Clase 11 calculo uc 2018

LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 1
CALCULO PARA CIENCIAS ECONÓMICAS
Ejemplo 1.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio
por litro. Si p es el precio por litro en colones, se encuentra que el volumen de venta
q (en litros por día) está dado por
q = 500(150 − p)
Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento
en el precio de ₡120 a ₡130 por litro.
Solución
Aquí p es la variable independiente y q la función de p. El primer valor de p es
p1=120 y el segundo valor es p2=130. El incremento de p es
∆𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 = 130 − 120 = 10
Los valores correspondientes de q son los siguientes.
q1 = 500(150 − p1) = 500(150 − 120) = 15000
q2 = 500(150 − p2) = 500(150 − 130) = 10000
En consecuencia, el incremento de q está dado por
∆𝑞 = 𝑞2 − 𝑞1 = 10000 − 15000 = −5000
El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo significa
que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por día si
el precio se incrementa de ₡120 a ₡130.
Definición
Sea 𝓍 una variable con un primer valor 𝓍1 y un segundo valor 𝓍2. Entonces el cambio
en el valor de 𝓍1 que es 𝓍2 − 𝓍1, se denomina el incremento de 𝓍 y se denota por
∆𝓍.
Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier
variable.
∆𝓍 denota el cambio de la variable 𝓍
∆𝑝 indica el cambio de la variable 𝑝
∆𝑞 denota el cambio de la variable 𝑞

Sea 𝑦 = 𝑓(𝓍) una variable que depende de 𝓍. Cuando 𝓍 tiene el valor 𝓍1, y tiene el
valor 𝑦1 = 𝑓(𝓍1). De manera similar, cuando 𝓍 = 𝓍2, 𝑦 tiene el valor 𝑦2 = 𝑓(𝓍2). Así,
el incremento de 𝑦 es
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 = 𝑓(𝓍2) − 𝑓(𝓍1)
Resolviendo la ecuación ∆𝓍 = 𝓍2 − 𝓍1 para 𝓍2, tenemos 𝓍2 = 𝓍1 + ∆𝓍. Usando
este valor de 𝓍2 en la definición de ∆𝑦, obtenemos
∆𝑦 = 𝑓(𝓍1 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍1)
Dado que 𝓍1 puede ser cualquier valor de 𝓍, podemos suprimir el subíndice y
escribir
∆𝑦 = 𝑓(𝓍 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍)
En forma alternativa, dado que 𝑓(𝓍) = 𝑦, podemos escribir
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓(𝓍 + ∆𝓍)
Sea P el punto (𝓍1 , 𝑦1) y Q el punto (𝓍2 , 𝑦2), ambos situados en la gráfica de la
función 𝑦 = 𝑓(𝓍). Veamos las siguientes gráficas:
Oferta Demanda
Entonces el incremento ∆𝓍 es igual a la distancia horizontal de P a Q, mientras que
∆𝑦 es igual a la distancia vertical de P a Q. En otras palabras, ∆𝓍 es el recorrido y
∆𝑦 es la elevación de P a Q.
𝑄(𝓍2 , 𝑦2)
𝑦
𝓍0
𝑦 = 𝑓(𝓍)
𝑃(𝓍1 , 𝑦1)
𝓍1
𝑦1
𝑦2
𝓍2
∆𝓍
∆𝑦
𝑦
𝓍0
𝑦 = 𝑓(𝓍)
𝑃(𝓍1 , 𝑦1)
𝑄(𝓍2 , 𝑦2)
𝓍1
𝑦1
𝑦2
𝓍2
∆𝓍 >0
∆𝑦 < 0

En el caso de las gráficas, tanto ∆𝓍 como ∆𝑦 son positivos. Es posible que ∆𝓍, ∆𝑦 o
ambos sean negativos y aún ∆𝑦 puede ser cero. Un ejemplo típico de un caso en
que ∆𝓍 > 0 y ∆𝑦 < 0 se ilustra en la parte de la gráfica de la demanda.
Ejercicio 1.
Dada 𝑓(𝓍) = 𝓍2
, calcule ∆𝑦 si 𝓍 = 1 y ∆𝓍 = 0.2. Construya la gráfica.
Ejercicio 2.
En el caso de la función 𝑦 = 𝓍2
, determine ∆𝑦 cuando 𝓍 = 1 para cualquier
incremento ∆𝓍.
Ejercicio 3.
De nuevo considere la función 𝑦 = 𝓍2
y determine ∆𝑦 para valores generales de 𝓍
y ∆𝓍.
Definición
La tasa de cambio promedio de una función 𝑓 sobre un intervalo de 𝓍 a 𝓍 + ∆𝓍
se define por la razón
∆𝑦
∆𝓍
. Por tanto, la tasa de cambio promedio de 𝑦 con respecto
a 𝓍 es:
∆𝑦
∆𝓍
=
𝑓(𝓍 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍)
∆𝓍
Observación: Es necesario que el intervalo completo de 𝓍 a 𝓍 + ∆𝓍 pertenezca al
dominio de 𝑓.
𝑦2 = 𝑦 + ∆𝑦
Escriba aquí la ecuación.
𝑦 = 𝑓(𝓍)
∆𝑦
𝓍2 = 𝓍 + ∆𝓍
∆𝓍
0 𝓍1 = 𝓍
∆𝑦
𝑦1 = 𝑦 𝑃
𝑄

