El Sentido numérico de los bebés

El sentido
numérico
de los bebés
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Rubén Espinoza Condor

El sentido
numérico
de los bebés
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ÍNDICE
Introducción i
1. Lo que pensaba Piaget 1
2. Lo que los bebés son capaces de hacer 13
3. Dos sistemas cognitivos para la representación numérica no verbal 27
4. Cálculos aritméticos con las numerosidades en los bebes 37
5. Desempeño de los bebes a través de las dimensiones cuantitativas 48
6. La numerosidad en el cerebro de los bebés 63
7. A modo de conclusión 80
8. Referencias 81

“Como un hombre podría llegar a comprender una cosa si no
estuviera en germen en sí mismo? Aquello que puedo
comprender debe abrirse en mi según leyes orgánicas; y lo que
parezco aprender no es más que un alimento y una
incitación a mi organismo”
Novalis, Journal et fragments. Stock. 1927

Introducción
Los seres humanos utilizamos constantemente las matemáticas en nuestra vida diaria.
Sea de la cultura que sea, civilizados o no civilizados, adultos o niños, constantemente
estamos haciendo uso de los números ya sea para pagar una cuenta, decir la hora o para
escoger la fila más corta cuando se tiene que pagar en un supermercado en el caso de
los citadinos o para contar el número de reses que ingresan a un establo en el caso de los
hombres de campo, solo por dar algunos ejemplos. No solo los seres humanos utilizamos
las matemáticas. Diversos estudios han demostrado que también los animales hacen uso
de las matemáticas y que la habilidad numérica es un factor importante para la supervi-
vencia de muchas especie: los peces escogen el cardumen más numeroso para disminuir
el riesgo de ser atrapado por los peces más grandes, las leonas de la sabana africana solo
se enfrentan a otros grupos de leonas cuando el número de rugidos que escuchan es
menor o igual al número de leonas de su grupo, las abejas pueden identificar las flores
por el número de sus pétalos, los monos son capaces de escoger los arboles con el mayor
número de frutos, etc.
Debido al papel tan importante que tienen los números en nuestra vida diaria, los cien-
tíficos se han abocado a la tarea de descubrir las estructuras cognitivas subyacentes a la
habilidad numérica. La mayoría de ellos está de acuerdo con que los animales humanos
y no humanos nacen con un sentido numérico que les permite percibir, entender y mani-
pular las numerosidades presentes en el medioambiente, de la misma forma que somos
capaces de percibir el color o el sonido. Por numerosidad se entiende a una propiedad
intrínseca a toda colección de objetos que indica la cantidad de entidades discretas que
contiene dicha colección. Si hablamos de estímulos (visuales, sonoros, táctiles, etc.), la
numerosidad indica la cantidad de entidades discretas que contienen dicho estimulo. De
esta forma, la numerosidad se constituye como un atributo perceptual primario presente
en el medioambiente.
Las regiones de la corteza parietal, específicamente a lo largo del surco intraparietal (IPS,
por sus siglas en inglés) bilateral, han sido señaladas como regiones críticas para el pro-
cesamiento de las magnitudes numéricas en los adultos. El consenso en el ámbito de la
cognición numérica es que los números operan dentro de su propio dominio y que el IPS
aloja un sistema de procesamiento numérico específico. Los bebés de 3 meses de edad
producen una activación similar a la de los participantes adultos en las redes del fron-
toparietal derecho durante el procesamiento numérico no simbólico. Estos resultados
proporcionan más evidencias que apoyan la existencia de una continuidad de desarrollo
en los correlatos neuronales que subyacen al procesamiento numérico no simbólico. Sin
embargo, otros estudios han resaltado las diferencias relacionadas con la edad en los
patrones de activación cerebral durante la discriminación numérica no simbólica. Como
en los adultos, el IPS y las regiones prefrontales están también comprometidos con el
procesamiento de la información cuantitativa en los bebés y en los niños, pero con un
fuerte sesgo hacia el hemisferio derecho. Esto implica que el IPS izquierdo solo incre-
menta su participación en el procesamiento de la información cuantitativa a medida que
se incrementa la edad o el nivel de habilidad en las matemáticas simbólicas. Por otro lado,
la fuerte activación de la corteza prefrontal dorsolateral (relacionada con la atención) en
los niños en comparación con los adultos indican una mayor necesidad por parte de los
niños para asimilar redes de atención mientras procesan la información cuantitativa.
i

