Derivada como tasa de cambio en Economía

Diplomatura Educación y
Nuevas Tecnologías en
tiempos de convergencia
Curso II: Diseño de prácticas pedagógicas mediadas por
tecnologías
TRABAJO FINAL
Prof. Esp. María del Valle Heredia
Institución Educativa: IN.E.S “Dra. Carmen Peñaloza”
Nivel: Superior
Área: Matemática Aplicada
Profesorado en Economía
Curso: 1°Año

Prof. Esp. María del Valle Heredia 1
Fundamentación de la propuesta
Esta propuesta didáctica, donde se trabaja en particular la aplicación de la derivada (tasa de cambio) en
situaciones problemáticas económicas, permite considerar actividades relacionadas entre sí (integradas)
pero en especial, promover en los alumnos el acercamiento a los contenidos pero como protagonistas del
proceso de enseñanza.
En función de esto, se proponen tres actividades que plantean obstáculos, que necesitan de conceptos
previos que serán puestos en juego a través del análisis y de la investigación. Y en esta propuesta las TIC
atraviesan dichas actividades y potencian lo pedagógico al diseñar la secuencia didáctica, favoreciendo la
comprensión en los alumnos, de temas complejos y entendiendo a la Matemática como una herramienta
para resolver un problema que pertenece al campo económico.
El propósito entonces, al aplicar lo visto en el Módulo II es buscar un entramado interesante entre
conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos, lo cual ayuda a que los estudiantes comprendan el
tema que se busca presentar e institucionalizar. Y ese entramado permite la selección de contenidos y
situaciones problema, haciendo hincapié en la idea de trabajar de diferentes maneras (especialmente con
modos que no son habituales y que los estudiantes no suelen considerar).
Además, el cursado del Módulo II permitió una nueva mirada en el Diseño de una Propuesta Didáctica:
 Distinguir los obstáculos (ontológicos, didácticos y epistemológicos) del proceso de enseñanza y
aprendizaje, en particular en Matemática Aplicada.
 Identificar y aplicar los distintos recursos tecnológicos y sus posibilidades pedagógicas que
permitieron enriquecer la propia práctica y motivar al alumnado.
 Aplicar el modelo TPACK en el diseño de la propuesta didáctica seleccionada para los alumnos de
primer año del Profesorado en Economía.
El espíritu de esta propuesta radica en comprender un objeto matemático, transitando las diversas
experiencias que le permitan al estudiante producir, organizar, reorganizar la red de relaciones que se dan
en una situación problemática que llevan a la aplicación concreta de procedimientos, definiciones,
propiedades, argumentaciones, validaciones usando lenguaje simbólico propio de la Matemática y de la
Economía, y el lenguaje natural con el que cada alumno se expresa en el debate oral.

Obstáculos
Ontogénicos (Dificultades atribuibles al estudiante)
 Escasa o nula relación entre los conocimientos previos vistos en Introducción a la Economía (primer
cuatrimestre) con los contenidos conceptuales y procedimentales de Matemática Aplicada, que se
cursan en el segundo cuatrimestre.
 Falta de tiempo para dedicarle a la interpretación de consignas y a la resolución de las situaciones –
problema ya que los alumnos cursan varias asignaturas y muchos de ellos trabajan.
 Desmotivación en algunos alumnos como resultado de los obstáculos anteriormente nombrados.
Didácticos (Dificultades atribuibles al docente)
 Carga horaria mínima (en relación a materias pedagógicas del Diseño Curricular) destinada a
Matemática Aplicada que impide el desarrollo completo y exhaustivo de los contenidos propuestos.
 Falta de incorporación de actividades extra – matemáticas (económicas – financieras –
administrativas) que, yendo desde lo menos complejo a lo más complejo, permita a los alumnos
aplicar a la Matemática como herramienta para resolverlas.
 Falta de incorporación (como contenido transversal) de las Tic, como otra herramienta de análisis,
investigación y validación de las situaciones problemáticas propuestas.
 Nuevo Diseño Curricular para el Profesorado de Economía que se aplica desde comienzos de 2015.
Epistemológicos (Dificultades atribuibles al contenido)
 Conocimientos previos económicos vistos en el primer cuatrimestre, escasos y desvinculados de los
contenidos a ser vistos en Matemática Aplicada, en el segundo cuatrimestre.
 Dificultad para dar sentido a la aplicación de conceptos matemáticos en situaciones concretas
económicas.
 Estancamiento en ciertos conceptos económicos que no pueden ser analizados desde una visión
matemática (por ejemplo punto de equilibrio).
Decisiones curriculares
La selección de derivada, partiendo del concepto de tasa de cambio, tiene como propósito no sólo la
vinculación entre Matemática Aplicada e Introducción a la Economía, sino que dicho contenido es esencial
para las asignaturas posteriores, como Econometría y Derivadas Parciales aplicadas a Economía. La
profundización de los contenidos tratados en este diseño también impactan directamente en la unidad
correspondiente (Integrales definidas e indefinidas aplicadas a Economía).
Decisiones pedagógicas
 Preparar material acorde a las necesidades de la materia y del grupo de alumnos según los
obstáculos mencionados anteriormente.
 Trabajar en forma grupal situaciones problemáticas económicas dejando que cada grupo utilice
estrategias no convencionales o rutinarias.

