Álgebra Unidad I Lógica Proposicional

1. .
Cuaderno Digital
Maria Cornieles
C.I:31.017.300
CÓDIGO DE CARRERA: 47
ÁLGEBRA I “2A”
PROFESORA: ING. MIYELKA
PIRELA
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE
VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDCACION UNIVERSITARIA
CIENCIA Y TECNOLOGIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO

2. DESARROLLO
1. ¿Qué es una proposición?
La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es
verdadera o falsa. Por ejemplo:
a) Dolly fue la primera oveja clonada
b) El átomo es una molécula
Tiene sentido decir que a) es verdadera y que b) es falsa. En consecuencia, la
verdad y la falsedad son propiedades, es decir, solo las proposiciones pueden
ser verdaderas o falsas. Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas
las oraciones son proposiciones.
En efecto las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las
desiderativas y las exclamativas admirativas no son proposiciones porque
ninguna de ellas afirma o niega algo, y por lo tanto, no son verdaderas ni
falsas. Por ejemplo:
c) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados
d) ¿Que es la lógica?
e) Debemos honrar a nuestros héroes
Entonces; c) Es una proposición porque es una oración aseverativa verdadera;
d) No es una proposición porque es una oración interrogativa;
e) No es una proposición porque es una oración imperativa o exhortativa.
*Tipos de proposición: Atómicas, Moleculares
La proposición atómica es una proposición que expresa que una cosa u objeto
tiene una determinada propiedad o que unas cosas tienen una determinada
relación.
Por ejemplo: “El árbol de hojas verdes”, es una proposición atómica ya que
expresa la propiedad del árbol, en este caso su color de hoja.

3. La proposición molecular en cambio, es una proposición constituida a partir de
proposiciones atómicas unidas mediante nexos, o emplean negaciones dentro
de su formulación, resultando en estructuras más complejas.
Por ejemplo: “Si hace frio, me pondré el abrigo”, ejemplifica este tipo de
proposiciones moleculares, en la medida en que incluye hechos atómicos “la
temperatura y el llevar una determinada prenda”, junto con una conexión entre
estos hechos.
* Términos de enlaces o conectivos lógicos y sus símbolos: Y, O,
No, Si.......entonces.
Los conectores lógicos son palabras o expresiones que sirven para relacionar
las ideas dentro de un texto, además de permitirnos transformar una
proposición atómica en una proposición molecular.
Conectivos lógicos comúnmente usados:
 Negación (no): ¬, ~
 Conjunción lógica (y): ∧, y, ∙
 Disyunción lógica (o): ∨
En el caso de la disyunción 'o', tiene dos significados diferentes: "Inclusivo" y
"Exclusivo".
 Inclusivo: En este caso, para que la proposición sea cierta, tiene que ser
verdadero uno o todos los elementos de la premisa.
 Exclusivo: El 'o' exclusivo o Xor. En una premisa, “p” o “q” es verdadero,
pero no ambos pueden serlo.
 Condicional material (Si... entonces): →, ⇒, ⊃
 Bicondicional (si y solo sí): ↔, ≡, =
Por ejemplo, el significado de los estados está lloviendo y estoy en el interior se
transforma cuando los dos se combinan con conectivos lógicos:

4.  No está lloviendo
 Está lloviendo y estoy dentro de casa (P ∧ Q)
 Está lloviendo o estoy dentro de casa (P ∨ Q)
 Si está lloviendo, entonces estoy en casa. (P → Q)
 Si estoy en casa, entonces está lloviendo. (P ← Q)
 Estoy dentro si y solo si está lloviendo (P ↔ Q)
 No está lloviendo (¬ P)
Por declaración P = Está lloviendo; Q = Estoy dentro de casa.
También es común considerar la fórmula siempre verdadera y la
fórmula siempre falsa como conectivos
 Verdadero (⊤, 1 o T)
 Falso (⊥, 0 o F)
2. Formas de proposiciones y sus símbolos.
· Negación:
*La negación es una proposición compuesta que resulta de anteponer el
conectivo “no” a una proposición simple.
Ejemplo. Hoy no es festivo.
Esta proposición compuesta se construye a partir de la proposición simple:
“Hoy es festivo” y el conectivo lógico "no".
Tal como se muestra en los siguientes ejemplos, en el lenguaje cotidiano se
usan otros términos de enlace en lugar de "no":
 No es cierto que Gabriel García Márquez escribió la Ilíada.
 Es falso que el agua es un hidrocarburo.

5. · Conjunción:
*La conjunción es la proposición compuesta que resulta de enlazar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “y”. (∧)
Ejemplo. Madrid y Sevilla son ciudades de España.
Tanto “Madrid es una ciudad de España” como “Sevilla es una ciudad de
España” son proposiciones simples. Con las dos proposiciones y el conectivo
lógico “y” se construye la proposición compuesta del ejemplo.
Otros términos de enlace que se usan en forma cotidiana para construir
conjunciones, son: “sin embargo” y “pero”. En ocasiones también se usa ";".
Por ejemplo:
 La gallina es un ave, pero no puede volar.
 Las rosas son rojas; las orquídeas amarillas.
El 2 es un número par, pero también es un número primo.
· Disyunción:
*La disyunción es la proposición compuesta que resulta de enlazar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “o” (∨)
Ejemplo. Puedo ir a Itagüí en Metro o en bus.
En este caso tenemos dos proposiciones simples: la primera es “Puedo ir a
Itagüí en Metro”, mientras que la segunda es “Puedo ir a Itagüí en bus”. Al
utilizar el conectivo lógico “o”, obtenemos una proposición compuesta.
Otros ejemplos:
 La oficina está ocupada o está de noche.
 Está lloviendo o está haciendo calor.

6. · Implicación:
La implicación es la conectiva lógica más difícil de comprender y de asociar con
una construcción del lenguaje natural. Se representa con el símbolo ⇒ y la
expresión α ⇒ β se puede leer de múltiples formas:
 α implica β
 Si α, entonces β
 α es suficiente para β
 α es una condición suficiente para β
 α solo si β
 β es necesaria para α
 β es una condición necesaria para α
· Doble implicación o bicondicional:
*La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de enlazar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si y solo si”
Ejemplo. Pago la cuenta de servicios si y solo si la empresa me envía el
recibo.
Podemos diferenciar las siguientes dos proposiciones simples: “Pago la cuenta
de servicios” y “La empresa me envía el recibo”. Para construir la proposición
compuesta se usa el conectivo lógico “si y solo si”.
Otros ejemplos:
 Puede abordar el avión si y solo si tiene un tiquete.
 Apruebo la asignatura si y solo si obtengo 5.0 en el examen final.

7. *La condicional es la proposición compuesta que resulta de enlazar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si entonces”.
Ejemplo. Si Mario tiene calor, entonces se coloca una chaqueta.
Esta proposición se compone de “Mario tiene calor”, “Mario se coloca una
chaqueta” y el conectivo lógico “si, entonces”. En estos casos es frecuente
denominar la primera proposición simple como hipótesis o antecedente, y la
segunda, como conclusión o consecuencia.
A diario es común que se omita la palabra "entonces" y se use ",". Por
ejemplo:
 Si hace calor, voy a nadar.
 Si no llueve, se arruina la cosecha