Existen varias teorías que tratan de explicar la forma en que nuestro cerebro estima la
numerosidad. Uno de los principales modelos afirma que los objetos primero son repre-
sentados espacialmente, de acuerdo a su ubicación. Estas ubicaciones son después ma-
peados o representados en un mapa topográfico. Este mapa codifica solo las ubicaciones
e ignora todas las otras características de los objetos (tamaño, color, textura, densidad,
etc.). Finalmente, neuronas especializadas suman las numerosidades de este mapa per-
mitiendo así la estimación de la numerosidad del grupo heterogéneo de objetos.
Los investigadores también han encontrado que, en los bebés, el procesamiento de las
numerosidades muestras dos procesos distintos, ya sea que se trate de numerosidades
grandes o numerosidades pequeñas. Las numerosidades grandes (>3 o 4) activan princi-
palmente un sistema para la representación de conjuntos y para la comparación de sus
valores cardinales aproximados y se encuentran bajo el dominio del Sistema Numérico
Aproximado (ANS, por sus siglas en inglés). Por otro lado, las numerosidades pequeñas
(<3 o 4) activan principalmente un sistema para la representación que permite percibir y
procesar tanto las propiedades continuas (área, densidad, espaciado, tamaño, etc.) como
la numerosidad de los conjuntos, bajo el dominio del Sistema de Rastreo de Objetos
(OTS, por sus siglas en ingles). Estos dos sistemas de representación de las numerosi-
dades está presente también en muchas especies de animales. Cuando se les presenta
tareas comparables a las tareas presentados a los humanos, los animales muestran seña-
les de poseer las mismas propiedades y los mismos límites, sugiriendo que el núcleo del
conocimiento de las numerosidades depende de un mecanismo con una larga historia
filogenética.
El ANS genera representaciones numéricas que pueden ser utilizadas también para el
cálculo, por ejemplo, les permite a los infantes discriminar y comparar dos numerosida-
des. Los estudios clásicos con bebés han proporcionado evidencias de la existencia de
esta habilidad en etapas muy tempranas. Cuando a un bebe de 6 meses de edad se le
muestra varias veces una imagen con 8 puntos hasta que se alcanza la habituación (es
decir se le aburre con el mismo número), su atención visual se incrementa (observa signi-
ficativamente por más tiempo) cuando se le muestra una nueva imagen conteniendo 16
puntos que cuando se le vuelve a mostrar una imagen conteniendo 8 puntos. Lo mismo
que en la representación numérica en los adultos y los animales no humanos, la conducta
numérica de los bebés está determinado por la razón o proporción que presentan las
numerosidades entre sí. Por ejemplo, a la edad de 4.5 a 6 meses los bebés son capaces
de discriminar entre números que se diferencian entre si con una proporción de 1:2 (16
vs 32, 8 vs 16, 4 vs 8) cuando son presentados con conjuntos de puntos, secuencias de
sonidos, o secuencias de acciones. Este hecho nos indica que los bebés poseen un con-
cepto abstracto de la numerosidad, de tal forma que son capaces de captarlo indepen-
dientemente de la forma en que se presenten los estímulos.
Al lado de esta capacidad para representar y discriminar cantidades, los humanos pre ver-
bales también han demostrado ser capaces de operar en base a estas representaciones,
por ejemplo, mediante la suma, la sustracción y el ordenamiento. Los bebes de 5 meses
de edad, cuando se les muestra muñecos representando una situación, ya sea de adición
(1 muñeco + 1 muñeco= 1,2 o 3 muñecos) o una situación de sustracción (2 muñecos – 1
muñeco= 1 o 2 muñecos), observan por más tiempo los resultados incorrectos que los
resultados correctos, lo que lleva a concluir que los bebes en realidad están realizando
una adición y una sustracción exacta, utilizando un sistema evolutivo de representación
numérica similar a los encontrados en los estudios clásicos con animales.
Los bebés también han demostrado una habilidad espontanea para el cálculo de proba-
ii

bilidades, siendo capaces de realizar predicciones sobre nuevos acontecimientos. Por
ejemplo, después de observar un conjunto de tres objetos amarillos (mayor probabilidad
de salir) y un objeto azul (menor probabilidad de salir) moviéndose aleatoriamente dentro
de una urna, el bebé de 12 meses de edad, se queda mirando por más tiempo cuando
se extrae un objeto azul de la urna, que cuando se extrae un objeto amarillo, implicando
el cálculo de 0.25 vs 0.75 de probabilidad. En etapas muy tempranas de su desarrollo
(8 meses de edad), los bebes también son capaces de utilizar los mecanismos de la in-
ferencia estadística para un aprendizaje inductivo, ya que son capaces de hacer gene-
ralizaciones acerca de una población basados en una muestra, e inversamente, pueden
realizar predicciones acerca de una muestra basándose en los datos poblacionales. Esta
habilidad para realizar estadísticas intuitivas se desarrolla muy temprano y en ausencia
de aprendizaje escolar o explícito y constituye las raíces de la posterior adquisición de
los principios estadísticos. De esta forma, los seres humanos pueden ser unos alumnos
racionales desde las etapas tempranas de su desarrollo. Debido a esto, algunos científi-
cos cognitivos han sugerido que los niños “son científicos” por naturaleza dado que son
capaces de representar conceptos y cambiar la estructura de su conocimiento a través
del tiempo. Al parecer, los mecanismos de aprendizaje de los niños son cualitativamente
semejantes a los mecanismos de inferencia utilizado por los científicos.
Para rematar esta secuencia de habilidades numéricas que poseen los bebés, debemos
referirnos a una habilidad que hasta hace poco se consideraba propio de edades más tar-
días en el desarrollo del niño: la habilidad de relacionar número y espacio. Esta relación
es evidente cuando en la escuela aprendemos a utilizar la recta numérica, en el cual cada
número ocupa una posición constante en una configuración espacial, en este caso una lí-
nea. Aunque algunos aspectos importantes de la relación número-espacio están modula-
dos por la experiencia y la educación, estudios recientes han demostrado que el cerebro
humano está predispuesto a tratar número y espacio como dos magnitudes relacionadas
entre sí. Pero eso no es todo, los bebés no solo son capaces de relacionar el número con
el espacio, sino también ¡número, espacio y tiempo! Efectivamente, los neonatos (edad
media 51.9 horas de nacido) relacionan tanto el número y la duración con la longitud
espacial cuando estas dimensiones varían en la misma dirección (cuando el número o la
duración se incrementa la longitud también se incrementa), pero no en la dirección con-
traria (cuando el número o la duración se incrementa la longitud disminuye). Todo indica
entonces que los bebés forman y utilizan esta relación entre número, espacio y tiempo
antes de la adquisición del lenguaje y del conteo y antes de conocer los símbolos visuales,
reglas u otros instrumentos de medición. Las matemáticas, las ciencias y la tecnología,
por lo tanto, se construyen en parte utilizando esta predisposición cognitiva insertada en
el cerebro por el proceso evolutivo durante los millones años de existencia que tiene el
organismo humano como ser vivo.
A menudo, se ha pretendido cuestionar la existencia de habilidades numéricas en los be-
bés utilizando el argumento de que en las tareas numéricas estos basan sus respuestas
en la observación de variables continuas no-numéricas, tales como la longitud del con-
torno, el área total, la densidad, etc., sin involucrar ninguna representación numéricas.
Para estos científicos, los bebés solo están diseñados por la naturaleza para percibir las
magnitudes continuas y esta información es el sustento de la percepción de la numero-
sidad, de tal forma que el sentido numérico se desarrolla a partir de la comprensión de
la relación que existe entre la numerosidad y las magnitudes continuas. Sin embargo,
los estudios sobre el sentido numérico, controlan cuidadosamente las variables no nu-
méricas que usualmente co-varían con los números manteniéndolos fijos durante una
etapa anterior a la prueba (habituación) y también durante la misma etapa de prueba,
iii