 Proporcionar el uso de software específico para investigar, analizar y validar conjeturas realizadas
por los mismos alumnos. (GeoGebra, Excel).
 Reflexionar sobre el uso de un nuevo entorno educativo donde la docente y los alumnos
adoptemos técnicas que incluyan herramienta web 2.0 para construir y compartir conocimientos
mediante la interacción.
 Como profesora, cambiar el rol tradicional por el de tutora –guía, ya que no sólo se trabajará
presencialmente.
 Utilizar indicadores de evaluación para cada actividad y para cada momento de modo que se refleje
en forma escrita la evaluación continua de los alumnos; y de la rúbrica de evaluación para la
devolución final de la secuencia de actividades.
Decisiones Tecnológicas
Las decisiones tecnológicas que se han tenido en cuenta en esta propuesta responden a:
 Establecer necesidades pedagógicas, el para qué.
 Buscar y seleccionar recursos: el qué.
 Definir el modo de uso de los recursos: el cómo.
Entonces, podemos decir que esta propuesta ha tomado las siguientes decisiones tecnológicas:
 Para el Momento de Apertura:
Presentar un tema/actividad, recuperando conocimientos previos y estableciendo relaciones con la vida
real: texto de la consigna, presentación de un Prezi como nexo entre las actividades Las derivadas
aplicadas a Economía, uso de la wiki abierta para tal fin y del foro en el aula virtual de la cátedra.
 Para el Momento de Desarrollo:
De construcción de conceptos, de conocimientos y aplicación: construcción de tablas usando Excel y de
gráficas usando GeoGebra.
 Para el Momento de Cierre:
Para comunicar/compartir, para evaluar y recibir retroalimentación: conformación de grupos
cerrados para consulta usando Whatsapp y Facebook; uso del aula virtual.

Propósitos
● Promover en los alumnos y en las alumnas una mirada distinta del concepto de derivada en relación a los
conceptos económicos y financieros.
● Apoyar en los alumnos y en las alumnas el desarrollo de las habilidades vinculadas a la modelización y
resolución de situaciones propias de la Economía, apoyadas por el uso de las TIC y de recursos digitalizados
y no digitalizados disponibles.
Objetivos
Que los alumnos:
● Comprendan el concepto de derivada de una función real de variable real no sólo desde su interpretación
geométrica sino como tasa de cambio.
● Desarrollen habilidades vinculadas a la interpretación, planteo y modelización de situaciones inherentes a
la Economía, donde la Matemática sea una herramienta necesaria para el logro de las mismas.
● Se familiaricen con el uso de las TIC y de los materiales digitalizados y no digitalizados disponibles como
medio para la modelización de situaciones problemáticas económicas.
Contenidos
● Derivada. Concepto. Interpretación geométrica. La derivada como tasa de cambio.
● Determinación e interpretación de extremos (relativos y absolutos). Curvas: trazado y análisis a partir de
sus gráficas.
● Situaciones problemáticas vinculadas a la Economía y a la Administración: tasa de cambio de p respecto a
q, ingreso e ingreso marginal, maximización del ingreso.
Saberes previos necesarios
En relación a la disciplina
● Concepto de ecuación de la recta dados un punto y su pendiente; y dados dos puntos pertenecientes a la
misma. Interpretación geométrica de la pendiente y de la ordenada al origen.
● Análisis de funciones polinómicas: crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y absolutos,
concavidad, dominio e imagen.
● Concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.
● Conceptos de Oferta, Demanda, Ingreso, Costo, Utilidad, Equilibrio de Mercado.

