30°, por el caso II:
sen 1470° = sen(360°(4)+30°) = sen 30°
sen 1470° =
1
2
Por el caso I, para ángulos negativos:
tg(–45°) = –tg 45° ⇒ tg(–45°)=–1
sen 1470° + tg(–45°) =
1
2
– 1= –
1
2
2. Simplifica la siguiente expresión:
G =
sec(270° – x)
cos x
+
ctg(360° – x)
ctg x
Observamos que los ángulos tienen la for-
ma del caso III
• (270°– x) ∈ IIIC ⇒ seno negativo
sen(270°– x) = – cos(x)
• (360°– x) ∈ IVC ⇒ cotangente negativo
ctg(360°– x) = – ctg(x)
G =
– cos(x)
cos(x)
+
– ctg(x)
ctg(x)
= (–1) + (–1) ⇒ G = –2
3. Calcula el valor de la expresión W, si:
W = 2sec(–45°) + 10sen(143°) + tg (225°)
3
Analizamos los términos de la expresión:
• Para el ángulo – 45°, por el caso I:
sec(–45°) = sec(45°) ⇒ sec(–45°) = 2
• 143°= 90 53
IIC
+
!
c c
1 2 3
4444
4 4444
4
⇒ seno positivo,
por el caso III: sen(143°) = cos(53°) =
3
5
• 225°= 180 45
IIIC
+
!
c c
1 2 3
44444 44444
⇒ tangente positivo,
por el caso III: tg(225°) = tg(45°) = 1
Reemplazando en W:
W =
2( 2) + 10
3
5
+ 1
3
=
2 + 6 + 1
3
⇒ W = 3
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Unidad
4
Jesús se encuentra realizando su tarea de
geometría acerca del tema de circunferencia.
Buscandoinformacióneninternet,seencuentra
con la siguiente imagen
(a; b)
b
a senα
cosα
−1
1 X
Y 1
α ¿Qué características pue-
des extraer del gráfico
anterior?
Circunferencia Trigonométrica
Circunferencia Trigonométrica (C.T.)
Denominada también circunferencia unitaria, es
una circunferencia cuyo centro coincide con el
origen de coordenadas y su radio es igual a 1.
Representación
En una C.T. se distinguen los siguientes elementos:
Y
O
X
B = (0; 1)
P(x; y)
θ rad
θ
r =
1
A = (1; 0)
B' = (0; –1)
A'= (–1; 0)
Donde:
• A: Origen de arcos
• P(x;y): Punto extremo del arco AP

• θ: Medida del arco AP

• θ rad: m∡AOP
TIC
cuadrantales:
watch?v=yH0bCp_zpawt=1085s
Líneas Trigonométricas
Son los segmentos de recta que representan las
razones trigonométricas en una C.T.
1. Línea Seno
Es la ordenada del punto extremo del arco y se
representa mediante una vertical trazada desde
el eje de abscisas hasta el extremo de arco.
y = sen α
r
=
1
Y
O
X
B P(x; y)
sen
α
α
α
A
B'
A'
Análisis de la Línea Seno
Observamos el movimiento de la Línea Seno en
la C.T. y los valores entre los cuales se encuentra.
–1 ≤ sen α ≤ 1
O
90°
1
0
–1
270°
180°
360°
0°
33
Trigonometría
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Editorial.

