División Sintética Teorema del Residuo y del Factor.

1. M A T E M Á T I C A S I V B L O Q UE 4
FUNCIONES POLINÓMICAS
Mtra. Norma Toledo García

2. DIVISIÓN SINTÉTICA
• La división sintética es un método que facilita la
divisiones de polinomios cuando el divisor es de la
forma 𝑥 − 𝑟 donde 𝑟 es un número real.
Dividir 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 4 ÷ 𝑥 + 1
−1 3 − 2 0 0 4
−3 5 − 5 5
3 − 5 5 − 5 9 Residuo
Cociente 3 𝑥3
− 5𝑥2
+ 5𝑥 − 5
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3. ¡AHORA A PRACTICAR!
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4. EJERCICIOS
Realiza las siguientes divisiones
1) 6𝑥2 − 26𝑥 + 12 ÷ 𝑥 − 4
6𝑥2
− 26𝑥 + 12 = 6𝑥 − 2 𝑥 − 4 + 4
2) 3𝑥3 + 8𝑥2 + 5𝑥 − 7 ÷ 𝑥 + 2
3𝑥3
+ 8𝑥2
+ 5𝑥 − 7= (3𝑥2
+ 2𝑥 + 1) 𝑥 + 2 − 9
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5. EJERCICIOS
1) 2𝑥4 − 7𝑥3 − 7𝑥 − 8 ÷ 𝑥 − 4
2𝑥4
− 7𝑥3
− 7𝑥 − 8 = 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 4𝑥 + 9 𝑥 − 4 + 28
2) 2𝑥4
+ 7𝑥3
− 4𝑥2
− 27𝑥 − 18 ÷ 𝑥 − 2
2𝑥4 + 7𝑥3 − 4𝑥2 − 27𝑥 − 18 = (2𝑥4 + 7𝑥3 − 4𝑥2 − 27𝑥 − 18)(𝑥 − 2)
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6. TEOREMA DEL RESIDUO
 Si un polinomio 𝑃(𝑥) se divide entre 𝑥 − 𝑟, entonces el
residuo es igual a 𝑃(𝑟)
Si dividimos 𝑓 𝑥 = 2𝑥4
− 7𝑥3
− 7𝑥 − 8 ÷ 𝑥 − 4
Entonces el residuo es:
𝑓 4 = 2(4)4−7 4 3 − 7(4) − 8
𝑓 4 = 2 256 − 7 64 − 28 − 8
𝑓 4 = 512 − 448 − 28 − 8
𝑓 4 = 512 − 484
𝑓 4 = 28
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7. TEOREMA DEL FACTOR
 Si 𝑃(𝑥) es un polinomio, se dice que (𝑥 − 𝑟) es un
factor del polinomio si solamente si 𝑃 𝑟 = 0 y 𝑟 es raíz
(cero) del polinomio.
Entonces
Si dividimos 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 7𝑥3 − 7𝑥 − 8 ÷ 𝑥 − 4
Entonces el residuo es:
𝑓 4 = 2(4)4−7 4 3 − 7(4) − 8
𝑓 4 = 2 256 − 7 64 − 28 − 8
𝑓 4 = 512 − 448 − 28 − 8
𝑓 4 = 512 − 484
𝑓 4 = 28
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8. REGLA DE DESCARTES
Si 𝑃(𝑥) es un polinomio y 𝑎0 ≠ 0
1) El número de raíces positivas de 𝑃 𝑥 es igual al número de
variaciones de signo de 𝑃 𝑥 o igual a un número
disminuido en un número par.
2) El número de raíces negativas de 𝑃 𝑥 es igual al número
de variaciones de signo de 𝑃 −𝑥 o igual a un numero
disminuido en un núm.
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9. APLICACIÓN DE LA REGLA DE
DESCARTES
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 2𝑥4 + 7𝑥3 − 4𝑥2 − 27𝑥 − 18
𝑆𝑜𝑙𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑓 −𝑥 = 2(−𝑥)4
+ 7 −𝑥 3
− 4(−𝑥)2
− 27(−𝑥) − 18
𝑓 −𝑥 = 2𝑥4
− 7𝑥3
− 4𝑥2
+ 27𝑥 − 18
𝑃𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 3 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑛𝑎
• En conluisión Por lo tanto el polinomio 𝑓 𝑥 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 ∶
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