En relación a las TIC
● Manejo de planillas Excel para confeccionar tablas y gráficos.
● Manejo de GeoGebra para graficar y analizar funciones.
● El aula virtual como espacio complementario de la clase presencial.
● Conformación de grupos cerrados para consulta usando Whatsapp y Facebook.
Secuencia de actividades
Actividad 1
Momento de Apertura
La profesora plantea la siguiente situación problemática relacionada con Economía.
Previamente, propone a los alumnos y a las alumnas formar grupos de hasta 4 integrantes, leer
detenidamente la actividad propuesta y consignar en un papel (pueden elegir uno de los integrantes para
que vaya tomando nota) los caminos tomados para resolverla, dejando explicitado los datos que la
situación problemática presenta, las relaciones con los conceptos económicos vistos y las herramientas
matemáticas usadas, incluyendo tanto los aciertos como los errores cometidos al intentar su resolución;
dejando claro que todo contribuye al aprendizaje e interpretación de conceptos económicos iluminados
por la Matemática.
Se indica también que al finalizar la actividad, a modo de cierre, deberán exponer sus resoluciones ante sus
compañeros utilizando no sólo tiza y pizarrón, sino inclusive herramientas web 2.0 (una presentación
Power Point o un Prezi, por ejemplo).
Tiempo del momento de apertura: primera clase (medio módulo)
Situación problemática
Si la demanda de un cierto producto viene expresada por la función d(p) = 100 - p2
, donde p indica el precio
en cientos de pesos, calcula: a) la tasa de variación media de la demanda cuando el precio pasa de 700
pesos a 900 pesos, b) la variación instantánea para 700 pesos.
Momento de Desarrollo
Las consignas requieren el análisis de una función cuadrática (como la que representa a la demanda de un

producto), la razón de cambio (o tasa de variación media) y tasa o cambio instantáneo de la demanda
respecto al precio.
El trabajo en grupo se realiza en la primera clase y durante el desarrollo de la actividad los alumnos notan
que es necesario conocer previamente el concepto de demanda y de función cuadrática.
Los alumnos y las alumnas plantean dudas a la docente quien realiza las intervenciones que crea
conveniente.
Tiempo del momento de desarrollo: primera clase (un módulo y medio)
Posibles soluciones que pueden presentar los alumnos y las alumnas
Estrategia 1 [para ítem a)]
Los alumnos y las alumnas aplicarán en una primera instancia el cálculo de incrementos, identificando las
variables intervinientes.
𝛥𝑑: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
𝛥𝑝: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
Entonces harán: 𝛥𝑑 = 𝑑𝑓 − 𝑑𝑖 = 𝑑(900) − 𝑑(700)
𝛥𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 9 − 7 = 2
Observarán que el segundo cálculo resulta más fácil que el primer cálculo.
En este momento, la profesora sugiere volver a leer la consigna, hasta observar que si p es el precio en
cientos de pesos, conviene hacer:
𝛥𝑑 = 𝑑𝑓 − 𝑑𝑖 = 𝑑(9) − 𝑑(7) = 19 − 51 = −32
Entonces, la tasa de variación media de la demanda será el siguiente cociente:
𝛥𝑑
𝛥𝑝
=
−32
2
= −16
Cada grupo debe interpretar el signo del resultado obtenido, en relación a los conceptos económicos
vistos.

Un grupo puede recordar el concepto de demanda:
La demanda no es más que lo que uno está dispuesto a pagar por la primera unidad de consumo, por la
segunda, etc.
Luego, otro grupo indicará que el signo negativo implica que la demanda disminuirá en 16 productos por
cada incremento de 100 pesos en el precio.
Estrategia 2 [para ítem b)]
Un grupo tratará de relacionar el concepto de tasa de variación instantánea y usará el límite de la tasa de
variación media cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.
Entonces realizará el siguiente cálculo:
𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
𝛥𝑑
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
𝑑(7+𝛥𝑡)−𝑑(7)
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
100−(7+𝛥𝑝)2−𝑑(7)
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
100−49−14𝛥𝑝−𝛥𝑝2−51
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
51−14𝛥𝑝−𝛥𝑝2−51
𝛥𝑝
=
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
−14𝛥𝑝 − 𝛥𝑝2
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
𝛥𝑝(−14 − 𝛥𝑝)
𝛥𝑝
= 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑝→0
− 14 − 𝛥𝑝 = −14
Otro grupo vinculará el concepto de tasa de variación instantánea con el concepto de derivada en un punto
p=7 y directamente calculará, teniendo en cuenta las reglas de derivación:
Si d (p) = 100 - p2
, entonces d´ (p)= -2p
Por lo tanto, d´ (7) = -2.7=-14
Cada grupo, al exponer sus procedimientos, comprobarán que obtienen los mismos resultados, pidiéndoles
la interpretación del resultado obtenido.
Cada grupo después de debatir coincidirán en que para un mínimo aumento desde 700 pesos, la
disminución será de 14 productos.
Momento de Cierre
Para poder comenzar la segunda clase se los alumnos y las alumnas de cada grupo exponen lo resuelto y