2. Línea Coseno
Es la abscisa del punto extremo del arco y se re-
presenta mediante una horizontal trazada des-
de el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.
x = cos α
r
=
1
Y
O
X
B
P(x; y)
cos α
α
α
A
B'
A'
Análisis de la Línea Coseno
Los valores entre los cuales se encuentra la
Línea Coseno y su movimiento se pueden ob-
servar claramente en el siguiente gráfico.
–1 ≤ cos α ≤ 1
O
90°
1
0
–1
270°
180°
360°
0°
3. Línea Tangente
Es la ordenada del punto de intersección entre
la prolongación del radio que pasa por el punto
extremo del arco y la tangente trazada desde el
punto A.
y' = tg α
r
=
1
Y
O
X
B
T = (1; y')
α
α
A
B'
A'
P(x; y)
Análisis de la Línea Tangente
En el siguiente gráfico, podemos observar el
movimiento y los valores en los que se encuen-
tra la Línea Tangente.
–` tg α +`
O
90°
1
0
–1
270°
180°
360°
0°
1. En el siguiente gráfico se muestra una
circunferencia trigonométrica. Calcula la
medida de PB, si AP = 10 .
Y
O
X
B
P
A
Dado que es una C.T. el radio de la circun-
ferencia será igual a 1, es decir:
OA = OB =1
Completamos el gráfico con los datos, y
observamos el siguiente triángulo:
Por Teorema de Pitágoras:
(x + 1) = 10 1 9
2 2
- =
x + 1 = 3
x = 2
O
B
1
1
P
x
A
10
Por tanto, la medida de PB=2
34
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Unidad
4
2. Determina el área de la región sombreada.
Y
O
X
B C
r
A' A
θ
B' C'
P(x; y)
Observamos que la región sombreada es
un rectángulo de lados BB' y BC.
Y dado que se trata de una C.T:
x=cos θ ^ y=sen θ
con r =1, quedando:
Del gráfico:
BB' = 2r = 2(1) = 2
BC = cos θ
Y
O
X
B C
A' A
B' C'
P(x; y)
r = 1
θ
cos θ
Finalmente, calculamos el área de la re-
gión sombreada:
A = BB' × BC = 2cos θ
3. Del gráfico, halla la longitud del segmento OB,
si ctg α = 4
1
O
α
A
B
Sabemos que tg α = ctg
1
a
⟹ tg
4
1
1
a = ⟹ tg α = 4
Además, como tenemos una C.T.:
OA = 1 ∧ AB = tg α
⟹ OA = 1 ∧ AB = 4
Luego, en el BAO, aplicamos el teorema
de Pitágoras.
OB2 = OA2 + AB2 ⟹ OB2 = 1 + 16
⟹ OB = 17
4. Si α ∈ IIC. Halla los valores en los que varía la
siguiente expresión.
A=5sen α+8
r=
1
O
sen
α
α
α rad
90°
1
0
180°
360°
0°
⇒ 0 sen α 1
Multiplicando por 5 la desigualdad:
0 5sen α 5
Sumando 8 a la desigualdad:
8 5sen α+8
A
13
Por tanto, la expresión A, varía entre los
valores 8 y 13.
5. La figura muestra la circunferencia
trigonométrica, cuyo radio mide 1 cm, y el
triángulo ABC de área 3
2
cm2 inscrito en la
circunferencia. El valor del cos α es:
Y
O X
C
α
A B
Y
O
H
X
C
α
A B
sen α
cos α
1
1
sen
sen
3
2
2
2
3
2

a
a
= =
Por el teorema de pitágoras en OHC:
12 = sen2 α + cos2 α= 3
2 2
b l + cos2 α
cos2 α= 1 − 9
4
= 9
5
⟹ cos α= 3
5
35
Trigonometría
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Básico
CUADERNO
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TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
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1

