Formas válidas del razonamiento

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Línea de razonamiento y
justificación
Sesión 7. Formas válidas del
razonamiento
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”

2. “Recordar es volver a vivir”
• ¿Cuál es el problema central de la
Lógica?
• ¿Qué es una proposición
condicional?

3. En esta sesión, concentraremos
nuestra atención en el razonamiento
• Un reciente estudio sugiere que, si una
persona es impuntual, entonces es
optimista. Asumiendo que esta información
es verdadera, y sabiendo que Marco es
puntual, ¿se puede inferir (garantizar) que
no es optimista?
• Si una persona ha nacido en Lima, entonces
es Peruana. Luz es peruana, luego ¿se
puede inferir que es de Lima?

4. El condicional generalizado
• ¿Qué diferencias se pueden apreciar en las
dos siguientes proposiciones (a y b)?
a) El triángulo ABC es un polígono.
b) Todos los triángulos son polígonos.
Otra forma de plantear el ejemplo (b) es:
Dado cualquier x, si x es triángulo,
entonces x es polígono.
Observe que b) es verdadera

5. Analicemos mejor el ejemplo
anterior:
Dado cualquier x, si x es triángulo, entonces x es
polígono.
a) Sea el conjunto U de figuras geométricas en el
plano. En él, hay un conjunto T cuyos elementos
gozan de la propiedad “ser triángulo”.
b) También en U hay un conjunto P cuyos
elementos gozan de la propiedad “ser polígono”
c) ¿Cuál es la relación entre los conjuntos T y P, en
U? Sugerencia: elabore un diagrama de Venn.
La proposición mostrada en el ejemplo significa que el
conjunto T está incluido en el conjunto P.

6. Representación gráfica y algunos
comentarios (1)
a) ¿De qué propiedades gozan los
elementos que podrían existir en P – T?
b) ¿De qué propiedades gozan los
elementos que podrían existir en U – P?
P
U
T

7. Representación gráfica y
algunos comentarios (2)
c) ABCDE es un polígono, ¿ABCDE es un
triángulo?
d) PQR es un triángulo, ¿PQR es un polígono?
U
T
P

8. Representación gráfica y
algunos comentarios (3)
e) WRFT no es un polígono, ¿WRFT no es un
triángulo?
f) FGHTY no es un triángulo, ¿FGHTY no es un
polígono?
g) ¿Qué tendría que suceder con los conjuntos
T y P para que T = P? ¿Es posible esto?
U
T
P

9. El razonamiento y sus elementos
(1)
• Razonar consiste en derivar una conclusión a
partir de unas premisas. Dicha conclusión
garantiza (es decir, asegura) el conocimiento
sobre algo.
• “Un razonamiento siempre supone al menos
dos proposiciones: una conclusión y una o
más premisas” (Copi, 1981)
• El razonamiento se denomina inferencia si la
conclusión se desprende de las premisas de
acuerdo con las leyes lógicas (De Gortari,
1965)

10. El razonamiento y sus elementos
(2)
• “Solo de proposiciones puede predicarse la verdad
y la falsedad, nunca de razonamientos” (Copi,
1981)
• Pero, además de razonamientos correctos
(inferencias), también existen razonamientos
incorrectos.
Premisas: proposiciones que
constituyen condiciones de
partida del razonamiento
𝑃1
𝑃2
…
𝑃𝑛
𝐶
Conclusión: proposición
inferida como consecuencia

11. Razonamientos correctos vs.
incorrectos
En una clase de matemática están trabajando bajo
la siguiente premisa:
“Todos los triángulos son polígonos”
El profesor da los siguientes ejemplos de figuras
planas:
“ABCDE es un polígono” y “FGH es un triángulo”
Pepito dice: “Ah! Entonces ABCDE es un
triángulo”
Lucianita dice: “¡FGH es un polígono!”
Analicemos