posteriormente debaten, siendo el rol de la profesora el de moderadora, comentando los obstáculos, los
análisis fallidos y los que no lo fueron, extrayendo las conclusiones vinculadas al comportamiento habitual
de la función de demanda de un producto d (p) y como la derivada como “razón de cambio” determina la
relación y el comportamiento de las variables intervinientes.
Tiempo del momento de cierre: segunda clase (un módulo)
Algunas dificultades que podrían presentarse
Entre las dificultades que pueden presentar los alumnos ante la resolución de la actividad propuesta,
podemos mencionar la interpretación del concepto de derivada como razón o tasa de cambio, y la tasa de
variación instantánea para el incremento mínimo de la variable dependiente, especialmente en la
aplicación de situaciones problemáticas relacionadas con economía.
Es esencial que los alumnos y las alumnas entiendan a la Matemática como una de las herramientas que la
Economía necesita para la modelización de situaciones concretas.
Algunas intervenciones del docente podrían ser:
Alumno: ¿Por qué las tasas de variación y de variación instantánea obtienen resultados distintos en cuento
a su valor absoluto?
Profesora: Pensemos económicamente, ¿podrías realizar un cambio infinitesimal de la variable precio?
Alumno: Solamente si tenemos en cuenta que el análisis hace referencia a un mínimo aumento, en
unidades enteras de p.
Recursos
 Pizarrón y tizas (blancas y de colores)
 Calculadoras
 Netbooks de Conectar Igualdad, sin acceso a internet, ya sea o por alumno o una por grupo.
 Proyector móvil
 Presentación en Power Point o en Prezi (previamente se ofrecerá un Tutorial insertado en el aula
virtual o bien un video – tutorial que pueden llevarse en un pendrive)
 Guía con las actividades propuestas.
 Software disponible en las netbooks de Conectar Igualdad: Excel, GeoGebra.
 Bibliografía de la cátedra:
 Hernández, Jorge E. (2008).Aplicaciones de la derivada a la Economía. UCLA –DAC.
 Murolo, Afranio –Bonetto, Giácomo. (2004). Matemática aplicada a la Economía. Editorial
Adilson Pereira.

 Bibliografía del Módulo:
 INFD, (2010) Proyecto de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel
secundario, Fecha de consulta: 13 de diciembre de 2013.
 Godino, J. (2010). Indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas.
 Coll, C. (2009). Aprender y enseñar con las TIC: expectativas, realidad y
potencialidades, en R. Carneiro, J. C. Toscano y T. Díaz (comp.).
Evaluación
Indicadores: Resuelve una actividad problemática económica utilizando tablas de valores, fórmulas y
concepto de tasa instantánea, derivada primera.
Instrumentos: debate y exposición oral, informe de trabajo (Prezi y/o Power Point)
Actividad 2
Momento de Apertura
Se presenta un Prezi como nexo entre la Actividad 1 y la Actividad 2 Las derivadas aplicadas a Economía.
La profesora explica las pautas de la forma de trabajo y evaluación.
● Continuar con los grupos de 3 o 4 alumnos ya formados.
● Las consignas de la actividad están planteadas en el aula virtual de la materia Matemática Aplicada,
a la que todos los alumnos y todas las alumnas tienen acceso. En la misma se encuentra disponible
el link del Prezi mencionado y una breve explicación del mismo.
● En dicha aula virtual, en una Wiki abierta para tal fin los alumnos (según cada grupo conformado)
deben participar en la misma reflexionando sobre lo observado en el Prezi, y escribiendo los
procedimientos utilizados para la resolución (correctos o no).
● En el momento de cierre, se les pedirá a los grupos compartir oralmente con sus compañeros las
estrategias de resolución empleadas.
Tiempo del momento de apertura: segunda clase (un módulo)
Se presenta la siguiente situación problemática:
Un editor vende cada libro a un precio que viene dado por la fórmula 𝑝 =
5000−𝑥
10
, p expresado en pesos y x

