SUPERFICIES CUADRICAS .ppt

1. Superficies Cuádricas

2. ESFERA
x
z
y
x y z R
  
2 2 2 2

3. Corte con planos y=k
x
z
y
x y z R
  
2 2 2 2
x
z
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,
son círculos paralelos al plano x-z. Para k=±R, la traza es
un punto.

4. Cortes con: x=k , z=k
z
y
x x
z
y
En ambos casos las trazas son círculos análogos al
mostrado para la traza y.
x y z R
  
2 2 2 2

5. ELIPSOIDE
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1

6. El elipsoide
• Corta a los ejes coordenados en:
• (+/-a,0,0); (0,+/-b,0); (0,0,+/-c), donde los
números reales a, b, c se llaman semiejes
del elipsoide, tal que:
• |x| es menor o igual que a
• |y| es menor o igual que b
• |z| es menor o igual que c

7. Cortes con planos y=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k, son
elipses paralelas al plano x-z. Si k<b, las trazas son
elipses. Si k=b, la traza es un punto.
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1
x
z
y x
z

8. Cortes con: z = k , x = k
• Para cortes con planos x=k y z=k, la
situación es análoga con lo visto para los
cortes y=k.
• x=k: si k<a, las trazas son elipses
si k=a, la traza es un punto
• z=k: si k<c, las trazas son elipses
si k=c, la traza es un punto
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1

9. En ambos casos las trazas son elipses similares a la
mostrada para la traza y.
Cortes con: x=k , z=k
x
y
z
x
z
y
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1

10. HIPERBOLOIDE DE
UNA HOJA
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x

11. Cortes con planos y=k
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
x
z
y
x
z
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,
son hipérbolas paralelas al plano x-z.

12. Cortes con planos x=k
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,
son hipérbolas paralelas al plano y-z.
y
z
x
y
z

13. Cortes con planos z=k
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,
son elipses paralelas al plano x-y.
x
y
x
z
y

14. HIPERBOLOIDE DE
DOS HOJAS
1
2
2
2
2
2
2




c
z
b
y
a
x

15. Cortes con planos y=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,
son hipérbolas paralelas al plano x-z.
1
2
2
2
2
2
2




c
z
b
y
a
x
x
z
y x
z

16. Cortes con planos x=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,
son hipérbolas paralelas al plano y-z.
y
z
1
2
2
2
2
2
2




c
z
b
y
a
x
x
y
z

17. Cortes con planos z=k
1
2
2
2
2
2
2




c
z
b
y
a
x
x
z
y
x
y
Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,
son elipses paralelas al plano x-y. Para que existan trazas
debe ser .
k c


18. CONO
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x



19. Cortes con planos y=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k, son
hipérbolas paralelas al plano x-z. En el caso de k=0, las
trazas son rectas asintóticas a las hipérbolas antes
mencionadas.
x
z
y
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x


x
z

20. Cortes con planos x=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k, son
hipérbolas paralelas al plano y-z. En el caso de k=0, las trazas son
rectas asintóticas a las hipérbolas antes mencionadas.
x
y
z
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x


y
z

21. Cortes con planos z=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k, son
elipses paralelas al plano x-y. Si k=0, la traza es un punto.
x
z
y
x
y
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x



22. PARABOLOIDE
ELIPTICO
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

23. x
z
y
Cortes con planos y=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,
son parábolas paralelas al plano x-z.
x
z
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

24. Cortes con planos x=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,
son parábolas paralelas al plano y-z.
y
z
x
y
z
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

25. Cortes con planos z=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,
son elipses paralelas al plano x-y. Para k=0, la traza es un
punto. Debe ser k/c0 para que exista traza.
x
z
y
x
y
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

26. PARABOLOIDE
HIPERBOLICO
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

27. Cortes con planos y=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,
son parábolas paralelas al plano x-z.
x
z
y
x
z
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

28. x
y
z
Cortes con planos x=k
Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,
son parábolas paralelas al plano y-z.
y
z
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

29. Cortes con planos z=k
x
z
y
Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k, son
hipérbolas paralelas al plano x-y. Para k>0, las hipérbolas
tienen al eje y como eje de simetría.
x
y
K>0
c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2

30. c
z
b
y
a
x

 2
2
2
2
Cortes con planos z=k
x
y
K=0
x
y
K<0
Para k<0, las hipérbolas tienen al eje x como eje de simetría.
Para k=0 las trazas son rectas asintóticas a las hipérbolas.