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Ángulo trigonométrico
Ángulo trigonométrico.
B
A
O
θ
Elementos:
• O: vértice del ángulo.
• OA : lado inicial.
• OB : lado terminal
• θ: medida del ángulo trigonométrico.
Características del ángulo trigonométrico
1. Sentido
O
P
α
a: ángulo positivo
O
P
β
b: ángulo negativo
2. Magnitud
+3 –3
α
β
b , 0°
a . 0°
Observaciones:
• Si se cambia el sentido de la rotación de un
ángulo, entonces su medida cambiara de signo
α
O
B
A
–α
O
B
A
• Para sumar o comparar ángulos trigonomé-
tricos, estos deben tener el mismo sentido.
Nivel básico
1. Coloca verdadero (V) o falso (F) en las siguien-
tes proposiciones, según corresponda:
I. Para sumar o restar ángulos tri-
gonométricos en un gráfico, estos
deben tener el mismo sentido.
( )
II. Cuando el rayo gira en sentido ho-
rario genera un ángulo negativo.
( )
III. Los ángulos trigonométricos
pueden ser de cualquier magni-
tud, que variara de − ∞ y +∞.
( )
2. Del gráfico mostrado. Halla el valor de 𝜔 en
función de 𝜃.
ω
θ
D
A
B
C
3. De la gráfica mostrada, calcula el valor de «y»
en función de x y a.
A
B
D
C
x
a
y
4. Coloca en cada recuadro el sentido de rota-
ción de cada ángulo trigonométrico genera-
do, según se muestra en la figura.
ω
γ
φ
V
V
V
Del enunciado:
90° + 90°+ ω − θ = 360°
180° + ω − θ = 360°
ω − θ = 180°
ω = 180° + θ
Del enunciado:
y + (a − x) = 180°
y
= 180° − a + x
Negativo
Positivo
Negativo

Cuaderno de trabajo
Unidad
1
39
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Nivel intermedio
5. En la siguiente gráfica, calcula el valor de «x».
−12x
4x
D
C
B
A
6. Siendo OM la bisectriz del ángulo AOB.
Calcula el valor de «x».
2x − 50°
x − 10°
M
A
O
B
7. De la gráfica mostrada. Calcula el valor de «y».
y − 55°
1
5
°
−
y
Nivel avanzado
8. De la gráfica mostrada. Calcula el valor de 3y + 15°
D
C
B
A
4y + 10° 20° − 2y
9. Siendo OY la bisectriz del ángulo MOP. Calcula
el valor de 2y.
O
Q
N
P
Y
M y
−15°
60°
10. De la gráfica mostrada, halla el valor de 2a + b.
30° − 10a
A D
B C
2a + 30°
45° − b
Del enunciado:
15° − y − y + 55° + 90°
= 180°
70° + 90° − 2y = 180°
160° − 180° = 2y
−20° = 2y
−10° = y
Del enunciado:
Siendo OM labisectrizdem∡AOB,secumple:
x − 10° = 50° − 2x
3x = 50° + 10°
x = 20°
Del enunciado:
90° + 12x + 90° − 4x = 360°
8x = 360° − 90° − 90°
8x = 180°
x = 22,5°
Del enunciado:
Consideramos todos los ángulos en senti-
do antihorario:
m∡MOY+m∡YOP+m∡PON+m∡NOQ=180°
−y − 60° − y − 60° + 60°+ 15° = 180°
−2y = 180° + 45° ⟹ 2y = −225°
Del enunciado:
En la recta BD: 2a + 30° + 45° − b = 180°
b = 2a + 30° + 45° − 180° …(1)
En la recta AC: −30° + 10a +45°− b = 180° …(2)
Reemplazar (1) en (2):
−30° + 10a +45°− (2a + 30° + 45° − 180°) = 180°
⟹ a = 2
15
En (1): b = 2a + 30° + 45° − 180
⟹ b = 2 2
15
b l − 105 ⟹ b = −90°
Por lo tanto, 2a + b = 2 2
15
b l + (−90) = −75°
Del enunciado:
4y + 10° + 90° − 20° + 2y = 180°
6y + 80° = 180°
6y = 100°
y = 3
50c
Por lo tanto, 3y + 15°=
( )
3
3 50c
+ 15° = 65°