con el objetivo de prevenir que los bebés basen sus respuestas en otras variables que
no sean las numéricas. También se ha sugerido que los bebés solo son sensibles a los
cambios en las variables perceptuales no numéricas (forma, tamaño, color, etc..), ya que
presumiblemente son más fáciles de representar que la información numérica, lo que ha
llevado a que algunos investigadores a plantear la hipótesis de que la numerosidad solo
es utilizada como un “último recurso”, cuando la percepción de las variables continuas es
difícil o problemática. Sin embargo, se han encontrado evidencias que refutan la idea de
que el computo numérico es cognitivamente más demandante que el computo de can-
tidades continuas. Algunos estudios han demostrado que cuando los bebes de 6 meses
de edad son confrontados con un conjunto de objetos en un paradigma de habituación,
es más fácil para ellos discriminar en la prueba la información numérica del conjunto que
el área acumulada del conjunto, cuando ambas dimensiones compiten en forma simul-
tánea por su atención, sugiriendo que los cambios numéricos son más notables y más
fáciles de detectar. Otros estudios con neuroimágenes también han demostrado que la
sensibilidad neuronal a la numerosidad en la cadena visual se produce mucho antes que
la sensibilidad a los estímulos no numéricos. Estos resultados sugieren la existencia de
un mecanismo para la extracción directa de la numerosidad en la cadena visual humana
que es mínimamente influenciado por el procesamiento de otros estímulos de bajo nivel,
tales como el área total e individual, el perímetro total e individual, el área del campo, y
la dispersión. Esto implica que la información de la numerosidad es codificada extrema-
damente temprano en la cadena visual, mucho antes que los estímulos continuos, y que
esta codificación es capturada después en la región parietal-occipital.
El objetivo de este libro es presentar los últimos avances científicos en el campo de la
cognición numérica de los bebés. En la primera parte se hace una explicación de los que
pensaba Piaget y los constructivistas con respecto al desarrollo de la capacidad numérica
de los niños. En la segunda parte, se hace un resumen de las principales capacidades nu-
méricas que en realidad poseen los bebés. La tercera parte da cuenta de los dos sistemas
cognitivos para la representación numérica no verbal que poseen los bebés. La cuarta
parte muestra los distintos cálculos numéricos que puede realizar el bebé utilizando el
Sistema Numérico Aproximado (ANS). La quinta parte muestra el desempeño de los be-
bés en la percepción de las dimensiones cuantitativas y su relación con la numerosidad.
Por último, la sexta parte muestra las regiones del cerebro involucrados en la percepción
y el procesamiento de la numerosidad por parte de los bebés.
iv

El sentido numérico de los bebés
Lo que pensaba Piaget
D
ado que los estudios han determinado que los animales son capaces de reaccionar en
forma innata a las propiedades numéricas de los conjuntos (lo que ha llevado a los inves-
tigadores pensar que el sistema de representación de las cantidades numéricas en los
animales es una habilidad surgida por la selección natural y conservada por la evolución debido
a sus beneficios) resulta plausible pensar que los humano también podrían estar dotados de un
sistema homólogo, el cual, por ser una habilidad innata, debería aparecer muy temprano en el
curso de su desarrollo biológico.
A partir de estas consideraciones surge la pregunta: ¿los bebés son sensibles a las propieda-
des numéricas de los conjuntos, de la misma forma que lo son algunas especies de animales?
¿bajo qué formatos representan estas cantidades? ¿son capaces también de manipular estas
representaciones, es decir, son capaces de realizar operaciones aritméticas? Estas preguntas
pudieran parecerle absurdas a algunas personas. Después de todo, el sentido común nos hace
pensar que los bebés nacen desprovistos de todo tipo de competencia, salvo, por supuesto, de
la capacidad de aprender. Esta forma de apreciar la cuestión surgió bajo la influencia de Piaget
y la corriente constructivista, quienes afirmaban que los bebés venían al mundo sin ningún co-
nocimiento a priori del mundo y que necesitaba muchos años de aprendizaje para comprender
cabalmente el significado de número.
Según la teoría constructivista las habilidades lógicas y matemáticas son el resultado de un
largo proceso de construcción mental llevada a cabo por los niños mediante la observación, la
internalización y la abstracción de las regularidades observadas en el mundo exterior, durante
el transcurso de su interacción con las personas y los objetos.1
Al nacer, el cerebro es una pá-
gina en blanco desprovisto de cualquier conocimiento conceptual ya que, según esta teoría, la
evolución no ha dotado al organismo de ningún conocimiento innato sobre el medioambiente
en el cual vive, solo le ha proporcionado herramientas perceptuales (los sentidos) y motoras (el
movimiento de su cuerpo) y un mecanismo de aprendizaje general que progresivamente toma
ventaja de la interacción del sujeto con su medio ambiente para auto-organizarse, durante una
primera fase que Piaget denomina sensorio-motor.1
Según el propio Piaget:
“En el momento del nacimiento, la vida mental se reduce al ejercicio de aparatos reflejos,
es decir, de coordinaciones sensoriales y motrices montadas de forma absolutamente he-
reditaria que corresponden a tendencias instintivas tales como la nutrición”. 2
En los primeros años de vida, por lo tanto, los niños están en una fase “sensorio-
1
1
,