Ejemplo 2.
Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir
𝓍 toneladas de cierto fertilizante está dado por 𝐶(𝓍) = 20000 + 40𝓍 colones y el
ingreso obtenido por la venta de 𝓍 toneladas está dado por 𝑅(𝓍) = 100𝓍 − 0.01𝓍2
.
La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está
considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los
incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de
cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas.
Solución
El primer valor de 𝓍 es 3100 y 𝓍 + Δ𝓍 = 3200.
Δ𝐶 = 𝐶(𝓍 + Δ𝓍) − 𝐶(𝓍)
Δ𝐶 = 𝐶(3200) − 𝐶(3100)
Δ𝐶 = [20000 + 40(3200)] − [20000 + 40(3100)]
Δ𝐶 = 148000 − 144000 = 4000
Δ𝑅 = R(𝓍 + Δ𝓍) − 𝑅(𝓍)
Δ𝑅 = R(3200) − 𝑅(3100)
Δ𝑅 = [100(3200) − 0.01(3200)2
] − [100(3100) − 0.01(3100)2
]
Δ𝑅 = 217600 − 213900 = 3700
De modo, que los costos se incrementan en ₡ 4000 bajo el incremento dado en la
producción, mientras que los ingresos se incrementan en ₡ 37000.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en ₡ 300.
Podemos advertir esto con más detalle si consideramos que las utilidades obtenidas
por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la
utilidad 𝑃(𝓍) por la venta de 𝓍 toneladas de fertilizante es:
𝑃(𝓍) = 𝑅(𝓍 ) − 𝐶(𝓍)
𝑃(𝓍) = 100𝓍 − 0.01𝓍2
− (20000 + 40𝓍)
𝑃(𝓍) = 60𝓍 − 0.01𝓍2
− 20000

En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando 𝓍 cambia de ₡ 3100 a ₡ 3200
es:
Δ𝑃 = 𝑃(3200) − 𝑃(3100
Δ𝑃 = [60(3200) − 0.01(3200)2
− 20000] − [60(3100) − 0.01(3100)2
− 20000]
Δ𝑃 = 69600 − 69900 = −300
Así pues, la utilidad decrece en ₡ 300. La tasa de cambio promedio de la utilidad
por tonelada extra es:
Δ𝑃
Δ𝓍
=
−300
100
= −3
En donde Δ𝓍 = 3200 − 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un
promedio de ₡ 3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción.
Ejercicio 4.
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente
bajo la fuerza de la gravedad, la distancia 𝑠 (en metros) recorrida en el tiempo 𝑡 (en
segundos) está dada por
𝑠(𝑡) = 16𝑡2
Determine la velocidad promedio del objeto durante los intervalos de tiempo
siguientes:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto intervalo (de 𝑡 = 3 a 𝑡 = 4 segundos)
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 𝑡 = 3
1
2
segundos.
d) El lapso de 𝑡 a 𝑡 + Δ𝑡.

Solución ejercicio 1.
Sustituyendo los valores de 𝓍 y ∆𝑦 en la fórmula de ∆𝑦, obtenemos
∆𝑦 = 𝑓(𝓍 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍)
∆𝑦 = 𝑓(1 + 0.2) − 𝑓(1)
∆𝑦 = 𝑓(1.2) − 𝑓(1)
∆𝑦 = (1.2)2
− (1)2
∆𝑦 = 1.44 − 1 = 0.44
Así que, un cambio de 0.2 en el valor de 𝓍 da como resultado un cambio en 𝑦 de
0.44. Esto se ilustra de manera gráfica:
∆𝑦 = 𝑓(𝓍 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍)
∆𝑦 = 𝑓(1 + ∆𝓍) − 𝑓(1)
∆𝑦 = (𝓍 + ∆𝓍)2
− (1)2
∆𝑦 = (1 + 2∆𝓍 + (∆𝓍)2
) − 1
∆𝑦 = 2∆𝓍 + (∆𝓍)2
Puesto que la expresión de ∆𝑦 del ejercicio 1 es válida para todos los incrementos
∆𝓍, podemos resolver el ejercicio sustituyendo ∆𝓍 = 0.2 en el resultado. Obtenemos
∆𝑦 = 2(0.2) + (0.2)2
∆𝑦 = 0.4 + 0.04 = 0.44
𝑦 𝑦 = 𝓍2
1.44
∆𝑦 = 0.44
𝓍10
2
1.2
∆𝓍 =0.2

