PROYECCION DEL MERCADO

1. TEMA 3
PROYECCIÓN DEL
MERCADO

2. INTRODUCCIÓN
 Se requiere conocer el comportamiento
de los componentes del estudio de
mercado en el pasado, en el presente y
en el futuro.
 Los modelos y técnicas de proyección
ayudan a determinar éste
comportamiento futuro.

3. INTRODUCCIÓN
 Elección de un modelo o técnica depende de:
 la validez y disponibilidad de los datos
históricos,
 la precisión deseada,
 el costo del procedimiento,
 los beneficios del resultado,
 los periodos futuros que se deseen
pronosticar,
 el tiempo disponible para hacer el estudio,
 ciclo de vida del producto, producto nuevo o
no
 etc.

4. INTRODUCCIÓN
Dificultades para pronosticar
Eventos que no hayan
ocurrido en el pasado
Desarrollo de
nuevas
tecnologías
Incorporación de
competidores con
sistemas
comerciales no
tradicionales
Variaciones en las
políticas económicas
gubernamentales
Etc.
Antecedentes históricos = variables referenciales

5. INTRODUCCIÓN
 La información de la proyección debe ser expresada en la forma
que sea más útil al preparador del proyecto: zona geográfica, edad,
sexo, etc.
 La validez de los resultados de la proyección está relacionada con
la calidad de los datos de entrada.
 Fuentes de información más importantes: series históricas oficiales
de organismos públicos y privados, las opiniones de expertos y el
resultado de encuestas especiales.

6. INTRODUCCIÓN
 La efectividad del método elegido se evaluará en función de:
o Precisión: Cualquier error en su pronóstico tendrá asociado un
costo. No es posible exigir una certeza total, pero si, la reducción
al mínimo del costo del error en su proyección.
o Sensibilidad: En un medio cambiante, debe ser lo
suficientemente estable para enfrentar una situación de cambios
lentos como dinámica para enfrentar cambios agudos.
o Objetividad: La información que se tome como base de la
proyección debe garantizar su validez y oportunidad en una
situación histórica.

7. METODOS DE PROYECCIÓN
Métodos de proyección
Métodos
subjetivos
Modelos
causales
Métodos de series
de tiempo

8. METODOS DE PROYECCIÓN
Métodos subjetivos
-Opinión de expertos
-Se usa cuando:
o el tiempo de elaboración es escaso
o no se dispone de todos los antecedentes o datos
o los datos no son confiables para predecir
o no se puede explicar alguna variable
Ejm: Método Delphi, investigación de mercado y consenso de panel

9. METODOS DE PROYECCIÓN
Modelos causales
Parten del supuesto de que el grado de
influencia de las variables que afectan al
comportamiento del mercado permanece
estable, para luego construir un modelo que
relacione ese comportamiento con las
variables que se estima son las causantes
de los cambios que se observan en el
mercado
Causa Efecto

10. METODOS DE PROYECCIÓN
Métodos de series de tiempo
Se utiliza cuando el comportamiento que asume el
mercado a futuro puede determinarse por lo sucedido
en el pasado y se cuenta con la información histórica
en forma confiable y completa.
El modelo pierde validez cuando cambian las
variables que caracterizaron el contexto (recesión
económica, nueva tecnología, etc.) y necesita un
ajuste en forma subjetiva.

11. MÉTODOS SUBJETIVOS
Métodos subjetivos
- Su importancia resalta cuando los métodos cuantitativos basados
en información histórica no pueden explicar por sí solos el
comportamiento futuro esperado de alguna de sus variables o
cuando no existen suficientes datos históricos.
- Se basa en la opinión de expertos
Son :
Método Delphi
Investigación de mercado y
Consenso de panel
Pronósticos visionarios
Analogía histórica

12. MÉTODOS SUBJETIVOS
Método Delphi
- Reúne a un grupo de expertos (panelistas)
- Se les somete a una serie de cuestionarios
- Existe un proceso de retroalimentación controlada después de
cada serie de respuestas
- La información se procesa estadísticamente y constituye una
opinión grupal de convergencia, de la que nace una predicción
- Para no influir, el cuestionario se realiza en forma anónima
- El proceso se repite hasta lograr la convergencia de opiniones
de todos los expertos
- El lapso entre cuestionarios y el número de ellos, debe ser lo
menor posible para evitar intercambio de opiniones

