Geometría Tropical - César Rendón Mayorga - UPN

Introducción a las Matemáticas Tropicales
César Rendón Mayorga
Universidad Pedagógica Nacional
Departamento de Matemáticas
2 de Diciembre de 2013
César Rendón Mayorga (UPN) Geometr´ıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 1 / 23

Resumen
Se pretenden mostrar los elementos básicos correspondientes a las
Matemáticas Tropicales, haciendo un recorrido breve por su álgebra,
ar´ıtmetica y geometr´ıa particular. As´ı mismo, de manera transversal, se
pretenden observar las relaciones variantes e invariantes con las
matemáticas ((usuales)).

Contenidos
Introducción
Álgebra Tropical
Aritmética Tropical
Ecuaciones tropicales y gráficas (Geometr´ıa Anal´ıtica Tropical)

Introducción
Las denominadas Matemáticas Tropicales esencialmente se constituyen
como el estudio de variedades algebraicas definidas sobre el semianillo
T = ∪ {∞}, denominado comunmente Semianillo tropical.
Figura: Imre Simon

El primer y más grande cambio que se hará sobre las matemáticas usuales,
será el de redefinir las operaciones de adición y multiplicación.
Operaciones tropicales
x ⊕ y = min{x, y}
x ⊗ y = x + y

Propiedades de (T, ⊗, ⊕)
x ⊕ y = y ⊕ x
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z
x ⊗ y = y ⊗ x
x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z
x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z)
x ⊕ E = x
x ⊗ E = x
x ⊗ y = E

Potenciación
xn
= x ⊗ x ⊗ x... ⊗ x
n veces
Gracias a esta definición de potenciación se puede mostrar la siguiente
propiedad:
Propiedad
(x ⊕ y)2
= x2
⊕ y2

También es cierto que
(x ⊕ y)3 = x3 ⊕ y3
En general podemos dar la siguiente afirmación:
Theorem
Para cualquier entero positivo n, vale la igualdad: (x ⊕ y)n = xn ⊕ yn

Polinomios tropicales
Se define el polinomio P de la siguiente manera:
P := an ⊗ xn
⊕ ... ⊕ a1 ⊗ x ⊕ a0; ai ∈ T
Se debe notar que hay polinomios distintos que inducen a la misma
función. Ejemplo:
x2
⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 ˆ x2
⊕ 2
El grado de un polinomio tropical P (deg(P)) es el máximo grado entre
sus monomios.

Theorem (Igualdad de polinomios)
Sean P, Q dos polinomios tropicales tales que P(x) = Q(x) para cada
x ∈ T entonces deg(P) = deg(Q)
La demostraci´on procede de manera usual, por inducci´on. Se supone que
m = n y se debe mostrar que (∀k = 0...n) entonces ak = bk
Comprobamos para el caso k = 0: ¿a0 = b0?
P(0) = Q(0)
a0 = b0

Suponemos que ak−1 = bk−1
Basta con igualar los polinomios, aplicar la HI, factorizar el t´ermino xk y
hacer l´ımx→0
Se concluye ﬁnalmente que ak = bk

Ecuaciones y Curvas Tropicales
Sea el polinomio
P := a ⊗ x ⊕ b (1)
Es de notar que el polinomio no tiene solución si b = 0, lo que genera la
siguiente definición:
Ceros de un polinomio
Para un polinomio P := a ⊗ x ⊕ b se define a (b − a) como el cero de P.

Ecuaciones y curvas tropicales
Ejemplo: P := 2 ⊗ x ⊕ 3
Figura: Polinomio 1

Ejemplo: 3 ⊗ x4 ⊕ 2 ⊗ x2 ⊕ −1 ⊗ x ⊕ 1
min{4x + 3, 2x + 2, x − 1, 2}

Figura: Polinomio 2
Que es equivalente a P := 3 ⊗ x4 ⊕ −1 ⊗ x ⊕ 1
Las singularidades son: x = −4
3 y x = 2

1.
1 ⊗ x2
⊕ 2 ⊗ x ⊕ 5
= 1 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{1 + 2x, 2 + x, 5}
2.
0 ⊗ x2
⊕ 2 ⊗ x ⊕ 5
= 0 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{2x, 2 + x, 5}

Graficar:
x ⊕ 5
2 ⊗ x ⊕ 1
(x ⊕ 5) ⊗ (2 ⊗ x ⊕ 1)
¿Qué significa el producto entre polinomios tropicales?

Rectas Tropicales en T2
Rectas Tropicales
Una recta tropical es el lugar de los puntos (x, y) ∈ T2 donde el m´ınimo
a ⊗ x ⊕ b ⊗ y ⊕ c es asumido por lo menos dos veces, y por lo menos uno
entre a, b es distinto de 0
Ejemplo: 1 ⊗ x ⊕ 2 ⊗ y ⊕ 2

Figura: Recta 1

Para que el m´ınimo se alcance al menos dos veces, hay 3 casos:
a + x = b + y ≤ c → y = x + a − b y x ≤ c − a
a + x = c ≤ b + y → x = c − a y y ≥ c − b
b + y = c ≤ a + x → y = c − b y x ≥ c − a
Intersecci´on de rectas
Dos rectas tropicales se pueden encontrar en inﬁnitos puntos sin ser iguales

R1 : 1 ⊗ x ⊕ 2 ⊗ y ⊕ 2 R2 : 2 ⊗ x ⊕ 3 ⊗ y ⊕ 4
Figura: Intersecci´on de rectas

C´onicas Tropicales
Figura: C´onicas

Referencias
Speyer, D. Sturmfels, B. Tropical Mathematics. (2004). University
of California. Berkeley
Vainsencher, I. Geometria das amebas. (2007)
Ellis, A. Tropical Algebra. (2004)
Mostovoy, J. Las Matemáticas tropicales. (2008). CINVESTAV
Laface, A. Introducción a la Geometr´ıa Tropical. (2010)
Barros, V. Curvas Algébricas e Geometria Tropical. (2007).
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro

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