motor”: los bebes exploran el mundo a través de sus cinco sentidos y aprenden a controlarlos
a través de sus acciones motoras. En este proceso, afirma Piaget, los niños no pueden dejar
de notar ciertas regularidades sobresalientes. Por ejemplo, un objeto que desaparece detrás
de una pantalla siempre reaparece cuando se levanta la pantalla; cuando chocan dos objetos,
nunca se penetran entre sí; los cuerpos que se sueltan siempre caen hacia abajo, etc.
Guiados por tales descubrimientos, los bebes progresivamente construyen una serie de repre-
sentaciones mentales cada vez más refinadas y abstractas del mundo en el cual se desarrollan.
Bajo este punto de vista, entonces, el desarrollo del pensamiento abstracto consiste en reco-
rrer una serie de etapas en el funcionamiento mental, las etapas piagetanas, que los psicólogos
pueden identificar y clasificar.2
Piaget distingue seis estadios o períodos de desarrollo, que
marcan la aparición de estas estructuras construidas en forma sucesiva:
1. El estadio de los reflejos, o montajes hereditarios, así como de las primeras tendencias
instintivas (nutrición) y de las primeras emociones.
2. El estadio de los primeros hábitos motores y de las primeras percepciones organizadas,
así como de los primeros sentimientos diferenciados.
3. El estadio de la inteligencia sensorio-motriz o práctica (anterior al lenguaje), de las re-
gulaciones afectivas elementales y de las primeras fijaciones exteriores de la afectividad.
Estos primeros estadios constituyen el período del lactante (hasta aproximadamente un
año y medio a dos años, es decir, antes de los desarrollos del lenguaje y del pensamiento
propiamente dicho).
4.- El estadio de la inteligencia intuitiva, de los sentimientos interindividuales espontáneos
y de las relaciones sociales de sumisión al adulto (de los dos años a los siete, o sea, durante
la segunda parte de la “primera infancia”).
5. El estadio de las operaciones intelectuales concretas (aparición de la lógica), y de los
sentimientos morales y sociales de cooperación (de los siete años a los once o doce).
6. El estadio de las operaciones intelectuales abstractas, de la formación de la personali-
dad y de la inserción afectiva e intelectual en la sociedad de los adultos (adolescencia).
Cada uno de dichos estadios se caracteriza por la aparición de estructuras originales, cuya
construcción le distingue de los estadios anteriores. Lo esencial de esas construcciones sucesi-
vas subsiste en el curso de los estadios anteriores en forma de subestructuras sobre las cuales
habrán de edificarse los nuevos caracteres.2
Piaget y sus colaboradores aparentemente habían recolectado pruebas de que los niños a muy
temprana edad no tenían habilidades innatas que los predispusieran para la comprensión de la
aritmética. Por ejemplo, si se le esconde un juguete debajo de una tela los bebes de 10 meses
no pueden encontrarlo, Piaget argumentaba que esto significaba que los bebes creen que los
objetos dejan de existir cuando están fuera de su vista.
2
,

“El esquema práctico del objeto es la permanencia sustancial atribuida a los cuadros sen-
soriales y, por consiguiente, de hecho, la creencia según la cual una figura percibida co-
rresponde a “algo” que seguirá existiendo aun cuando uno deje de percibirlo. Ahora bien,
es fácil demostrar que, durante los primeros meses, el lactante no percibe objetos propia-
mente dichos. Reconoce ciertos cuadros sensoriales familiares, eso sí, pero el hecho de
reconocerlo cuando están presentes no equivale en absoluto a situarlos en algún lugar
cuando se hallan fuera del campo perceptivo.”2
Pareciera que esta aparente falta de “permanencia de los objetos”, en la jerga de Piaget, ¿no
implica que los bebes son totalmente ignorantes del mundo en el cual viven? Si ellos no se dan
cuenta de que los objetos continúan existiendo cuando están fuera de su vista ¿Cómo podrían
conocer algo acerca de las propiedades más abstractas y evanescentes de los números? Otra
carencia encontrada por Piaget en los niños era la falta de reversibilidad simétrica (si Juan
tiene un hermano llamado Pedro, entonces Pedro tiene un hermano que se llama Juan) y de
la reversibilidad asimétrica (si Flor es mayor que María y Juana es menor que María, entonces
Flor es mayor que Juana)
“Un ejemplo particularmente sugestivo de composición de relaciones simétricas es el del
«hermano». Un niño de cuatro o cinco años (al que podemos llamar Pablo) tiene un her-
mano. Esteban: preguntémosle si su hermano Esteban tiene un hermano y veremos que,
frecuentemente Pablo dice que no. La razón que se invoca generalmente es la siguiente:
«Sólo somos dos en la familia y Esteban no tiene ningún hermano.» Aquí se percibe clara-
mente al desnudo ese egocentrismo intelectual que caracteriza al pensamiento intuitivo:
al no saber salirse de su propio punto de vista para considerarse a sí mismo desde el punto
de vista del otro, el niño empieza por negar la simetría de la relación de hermano, al carecer
de reciprocidad (= reversibilidad simétrica). Se comprende al mismo tiempo que la coordi-
nación lógica u operatoria de este tipo de relaciones está en conexión con la coordinación
social de los individuos o con la de los puntos de vista intuitivos sucesivamente vividos por
un mismo individuo.”2
Los menores a los cuatro o cinco años también fallaban en lo que Piaget denomino la prueba
de la “conservación de los números”. Primero, se les enseñaba filas igualmente espaciadas de
seis vasos y seis botellas. Si se les pregunta a los niños si hay más vasos o más botellas, los ni-
ños responderán que hay la misma cantidad. Aparentemente ellos aplican la correspondencia
uno a uno a los objetos de las dos filas. Luego se separan los vasos de tal forma que la fila de
vasos es más larga que la fila de botellas. Obviamente, el número no se ve afectado por esta
manipulación. Pero cuando se les repite la misma pregunta anterior, los niños ahora respon-
den sistemáticamente que hay más vasos que botellas. Ellos no parecen darse cuenta que el
desplazamiento de los objetos no tiene ningún efecto sobre el número y que este permanece
invariante. Los psicólogos pueden afirmar que ellos “no conservan los números”.2
Piaget y sus colegas creían que el número, al igual que otras representaciones abstractas del
mundo, puede ser construido en el curso de la interacción del aparato sensorio-motor
del cual está provisto el niño con el medioambiente. La teoría afirma que los niños
3
,

