El documento trata sobre ecuaciones de grado mayor que dos, incluyendo ecuaciones bicuadradas, con radicales y con variables en el denominador. Explica cómo descomponer estas ecuaciones en factores para resolverlas obteniendo cero, dos o cuatro soluciones.

1. Tema Ecuaciones
Ecuaciones de Grado Mayor que Dos
Profesor Juan Sanmartín
Matemáticas
Recursos subvencionados por el…
 Bicuadradas.
 De grado mayor que dos.
 Con radicales.
 Con X en el denominador

2. Ecuaciones Bicuadradas
024
 cbxax
Grado del polinomio
La forma de una ecuación bicuadrada es:
Puede presentar los casos que hemos visto en la ecuación de segundo
grado donde b y c son cero, la resolvemos de la siguiente manera:
2
xz  42
xz sustituimos
Y obtenemos la siguiente ecuación
02
 cbzaz

3. 02
 cbzaz
Tenemos ahora una ecuación de
segundo grado que resolvemos como
hemos visto, teniendo en cuenta los
casos particularesa
cabb
z



2
42
a
c
z
a
c
zcazcaz



 222
0
 







0
0
002
baz
z
bazzbzaz

4. Una vez que obtenemos el valor de z tenemos que obtener el o los valores de x.
zxxz entonces
  2
En una ecuación bicuadrada podemos obtener cero, dos o cuatro soluciones

5. 045 24
 xx
Ejemplo
1a 
Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
5-b  4c 
 






2
16255
12
41455
2
z
0452
 zz
2
xz ssustituimo
 
42
xz ssustituimo
 



2
95
z
44
2
8
2
35
11 

 zz
11
2
2
2
35
22 

 zz

6. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces
  2
41 z 12 z
241  zx
21 x
22 x
111  zx
13 x
14 x
Obtenemos 4 soluciones

7. 0187 24
 xx
Resuelve
1a 
Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
7b  18c 
   






2
72497
12
181477
2
z
01872
 zz
2
xz ssustituimo
 
42
xz ssustituimo
 



2
1217
z
99
2
18
2
117
11 

 zz
22
2
4
2
117
22 



 zz

8. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces
  2
91 z 22 z
391  zx
31 x
32 x
 21zx

9. Ecuaciones de grado mayor que 2
01213 234
 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
041
1233
01211
12111
0121121
1211211
1211311







     043111213 234
 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación

10. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
    












04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución

11. Ecuaciones de grado mayor que 2
0121233 234
 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
  0443121233 23234
 xxxxxxxx
021
422
0401
4011
4411





        02213443 23
 xxxxxxxx

12. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
     












02
02
01
03
02213
x
x
x
x
xxxx
202
202
101
003
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución

13. Ecuaciones con radicales
Existe una raíz dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
xxx  112 121  xxx
1212  xx    22
1212  xx
    124141212 2
22
 xxxxx
Paso 1.- Separamos la raíz para un lado y el resto para otro del igual.
Paso 2.- Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz.

14. Paso 3.- Una vez obtenida la ecuación (en este caso de 2º grado) la
resolvemos…







0132
0264
011244
2
2
2
xx
xx
xxx
2a 
3b 
1c 
 






4
893
22
12433
2
x



4
13
x
1x1
4
4
4
13
x 11 


2
1
x
2
1
4
2
4
13
x 22 



15. Resuelve la siguiente ecuación
352752
 xxxx
352752
 xxxx
 2
2
22
83758375 



  xxxxxx
xxxx 4864975 22

0574384864975 222
 xxxxxx

16. Una vez obtenida la ecuación
8a 
34b 
57c 
 
 







16
1824184943
82
57844343 2
x




16
2542
x
8
19
8
19
16
38
16
543
11 





 xx
33
16
48
16
543
22 





 xx
057438 2
 xx

17. Ecuaciones con radicales (2 radicales)
Existen dos raíces dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
264  xx
Paso 1.- Separamos una raíz para un lado y el resto para otro del igual.
(Es recomendable que pasemos al otro lado la negativa para evitar errores con el signo)
Paso 2.- Desarrollamos los cuadrados. Aplicamos identidades notables.
xx  624
   22
624 xx 
  xxx  64644
2
xxx  64644
La raíz se va con la potencia.

18. Paso 2.- Operamos ahora como en el caso de un solo radical separando el radical
para un lado.
xxx  64644
xxx  64644
xx  6462 xx  623
   22
623 xx   xxx  64692
Paso 3.- Elevamos ambos lados otra vez al cuadrado para eliminar el radical.
02494642469 22
 xxxxxx

19. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación
1a 
2b 
15c 
   






2
6042
12
151422
2
x



2
642
x
5
2
82
11 

 xx
22
2
82
22 

 xx
01522
 xx

20. Ecuaciones con x en el denominador
Son ecuaciones con fracciones donde la x también está en el denominador:
2
3
32
5



 x
x
x
Paso 1.- Calculamos el m.c.m. para hallar denominador común a ambos lados.
    12102322...
22
33
22
2










xxxxmcmxx
xx
   
  
   
12102
323
322
22325
2





xx
xx
xx
xxx
    12102322 2
 xxxx
Tanto una expresión como otra son válidas ya que son iguales

21.    12102
18153
322
423010
2
22





xx
xx
xx
xxx
18153423010 22
 xxxxx
018304151032 22
 xxxxx
0122
 xx
   
  
   
12102
323
322
22325
2





xx
xx
xx
xxx
Paso 2.- Operamos en el numerador y eliminamos el denominador en ambos
lados por ser igual.
Paso 3.- Resolvemos la ecuación de 2º grado en este caso.

22. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación
1a 
1b 
12c 
   
 







2
4811
12
121411
2
x




2
491
x
4
2
71
11 


 xx
33
2
71
22 


 xx
0122
 xx

23. Fin de Tema
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