13. MÉTODOS SUBJETIVOS
Investigación de mercado
- Método más sistemático y objetivo que el anterior
- Recolección de información relevante para ayudar a la toma
de decisiones o para probar o refutar hipótesis sobre un
mercado específico.
- Se utilizan encuestas, experimentos, etc.
- Puede ser un paso necesario para la aplicación y uso de
cualquiera de los métodos restantes.
- Es flexible para seleccionar y diseñar la metodología que más
se adecue al problema en estudio.

14. MÉTODOS SUBJETIVOS
Consenso de panel
- Técnica similar al Método Delphi
- Se diferencia en que no existen secretos sobre la identidad del
emisor de las opiniones y no existe retroalimentación dirigida
- Se estimula la comunicación
- Los factores sociales influyen en los pronósticos y por este
motivo no reflejan un consenso verdadero
- Existe la posibilidad de que emerja un grupo dominante que
anule la interacción adecuada y se logre un consenso por la
capacidad de la argumentación y no por la validez de la misma.

15. MÉTODOS SUBJETIVOS
Pronóstico visionario
- Lo realiza el personal interno de la empresa que tiene la
experiencia y conocimiento de sus clientes
- Emiten opiniones respecto a reacciones y comportamientos
posibles de esperar en el futuro
- La proyección del mercado se hace tomando el resultado de la
estimación directa del personal y corrigiéndola por antecedentes
recopilados
- Es rápido y de bajo costo, pero se puede ver influida por las
experiencias más recientes. La estimación es muy inexacta por
la falta de unidades de medida.

16. MÉTODOS SUBJETIVOS
Analogía histórica
- Supone que el mercado del proyecto puede tener un
comportamiento similar al de otros mercados en el pasado
- El mercado que se toma como referencia puede ser para el
mismo producto pero de otra marca o de otra región geográfica
o de un producto diferente pero con un mercado consumidor
similar
Su desventaja:
Suponer que las variables determinantes en el comportamiento
pasado del mercado tomadas como referencia, se mantendrán
en el futuro y, además, que tendrán el mismo efecto sobre el
mercado del proyecto.

17. MODELOS CAUSALES
Modelos causales
- Proyectan el mercado sobre la base de antecedentes cuantitativos
históricos
- Suponen que los factores condicionantes del comportamiento
histórico de alguna o todas las variables del mercado
permanecerán estables
- Una variable depende de muchas causas o factores que explican
su comportamiento
Son :
Modelo de regresión
Modelo econométrico
Método de encuestas de intenciones de compra
Modelo de insumo producto

18. Métodos de Proyección
Método de Proyección por Tazas.-
n
)1(
i
)in1(
on
on
−ηη
=
+η=η
Se puede proyectar de dos formas:
 Por Tazas
 Por Regresión
Se realiza por medio de la taza aritmética o interés simple, de la
siguiente manera:

19. Diferentes Proyección por Regresión
Tipos de
Proyección
ECUACIÓN
F
(tiempo)
Grafico
Proy. Lineal
Proy.
Exponencial
Proy. Potencial
Proy.
Logarítmica
BXAY +=
bx
aeY =
b
axY =
xlnbaY +=
Tipos de
Proyección
ECUACIÓN
F
(tiempo)
Grafico
Proy. Asintótica
Proy.
Gomportz
x
b
aY +=
x
b
aY −=
)
x
b
a(
eY
−
=
a
a
a

20. Regresión Lineal
Se basa en la siguiente expresión matemática, que relaciona dos variables, sea
Y, la variable dependiente y X, la variable independiente, de la siguiente manera:
BX A Y+ =
Esta relación se resuelve a través de la solución de las siguientes ecuaciones
normales, donde la incógnitas son la “A” y “B”.
∑ ∑∑
∑ ∑
+=
+=
XBXAXY
XBnAY
( ) ∑∑
∑ ∑ ∑∑∑
−
−
=
+
=
22
XnX
YXXY
B;
n
XBY
A