Figura 1. El niño logra establecer una correspondencia siempre que los objetos estén ubicados uno frente a
otro, pero si se aparta o separa los objetos y luego hacemos la pregunta: ¿Habrá la misma cantidad de objetos
de ambos grupos? El niño menor de 6 años afirma que hay más objetos en la hilera de vasos, esto evidencia
que aún no hay una correspondencia lógica sino al contrario está demostrando que su pensamiento sigue
siendo irreversible.
nacen sin ninguna idea preconcebida acerca de la aritmética. Les toma varios años de atenta
observación antes de llegar a entender los que el número es en realidad. Mediante la manipu-
lación de los objetos, finalmente descubren que el número es la única propiedad que no varía
cuando se mueven los objetos o cuando aparentemente cambian.1
Desde una perspectiva
Piagetiana, los niños no pueden tener una comprensión significativa del número hasta tanto
ellos no alcancen el periodo de las operaciones concretas, más o menos a los 7 años. Antes de
construir el concepto de numero ellos deben adquirir los conocimientos previos para obtener
este conocimiento y ser capaces de comprender lo que es la clasificación y la seriación
Clasificación
La clasificación es la capacidad de agrupar objetos, logrando formar clases y subclases; para
lograr esta capacidad el niño empieza agrupando objetos para satisfacer sus necesidades de
juego y para formar figuras de objetos, luego los agrupa identificando un criterio y finalmente
logra formar clases lógicas. La clasificación conduce a un descubrimiento fundamental: que las
partes no puede ser mayor el todo. “Pasemos a examinar ahora este sistema esencial de ope-
raciones lógicas que permiten engendrar las nociones generales o «clases» y que constituye
así toda clasificación. El principio del mismo es simplemente el encaje de las partes en el todo
o, inversamente, el encaje de las partes en relación al todo. Pero, una vez más, conviene no
confundir las totalidades intuitivas (percibidas) o simples colecciones de objetos con las
totalidades operatorias o clases propiamente lógicas. Una experiencia fácil de
(A) ¿Habrá la misma cantidad de objetos en ambas filas?
Respuesta: Si
(B) ¿Habrá la misma cantidad de objetos en ambas filas?
Respuesta: No. La fila inferior tiene más objetos
4
,

Figura 2. Tarea: comparar la extensión de la clase y la subclase mayor a través de preguntas del tipo: ¿hay más cuen-
tas de madera que cuentas marrones? Piaget afirma que el éxito depende de la capacidad del niño para efectuar
simultáneamente las operaciones reversibles de adición de clases y sustracción de clases. El niño debe considerar
el todo (clase) al tiempo que mantienen la identidad de las partes (subclases). La comparación cuentas de made-
ra-cuentas marrones, le exige pensar en las cuentas marrones como cuentas marrones y como cuentas de madera
simultáneamente. El niño no es capaz de resolver el problema hasta aproximadamente los 7 u 8 años. Antes de esta
edad el niño típicamente contesta: “hay más cuentas marrones”, al hacer erróneamente la comparación simple entre
subclases.
reproducir demuestra que la construcción de estas últimas es mucho más tardía de lo que
puede parecer y que está muy relacionada, de nuevo, con la reversibilidad del pensamiento.
Se le presenta al sujeto una caja abierta que contiene unas veinte cuentas marrones y dos o
tres blancas, todas ellas de madera, y se le pregunta simplemente, después de haber hecho
constatar este último dato (mediante manipulación) si en la caja hay más cuentas de madera
que cuentas marrones. Pues bien, la mayoría de los niños, antes de los siete años, no pueden
responder más que: «Hay más de color marrón», puesto que, en la medida en que ellos disocian
el todo («todas de madera») en dos partes no logran comparar una de estas partes con el todo
así construido mentalmente y se limitan a compararlo con la otra parte, tal como se observa
en la Figura 2. Al contrario, hacia los siete años esta dificultad debida a la intuición perceptiva
se atenúa y el todo se hace comparable a una de sus partes, siendo concebida cada parte, a
partir de ahora, en función del propio todo (una parte = al todo menos las demás partes, por
intervención de la operación inversa).”2
Los niños de edad temprana, aparentemente no conocen las bases elementales de la teoría de
conjuntos, el cual muchos matemáticos creen que proporciona los fundamentos para la arit-
mética: que un subconjunto no puede tener más elementos que el conjunto original del cual
fue extraído.
La seriación
La seriación es la capacidad que tiene el niño para ordenar objetos, esta capacidad se inicia su
desarrollo por ordenar objetos según su tamaño, ordenando del más pequeño al más grande,
luego del más grande al pequeño hasta que finalmente logra formar series ascendentes y
descendentes al mismo tiempo.
“Una relación asimétrica, como por ejemplo B < C no es inteligible más que en
5
,

relación con una seriación de conjunto posible: 0 < A <B <C <D..., etc. Pero, y esto es aún
más interesante, los sistemas de conjunto no se forman en el pensamiento del niño más
que en conexión con una reversibilidad concreta de estas operaciones y adquieren, de este
modo, conjuntamente, una estructura definida y acabada. Un ejemplo particularmente diá-
fano es, precisamente, el de la seriación cualitativa A < B < C . . . etc. A cualquier edad un
niño sabrá distinguir dos palos por su longitud y juzgar que el elemento B es mayor que
A. Pero esto, en la primera infancia, no es más que una relación perceptiva o intuitiva, y
no una operación lógica. En efecto, si se muestra primera A < B y luego, a continuación
se muestran los dos palos B < C, pero escondiendo A bajo la mesa y se pregunta si A (que
acaba de ser comparado con B) es mayor o menor que C (que se encuentra sobre la mesa
junto a B), el niño se niega a extraer la conclusión (siempre que, naturalmente, las diferen-
cias no sean muy grandes y no perduren como tales en la memoria, relacionadas con las
imágenes recuerdos) y pide ver todos los elementos a la vez, debido a que no sabe deducir
A < C de A < B y de B <C.
Pero, ¿cuándo sabrá efectuar esta deducción? Hacia los seis o los siete años, cuando sepa
Si A<B
y B <C
entonces A< C
Figura 3. El niño del período pre-operacional es incapaz de coordinar
dos aspectos del problema para llegar a una solución. Piaget diría que
a los niños del período pre-operacional les falta la operación lógica de
transitividad.
construir una serie o escala de palos sobre la mesa, lo cual no deja de ser curioso. Eviden-
temente el niño sabrá ordenar, desde muy pequeño, diversos palos cuya diferencia de
longitud sea muy marcada, pero se trata únicamente de la construcción de una escala, o
sea, de una figura perceptiva. Por el contrario, si las longitudes difieren poco y deben com-
pararse los elementos dos a dos para poder ordenarse, entonces empieza alineándolos,
simplemente, por parejas CE; AC; BD; etc., sin coordinar estas parejas entre sí; después
el niño forma pequeñas series de tres o cuatro elementos, pero sin coordinarlas tampoco
entre sí; posteriormente, logra reunir la serie total, pero mediante titubeos y sin
saber intercalar de nuevo algunos elementos distintos una vez construida la
6
,