representa el número de ejemplares producidos.
a. Analiza para qué nivel de producción sus ingresos se maximizan, redactando un informe para que el
editor pueda tomar decisiones de venta.
b. Si se coloca un impuesto de $5 por libro vendido, ¿qué ocurre con los valores que maximizan dichos
ingresos?
Para poder realizar el análisis pedido, se debe modelizar una función algebraica económica (el Ingreso),
determinar el ingreso y el nivel de producción que maximiza dicho ingreso.
La profesora indicará el comienzo del trabajo en grupo desde la segunda clase, además del trabajo en el
aula virtual como complemento de la clase presencial.
Los alumnos plantean dudas a la profesora que realiza las intervenciones convenientes.
Momento de desarrollo: tercera clase (dos módulos)
Algunas soluciones que pueden proponer los alumnos
Estrategia 1
Una de las estrategias planteadas por uno de los grupos conformados es la verificación y deducción por
tablas y gráficas, valiéndose de Excel y/o de GeoGebra:
Los ingresos se calculan multiplicando el número de libros vendidos por el precio de cada libro:
I(x) = x. p, elaborando una tabla y asignando valores a la variable independiente x. Después de varios
intentos se observa que uno de ellos maximiza los Ingresos:
x= 2500 p= 500 I (2500) = 625000
Se aclara que la tabla que queda es aquella que usa valores cada vez más grandes de x.

Número de ejemplares
vendidos
Precio Ingresos
x p I
2492 250,8 624993,6
2593 250,7 624995,1
2494 250,6 624996,4
2495 250,5 624997,5
2496 250,4 624998,4
2497 250,3 624999,1
2498 250,2 624999,6
2499 250,1 624999,9
2500 250 625000
2501 249,9 624999,6
2502 249,8 624999,1
2503 249,7 624998,4
2504 249,6 624997,5
Los alumnos observan que x=2500 maximizaba los Ingresos, y deciden graficar la función Ingresos, pero
para ello necesitan modelizar la situación planteada:
𝐼(𝑥) = 𝑥. 𝑝 = 𝑥. (500 −
𝑥
10
)
𝐼(𝑥) = 500𝑥 −
𝑥2
10

Los alumnos obtienen una función cuadrática cuyo gráfico, en GeoGebra, es:
De forma análoga, para analizar los cambios que puede provocar el impuesto, se tiene:
x= 2475 p= 247,5 I (2475) =612562,5
Número de ejemplares
vendidos
Precio Ingresos
x p I
2466 248,4 612554,4
2467 248,3 612556,1
2468 248,2 612557,6
2469 248,1 612558,9
2470 248 612560
2471 247,9 612560,9
2472 247,8 612561,6
2473 247,7 612562,1
2474 247,6 612562,4

2475 247,5 612562,5
2476 247,4 612562,4
2477 247,3 612562,1
2478 247,2 612561,6
2479 247,1 612560,9
2480 247 612560
Con las gráficas y tablas los alumnos y las alumnas llegan a iguales resultados, pero ven la necesidad de
aplicar los criterios de diferenciación para concluir con mayor certeza.
Estrategia 2
Otra de las estrategias que deciden aplicar es el criterio de la derivada segunda:
a. Partiendo de la modelización ya empleada 𝐼(𝑥) = 500𝑥 −
𝑥2
10
𝐼´(𝑥) = 500 −
𝑥
5
𝐼´(𝑥) = 0 → 500 −
𝑥
5
= 0 → 𝑥 = 2500 valor crítico
𝐼"(𝑥) = −
1
5
<0 , entonces el valor crítico maximiza a los ingresos
Luego:
𝐼(2500) = 500.2500 −
25002
10
= 625000
Analizando los resultados, aconsejaríamos al editor intentar producir y vender una cantidad de libros
x=2500, a un precio de venta p=500, para maximizar los Ingresos ($625000)
b. La modelización que emplearon es 𝐼(𝑥) = 495𝑥 −
𝑥2
10