Básico
40
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Colocaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
I. Para sumar o restar ángulos trigo-
nométricos en una gráfica estos de-
ben tener sentidos opuestos.
( )
II. Al cambiarle de sentido a un ángu-
lo trigonométrico, este no cambia el
signo de su valor.
( )
III. La amplitud de la rotación es la me-
dida del ángulo trigonométrico.
( )
a. VVV b. VVF c. FFV d. VFF
2. Relaciona la siguiente situación:
I.
α
II.
β
III.
γ
IV.
0
a. Ángulo negativo b. Ángulo positivo
a. Ia.IIa.IIIb.IVb.
b. Ib.IIb.IIIa.IVb.
c. Ia.IIa.IIIb.IVa.
d. Ia.IIb.IIIb.IVa.
Nivel intermedio
3. Calcula el valor de 3x + 20°, según la gráfica
mostrada.
4x − 10°
5°− x
A
O C
B
a. 38° b. 40° c. 30° d. 83°
4. De la gráfica mostrada. Calcula el valor de x + 3y.
6° − 11x
4x + 8°
120° − 6y
a. 150° b. 144° c. 130° d. 155°
5. Determina el valor de y, según la gráfica mostrada.
y + 60°
20°−y
a. 35° b. 45° c. 30° d. 25°
6. Indica la relación correcta entre a y b, según la
gráfica mostrada.
b°
a°
a. a° + b° = 90°
b. a° − b° = 90°
c. a° + b° = − 90°
d. b° − a° = 90°
Nivel avanzado
7. De la gráfica mostrada. Halla el valor de 2y.
( y+50)° (30 − y)°
a. 200°
b. 110°
c. −200°
d. −150°
8. Siendo OC la bisectriz del ángulo AOB. Calcula
el valor de «x».
40° − 11x
4x° + 30°
A
C
O
B
a. 10°
b. 20°
c. 30°
d. 11°
9. Halla el valor de «x» en función de β y θ, según la
gráfica mostrada.
x
β
α
a. x = β –º α – 90°
b. x = α – β – 180°
c. x = 180 – β + α
d. x = β – α – 180°
Nivel destacado
10. Calcula el valor de m.
300°
m
200°
a. 140°
b. 160°
c. 200°
d. 100°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c b d b d d c a a a

Cuaderno de trabajo
Unidad
1
41
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Sistema sexagesimal
Su unidad de medida es un grado sexagesimal (1°).
90°
270°
0°
360°
180°
Equivalencias
1 vuelta = 360°
1°
= 60'
1'
= 60
1°
= 3600
Sistema centesimal
Su unidad de medida es un grado centesimal (1g).
100g
300g
0g
400g
200g
Equivalencias
1 vuelta = 400g
1g = 100m
1m= 100s
1g = 10 000s
Sistema radial
El ángulo de una vuelta mide 2p.
0
2p
p
4
3p
2
p
4
p
4
7p
2
3p
4
5p
Equivalenciaentrelossistemasdemedidasangulares
S: medida del ángulo en grado sexagesimales.
C: medida del ángulo en grados centesimales.
R: medida del ángulo en radianes.
1 vuelta 360°= 400g = 2p
2
1
vuelta 180°= 200g = p
S C
rad
Rrad
360 400 2
g
g
p
= =
c
c
⟹ 180
S
200
C R
p
= =
De S a C: De S a R: De R a C:
S C
9 10
= S
R
180
p
= C
R
200
p
=
Nivel básico
1. Convierte 5g15m a minutos centesimales.
2. Expresa 9
p
rad en grados sexagesimales.
3. Convierte 40° a radianes.
4. Expresa 356 876s en grados centesimales.
Sabemos:
1g=10 000s, entonces:
356 876s=356 876s× 10 000
1
s
g
=35,6876g
40°×
rad
180 9
2
°
p
= prad
40°= 9
2
p rad
p rad = 180°, entonces:
rad
9 9
p p
=
] g
9 9
180
p
=
c
9
p
= 20°
5g15m = 5g + 15m
5g15m = 5 × 1g+15m
Remplazamos 1g = 100m en:
5g15m = 5 × 100m + 15m
5g15m = 500m + 15m
Por lo tanto, 5g15m = 515m

