Econometria mcg

ECONOMETRIAECONOMETRIA
REGRESIÓN PARTICIONADAREGRESIÓN PARTICIONADA
ECONOMETRIAECONOMETRIA
REGRESIÓN PARTICIONADAREGRESIÓN PARTICIONADA
Mtro. Horacio Catalán Alonso

Taller de Econometría
 Un análisis por separado de las variables
afectará los resultados de un análisis conjunto
 Inclusión de términos como constante, tendencia
ó variables “dummy”
 En el contexto de un modelo de regresión
múltiple los resultados de la proyección no cambian
si se considera una partición eb las variables
explicativas
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría

Asuminedo que el conjunto de variables
explicativas está particonado en dos subconjuntos
U+Χ=Υ β)1
tt U+Χ+Χ=Υ 1111)2 ββ
[ ] tt U+





ΧΧ=Υ
2
1
21)3
β
β

Para cada subconjunto existe un estimador
sabemos que:
De la cual se deduce que:
( ) ΥΧΧΧ=
−
''ˆ 1
β
( ) ΥΧ=ΧΧ 'ˆ' β
[ ] [ ] [ ] ΥΧΧ=





ΧΧΧΧ '
21
2
1
21
'
21
β
β

[ ] Υ





Χ
Χ
=





ΧΧ





Χ
Χ
'
2
'
1
2
1
21'
2
'
1
β
β






ΥΧ
ΥΧ
=











ΧΧΧΧ
ΧΧΧΧ
'
2
'
1
2
1
1
'
21
'
2
2
'
11
'
1
β
β

Se forma el siguiente sistema:
De la ecuación (1) se resuelve para β1
( ) ( ) ΥΧ=ΧΧ+ΧΧ '
122
'
111
'
1)1 ββ
( ) ( ) ΥΧ=ΧΧ+ΧΧ '
222
'
211
'
2)2 ββ
( ) ( ) 22
'
1
'
111
'
1 ββ ΧΧ−ΥΧ=ΧΧ
( ) ( ) ( ) 22
'
1
1
1
'
1
'
1
1
1
'
11)3 ββ ΧΧΧΧ−ΥΧΧΧ=
−−

El estimador resulta de una estimación del
subconjunto de variables X1 respecto a Y
Menos un término
( ) ( )22
'
1
1
1
'
11
ˆ)4 ββ Χ−ΥΧΧΧ=
−
βˆ
( ) ΥΧΧΧ
− '
1
1
1
'
1
( ) 22
'
1
1
1
'
1 βΧΧΧΧ
−

Si suponemos que
Entonces
02
'
1 =ΧΧ
( ) ΥΧΧΧ=
− '
1
1
1
'
11
ˆ)5 β

El supuesto de que
Significa que los subconjuntosd son ortogonales
02
'
1 =ΧΧ
( )2ΧS
( )1ΧS

90

De la ecuación (5) podemos definir
( ) ΥΧΧΧΧ=Χ
− '
1
1
1
'
1111
ˆ)6 β
ΥΡ=Χ 111
ˆ)7 β
( ) '
1
1
1
'
111)8 ΧΧΧΧ=Ρ
−
Matriz de proyección del subconjunto 1Χ

Sustituyendo 3 en 2
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
ΥΧ=
ΧΧ+ΧΧΧΧ−ΥΧΧΧΧΧ
−−
'
2
22
'
222
'
1
1
1
'
1
'
1
1
1
'
11
'
2 ββ
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ΥΧ=ΧΧ+
ΧΧΧΧΧΧ−ΥΧΧΧΧΧ
−−
'
222
'
2
22
'
1
1
1
'
11
'
2
'
1
1
1
'
11
'
2
β
β
ΥΧ=ΧΧ+ΧΡΧ−ΥΡΧ '
222
'
2221
'
21
'
2)9 ββ

ΥΡΧ−ΥΧ=ΧΧ+ΧΡΧ− 1
'
2
'
222
'
2221
'
2)10 ββ
( ) ( )ΥΡ−ΙΧ=ΧΡ−ΙΧ 1
'
2221
'
2)11 β
( )[ ] ( )ΥΡ−ΙΧΧΡ−ΙΧ=
−
1
'
2
1
21
'
22
ˆ)12 β
En la estimación de influye un componete2β
( ) ΥΧΧΧ=
− '1'ˆβ

( ) '1'
11)13 ΧΧΧΧ−Ι=Ρ−Ι
−
Es necesario precisar que
111
ˆˆ)14 U+Χ=Υ β
11
ˆ)15 U+ΥΡ=Υ
[ ] 11
ˆ)16 U=Ρ−ΙΥ
⇒Ρ−Ι 1
Es la proyección de los residuales
del subconjunto 1Χ

( )ΥΡ−Ι 1
1ΧΥ en
Representna los residuales de las columnas X1 es el
vector de residuales de la regresión de Y en X1
Es el vector de residuales en la regresión
correpondienete de las columnas de X2 en X1
( ) |21
'
2 ΧΡ−ΙΧ

Residuales de Y2 en X1
respecto a X1
( )[ ] ( )ΥΡ−ΙΧΧΡ−ΙΧ=
−
1
'
2
1
21
'
22
ˆβ
( ) ( )[ ] ( ) ( )ΥΡ−ΙΡ−ΙΧΧΡ−ΙΡ−ΙΧ=
−
1
'
12
1
21
'
1
'
22
ˆβ
( ) ΥΧΧΧ=
−
2
1
2
'
22
ˆβ
( )1Ρ−ΙNota: es una matriz idempotente