𝐼´(𝑥) = 495 −
𝑥
5
𝐼´(𝑥) = 0 → 495 −
𝑥
5
= 0 → 𝑥 = 2475 valor crítico
𝐼"(𝑥) = −
1
5
<0 , entonces el valor crítico maximiza a los ingresos
Luego:
𝐼(2475) = 500.2475 −
24752
10
= 612562,5
Al editor le informaríamos que el impuesto afecta la cantidad a producir y vender (x=2475) e implica una
disminución del precio (p=247,5) para maximizar los ingresos.
Algunas dificultades que podrían presentarse
Las dificultades que pueden presentar los alumnos están vinculadas a los conceptos de Ingreso y precio.
Los alumnos deben leer y comprender lo solicitado en las consignas, e identificar, diferenciando conceptos
matemáticos o económicos.
Algunas intervenciones de la profesora podrían ser
Alumno: ¿el informe al editor consiste en escribir el resultado y explicar su significado?
Profesora: A ver, analicemos cuál es la finalidad que persigue este editor de libros.
Alumno: seguramente ganar dinero, pero ¿eso es el ingreso?
Profesora: ¿en el transcurso de tu secundaria, en la modalidad cursada, nunca escuchaste esa palabra? Te
sugiero que tengas en cuenta el contexto en que la estás utilizando.
Momento de Cierre
Luego del análisis anterior se realiza la exposición y debates por grupos, moderados por la profesora,
donde comentará los caminos equivocados y los correctos, permitiendo rescatar los conceptos que fueron
recuperando los alumnos, que fueron resignificando y concluir respecto al comportamiento habitual de la
función ingreso en un mercado competitivo y en un mercado con intervención estatal (impuesto), el

análisis de la derivada como “razón de cambio” y la determinación del precio y la cantidad de producto
óptima de dichas funciones (criterio de la derivada segunda).
Tiempo del momento de cierre: cuarta clase (dos módulos)
Al finalizar la exposición de las estrategias el docente podría intervenir consultando:
- ¿Quién finalmente se hace cargo del impuesto establecido?
Del debate y de la exposición surge que el nuevo precio es sólo $2,5 menor que antes del gravamen, es
decir, parte del impuesto se ha cargado al consumidor y el editor debe pagar la diferencia.
- ¿Esta situación se plantea en un mercado competitivo?
Esta pregunta les permite recordar que en un mercado competitivo intervienen sólo las fuerzas del mercado
(oferta y demanda) pero deja de serlo cuando por ejemplo el estado interviene, como en este caso,
implementando un impuesto.
Recursos
 Calculadora de la netbooks.
 Proyector móvil para la presentación en de gráficas y tablas.
 Trabajo en el Aula Virtual (wiki) de la cátedra como complemento de la presencialidad.
 Prezi: https://prezi.com/vyzk4zrqvepm/las-derivadas-aplicadas-en-economia/.
 Hernández, Jorge E. (2008).Aplicaciones de la derivada a la Economía. UCLA –DAC.
 Murolo, Afranio –Bonetto, Giácomo. Matemática Aplicada a la Economía. Editorial Adilson
Pereira. 2004.

Evaluación
Indicadores: Resuelve una actividad problemática económica, modelizándola, utilizando para ello tablas de
valores, fórmulas y conceptos de derivada primera y de derivada segunda.
Instrumentos: debate y exposición oral, informe de trabajo: en el aula virtual (wiki) y en la clase presencial.
Actividad 3
Momento de Apertura
La profesora plantea la siguiente actividad.
Considerando al editor de la Actividad 2, analiza el comportamiento de la función Ingreso Marginal en el
mercado competitivo.
Luego da una serie de pautas para trabajo y evaluar:
● Seguir trabajando en grupos de 3 o 4 alumnos.
● Las consignas de la actividad están planteadas también en el aula virtual de la materia, a la que
todos los alumnos tienen acceso
● Se les solicita a los alumnos dejar plasmado, en el espacio del aula virtual asignado a cada grupo, los
caminos correctos y los nos correctos, pues todos contribuyen al aprendizaje.
● En el momento de cierre, se les pedirá exponer sus resoluciones al resto de sus compañeros.
Tiempo del momento de apertura: Quinta clase (medio módulo)
Las consignas requieren el análisis de funciones algebraicas (como las representativas del Ingreso), la
determinación del precio y cantidades de producto óptimos que satisfagan ambas funciones.
El trabajo en grupo comienza en la clase y requiere que la actividad continúe también en el aula virtual.
Los alumnos plantean dudas a la profesora quien realiza las intervenciones que cree conveniente.
Tiempo del momento de desarrollo: Quinta clase (un módulo y medio) y Actividad en aula virtual (2 horas
reloj aproximada)