Básico
42
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Nivel intermedio
5. Reduce 8° 44' 17'' +3° 32' 52''.
6. Calcula el valor de c
a b
-
si
18° 33' 56'' + 23° 48' 14''= a° b' c''.
7. En la siguiente figura, halla el valor sexagesi-
mal del ángulo «x»
A B
C
x
3
p
rad 5
p
rad
Nivel avanzado
8. Determina el valor de 24°75'40''+19°50'25'' en se-
gundos sexagesimales.
9. Calcula el valor de:
rad
150
2 45
g
p
+ c
10. Calcula el valor sexagesimal de dos ángulos
cuya suma de medidas es 58g y su diferencia
14g.
8° 44' 17'' + 3° 32' 52'' = 11° 76' 69''
69'' = 60'' + 9'' = 1' + 9''
76' + 1' = 77' = 60' + 17' = 1° + 17'
11° + 1° = 12°
luego, 8° 44' 17'' + 3° 32' 52'' = 12° 17' 9''
14°75'40'' + 12°50'25'' = 26°125'65''
26°125'65'' = 26(3600'') + 125(60'') + 65''
26°125'65'' = 93600'' + 7500'' + 65''
26°125'65'' = 101165''
Convertimos todos los ángulos al sistema
sexagesimal
prad = 180°;
rad
2 2
180°
p
= =90°
S C
9 10
= ⟹ S =
C
10
9
#
S= 10
150 9
] ]
g g
= 135°
Luego,
rad
150
2 45
135
90 45
1
°
° °
g
p
+
=
+
=
c
18°33'56'' + 23°48'14'' = a°b'c''
70'' = 60'' + 10'' = 1' + 10''
81' + 1' = 82' = 60' + 22' = 1° + 22'
41° + 1° = 42°
Así, 41°81'70'' = 42°22'10'' = a°b'c''
a = 42; b = 22; c = 10
Luego, c
a b
-
= 10
42 22
-
= 10
20
= 2
prad = 180°
3
p
rad = 3
180°
= 60°
5
p
rad = 5
180°
= 36°
Luego,
x + 60° + 36° = 180°
x = 180° − 60° − 36°
x = 84°
Sean α y β los dos angulos, por enunciado
α+β=58g y α−β=14g despejamos α en la
segunda ecuación y tenemos:
α = 14g + β reemplazamos α en la primera
ecuación:
α+β = 58g ⟹ (14g + β) + β = 58g
2β = 58g−14g ⟹ β=22g
α = 14g + 22g = 36g
llevamos α=36g y β=22g a sexagesimal:
10
36 9
32,4 10
22 9
19,8
a b
= = = =
c c
] ] ] ]
g g g g
por lo tanto, el valor de los dos ángulos
son:
α=32,4°
β=19,8°

