El documento presenta 5 ejemplos de problemas de programación lineal. Cada ejemplo describe un problema de optimización sujeto a restricciones con variables de decisión, función objetivo y restricciones. Se formulan modelos matemáticos para maximizar o minimizar objetivos como utilidades o costos totales.
2. 2
Programación Lineal: Formulación
1. Orsini. ¿Qué cantidad de cada estilo fabricar
durante el mes con el objeto de
maximizar las utilidades?
Sujeto a:
• No deben asignarse más de 1,200 horas de
tiempo de producción.
• Todos los costos de producción, de materiales
y costos fijos deben cubrirse con el efectivo
disponible durante el mes que es de $16,560.
• Satisfacer ciertos compromisos de demanda:
30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.
3. 3
Variables de decisión
X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben
fabricarse durante el mes.
X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben
fabricarse durante el mes.
X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben
fabricarse durante el mes.
Programación Lineal: Formulación
4. 4
Cálculo de C1
(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par
(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par
$48/par
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3
$ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1)
+ ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2)
+ ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)
Programación Lineal: Formulación
5. 5
de forma similar,
C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2
C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1
Programación Lineal: Formulación
6. 6
Restricción de producción
3.5X1 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 1
2.5X2 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 2
2.0X3 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 3
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 ≤ 1,200
Programación Lineal: Formulación
7. 7
Restricción de efectivo
Costo fijo = $3,000
Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560
para cubrir los costos variables.
48X1 + 43X2 + 28X3 ≤ 13,560
Compromisos de demanda
X1 pares de zap. estilo 1 ≥ 30 pares de zap. estilo 1
X2 pares de zap. estilo 2 ≥ 55 pares de zap. estilo 2
X3 pares de zap. estilo 3 ≥ 32 pares de zap. estilo 3
Programación Lineal: Formulación
8. 8
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
Sujeto a: 3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 ≤ 1,200
48X1 + 43X2 + 28X3 ≤ 13,560
X1 ≥ 30
X2 ≥ 55
X3 ≥ 32
No se necesitan las condiciones de no negatividad
puesto que existen restricciones de demanda
para todas las variables.
Programación Lineal: Formulación
9. 9
2. Fertimex ¿Qué cantidad de
cada fertilizante fabricar
durante el mes
con el objeto de maximizar
las utilidades?
Sujeto a:
No asignar más de 1,100 toneladas de nitrato,
1,800 toneladas de fosfato y 2,000 toneladas
de potasio.
Programación Lineal: Formulación
10. 10
Variables de decisión
X1 = Toneladas del fertilizante 5-5-10 que
deben fabricarse.
X2 = Toneladas del fertilizante 5-10-5 que
deben fabricarse.
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2
$ = ($/ton. de f. 5-5-10) x (tons. de f. 5-5-10)
+ ($/ton. de f. 5-10-5) x (tons. de f. 5-10-5)
Programación Lineal: Formulación
11. 11
Cálculo de C1
Costo del f. 5-5-10/ton.
Costo del nitrato/ton. (0.05)($200/ton.) = $10.00
Costo del fosfato/ton. (0.05)($80/ton.) = 4.00
Costo del potasio/ton. (0.10)($160/ton.) = 16.00
Costo del barro/ton. (0.80)($10/ton.) = 8.00
Costo del mezclado/ton. = 15.00
Costo total = $53.00
Precio de venta del f. 5-5-10/ton. = $71.50
Programación Lineal: Formulación
12. 12
C1 = $71.50/ton. - $53.00/ton. = $18.50/ton.
de forma similar,
C2 = $69.00/ton. - $49.00/ton. = $20.00/ton.
Max. Z = 18.5X1 + 20X2
Programación Lineal: Formulación
13. 13
Restricción de nitrato
0.05X1 es el uso de nitrato en X1 tons. de f. 5-5-10
0.05X2 es el uso de nitrato en X2 tons. de f. 5-10-5
0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1,100
Restricción de fosfato
0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1,800
Restricción de potasio
0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2,000
Programación Lineal: Formulación
15. 15
3. Ruedas Redondas. ¿Qué cantidad de cada tipo
de rim fabricar con el objeto
de maximizar las utilidades?
Sujeto a:
• No programar más de 1,500 rims tipo 2 ó
750 rims tipo 1 ó cualquier combinación de ellos
en el acabado, diariamente.
• No programar más de 700 rims tipo 2 ó
400 rims tipo 1 ó cualquier combinación de ellos
en el tratamiento especial, diariamente.
• No programar más de 600 rims de cualquier tipo
en el acabado final, diariamente.
Programación Lineal: Formulación
16. 16
Variables de decisión
X1 = Cantidad de rims tipo 1 a fabricar
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2
X2 = Cantidad de rims tipo 2 a fabricar
Max. Z = 30X1 + 19X2
Programación Lineal: Formulación
17. 17
Restricción en el acabado
2X1 + X2 ≤ 1,500
Restricción en el tratamiento
7X1 + 4X2 ≤ 2,800
Restricción en el acabado final
X1 + X2 ≤ 600
Programación Lineal: Formulación
19. 19
4. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviar
de cada distribuidor a cada proyecto
con el objeto de minimizar
los costos totales?
Sujeto a:
• No enviar más de 150 tons. del distribuidor 1,
175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del
distribuidor 3.
• Enviar 200 tons. al proyecto 1, 100 tons. al
proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.
Programación Lineal: Formulación
20. 20
Variables de decisión
XIJ = Número de toneladas a enviar del
distribuidor “I” al proyecto “J”.
Función objetivo
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
Programación Lineal: Formulación
23. 23
5. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de la
composición del nuevo producto provendrá de
cada una de las cuatro minas con
el objeto de minimizar su costo.
Sujeto a:
• El contenido del elemento básico “A” en el nuevo
producto no sea menor de 5 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “B” en el nuevo
producto no sea menor de 100 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “C” en el nuevo
producto no sea menor de 30 lb’s/ton.
Programación Lineal: Formulación
24. 24
Variables de decisión
X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1
X2 = porcentaje que provendrá de la mina 2
X3 = porcentaje que provendrá de la mina 3
X4 = porcentaje que provendrá de la mina 4
Programación Lineal: Formulación
25. 25
Función objetivo
Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4
$ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1)
+ ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2)
+ ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3)
+ ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4)
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
Programación Lineal: Formulación
26. 26
Restricción de elemento básico A
10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 ≥ 5
Restricción de elemento básico B
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 ≥ 100
Restricción de elemento básico C
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 ≥ 30
Programación Lineal: Formulación