La estrimación por MCO del vetor Y en dos
conjuntos de variables X1 y X2, el subvector es
el conjunto de coeficientes que se obtiene cuando
los residuales de la estimación de Y en X1 es
regresionado con los residuales de la estimación
de cada caolumna de X1 y X2
2
ˆβ
Teorema Frisch-Waugh

Ejemplo de regresión particionada. Sea X1 una
columna de 1
Υ














=Χ
1
1
1
)1 1

Asumiendio que X2 es un subconjunto de variables
explicativas que es ortogonal al primer conjunto
[ ] [ ]
0
0
...,1)2
1
21
212
=Χ
=ΧΧ
ΧΧ=ΧΧ=Χ
t
k
U

Sabemos que
Promedio de la variable dependiente
( ) ΥΧΧΧ=
− '
1
1
1
'
11
ˆβ
( ) Υ=
− '1'
1
ˆ iiiβ
( ) ∑=
−
=Υ=
N
i
iyi
N
ii
1
'1' 1
Υ=1
ˆβ

Para
Desviaciones respecto a
la media de Y
( )( ) ( )ΥΡ−ΙΧΧΡ−ΙΧ=
−
1
'
2
1
21
'
22
ˆβ
( ) ( ) '
1
1
1
'
111 ΧΧΧΧ−Ι=Ρ−Ι
−
( ) ( ) '1'
1 iiii
−
−Ι=Ρ−Ι
( )( )( ) ( )ΥΡ−ΙΧ−ΙΧ=
−−
1
'
2
1'1'
22 'ˆ iiiiβ
( ) Υ−Υ=ΥΡ−Ι 1

Una aproximación para el caso de que el
subconjunto X1 sea sólo una variable
Desviaciones respecto a
la media de X2
( ) ( ) 2
'1'
221 Χ−Χ=ΧΡ−Ι
−
iiii
( ) N
ii
11'
=
−
( ) Χ−Χ=ΧΡ−Ι 221
∑=
Χ=Χ
N
i
ii
1
22
'

Relaciona las desviacion es de Yi repsecto a
su promedio y la desviación de Xi respecto a
su promedio
( )( ) ( )ΥΥ−ΥΧΧ−ΧΧ=
− '
2
1
22
'
22
ˆ iiiβ
( )
( ) 2222
'
2
'
2
2
ˆ
Χ−Χ
Υ−Υ
=
Χ−ΧΧ
Υ−ΥΧ
=
i
i
ii
ii
β
2
ˆβ

Para el caso de una regresión múltiple que
contiene la cosntante
El coeficiente de la constante es una
aproximación al valor medio de la variable
dependiente
Los coeficientes de las variables
explicativas. Relacionan las desviaciones de la
variable dependiente respecto a su media y las
desviaciones de cada variable respecto a su
media
⇒
⇒

En el caso de la tendencia. Incluir la
tendencia en el modelo equivale a incluir en el
modelo las variables dependientes sin la
tendencia lineal
Las variables de constante y la tendencia
sólo ayudan a mejorar el ajuste del modelo
⇒
⇒

“Variación” se refiere a los cambios de la variable
dependiente asociados a los cambios de las
variables explicativas
Se define
Ajuste del Modelo de Regresión Múltiple
( ) '1'
)1 iiii
−
−Ι=Μ

Μ Es una matiz de k columnas de unos
N
ii'
−Ι=Μ

( )[ ]Υ−ΙΥ=ΥΜΥ ''''
)2 iiii
U+Χ=Υ β)3
( ) ( )UU +ΧΜ+Χ=ΥΜΥ ββ  ''
)4
( ) ( )UU +ΧΜ+Χ=ΥΜΥ ββ  ''''
)5
Dado que 0''
=Χ=ΧΜ UU 
UU ''''
)6 +ΧΜΧ=ΥΜΥ ββ 

UU ''''
)7 +ΧΜΧ=ΥΜΥ ββ 
Total de la
suma de
cuadrados
Suma al
cuadrado
de la
regresión
Suma de
los errores
al cuadrado
Total de la
Variación
Variación
de la
regresión
Variación
de los
errores
= +
= +

Dividiendo la expresión (7) por ΥΜΥ '
ΥΜΥ
+
ΥΜΥ
ΧΜΧ
=
ΥΜΥ
ΥΜΥ




'
'
'
''
'
'
)8
UUββ
TotalVariación
RegresiónladeVariación
)9 '
''
2
+
ΥΜΥ
ΧΜΧ
= 

ββ
R
( )∑ =
Υ−Υ
−
ΥΜΥ
ΧΜΧ
= N
i i
UU
1
2
'
'
''
2
R)10 

ββ
1R0 2
<<

R2
toma el valor de 1 cuando
La variación de la regresión es igual a ala variación
total. Cuando la suma de errores al cuadrado es
igual a cero
R2
toma el valor de cero cuando
La suma de errores al cuadrado es igual a la
variación total. Esto significa que los errores de la
estimación son exactamente iguales a la distancia
entre la variable dependiente y su promedio

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