12. Reglas de inferencia (1)
• En nuestro análisis observamos el empleo
de dos antiquísimas reglas de inferencia
𝑝 ⇒ 𝑞
𝑝
𝑞
𝑝 ⇒ 𝑞
¬𝑞
¬𝑝
Modus
tollens
Modus
ponens

13. Reglas de inferencia (2)
Por ejemplo:
𝑆𝑖 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠
FGH es un triángulo
𝑭𝑮𝑯 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐
Así también:
Si todos los triángulos son polígonos
MP no es polígono
MP no es triángulo

14. Razonamientos erróneos
𝑆𝑖 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠
ABCDE es un polígono
¿ 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐?
Afirmación del consecuente
Negación del antecedente
𝑆𝑖 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠
ABCDE no es triángulo
¿ 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐?

15. Algunos pasos referenciales para
analizar razonamientos usando
diagramas de Venn
• Definir las propiedades que se muestran en
el condicional generalizado para determinar
los conjuntos involucrados en nuestro
análisis.
• Representar los conjuntos y sus relaciones
mediante diagramas de Venn.
• Determinar la información que puede o no
ser inferida a partir de los diagramas de Venn
y los datos proporcionados.

16. Problema de los primos (1)
U
T
P
P: conjunto de los números
primos
U: conjunto de los
números naturales
Representación de lo indicado en la premisa – condiciones del ítem a
Rpta.: No se puede asegurar que 3 sea elemento de T. Puede serlo como no.
[Repetir la representación de las premisas y aplicarla en cada ítem]
¿3?
¿3?

17. Problema de los primos (2)
b) Si el número 𝑐1𝑏𝑎 es un elemento del conjunto T,
¿puede usted asegurar que 𝑐1𝑏𝑎 es un número primo?
¿Por qué?

18. Problema de los primos (3)
c) ¿Es verdad que 6 no pertenecerá al conjunto T? ¿Por
qué?
d) Si 𝑚 no es un elemento del conjunto T, ¿usted puede
asegurar entonces que 𝑚 no es un número primo? ¿Por
qué?

19. Problema de los primos (4)
e) En base a la proposición dada, ¿es verdad que se
puede concluir que el conjunto T está formado por
todos los números primos? ¿Por qué?

20. Problema de los primos (5)
f) ¿Es verdad que el conjunto T podría tener también
elementos que no son números primos? ¿Por qué?

21. Problema de las fichas (1)
1) F1 es una ficha azul, ¿es F1 triangular?
2) F3 y F4 son del mismo material, ¿son F3 y F4
triangulares?

22. Problema de las fichas (2)
3) F5 es redonda, ¿F5 es verde?
4) F7 y F8 son verdes, ¿son F7 y F8 del
mismo material?

23. En conclusión
a) Debemos representar gráficamente la
información brindada en las premisas del
razonamiento.
b) Hay que determinar la conclusión de este
o justificar por qué no se puede concluir
en una proposición verdadera.
c) Solo si el razonamiento es correcto nos
encontramos ante un proceso de
inferencia.

24. Referencias
• Copi, I. (1981). Introducción a la Lógica. Buenos Aires:
Universitaria de Buenos Aires
• De Gortari, E. (1965). Lógica General. México D. F.: Grijalbo.
• Echeverry, A., Molina, O., Samper, C., Perry, P. & Camargo,
L. (2012). Proposición condicional: interpretación y uso por
parte de profesores de Matemáticas en formación.
Enseñanza de las Ciencias, 30 (1), pp. 73 – 88. Recuperado
de: http://funes.uniandes.edu.co/2055/1/2012-
Echeverry%26Proposicion.pdf
• Maraví, L. (2015). Errores de profesores de matemática de
educación secundaria en el desarrollo de tareas que
demandan conocimientos sobre el enunciado condicional.
(Tesis de Maestría en Educación Matemática). Pontificia
Universidad Católica del Perú, Lima.
• Vallejo, E. (2014). Lógica básica. Manuscrito inédito.