Cuaderno de trabajo
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1
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Indica el valor de 12g 35m en minutos centesi-
males.
a. 1300m
b. 1235m
c. 1250m
d. 1238m
2. Señala el valor de
rad
7
3p
en grados sexagesimales.
a. 77,14º
b. 75,15º
c. 76,16º
d. 75º
3. Indica el equivalente de 95° a radianes.
a. 30
14p
rad
b. rad
35
18p
c. rad
36
19p
d. rad
2
p
4. Expresa 1 456m en grados centesimales.
a. 14,56g
b. 145,6g
c. 1,456g
d. 1456g
Nivel intermedio
5. Convierte 65°15'36'' a grados sexagesimales.
a. 32,36°
b. 48,25°
c. 55,62°
d. 65,26°
6. Convierte 160° a radianes.
a. 9
8p
rad
b. rad
3
p
c. rad
3
5p
d. rad
7
8p
7. Indica el resultado correcto al reducir:
10° 38' 49''+ 11° 29' 37''.
a. 21° 67' 80''
b. 22° 67' 86''
c. 22° 8' 26''
d. 21° 8' 26''
8. Indica el valor de 40,68° en un número de gra-
dos, minutos y segundos sexagesimales.
a. 40° 38' 24''
b. 40° 39 '25''
c. 40° 40' 48''
d. 40° 42 '61''
9. Determina el valor de:
15°56'68''+14°35'51''
en segundos sexagesimales.
a. 105879''
b. 110456''
c. 114896''
d. 109959''
Nivel avanzado
A S C R
C S R
2 160
20
p p
p p
= + -
+ +
, si
S C R
180 200 p
= = .
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
11. Halla el valor de la expresión:
M C S
S C
= -
+
a. 11 b. 12 c. 15 d. 19
12. Calcula el valor de
b
a c
12
5 -
, si
19°48'71'' + 10°55'73'' = a°b'c''
a. 40
3
b. 20
9
c. 60
7
d. 80
3
M
rad
180
3
2
90
g
p
=
+ c
a. 1,584
b. 1,296
c. 2,256
d. 2,296
14. Indica el valor sexagesimal del ángulo «x» en la
siguiente figura.
C B
A
60g x°
a. 53°
b. 45°
c. 54°
d. 60°
Nivel destacado
15. Determina el valor centesimal del ángulo «x».
9°
xg
4
p
rad
B
A
C
a. 140g b. 124g c. 127g d. 128g
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b a c a d a c c
9 10 11 12 13 14 15
d b d c b c a

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Sector circular
Longitud de Arco (L)
q: está expresado
en radianes
R
θ
R
O
A
B
L
L = q 3 R q =
R
L
R =
L

Forma General
k: constante de
proporcionalidad
O
n
n
θ
n
L1 L2 L3 L4 ...
n
n
n
n
n
...
L L L
k
1 2 3
1 2 3
= = = =
Área del Sector Circular (S)
R
θ
R
O
A
B
L
S =
R
2
2
#

S =
L
2
2

S =
r L
2
#
En función de la longitud
de arco y el ángulo central
En función del radio y la
longitud de arco:
θ : expresado en radianes
Área del Trapecio Circular
A
B
O
ST
L
r
r
r
r
,
ST =
L
r
2
#
,
+
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
Propiedad (Relación de Áreas)
...
S S S
k
1 3 5
1 2 3
= = = =
k: constante de
proporcionalidad
S1 S2 S3
O θ
n
n
n
...
L3
Nivel básico
1. Determina el valor de L, en el siguiente gráfico:
L
O B
A
18 cm
18 cm
6
p
2. En el siguiente gráfico, halla el valor de M L
L
1
2
=
L2 L1
A
B
O
3. Determina el área del sector circular
O B
A
12 m
150g
12 m
Por definición de longitud de arco:
L = θ × R
Reemplazando los valores del gráfico:
L = 6
p
× 18
L = 3p cm
Por dato del gráfico, los dos arcos están
separados a igual distancia, se cumple:
L1 = L
L2 = 2L
Nos piden: M L
L
L
L
2
2
1
2
= = =
Convertimos 150g a radianes
R
R rad
200
150
4
3
g
g