Algunas posibles soluciones esperadas por los alumnos
Una de las estrategias que se presenta es la verificación y deducción por tablas y gráficas, valiéndose de
distintos software.
Si bien con las gráficas y tablas los alumnos llegan a resultados iguales, mencionan que ven la necesidad de
aplicar los criterios de diferenciación para concluir con mayor certeza.
No realizan demostración alguna, pues la asignatura apunta exclusivamente a la interpretación y aplicación
práctica de la Matemática a la Economía.
Estrategia 1
Una de las estrategias planteadas por uno de los grupos conformados es la verificación y deducción por
tablas y gráficas, valiéndose de Excel:
Número de
ejemplares vendidos
Precio Ingresos Diferencia entre
ingreso final e
ingreso inicial
Diferencia entre
ejemplar final
vendido e inicial
vendido
Ingreso
Marginal
x p I Δ I Δ x IM
2492 250,8 624993,6
2593 250,7 624995,1 1,5 1 1,5
2494 250,6 624996,4 1,3 1 1,3
2495 250,5 624997,5 1,1 1 1,1
2496 250,4 624998,4 0,9 1 0,9
2497 250,3 624999,1 0,7 1 0,7

2498 250,2 624999,6 0,5 1 0,5
2499 250,1 624999,9 0,3 1 0,3
2500 250 625000 0,1 1 0,1
2501 249,9 624999,6 -0,1 1 -0,1
2502 249,8 624999,1 -0,3 1 -0,3
2503 249,7 624998,4 -0,5 1 -0,5
2504 249,6 624997,5 -0,7 1 -0,7
Los alumnos observarán que si hacen la diferencia entre los ingresos marginales para cada ejemplar
vendido será siempre constante y aproximadamente 0,2.
El Ingreso Marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más. Si
vendemos una cantidad adicional, obtendremos un ingreso adicional de 0,2.
Los alumnos observan que el ingreso marginal tiene un incremento de 0,2 para todas las cantidades, razón
por la cual sólo deberían calcular para las primeras cuatro cantidades.
Estrategia 2
Otro grupo decidió trabajar con el concepto de función derivada.
El Ingreso total está dado por:
𝐼(𝑥) = 500𝑥 −
𝑥2
10
Aplicando el criterio de la segunda derivada:
𝐼´(𝑥) = 500 −
𝑥
5

Si suponemos que se venden 2498 ejemplares, el Ingreso Marginal será:
𝐼´(2498) = 500 −
2498
5
= 500 − 499,6 = 0,4
Esto significa que por la venta del producto número 2499 se obtiene un beneficio de 0,4.
𝐼(2499) − 𝐼(2498) = 0,4
Comparando ambas estrategias se observa que al trabajar con una tabla de Excel los valores son
aproximados, ya que los alumnos trabajaron con redondeos a décimos.
Gráficamente:
Los grupos observan que la recta obtenida corta en el valor x = 2500 que es el número de ejemplares que
maximiza el Ingreso.

Pero coinciden en que el método de la segunda derivada es más ágil.
Momento de Cierre
Se realiza la exposición (usando no sólo del pizarrón sino del proyector) y debate por grupos, moderados
por la profesora, comentando los procedimientos incorrectos y los correctos, permitiendo concluir
respecto al comportamiento habitual de la función ingreso e ingreso marginal y como contribuye el análisis
de la derivada como “razón de cambio” para determinar el comportamiento de las funciones mencionadas.
Al finalizar la exposición de las estrategias la profesora puede intervenir preguntando, de modo que se
institucionalice la construcción y el análisis de las funciones demanda, ingreso e ingreso marginal.
Se solicita que los grupos antes de la exposición oral participen del Foro de Autoaprendizaje abierto en el
aula virtual, donde fundamentarán cada procedimiento.
Tiempo del momento de cierre: Sexta clase (un módulo y medio)
Dificultades que pueden presentarse
Están relacionadas con la interpretación del concepto de Ingreso y de Ingreso Marginal, no sólo
analíticamente sino gráficamente.
Los alumnos y las alumnas deberán detenerse en la lectura comprensiva y en un análisis más profundo de
lo solicitado en las consignas, diferenciando conceptos matemáticos o económicos y valorizando a la
Matemática como una herramienta esencial para el análisis.
Algunas intervenciones de la docente podrían ser:
Alumno: ¿económicamente cómo puedo diferenciar el Ingreso del Ingreso Marginal?
Profesora: ¿Qué te representa a vos la tasa de cambio económicamente?
Alumno: la pendiente de la recta tangente a la curva dada…o sea la derivada…

