Práctica en el programa PCTX

1. Practico de Latex
Rocio Fern´andez
21 de junio de 2016
Escribir los siguientes textos en PcTeX
Ejercicio 1. Calcular los siguientes limites:
1. l´ımn→∞
(1 + 1
n
)n
2. l´ımn→∞
(2 + 2
n
)n2
3. l´ımn→∞
2n+3n2+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes limites:
(i) l´ım
x→1
f(x), si f(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
(ii) l´ım
x→1
g(x), si g(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1. Continuidad de funciones
Definicion 1 Sea la funcion f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es
continua en x0, si para cada E(f(x0), ) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que si
x ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε).
Teorema 1 Sea f : A → R, A ⊆ R una funci´on, entonces las dos condiciones sigu-
ientes son equivalentes:
1. f es continua en a
1

2. 2. f verifica:
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
(b) Existe l´ım
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
Ejercicio 2: Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-
valos:
1. Sea P(x) = x3
− 3x5
+ 2x y Q(x) = x4
− 5x3
− 2x + 3 efectuar las siguientes
operaciones entre polinomios.
(a) P(x) + Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x + x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
+ x4
+ 3
(b) P(x) − Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x − x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
− x4
+ 3
(c) P(x)Q(x)
= x3
− 3x5
+ 2xx4−5x3−2x+3
: x3
− 3x5
+ 2xx4−5x3−2x+3
2. Calcular los siguientes limites:
a) l´ımx→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
b) l´ımn→∞
n√
n3+3n
2n−3n
observe la diferencia l´ımn→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 = 0
c) l´ımn→∞
(n3
+ 3n)n
= ∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n−54
2n2 − 5n3 =
∞
n=1
(1
2
3n−625
n2 − 5n3
)
1
n
(b)
∞
n=1
( n
(3n−54
2n2 )2 − 5n3) =
∞
n=1
((1
4
(3n−625)2
n4 − 5n3
)
1
n )n
(c)
∞
n=1
en+e−n
2
= ∞
(d)
∞
n=1
1
2
√
sen2(x)−cos2(x)
:
∞
n=1
1
2
√
(sen2 x−cos2 x)
Ejercicio 3:Calcular los siguientes l´ımites de funciones:
(a) l´ımx→0
sen ax
x
= a
(b) l´ımx→0
sen 7x
3x
: 7
3
(c) l´ımx→0
2x−3x
x
= ln 2 − ln 3
2

3. (d) l´ımx→0
x−1
cot x
= 1
(e) l´ımx→0+ (1
x
)tan x
= 1
Ejercicio 4:Graficar las siguientes c´onicas, teniendo en cuenta el tipo de
coordenadas m´as adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9
+ y2
4
= 1
(c) x2
5
− y2
3
= 1
(d) −2x2
+ 3x − 1 = 0
Observando las gr´aficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una de
ellas.
Ejercicio 5:Graficar las siguientes c´uadricas, teniendo en cuenta el tipo
de coordenadas m´as adecuado.
(a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5
− y2
3
= 2z
(c) −2x2
+ 3x − z(cil´ındricas)
Ejercicio 6:Graficar la funci´onf(x) = ex
x2+1
, indicar la posible ecuaci´on de una
as´ıntota oblicua observando el gr´afico.
Ejercicio 7:Obtenerlas raices de las siguientes ecuaciones:
(a) 3x2
−2x+1 = 0,verificar el valor obtenido observando la gr´afica correspondiente.
(b) x3
− 3x2
+ 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8:Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica y
graficamente:
(a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
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