Argumentación matemática

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Línea de razonamiento
y justificación
Sesión 14. Argumentación matemática (Segundo
aspecto de la respuesta al ¿por qué?)
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”

2. Espectro E – P (Exploración – Demostración)
(Hsieh, Horng, Shy, 2012, p. 289)
Exploración Conjeturar
Explicación
informal
Justificación
Argumentación
Demostración
¡Existen diferentes puntos de vista
acerca de la argumentación!

3. ¿Por qué argumentar? – 1
Thurston (1994, citado en Durand – Guerrier,
Boero, Douek, Epp & Tanguay, 2012):
“La seguridad no proviene principalmente de
matemáticos que emplean formalmente
argumentos formales; proviene de
matemáticos que piensan cuidadosa y
críticamente sobre ideas matemáticas” (p.
352).

4. ¿Por qué argumentar? – 2
• Dos enfoques para la actividad matemática, según
Alcock (2009, en Durand – Guerrier et al., 2012):
- Semántico: consta del estudio de ejemplos,
contraejemplos; ejemplificación de conceptos,
propiedades y teoremas, así también del desarrollo de
analogías, asociaciones, imágenes mentales,
metáforas, etc.
- Sintáctico: se caracteriza por el empleo de
definiciones formales y símbolos, manejo de fórmulas,
así como producción de inferencias.
Durand – Guerrier et al. (2012) sostienen: “(…) el
trabajo matemático realizado cuando se buscan y
desarrollan demostraciones es esencialmente
dialéctico, con frecuente movimiento de ida y vuelta
entre la semántica y la exploración de los objetos
matemáticos (…)” (p. 353).

5. ¿Por qué argumentar? – 3
Además, argumentar y discutir son importantes
en la clase de matemáticas porque (Rumsey,
2015):
• “Ayuda a incorporar conceptos.
• Los estudiantes pueden explorar y explicar
estrategias.
• Los estudiantes pueden aprender unos de
otros.
• Los profesores pueden evaluar el
pensamiento de los estudiantes.”

6. Aspectos generales
• La argumentación como actividad de
contenido retórico era conocida desde la
Antigüedad. En los años 50, el interés se
renovó debido a los trabajos de S. Toulmin y
C. Perelman (junto a L. Olbrechts – Tyteca)
• Los trabajos de estos investigadores
influyeron en la Matemática. De esta forma,
surgió el interés por determinar el rol de la
argumentación en esta ciencia.

7. Principales conceptos – 1
Perelman & Olbrechts – Tyteca (s. f.)
“Cuando se trata de demostrar una proposición,
basta con indicar qué procedimientos permiten que esta
proposición sea la última expresión de una serie
deductiva cuyos primeros elementos los proporciona
quien ha construido el sistema axiomático en el interior
del cual se efectúa la demostración (…) Pero cuando se
trata de argumentar o de influir, por medio del discurso,
en la intensidad de la adhesión de un auditorio a ciertas
tesis, ya no es posible ignorar por completo, al creerlas
irrelevantes, las condiciones psíquicas y sociales sin las
cuales la argumentación no tendría objeto ni efecto.
Pues, toda argumentación pretende la adhesión de los
individuos y, por tanto, supone la existencia de un
contacto intelectual” (p. 48)
Esto supone la existencia de una comunidad
intelectual y de un acuerdo para debatir una cuestión.

8. Principales conceptos – 2
Toulmin (1958)
Toulmin propone que un argumento es un ser vivo, con
estructuras anatómica y fisiológica. La última nos brinda
elementos para analizar argumentos (Toulmin, 1958, citado en
Reid & Knipping, 2010). El presente esquema intenta sintetizar
la fisiología del argumento (Reid & Knipping, 2010; Almouloud &
Viana, 2015).
Datos (D)
Así que [Cualificador (Q)],
Afirmación/Conjetura/Conclusión
(C)
A menos que
Refutación (R)
Ya que
Garantía (W)
A cuenta de
Respaldo (B)