p p
= =
Luego, el área del sector circular es:
S S m
4
3
2
12
54
2
2

#
p p
= =

Cuaderno de trabajo
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Nivel intermedio
4. Con respecto al siguiente gráfico, reduce la si-
guiente expresión:
M S
S S
2 5
2
3 1
=
+
O S3
S2
S1
5. Determina el área del trapecio circular:
α
0 12 cm
B
A
D
20 cm
C
3 cm
6. Halla el área del sector circular, en el siguiente
gráfico:
O B
A
16 cm
16 cm
rad
4
p
7. Si en el gráfico se cumple S1+S2+S3=81 pm2,
calcula S2:
O S3
S2
S1
8. Si la longitud de arco de un sector circular es
de 6p cm y su área es de 42p cm2 , calcula la
medida del ángulo central.
En el gráfico aplicamos una de las propie-
dades aprendidas en clase.
Sea S1 = S, entonces:
S2 = 3S S3 = 5S
Luego, reemplazamos los valores en la
expresión:
M S
S S
3
2 5 5
=
+
] g
M S
S S
S
S
3
10 5
3
15
5
=
+
= =
⟹ M = 5
Sea S el área de un trapecio circular, luego,
aplicamos la formula correspondiente.
S 2
12 20 3
=
+
b ]
l g
S 2
32 3
= b ]
l g
S = (16)(3) = 48
⟹ S = 48 cm2
Por lo tanto, el área del trapecio circular es
48 cm2
Por propiedad de relación de áreas se tiene
S S S
k
1 3 5
1 2 3
= = =
Entonces S1 = k ; S2 = 3k ; S3 = 5k
Por dato del problema
S1 + S2 + S3 = 81p
k + 3k + 5k = 81p
9k = 81p ⇒ k = 9p m2
Por lo tanto, S2= 3×9pm2 = 27pm2
De acuerdo con los datos indicados en el
enunciado usamos la formula siguiente:
S
L
2
2
= θ
Reemplazandolosdatos:
42p=
θ
2
6 2
p
] g
⟹ 2θ= 42
36 2
p
p
2θ= 7
6p
⟹ 2θ= 7
3p
⟹ θ= 14
3p
Paraobtenereláreadelsectorcircular,aplicamos:
S
R
2
2
#

=
Reemplazando los valores del gráfico en
la expresión:
S 4 2
16 16
#
#
p
= ⟹ S = 32p cm2

Básico
46
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Nivel avanzado
9. Determina el valor de M=
L L
5
3 1 2

+
, en el si-
guiente gráfico:
0
4
c
m
7 cm
2θ
θ
L1
L2
C
A
B
D
10. Calcula el valor de L1 , si L2 + L3 = 35 cm.
L1
O L2 L3
B
A
11. Halla el valor de M=S1+S2, en el siguiente gráfico:
O
12 m
3 m
S2
S1
6
p
3
p
12. Calcula el valor de x si el área del sector circu-
lar es 216 m2
O
4x m
x rad B
A
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
•
• ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo
las superé?
•
• ¿Para que me sirve lo aprendido
en este tema?
Por datos del gráfico, sabemos:
L = θ × R
Reemplazando los valores:
L1 = (2θ)(4) = 8θ ∧ L2 = (θ)(11) = 11θ
Nos piden: M =
L L
5
3 1 2
+
M = 5
3 8 11
5
24 11
5
35
7
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
+
=
+
= =
] g
Por lo tanto, el valor de M es 7
Aplicando la propiedad
S =
R
2
2
:

Reemplazando los datos
216 =
x x
2
4 2
:] g
216 = 8x3 ⟹ x3 = 27 ⟹ x = 3
Por lo tanto x = 3
Por datos del gráfico y propiedad, tenemos:
L1 = L ; L2 = 2L ; L3 = 3L
L2 + L3 = 35
2L + 3L = 35 ⟹ 5L = 35 ⟹ L = 7
Nos piden: L1 = L = 7
Por lo tanto, L1 = 7 cm
Hallamos cada área, por datos del gráfico:
S1 = m
3 2
9
6
81
2
27
2
2
#
p p
p
= =
] g
S2 = m
6 2
12
12
144
12
2
2
#
p p
p
= =
] g
Nos piden:
M = S1 + S2= m
2
27
12
2
51 2
p p
+ =
b l