21. Regresión Potencial
Si la nube de puntos de los datos Históricos de la demanda y la distribución de
los mismos se aproxima a una función exponencial se puede recurrir a la
siguiente relación:
B
AXY =
Para linealizar esta función se aplica logaritmos a ambos miembros,
mediante este procedimiento se obtiene una ecuación logarítmica lineal:
XLogBALogYLog +=
XLogXALogAYLogY ===
∑ ∑+= LogXBnLogALogY ∑ ∑ ∑+= 2
LogXBLogXLogALogXLogY

22. Regresión Exponencial
Otro tipo de función que tiene aplicación en el análisis de regresión, es la
función exponencial, que esta dada por la expresión:
X
ABY =
La regresión exponencial puede también ser linealizada aplicando logaritmos a
ambos miembros, resultado de ello se tiene la relación siguiente:
)X(LogBLogALogY +=
BLogBALogAYLogY ===
∑ ∑+= XBLogAnLogLogY
∑ ∑ ∑+= 2
XBLogXLogALogYX

23. Regresión Parabólica o Curva Cuadrática
Si la serie tiene una curva parabólica cuyo comportamiento se describe
matemáticamente por una ecuación de segundo grado ( parábola ). La
regresión se expresa así:
2
CXBXAY ++=
Donde:
Y = Estimación de la variable dependiente
A,B,C = constantes numéricas
X = Valores de la variable independiente
Los valores “A”, ”B” y ”C” se encuentran resolviendo un sistema
de tres ecuaciones con tres incógnitas.

24. Regresión Parabólica o Curva
Cuadrática
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑∑
=++
=++
=++
YXXCXBXA
XYXCXBXA
YXCXBnA
2432
32
2
Pero cuando se recurre a la codificación de la variable independiente, el calculo
también se efectúa con las siguientes formulas de mínimos cuadrados:
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )∑∑∑
∑∑∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑∑
−
−
=
=
−
−
=
224
22
2
224
224
XXX
XYYXn
C
X
XY
B
XXXn
YXXXY
A

25. La Curva de Gomportz
Tiene la siguiente expresión matemática que la representa:
)
x
b
a(
eY
−
=
BXAY
x
b
ayln
elnyln
)
x
b
a(
−=
⇓⇓⇓
−=
=
−
Por mínimos cuadrados, se tiene:
∑∑
∑ ∑∑∑∑






−





−
=
+
= 22
x
1
n
x
1
yln
x
1
yln
x
1
n
B;
n
x
1Byln
A

26. Coeficiente de Determinación
Recordemos que la ecuación de mejor ajuste corresponde aquella que presenta
los coeficientes de determinación y correlación mas próximo a la unidad
Coeficiente de Determinación ( ):2
Γ
Este coeficiente sirve para medir la relación entre las variables, medida de
ajuste de modelo de regresión y que corresponde al cuadrado del
coeficiente de correlación simple, con la relación :
( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 


 −



 −
−
=
∑∑∑∑
∑∑∑
2222
2
2
YYnXXn
YXXYn
Γ

27. Coeficiente de Correlación
Se dice que existe correlación entre dos variables, cuando al variar una de ellas
varia también la otra variable. Para que la proyección sea mas acertada es
necesario que el numero de observaciones (n) sea mas amplio
( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 


 −



 −
−
=
∑∑∑∑
∑∑∑
2222
YYnXXn
YXXYn
Γ
El grado de aproximación entre variables es mayor cuando el coeficiente
de correlación se acerca al valor máximo de 1. Entonces, en este caso se
dice, existe una elevada correlación entre X y Y.
Coeficiente de Correlación ( ):Γ

28. MODELOS CAUSALES
Modelos econométricos
“Es un sistema de ecuaciones estadísticas que
interrelacionan a las actividades de diferentes sectores
de la economía y ayudan a evaluar la repercusión sobre
la demanda de un producto o servicio. Es una
prolongación del análisis de regresión”

29. MODELOS CAUSALES
Encuestas de intensiones de compra
- Se selecciona la unidad de análisis para cuantificar la
intención de compra
- Toma de la encuesta por muestreo
- Análisis de los antecedentes recopilados
Peligro:
Depende de las variables de contexto, sobre todo
cuando son dinámicas

30. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Modelos de series de tiempo
Se refiere a la medición de valores de una
variable en el tiempo a intervalos espaciados
uniformemente
Objetivo: determinar un patrón básico en el
comportamiento que posibilite la proyección
futura de la variable deseada (en base a la
información histórica).

31. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
X
Y
Tendencia: crecimiento o
declinación en el largo plazo
del valor promedio de la
variable.
Su importancia: el estudio
del nivel promedio de la
variable a lo largo del tiempo
es mejor que el estudio de
esa variable en un momento
específico de tiempo.
Comp.
tendencia

32. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Componente Cíclico:
Divergencias que se da por
efecto combinado de fuerzas
económicas, sociales, políticas,
tecnológicas, culturales y otras
existentes en el mercado.
La mayoría de los ciclos no
tienen patrones constantes que
permitan prever su ocurrencia,
magnitud y duración.
X
Y
Comp.
tendencia
Comp. cíclico

33. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
X
Y
Componente Estacionario:
Exhiben fluctuaciones que se
repiten en forma periódica y que
normalmente dependen de
factores como el clima, la
tradición, etc.
Comp.
tendencia
Comp. cíclico
Comp.
estacional

34. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Ejemplo 1 se requieren pronósticos trimestrales
para una empresa del rubro de limpieza de
alfombras para el año 5, se estima que la
demanda para ése año es 2.600 clientes
Trimestre Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
1 45 70 100 100
2 335 370 585 725
3 520 590 830 1160
4 100 170 285 215
TOTAL 1000 1200 1800 2200

35. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
1. Demanda promedio por
estación
Año 1: 1000/4= 250
Año 2: 1200/4= 300
Año 3: 1800/4= 450
Año 4: 2200/4= 550

36. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
2. Índices estacionales
Trimestre Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
1 0,18 0,23 0,22 0,18
2 1,34 1,23 1,30 1,32
3 2,08 1,97 1,84 2,11
4 0,4 0,57 0,63 0,39

37. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
3. Índice estacional
promedio
Trimestre Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Promedio
1 0,18 0,23 0,22 0,18 0,20
2 1,34 1,23 1,30 1,32 1,30
3 2,08 1,97 1,84 2,11 2,00
4 0,4 0,57 0,63 0,39 0,50

38. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
4. Pronóstico
2600/4= 650
Trimestre Pronóstico
1 133
2 844
3 1300
4 324

39. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Año Estación Demanda PM PMC IE
1997
Invierno 2
Primavera 3
Verano 4 2,50 2,88 1,39
Otoño 1 3,25 3,63 0,28
1998
Invierno 5 4,00 4,38 1,14
Primavera 6 4,75 4,88 1,23
Verano 7 5,00 5,25 1,33
Otoño 2 5,50 6,00 0,33
1999
Invierno 7 6,50 6,88 1,02
Primavera 10 7,25 7,38 1,36
Verano 10 7,50 7,88 1,27
Otoño 3 8,25 9,13 0,33
2000
Invierno 10 10,00 10,75 0,93
Primavera 17 11,50 11,38 1,49
Verano 16 11,25 11,63 1,38
Otoño 2 12,00 12,38 0,16

40. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
INDICES
Año Invierno Primavera Verano Otoño Total
1997 - - 1,391 0,276 1,66716642
1998 1,143 1,231 1,333 0,333 4,04029304
1999 1,018 1,356 1,270 0,329 3,97272241
2000 0,930 1,495 1,376 0,162 3,9626983
2001 0,912 1,203 1,534 0,434 4,08326974
2002 0,817 1,462 1,447 0,119 3,84578139
2003 0,982 1,289 1,542 0,348 4,16106914
2004 0,776 1,218 1,487 0,532 4,01301402
2005 0,869 1,130 1,530 0,433 3,96180967
2006 0,848 1,238 1,450 0,481 4,01641918
2007 0,810 1,181 - - 1,99083222
Total 9,105 12,803 14,361 3,446
Promedio 0,910 1,280 1,436 0,345 3,972

41. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Invierno 0,917
Primavera 1,290
Verano 1,446
Otoño 0,347
Total 4,000
INDICES AJUSTADOS