primera serie total. Finalmente, y esto únicamente hacia los seis años y medio o los siete,
descubre un método operatorio que consiste en buscar, en primer lugar, el elemento más
pequeño de todos y, después, el más pequeño de los que quedan, logrando de esta forma
construir su serie total sin titubeos ni errores (e intercalar posteriormente nuevos elemen-
tos). Es entonces cuando es capaz, por este mismo hecho, del razonamiento: A < B; B < C,
por tanto, A < C. Pero se ve inmediatamente que esta construcción supone la operación
inversa (la reversibilidad operatoria): cada término es concebido simultáneamente como
más pequeño que los siguientes (relación <) y como más grande que todos los preceden-
tes (relación >) y esto es lo que le permite al sujeto encontrar su método de construcción,
así como intercalar nuevos elementos después de haber construido la primera serie total.
Pero es muy interesante constatar que si las operaciones de seriación (coordinación de re-
laciones asimétricas) son descubiertas hacia los siete años, en lo que se refiere a las longi-
tudes o tamaños que dependen de la cantidad de materia debe aguardarse hasta los nueve
años, más o menos, para obtener una seriación lógica de los pesos (con respecto a tamaños
iguales, por ejemplo: dos bolas del mismo tamaño pero de distinto peso) y hasta los once
o los doce para obtener la de los volúmenes (mediante la inmersión en el agua). De igual
forma debe esperarse hasta los nueve años para que el niño pueda extraer la conclusión
A < C s i A < B y B < C, en el ámbito de los pesos y hasta los once o doce años en el del
volumen. Así pues, es evidente que estas operaciones están estrechamente relacionadas
con la construcción misma de estas nociones de peso y volumen y, principalmente, con la
elaboración de los principios de conservación que les son relativos”.2
Solo una vez que los niños han adquirido todas estas nociones básicas (alrededor de los siete
años) les es posible construir y entender el concepto de número no como un simple sistema
de inclusiones, ni una simple serie, sino como una síntesis indisociable de la inclusión y de la
serie, proveniente de la abstracción hecha de estas dos cualidades. Así, estos dos sistemas
(clasificación y seriación), que son distintos al principio, cuando se conservan las cualidades, se
fusionan en uno sólo a partir del momento en que se hace abstracción.
“Podemos preguntamos finalmente cómo se construye el propio número, así como las
operaciones propiamente aritméticas. Sabemos, en efecto, que durante la primera infancia
sólo son accesibles al sujeto los primeros números debido a que son números intuitivos
que corresponden a figuras perceptibles. La serie indefinida de los números y, principal-
mente, las operaciones de adición (y su inversa, la sustracción) y de multiplicación (con su
inversa, la división) no son, al contrario, accesibles hasta la edad de siete años, en términos
generales. Pero la razón de esto es simple: el número es, en realidad, un compuesto de
ciertas operaciones precedentes y supone, por consiguiente, su construcción previa. Un
número entero es, en efecto, una colección de unidades iguales entre sí y, por tanto, una
clase cuyas subclases se hacen equivalentes mediante la supresión de cualidades; pero es
también al mismo tiempo una serie ordenada y, por tanto, una seriación de las relaciones
de orden. Su doble naturaleza cardinal y ordinal resulta, por tanto, de una fusión de los
sistemas de encaje y seriación lógicos y esto es lo que explica que su aparición sea con-
temporánea con la de las operaciones cualitativas. Ahora podemos comprender por qué
las correspondencias término a término que hemos analizado anteriormente
siguen siendo intuitivas durante la primera infancia, puesto que no se convierten
7
,