Cuaderno de trabajo
Unidad
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Indica el valor de L, en el siguiente gráfico:
O B
L
A
20 m
20 m
10
p
a. 5p m b. 4p m c. 3p m d. 2p m
2. En el siguiente gráfico, determina el valor de
M L
L L
3
1 2
=
+
.
L1
O L2 L3
B
A
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
3. En el siguiente gráfico, calcula el área del sec-
tor circular.
O B
6p m
A
rad
3
p
a. 54p m2
b. 56p m2
c. 58p m2
d. 59p m2
Nivel intermedio
4. Hallaeláreadela regiónsombreada,delsiguiente
gráfico:
4 m
6 m
0
8 m
3 m
a. 28m2 b. 18m2 c. 14m2 d. 12m2
5. En el siguiente gráfico, indica el valor de S
S
1
2
S1
O
5 m
1 m
S2
a.
25
11 b.
11
25 c.
5
1 d. 5
6. Calcula el valor de M= L
L L
1
2 3
+
O S3
S2
S1
a. 9 b. 13 c. 10 d. 12
Nivel avanzado
7. Halla el área de la región sombreada en la si-
guiente figura:
S
9 m
3 m
15
p
a. 4,2p m2
b. 3,6p m2
c. 2,4p m2
d. 1,2p m2
8. Determina el valor de A = m
m n
+
9s
m
n
16s
a. 3
2
b. 4
3
c. 3
4
d. 3
5
Nivel destacado
9. Determina el valor de M = S1 + S 2 + S3, en el
siguiente gráfico:
6
m
6m
5
m
50°
50°
20°
S1 S2
S3
a. 12p m2
b. 15p m2
c. 17p m2
d. 19p m2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d b a b a c c b a

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UNIDAD
2
TRIGONOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
CT_2SCMTRIGONOMETRIA_2UNIDAD_4-6.indd 48 29/11/19 19:58

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Unidad
2
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Razones trigonométricas de ángulos agudos
Triángulo Rectángulos.
c: Hipotenusa
b: Cateto
a:
Cateto
α
β
Teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
Razones Trigonométricas de ángulos agudos (R.T.)
Razón
Trigonométrica
Abreviatura Forma
Seno sen
hipotenusa
cateto opuesto
Coseno cos
hipotenusa
cateto adyacente
Tangente tg
cateto adyacente
cateto opuesto
Cotangente ctg
cateto opuesto
cateto adyacente
Secante sec
cateto adyacente
hipotenusa
Cosecante csc
cateto opuesto
hipotenusa
Nivel básico
1. Indica si las siguientes proposiciones son ver-
daderas (V) o falsas (F), según el caso que co-
rresponda:
I. cscα = cos
1
a
( )
II. Si ,
sen entonces ctg
5
1
24
a a
= = ( )
III. cscα = tg
1
a
( )
IV. En un triángulo rectángulo, si los catetos
guardan la relación de 12 a 5, entonces el
valor de la hipotenusa es 17.
( )
2. Calcula el valor de «x» en el siguiente triángulo
rectángulo:
8
x
C
A
B
4
3. Determina todas las R.T., con respecto al ángu-
lo α, del siguiente triángulo:
20
α
16
C
A
B
12
4. Halla el intervalo al que pertenece la si-
guiente expresión, si θ es un ángulo agudo:
A = 2cos(θ)+6.
F
V
F
F
Por el teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
82 = x2 + 42
64 = x2 + 16
x2 = 48
x = 48 ⟹ x = 2 3
4
: ⟹ x=4 3
El valor de «x» es 4 3
Las R.T. para α serán:
senα= 20
16
5
4
= cosα= 20
12
5
3
=
tgα= 12
16
3
4
= ctgα= 16
12
4
3
=
secα= 12
20
3
5
= cscα= 16
20
4
5
=
Por la Observación N°1, sabemos que:
0 cos(θ) 1
Luego:
0 2cos(θ) 2
6 2cos(θ) + 6 2 + 6
∴ A ∈ 6; 8
CT_2SCMTRIGONOMETRIA_2UNIDAD_4-6.indd 49 29/11/19 19:58

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