Este documento describe los números reales y sus propiedades fundamentales. Explica que existen dos enfoques para estudiar los números reales: el constructivista y el axiomático. Luego presenta los axiomas de los números reales, incluyendo los axiomas de la adición, multiplicación y orden. Finalmente, propone ejercicios para demostrar varias propiedades de los números reales.

1. Mg. Amelec Campos Maylle
MATEMÁTICA BÁSICAS I
NÚMEROS REALES

2. NÚMEROS REALES
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Existen dos enfoques diferentes para
estudiar los números Reales, por un
lado, el enfoque constructivista, que
construye el conjunto de los números
reales a partir de los racionales, estos a
partir de los enteros, y los enteros a
partir de los naturales. Por otro
lado, se encuentra el enfoque
axiomático. En este último, el concepto
de número real es tomado como un
concepto primitivo, que satisface un
cierto número de propiedades que se
toman como axiomas y a partir de los
cuales se desarrollan las consecuencias
lógicas correspondientes
.

3. Representación Gráfica de los
Números Reales
• .

4. El sistema de los números reales es un conjunto R con dos operaciones suma (+) y multiplicación (.) y
una relación de orden “<“ que se lee “menor que” y que satisface el siguiente conjunto de AXIOMAS
DE NÚMEROS REALES.
A1. ∀ a , b ∈ ℝ , 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ Ley de clausura
A2. ∀ a , b ∈ ℝ , 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Ley conmutativa
A3. ∀ a , b, c ∈ ℝ , (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 =𝑎 + (𝑏 + 𝑐) Ley asociativa
A4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIV0: Existe un
elemento en ℝ, y solamente uno, denotado por “0” tal que:
a ∈ ℝ : a + 0 = a = 0 +a. ejm: 10 +0 =0+10= 10
A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO OPUESTO ADITIVO: Para
cada a ∈ ℝ existe un elemento en ℝ, y sólo uno, denotado por “-a” que satisface la
relación.
a + (-a) = 0 = (-a) + a, ejm: 14 +(-14) = (-14) +14= 0
AXIOMAS Y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMAS DE LA ADICION

5. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACION
M1. ∀ a , b ∈ ℝ 𝑎 . 𝑏 ∈ ℝ Ley de clausura
M2. ∀ a , b ∈ ℝ , 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 Ley conmutativa
M3. ∀ a , b, c ∈ ℝ , (𝑎 . 𝑏) . 𝑐 = 𝑎 . (𝑏 . 𝑐) Ley asociativa
M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO:
a . 1 = a = 1. a
M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Para cada a ‡0
en ℝ, existe uno y sólo un elemento en ℝ, denotado por a-1 tal que,
a . a-1 = 1 = a-1 . a
D. LEYES DISTRIBUTIVAS: , , :
a b c
 
 
 
a b c ab ac
a b c ac bc
  
  

6. AXIOMAS DE ORDEN
2 <4 ent. 2+5 < 4+5. 5eR

12. EJEMPLOS:
1 .
2 .
Demostrar que: si a + b = a entonces b = 0
………………………PROP. REFLEXIVA
b = b +0 ……………………….. A4 ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICION
b = b + a +(-a)……………….. A5
b = (b+a) + (-a) ……………… A3
b = (a+b) + (-a) …………….. A2
b = a +(-a). …………………… principio de sust y la hipótesis
b = 0 ………………………………. A5 y A1 LQ Q D Q D
Demostrar que: a.0 = 0
a.0 =a.0 ……………..reflexiva
a.0 = a.0 +0 ……….. A4
a.0 =a.0 + a.0 +(-a.0)…………. A5
a.0 = (a.0 +a.0) + (-a.0)………… A3
a.0 = a(0+0) +(-a.0)………………. D
a.0 = a.0 +(-a.0) ……………………… A4 y A1
a.0 = 0……………… A5 LQQDQD

13. 3 .
4 .
Demostrar que: a + c = b + c entonces a = b
a +c = b + c ……………………..Hipótesis
a +c + (-c) = b +c +(-c) ……………….. Sumado –c a ambos
a + (c +(-c)) = b +(c + (-c)) ………….A3
a +0 = b +0…………………………. A5
a = b …………………………………. A4 LQQDQD
Demostrar que: ac = bc y entonces a = b
a.c = bc …………………hipótesis
a.c.
1
𝑐
= b.c.
1
𝑐
………….Multiplicado por el inverso de c a ambos
a.(c.
1
𝑐
) = b.(c.
1
𝑐
)……………….M3
a.
𝑐
𝑐
= b.
𝑐
𝑐
…………… M5
a. 1 = b .1 …………… M
a = b ……………….M4 LQQDQD
0
c 

14. 5 .
6 .
Demostrar que: - a = (-1).a
Basta demostrar que: a + (-1).a = 0, por que (-1).a y –a son inversos aditivos ................ A5
a + (-1).a = 1.a + (-1).a......................... M5
a + (-1).a = [ 1 + (-1)].a......................... Factorización
a + (-1).a = 0. a .................................. A5
a + (-1).a = 0 ...................................... M1
∴ - a = (-1).a L.Q.Q.D.Q.D.
Para que números: a, b, c, d en R, demostrar que: (
𝒂
𝒃
) (
𝒄
𝒅
) =
𝒂,𝒄
𝒃.𝒅
, b ≠ 0 y d ≠ 0
(
𝒂
𝒃
) (
𝒄
𝒅
) = (a.𝒃−𝟏
) 𝒄. 𝒅−𝟏
............................. Definición de potencias
(
𝒂
𝒃
) (
𝒄
𝒅
) = (a . c)(𝒃−𝟏. 𝒅−𝟏 ) ............................. M3 y M2
(
𝒂
𝒃
) (
𝒄
𝒅
) = (a . c)(𝒃 . 𝒅)−𝟏
.............................. Definición de potencias
(
𝒂
𝒃
) (
𝒄
𝒅
) =
𝒂.𝒄
𝒃.𝒅
.................................................. Definición de potencia para el cociente.

15. Ejercicios propuestos
1. Demostrar que: -0 = 0
2. Demostrar que: -a = (-1)a
3. Para todo a, b ∈ ℝ: a(-b) = -(ab) = (-a)b
4. Demostrar que para todo a ∈ ℝ: -(-a) = a
5. Para todo a, b ∈ ℝ: (-a)(-b) = ab
6. Probar que : 𝟏−𝟏 =1 .Es decir, que el inverso multiplicativo del número 1 es el mismo
1.
7. Demostrar que: -a –b = -(a + b)
8. Demostrar que si ab ≠ 0 entonces (ab)−𝟏
= 𝒂−𝟏
. 𝒃−𝟏
9. Para números a, b, c, d en ℝ : demostrar que
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
=
𝒂𝒅+𝒃𝒄
𝒃𝒅
, b ≠ 0, d ≠ 0
10. Para números a, b, c, d en ℝ , demostrar que
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
=
𝒂.𝒄
𝒃.𝒅
, 𝒃 ≠0 , d ≠ 0
11. Para cada número real ∈ ℝ , demostrar que: a + a = 2a
13. Demostrar que: a – (b – c) = (a – b) +c

16. MEDIDAS DE BIOSEGURIDAD
GRACIAS