en operatorias y no constituyen, por tanto, operaciones numéricas más que a partir del
momento en que el niño es capaz de manipular simultáneamente las operaciones de se-
riación de las fichas y de encaje de las partes en los todos (clases): es únicamente en este
momento cuando la correspondencia lleva consigo la equivalencia perdurable de las colec-
ciones correspondientes y engendra, por este mismo hecho, los números.”2
Hay que resaltar que Piaget no desconocía el hecho de que los niños a muy temprana edad y
los animales, eran capaces de mostrar ciertas habilidades numéricas, como la de discriminar
una cantidad mayor de una cantidad menor, pero Piaget afirmaba que esta habilidad era utili-
zada sin ningún entendimiento de sus fundamentos lógicos y que se basaba solo en atributos
perceptuales (intuitivos) como por ejemplo el área total de cada conjunto. Aceptaba que los
niños pequeños y los animales podían ser capaces de adquirir “números sensorio-motores”
basados en la inteligencia sensorio-motor, pero no un entendimiento conceptual de la arit-
mética. Y si alguien encontraba algún niño que era capaz de contar a muy temprana edad,
Piaget argumentaba que era producto de la memoria y no una reflexión significativa del niño
sobre la construcción del número Todos estos datos y consideraciones llevaron a Piaget y sus
colaboradores a asumir una posición pesimista con respecto a las habilidades numéricos de
los bebés, pesimismo que aun hoy en día subsiste entre sus seguidores en el área educativa.
Según Dehaene:
“Los hallazgos de Piaget han tenido un impacto considerable en nuestro sistema educati-
vo. Sus conclusiones han establecido una actitud pesimista, y han instaurado una política
de espera entre los educadores. La teoría establece que el ascenso normal de los estadios
piagetanos avanza de acuerdo a un proceso inmutable de crecimiento. Antes de la edad
de los seis o los siete años, el niño no está “listo” para la aritmética. Por lo tanto, la ense-
ñanza precoz de las matemáticas es una empresa inútil y hasta perjudicial. Si se les enseña
muy temprano, el concepto de número puede ser distorsionado en sus cabezas de niño.
Sera un aprendizaje de memoria sin un genuino entendimiento. Al no entender lo que es
la aritmética, los niños desarrollaran un fuerte sentimiento de ansiedad con respecto a
la matemática, De acuerdo a la teoría Piagetana es mejor empezar enseñando la lógica y
el ordenamiento de conjuntos, debido a que estas nociones son un pre-requisito para la
adquisición del concepto de número. Esta es la principal razón por la que, incluso hoy en
día, los niños en la mayoría de las instituciones pre-escolares pasa mucho de su tiempo
apilando cubos de tamaño decreciente, mucho antes de que aprendan a contar.” 1
Estudios realizados posteriormente han demostrado que algunos aspectos del constructivis-
mo de Piaget estaban equivocados. Los niños no están desprovistos de una genuina repre-
sentación mental de los números, ¡incluso al nacer ¡. Lo que en realizada pasaba era que no se
les evaluaba utilizando métodos de investigación adecuados a su corta edad. Desafortunada-
mente las pruebas de Piaget no favorecían y no permitían que los niños pudieran demostrar lo
que ellos realmente eran capaces de hacer. Su mayor defecto lo constituye el dialogo abierto
entre el experimentador y el niño sujeto de estudio. ¿Los niños realmente entienden todas las
preguntas que se les hacen? Y lo más importante, ¿lo interpretan de la misma manera
que los adultos? Existen varias razones para pensar que no. Cuando los niños son
colocados en situaciones parecidas a los utilizados con los animales, y cuando sus
8
,

mentes son evaluadas sin palabras, sus habilidades numéricas se vuelven claramente eviden-
tes.1
En 1967 Mehler y Bever3
realizaron experimentos con 200 niños con edades entre 2 hasta los
4 años en el cual demostraron que los resultados de estas pruebas cambian radicalmente de
acuerdo al contexto y al nivel de motivación de los niños. Los niños fueron evaluados en se-
siones individuales con dos experimentos que involucraba la estimación de cantidades. Cada
experimento utilizo dos pares de filas como las mostradas en la figura 4. Una de las secuencias
experimentales para cada niño estaba compuesto por píldoras grises mientras que la otra estu-
vo compuesta por dulces M&M (caramelos bañados en chocolate), En cada secuencia experi-
mental, primero se les presentaba a los niños con filas adyacentes de cuatro, como en primera
figura y se les preguntaba si tenían “la misma cantidad”. Luego el experimentador modificaba la
fila como en la situación de la figura 2 en el cual se coloca una fila corta de seis debajo de una
fila larga de cuatro. En el experimento con píldoras grises, al niño se le preguntaba que fila te-
nía “más”. En el experimento con M&M las respuestas a la primera situación era no verbal: en
vez de preguntarle al niño que hiciera una estimación cuantitativa, el experimentador le pedía
que “escogiera la fila que deseaba comer, y que se comiera todos los M&M de esa fila”. Este proce-
dimiento tenía la ventaja de evitar las incomprensiones en el lenguaje y además incrementaba
la motivación en los niños para que escogieran la fila con más dulces.
En el experimento con píldoras grises, cuando se les preguntaba cuál de las dos filas contenía
más píldoras, la mayoría de los niños de 3 y 4 años escogían la fila equivocada y seleccionaban
la más larga y menos numerosa de las filas. Esto concordaba con los experimentos clásicos de
no conservación de Piaget. En la segunda serie de pruebas con dulces M&M, sin embargo, la
mayoría de los niños selecciono el mayor de los números, incluso cuando la longitud de las
filas estaba en conflicto (la fila más corta contenía la mayor cantidad de dulces). Esto era una
evidente demostración de las capacidades numéricas de los niños de corta edad.3
Antes de la transformación Después de la transformación
Figura 4. Cuando dos filas de elementos están en perfecta correspondencia uno a uno (izquierda) los niños de tres años de
edad establecen que son iguales. Si se transforma la fila inferior, acortándolo y añadiéndoles dos nuevos elementos (derecha),
los niños afirman que la fila superior tiene más elementos. Este es el clásico error descubierto por Piaget: los niños responden
base a la longitud antes que al número. Sin embargo, cuando las filas están formadas por dulces M&Ms, los niños espontánea-
mente escogen la fila inferior. Tomado de Mehler y Bever, (1967)3
Por otro lado, los investigadores McGarrigle y Donaldson4
han evaluado la hipótesis de que
el fallo de los niños en las pruebas de conservación de Piaget está relacionado con una
falta de comprensión sobre las verdaderas intenciones del experimentador por parte
9
,