42. MODELOS DE SERIES DE TIEMPO
Suponiendo una demanda estimada para el
2008 de 263.540 unidades:
Pronóstico
Invierno 65.885x0,917 60419
Primavera 65.885x1,290 84959
Verano 65.885x1,446 95296
Otoño 65.885x0,347 22866
TOTAL 263540

43. MODELOS DE ENCUESTAS
Encuesta: es la investigación efectuada a base de
preguntas a una persona entrevistada.
Encuesta
Tiempo
variable
Tiempo
constante o
instantánea

44. MODELOS DE ENCUESTAS
Encuestas de tiempo variable:
- Se recogen los datos de los elementos de un
universo en diferentes fechas o momentos
- Permite analizar las variaciones de los atributos
encuestados a través del tiempo.
Son: panel o guía de consumidores, inventario de
establecimientos y establecimiento piloto

45. MODELOS DE ENCUESTAS
Encuestas instantáneas:
- Se recoge información correspondiente a una o
más variables en un corto periodo
- Permite conocer con precisión la situación y
estructura de las variables al momento en que se
realiza la investigación.
- Son más costosas, laboriosas y difíciles de
realizar que las encuestas de tiempo variable.
Utiliza: entrevista directa, postal, telefónica y
similares

46. MODELO DE ENCUESTAS
Existen dos problemas metodológicos:
1. Elaboración de cuestionarios: Conjunto
estructurado de preguntas para levantar la
información necesaria con el mínimo costo y
sin cansar al entrevistado.
2. Distribución del cuestionario: Distribución por
correo, por teléfono, entrevista personal

47. MODELOS DE MUESTREO
- Se utiliza cuando la encuesta total o universal
(censo) resulta costosa, laboriosa o impracticable.
- Técnica aplicable tanto a las encuestas de tiempo
variable como a las instantáneas.
-Se puede muestrear tanto individuos del universo
como valores de la variable en el tiempo.
- Ventajas: económico, rapidez y precisión; si se
determina la muestra, se diseña la encuesta y se
entrevista correctamente; así como también si se
procesa e interpreta adecuadamente la información.

48. MODELOS DE MUESTREO
Principios básicos de muestreo:
Una muestra debe ser representativa y tener todas
las características de la población, incluyendo el
grado de heterogeneidad de elementos.
Debe intervenir un factor de aleatoriedad.

49. Estimación de Costos del Proyecto
Los Ingresos y Costos del Proyecto son cálculos anticipados que se preparan
en base a las proformas y/o presupuesto de costos previamente verificados.
En la practica, las estimaciones de los costos se realiza en base a los gastos
programados para las diferentes etapas de desarrollo del proyecto: estudio,
ejecución y operación de planta.

50. Estimación de Costos del Proyecto
El presupuesto de costos, es un conjunto de cálculos anticipados a la ejecución
del proyecto se elaboran para determinar el costo de una obra física o instalación
de servicios básicos.
El análisis de costos ayuda a determinar los egresos totales que se generan
durante un periodo económico y como tal responde a la interrogante de
¿cuánto costara producir el bien o servicio del proyecto?.
La presentación del presupuesto de costos del proyecto, es de vital importancia
para la obtención oportuna de capital de las instituciones financieras nacionales y
extranjeras. Siendo este documento, concordante con el plan de financiamiento y
el cronograma de inversiones

51. Clasificación de los Costos
Según su forma de Imputacion o de Fabricacion:
COSTOS DIRECTOS
MATERIALES DIRECTOS
MANO DE OBRA
DIRECTO
COSTOS INDIRECTOS
MANO DE OBRA
INDIRECTA
MATERIALES
INDIRECTOS
GASTOS
INDIRECTOS
· Materia Prima
· Insumos
· Sueldos y salarios
· Gratificaciones
· Indemnizaciones
· Pensiones
· Jefes de Producción
· Mantenimiento
· Supervisores
· Chóferes
· Guardianes
· Lubricantes
· Combustibles
· Repuestos
· Alquileres
· Amortizaciones
· Intereses
· Seguros

52. Clasificación de los Costos
Según su Variabilidad:
COSTO TOTAL
COSTOS VARIABLES
COSTOS FIJOS
Materia Prima
Costo Distribución
Materiales Directos
Mano de Obra Directa
Costo Administración
Costo Financiero
Amortización diferida
Depreciación
Impuestos y Patentes
Materiales indirectos
Mano de Obra Indirecta
Gastos Generales