9. Ejemplo ilustrativo – 1
“¿Qué es lo que puedes decir acerca de si −𝑎2 es un número entero
diferente de 0? ¿Es un número positivo o negativo?”
“−𝑎2
es un número negativo (afirmación) porque el cuadrado de cada
número es un número positivo, pero con menos se vuelve un número
negativo (garantía) … a menos que el cuadrado afecte al número
entero y al menos … en este caso −𝑎2
es un número positivo
(refutación). No … esto es imposible porque −𝑎2
es diferente a
(−𝑎)2
” (Boero, Douek, Morselli, Pedemonte, 2010, pp. 3 – 4).
−𝑎2
< 0
A menos que −𝑎2
> 0 porque
−𝑎2= (−𝑎)2> 0
Ya que 𝑛2
≥ 0 ∀𝑛 ∈ 𝑍; si n > 0
entonces –n <0
A cuanta de reglas algebraicas, en
particular −𝑎2
≠ (−𝑎)2
−𝑎2
, 𝑎 𝜖 𝑍, 𝑎 ≠ 0

10. Ejemplo ilustrativo – 2
Problema: determinar el producto de 4 x 4. Intervienen
Jack y Jamie (Krummheuer, 1995, citado en Almouloud
& Viana, 2013, pp. 490 – 491).
8 + 8 = 16
Dois conjuntos de
quatro fazem oito
4 x 4 = 16
“4 x 4 é como 4 conjuntos de
quatro.
Há mais 2 conjuntos de quatro
(levanta os dedos) Como
2 e 2 fazem 4
Jamie
Jack
Jack
Jamie
Jamie
Por causa de
Desde que
Porque
Então
Dados
Conclusão
Apoio
Garantias
Obsérvese que Krummheuer emplea el modelo de Toulmin aplicado a una
situación de argumentación colectiva.

11. Cuadro resumen – 1 (Reid & Knipping,
2010, p. 163)
Autor Teórico Argumentación es … Argumento es …
R. Duval C. Perelman - Una forma de razonamiento
no deductivo
- Surge cuando hay un
argumento
Cualquier cosa adelantada o
empleada para justificar o refutar
una proposición
N.
Balacheff
C. Perelman - Comportamiento social usado
para convencer
- Obstáculo epistemológico
para el aprendizaje de la
demostración matemática
N. Douek,
P. Boero
S. Toulmin
(brevemente)
- El proceso que produce un
discurso lógicamente
conectado acerca de
determinado tema
- El texto producido a través
del proceso
- Uno o más argumentos
lógicamente conectados
Una razón o razones ofrecidas
por o en contra de una
proposición, opinión o medida

12. Cuadro resumen – 2 (Reid & Knipping,
2010, p. 163)
Autor Teórico Argumentación es … Argumento es …
Pedemonte S. Toulmin El proceso de conjeturar
Krummheuer,
E. Yackel, P.
Cobb
S. Toulmin - Un fenómeno social
- La explicación intencional
del razonamiento de una
solución
- Técnicas o métodos de
establecer el sentido de un
enunciado
- Una precondición para la
posibilidad de aprender
El resultado de la
argumentación
Wood S. Toulmin Un proceso interactivo de
conocer cómo y cuándo
intervenir en el intercambio
Un intercambio
discursivo entre los
participantes, con el
propósito de
convencer a otros,
mediante el uso de
cierta forma de
pensamiento

13. ALGUNAS IDEAS PARA ENSEÑAR
(Y APRENDER) A ARGUMENTAR

14. La propuesta de Rumsey (2015) – 1
• “Un argumento comprende el proceso de
establecer una afirmación y luego justificarla
con el uso de razonamiento lógico, ejemplos
e investigación.
• Es una lógica y razonada forma de sentar la
corrección de una posición, creencia o
conclusión.
• Toma una posición – fundamentada en la
evidencia.
• Anima a otros a compartir una perspectiva o
pensamiento.”

15. La propuesta de Rumsey (2015) – 2
¿Cómo luce un argumento proporcionado por
un estudiante?
• Afirmaciones
• Justificaciones
• Desafíos
• Cualificadores y modificadores
• Información antecedente
• Ejemplos

16. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall
(2016, p. 414) para la exploración de
propiedades aritméticas – 1
• La argumentación matemática es “un proceso
de discurso social dinámico para descubrir
nuevas ideas para convencer a otros que un
enunciado es verdadero”.
• En un contexto instruccional “las
justificaciones son parte de los argumentos
matemáticos (…)”.

17. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall
(2016, p. 415) para la exploración de
propiedades aritméticas – 2
1. Brindar apoyo para el lenguaje mediante la
introducción de formatos
“Lee el siguiente enunciado. Decide si estás de acuerdo,
en desacuerdo o no estás seguro; luego completa una
de las oraciones de abajo.
Si tomas cualquier número y lo multiplicas por cero,
siempre obtendrás un número mayor que 100.
Si estás de acuerdo, completa esta oración:
Estoy de acuerdo porque_________________________
Si estás en desacuerdo, completa esta oración:
Estoy en desacuerdo porque _____________________
Si no estás seguro, completa esta oración:
Tengo una duda acerca de _______________________

18. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall (2016,
pp. 414 - 416) para la exploración de propiedades
aritméticas – 3
2. Discutir el contenido familiar y rico de los
alumnos
“¿Qué es lo que saben acerca de los números
pares e impares?”
Afirmaciones de los estudiantes Justificaciones verbales de los
estudiantes
Un número par más un número impar da
una suma impar
“Ocho más uno es nueve; este es impar”
“Bien, no conozco a todos los impares,
por eso pongo cero más uno, y luego
agregué este, uno – el cual es impar.
Luego sumé dos más tres, que es cinco, y
es impar. Si sigo así, obtendré impares”
Si sumas dos números pares, obtendrás
un número par en la suma
“Si sumas dos más dos, da cuatro; y
cuatro más cuatro es ocho. Y ocho más
ocho es dieciséis, y así sucesivamente
(…)”

19. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall
(2016, pp. 414 - 416) para la exploración de
propiedades aritméticas – 4
3. Especificar condiciones
“Una pregunta abierta promueve la necesidad de
especificar condiciones.
A x ______ = B x ______”
“100 ___ ________ = 100
¿Cómo podemos completar en los espacios en
blanco con una operación (en la línea más corta) y
un número (en la línea más larga) para que el
enunciado numérico sea verdadero? ¿Hay otra
forma de completar este enunciado numérico?”

20. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall
(2016, p. 417) para la exploración de
propiedades aritméticas – 5
4. Introducir enunciados falsos
“Cada vez que multiplicas dos números,
siempre vas a obtener un número par como
producto”
De esta manera se estimula la argumentación y
la formulación de contraejemplos, así como la
reformulación del enunciado en uno verdadero.

21. Estrategias propuestas por Rumsey & Langrall
(2016, p. 418) para la exploración de
propiedades aritméticas – 6
5. Manipular contenido familiar en forma no
familiar
“Si tienes tres números a, b y c, ¿sería este
enunciado verdadero? ¿Por qué?
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
¿Es verdadero o falso el siguiente enunciado?
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
¿Qué ocurre en la adición que hace que funcione
cuando no funciona para todas las operaciones o
combinaciones de operaciones?”

22. Referencias
• Almouloud, S. & Viana, J. (2013). O modelo de Toulmin e a
análise da prática da argumentaҫăo em matemática.
Educaҫăo Matemática Pesquisa, 2 (15), pp. 487 – 512.
• Almouloud, S. & Viana, J. (2015). The Practice of
Argumentation as a Method of Teaching and Learning
Mathematics. RIPEM, 1 (5), pp. 12 – 35.
• Boero, P., Douek, N., Morselli, F. & Pedemonte, B. (2010).
Argumentation and Proof: A contribution to theoretical
pespectives and their classroom implementation. Proceedings
of the 34th Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education, vol. 1.
• Durand – Guerrier, V., Boero, P., Douek, P., Epp, S. &
Tanguay, D. (2012). Argumentation and Proof in the
Mathematics Classroom. Proof and Proving in Mathematics
Education, pp. 349 – 367. DOI 10.1007/978-94-007-2129-
6_15

23. Referencias
• Hsieh, F.-J., Horng, W.-S. & Shy, H.-Y. (2012). From
Exploration to Proof Production. En G. Hanna and M. de
Villiers (eds.), Proof and Proving in Mathematics
Education, pp. 279 – 304. New ICMI Study Series 15, DOI
10.1007/978-94-007-2129-6_12
• Perelman, C. & Olbrechts – Tyteca, L. (s. f.) Tratado de la
argumentación, la nueva retórica. Madrid: Gredós.
• Reid, D. & Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics
Education: Research, Learning and Teaching. Rotterdam:
Sense.
• Rumsey, C. (2015). Estrategias para la integración de la
argumentación en la enseñanza de las matemáticas.
Kansas: Kansas State University.
• Rumsey, C. & Langrall, C. (2016). Promoting mathematical
argumentation. Teaching children mathematics, 22 (7), pp.
412 – 419).