Solución del ejercicio 3.
∆𝑦 = 𝑓(𝓍 + ∆𝓍) − 𝑓(𝓍)
∆𝑦 = (𝓍 + ∆𝓍)2
− (𝓍)2
∆𝑦 = 2𝓍∆𝓍 + (∆𝓍)2
Otra vez es claro que podemos recobrar el resultado del ejercicio 2 sustituyendo
𝓍 = 1 en la expresión del ejercicio 3. Sin embargo, esta expresión da el incremento
de 𝑦 para cualesquiera valores de 𝓍 y ∆𝓍.
La velocidad promedio de cualquier móvil es igual a la distancia recorrida dividida
entre el intervalo de tiempo empleado. Durante el lapso de 𝑡 a 𝑡 + Δ𝑡, la distancia
recorrida es el incremento Δ𝑠, y así la velocidad promedio es la razón
Δ𝑠
Δ𝑡
.
a) Aquí 𝑡 = 3 y 𝑡 + Δ𝑡 = 5.
Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑠(𝑡)
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(5) − 𝑠(3)
5 − 3
Δ𝑠
Δ𝑡
=
16(52
) − 16(32
)
2
Δ𝑠
Δ𝑡
=
400 − 144
2
=
256
2
= 128
Por consiguiente, durante el lapso de 𝑡 = 3 a 𝑡 = 5, el móvil cae una
distancia de 256 metros con una velocidad promedio de 128 𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄ .
b) Ahora 𝑡 = 3 y 𝑡 + Δ𝑡 = 4.
Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑠(𝑡)
Δ𝑡

Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(4) − 𝑠(3)
4 − 3
Δ𝑠
Δ𝑡
=
16(42
) − 16(32
)
1
Δ𝑠
Δ𝑡
=
256 − 144
1
=
112
1
= 112
El móvil tiene una velocidad promedio de 112 𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄ durante el cuarto segundo
de caída.
c) En este caso 𝑡 = 3 y Δ𝑡 = 3
1
2
− 3 =
1
2
Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑠(𝑡)
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
=
16(3
1
2
2
) − 16(32
)
1
2
Δ𝑠
Δ𝑡
=
196 − 144
1
2
=
52
1
2
= 104
Así pues, el móvil tiene una velocidad promedio de 104 𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄ durante el lapso
de 3 a 3
1
2
segundos.
d) En el caso general,
Δ𝑠
Δ𝑡
=
𝑠(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑠(𝑡)
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
=
16( 𝑡 + Δ𝑡)2
− 16 𝑡2
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
=
16[𝑡
2
+ 2𝑡 ∙ Δ𝑡 + (Δ𝑡)2
] − 16 𝑡2
Δ𝑡

Δ𝑠
Δ𝑡
=
32𝑡 ∙ Δ𝑡 + 16(Δ𝑡)2
Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
= 32𝑡 + 16Δ𝑡
La cuál es la velocidad promedio durante el lapso de 𝑡 a 𝑡 + Δ𝑡.
Todos los resultados particulares del ejercicio 4 pueden obtenerse como
casos especiales de la parte (d) poniendo los valores apropiados de 𝑡 a Δ𝑡.
Por ejemplo, el resultado de la parte (a) se obtiene haciendo 𝑡 = 3 a
Δ𝑡 = 2:
Δ𝑠
Δ𝑡
= 32𝑡 + 16Δ𝑡
Δ𝑠
Δ𝑡
= 32(3) + 16(2) = 96 + 32 = 128

Ejercicios del tema.
1. Un fabricante descubre que el costo de producir 𝓍 artículos está dado por
𝐶 = 0.001𝓍3
− 0.3𝓍2
+ 40𝓍 + 1000
Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se
incrementa de 50 a 60. Calcule el costo promedio por unidad adicional de
incremento en la producción de 50 a 60 unidades. Calcule el costo promedio
por unidad adicional en incremento de la producción de 90 a 100 unidades.
2. Cuando el precio de cierto artículo es igual a 𝑝, el número de artículos que
pueden venderse por semana (esto es, la demanda) está dado por la fórmula
𝓍 =
1000
√ 𝑝 + 1
Determine el incremento de la demanda cuando el precio se incrementa de
₡1 a ₡2.25.
3. El número de kilos de duraznos 𝑃 de buena calidad producidos por un árbol
promedio en cierta hortaliza depende del número de litros de insecticida 𝑥
con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo con la siguiente fórmula
𝑃 = 300 −
100
1 + 𝑥
Calcule el promedio de la razón de incremento de 𝑃 cuando 𝑥 cambia de 0 a 3.
4. Durante el período de 1950 a 1970, el producto interno bruto de cierto país
se encontraba dado por la fórmula
𝐼 = 5 + 0.1𝑥 + 0.01𝑥2
En miles de millones de colones. (aquí la variable 𝑥 se usa para medir años,
con 𝑥 = 0 correspondiente a 1950 y 𝑥 = 20 a 1970) Determine el crecimiento
promedio del PIB por año entre 1955 y 1960.

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