53. Costos Anuales Proyectados
Conocida la clasificación de costos y con la información obtenida de la ingeniería
del proyecto se elabora el cuadro de costos totales anuales proyectados,
asumiendo alguna de las formas estudiadas:
No DETALLE
1 COSTO DIRECTO
Materia Prima
Materiales Directos
Mano de Obra Directa
2 COSTO INDIRECTO
Materiales Indirectos
Mano de Obra Indirecta
Gastos Generales
Gastos Administrativos
Gastos de Comercializacion
Costo Financiero
Amortizacion Diferida
Depreciacion
Impuestos y Patentes
3 COSTO TOTAL (1 + 2)
SEGÚN SU FORMA DE
IMPUTACION
SEGÚN SU VARIABILIDAD
No DETALLE
1 COSTO FIJO
Costo de Administracion
Costo de Comercializacion
Costo Financiero
Amortizacion Diferida
Depreciacion
Impuestos y Patentes
Materiales Indirectos
Mano de Obra Indirecta
Gastos Generales
2 COSTO VARIABLE
Materia Prima
Costo de Comercializacion
Materiales Directos
Mano de Obra Directa
3 COSTO TOTAL (1 + 2)

54. Costos Diferenciales
La diferencia en los costos de cada alternativa que proporcione un retorno o
beneficio similar determinará cual de ellas debe seleccionarse
Este concepto puede fácilmente ejemplificarse considerando una producción
especial extraordinaria para servir un pedido adicional al programa de
producción normal de una empresa
Generalmente, el costo diferencial estará dado exclusivamente por el costo
variable de producción de esas unidades adicionales, puesto que puede
suponerse que los costos fijos permanecerán constantes

55. Costos Futuros
Cualquier decisión que se tome en el presente afectara los resultados
futuros. Los costos históricos, por el hecho de haberse incurrido en ellos
en el pasado, son inevitables. Por tanto, cualquier decisión que se tome no
hará variar su efecto como factor del costo total. El caso mas claro de un
costo histórico irrelevante es la compra de un activo fijo.

56. Costos Contables
Aunque en la preparación del proyecto deben tenerse en cuanta los costos
efectivos y no los contables, estos últimos son importantes para determinar la
magnitud de los impuestos a las utilidades.
Un caso típico de este tipo de activo es el software computacional. Mientras el
disquete que puede contener un sofisticado sistema de información puede
costar muy barato, su contenido intangible puede costar muy caro.
Si se debe reemplazar un activo cualquiera durante el periodo de evaluación
del proyecto, es muy probable que el activo reemplazado pueda ser vendido. Si
esta venta genera utilidades, deberá considerarse un impuesto por ella.

57. Estructura de Costos según ONUDI
AÑO 0 1 2 3 4
PROGRAMA
0% 50% 75% 100% 100%
(+) Materias Primas
(+) Materiales e Insumos
(+) Mano de Obra Directa
(+) Gastos Generales
COSTO DE FABRICACIÓN
(+) Gastos Generales.
deAdministración
(+) Mano de Obra Indirectos
(+) Comercialización y Ventas
(+) Gastos Generales de Servicio
COSTO DE OPERACIÓN
(+) Intereses
(+) Depreciaciones
COSTO TOTAL DE PRODUCCIÓN.

58. Maximización de los Ingresos y Minimización de los Costos
Programación Lineal ( Conceptos Básicos):
Es una técnica matemática para resolver problemas de maximización o
minimización cuando existe mas de una restricción. Su ventaja principal es de
calculo y se basa en la utilización de computadoras.
0,,.........,
..................
...
...
....................
.....................:.
..............:.
21
2211
22222121
11212111
2211
≥
≥=≤+++
≥=≤+++
≥=≤+++
+++=
n
mnmnmm
nn
n
nn
XXX
bXaXaXa
bXaXaXa
bXnaXaXaas
XCXCXCoptZof
La programación Lineal es representada, matemáticamente con las
siguientes relaciones:
Función Objetivo
Restricciones Funcionales
Restricciones de No negatividad