Recursos
 Calculadora de la netbooks.
 Proyector móvil para la presentación de gráficas y tablas.
 Trabajo en el Aula Virtual (Foro de Autoaprendizaje) de la cátedra como complemento de la
presencialidad.
 Hernández, Jorge E.(2008). Aplicaciones de la derivada a la Economía. UCLA –DAC.
 Murolo, Afranio –Bonetto, Giácomo. (2009). Matemática Aplicada a la Economía. Editorial
Adilson Pereira. 2004.
Evaluación
Indicadores: Resuelve una actividad problemática económica, basada en las actividades 1 y 2, utilizando
para ello tablas de valores, fórmulas y el criterio de la derivada segunda.
Instrumentos: debate y exposición oral, informe de trabajo: en el aula virtual (Foro de Autoaprendizaje) y
en la clase presencial, eligiendo la herramienta más conveniente: escrito, presentación en Power Point o
Prezi.

Evaluación Final
Luego de la evaluación, corrección y devolución continua en cada actividad propuesta, se presenta la
siguiente Rúbrica de Evaluación, cuyos indicadores son generales así se distinguen de los indicadores
particulares de cada actividad, pero que se encuentran íntimamente relacionados:
Indicadores Excelente
(10)
Muy Bien
(9-8)
Bien
(7-6)
Regular
(5-4)
Insuficiente
(3-1)
A1 A2 A3
Interpretación de las
funciones
representadas por
fórmulas.
Interpreta y analiza
correctamente la
fórmula de acuerdo a la
situación problemática.
Interpreta y analiza
la fórmula de la
función,
cometiendo algunos
pequeños errores.
Interpreta
claramente la
formula pero el
análisis de la
situación es pobre.
Muestra dificultad
en la
interpretación y
análisis de la
situación.
No interpreta ni
analiza.
Graficación de
funciones.
Grafica correctamente
las funciones.
Grafica cometiendo
pequeños errores.
Grafica con errores
importantes.
Muestra dificultad
en la gráfica.
No grafica.
Valoración del uso de
software en clase de
Matemática.
Valoración del uso de
software en clase de
Matemática.
Muy buena
predisposición para
el uso de software y
el uso concreto del
mismo.
Trabaja de manera
correcta con el
software, pero no
tiene buena
predisposición.
Trabaja
incorrectamente y
no tiene
predisposición.
No trabaja con
el software.

Bibliografía
 Area Moreira, M. (2007). Algunos principios para el desarrollo de buenas prácticas pedagógicas con
las TICs en el aula. En Comunicación y pedagogía: Nuevas tecnologías y recursos didácticos, N° 222,
pp.42-47, ISSN 1136-7733.
 Davini, M.C (2008). “Métodos de enseñanza. Didáctica general para maestros y profesores”.
Editorial Santillana.
 Espinoza Ricardo Fabian, Pochulu Marcel David y Jorge María Josefina. (2013). “El Análisis didáctico
de textos escolares. ¿Qué herramientas proveen las diferentes líneas y enfoques en Educación
Matemática? Actas del VII CIBEM. Montevideo, Uruguay.
 Feldman, D. (2010). Aportes para el desarrollo curricular. Didáctica general. Buenos Aires:
Ministerio de Educación de la Nación.
 Flores Samaniego, Á. y Gómez Reyes, A. (2009). Aprender Matemática, Haciendo Matemática: la
evaluación en el aula. 2009, vol.21, n.2, pp. 117-142.
 Haeussler E. y otros. (2010). “Matemáticas para administración y economía”, 12ª edición, Prentice
Hall.
 Hernández, Jorge E. (2008). Aplicaciones de la derivada a la Economía. UCLA –DAC.
 Martinatto Flavia. (2013). Secuencia Didáctica 2: Derivada. Enseñar con TIC Matemática II.
Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación
de la Nación.
 Material Clase 6: La evaluación en la secuencia didáctica del módulo Propuesta Educativa II Enseñar
con TIC Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires:
Ministerio de Educación de la Nación.
 Murolo, Afranio –Bonetto, Giácomo. (2009). Matemática Aplicada a la Economía. Editorial Adilson
Pereira.
 Novembre Andrea, Nicodemo Mauro y Coll Pablo (2015). “Matemática y TIC. Orientaciones para la
enseñanza” - Ciudad Autónoma de Buenos Aires: ANSES.
 Paenza, Adrián. (2011). “¿Cómo, esto también es matemática?”. Editorial Sudamericana. Proyecto
de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario (2008). Presidencia de la
Nación.
 Sagol, Cecilia (2011) El modelo 1 a 1: notas para comenzar. - 1a ed. - Buenos Aires. Ministerio de
Educación de la Nación.

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