de los niños. Ochenta niños con edades entre los 4 a 6 años de edad fueron evaluados en la
conservación de la longitud y el número. En los experimentos realizados, la mitad de las prue-
bas fueron realizadas bajo las clásicas condiciones de Piaget en las cuales el experimentador
modificaba una de las filas y preguntaba, “cual tiene más”. En la otra mitad de las pruebas, sin
embargo, la transformación de la longitud era realizada accidentalmente por un oso de peluche.
Mientras que el experimentador miraba convenientemente a otro lugar, un oso de peluche alar-
gaba una de las dos filas, el experimentador se volvía y exclamaba “Oh, no el tonto oso de peluche
lo ha mezclado todo otra vez”. Solo entonces el experimentador volvía a hacer la misma pregunta
“cual tiene más”. La idea subyacente era que, en esta situación, la pregunta parecía sincera y
podía ser interpretada en un sentido literal. Dado que el oso había desordenado las dos filas, el
adulto ya no sabía cuántos objetos había ahora, y por lo tanto le preguntaba al niño. Bajo estas
circunstancias, la mayoría de los niños respondía correctamente en base al número, sin dejar-
se influenciar por la longitud de la fila. El mismo niño, sin embargo, fallaba sistemáticamente
respondiendo en base a la longitud cuando la transformación era realizada intencionalmente
por el experimentador. Esto prueba dos puntos: primero, incluso los niños de corta edad son
capaces de interpretar la misma pregunta de dos formas totalmente distintas, dependiendo
del contexto. Segundo, cuando la pregunta es planteada en un contexto que tiene sentido, los
niños de corta edad responden correctamente, es decir, son conscientes de la conservación del
número.1
Estos resultados indican claramente que los procedimientos tradicionales para evaluar la con-
servación subestiman los conocimientos del niño. La mayoría de estos niños de cuatro y cinco
años de edad fueron capaces de aplicar correctamente el criterio de la conservación de la
longitud y el numero cuando la transformación fue accidental, mientras que los mismos niños
fallaban cuando la transformación era realizada de la manera tradicional. Estos experimentos
también plantean la posibilidad de que las características extra lingüísticas de la situación eva-
luada, especialmente la conducta no-verbal del investigador, puede influir en la interpretación
del lenguaje por parte de los niños. 1
McGarrigle y Donaldson4
explican esto de la siguiente manera: “en las etapas tempranas de la
adquisición del lenguaje, el niño interpreta el significado de la conducta para llegar a entender
realmente lo que quiere decir la persona que habla y utiliza este conocimiento para darle sen-
tido a la situación lingüística. Durante esta fase, el carácter intencional de las actividades de la
persona que habla puede estar en conflicto con sus expresiones de tal forma que los conceptos
reales de longitud y número en los niños se ven oscurecidos por la situación. En estos casos
el niño se deja guiar por lo que él considera son las reales intenciones del hablante. De esta
manera cuando el experimentador realiza el acto intencional de cambiar la longitud de una fila
de objetos, el niño se comporta como si el experimentador le estuviese preguntando acerca de
la longitud antes que acerca de los números. Cuando la longitud de las filas cambia, pero sin
que el experimentador parezca tener la intención de que esto ocurra, el niño no tiene ningún
conflicto conductual para la interpretación de la pregunta, por lo que puede responder correc-
tamente la pregunta del experimentador en base al número y no en base a la longitud”. 4
10
,

LECTURA
Una de las tesis sobre el desarrollo numé-
rico temprano, en que Piaget y Gelman
difieren, es con relación es a la comprensión
que el niño tiene de las correspondencias
uno a uno. Piaget, se centra en la compre-
sión del niño, de la correspondencia uno a
uno como una manera de evaluar la equiva-
lencia numérica de las colecciones. Conclu-
ye que los niños preescolares no entienden
la relación entre numerosidad y correspon-
dencia uno a uno. Gelman y Gallistel se
centran en las apreciaciones de los niños
de guardar los números en correspondencia
con los objetos al contarlos y concluyen que
los niños preescolares dominan este aspec-
to del conteo y que por supuesto poseen
conocimiento de la correspondencia uno a
uno. Gelman especialmente propone que
las dificultades de los niños con las tareas
de conservación, descansan en la falta de
acceso al conocimiento que está explícito
en su conteo y en otros esquemas de ac-
ción, más que en la falta de conocimiento
como Piaget sostiene. Piaget no asigna im-
portancia, ni significado al conteo inicial de
los niños, argumentando que es producto
de la memoria y no una reflexión significa-
tiva del niño sobre la construcción del nú-
mero.
Al mismo tiempo, muchos investigadores
han argumentado que, en las tareas de con-
servación propuestas por Piaget, subestima
el conocimiento de los niños especialmen-
te porque se le presentan muchas claves
que lo llevan al error, por ejemplo, las cla-
ves tipo perceptual. La noción de que las
dos colecciones tienen el mismo número y
pueden ponerse en correspondencia uno
a uno es central al concepto de la cardi-
nalidad. Gelman y Gallistel atribuyen a los
niños pequeños más conocimiento sobre
la correspondencia uno a uno, que el que
Piaget les atribuye. Ellos caracterizan este
conocimiento como algo que está encajado
en esquemas de acción, especialmente es-
quemas de comparación y conteo.
En consecuencia, estos autores proponen
diferenciar dos aspectos del conteo; por
un lado, el relativo a comprender los prin-
cipios fundamentales e imprescindibles que
dan sentido a la acción de contar y, por otro
lado, ser capaz de poner en práctica esos
principios, cualquiera que sea el contexto
y la exigencia de la tarea. Gelman y cola-
boradores describen su propuesta como
“primero principios, después capacidades”
para subrayar, precisamente, que, a pesar
de no contar con una capacidad conceptual
totalmente estructurada sobre la acción de
contar, los niños y niñas de entre 2 y 4 años
sí poseen los cimientos metodológicos del
mismo.
Tomado de Villarroel JD (2010)5
Gelman y Gallistel vs. Piaget
11
,

Ley de Weber
La fracción de Weber (w), es el menor cambio numérico que puede ser detectado en un con-
junto. El valor de w es igual a la diferencia de las cantidades de los dos conjuntos, divididos
entre la cantidad del conjunto más pequeño. La fracción de Weber (w) es un indicador de la
capacidad para realizar representaciones aproximadas de las numerosidades. Mientras más
pequeño sea el valor de w, mayor es la agudeza numérica. Por ejemplo, si el desempeño más
preciso y más confiable de una persona involucra distinguir 10 puntos de 8 puntos, la frac-
ción de Weber de este desempeño seria 0.25 (w= (10-8) /8= 0.25).
La agudeza numérica se incrementa con la edad. En un desarrollo
normal, la agudeza numérica se incrementa desde la infancia hasta la
niñez, y continúa incrementándose gradualmente hasta los 30 años.
La w promedio para los adultos occidentales ha sido estimado en
0.11; aunque se han encontrado grandes diferencias individuales. La
mayoría de las investigaciones realizadas sobre el tema han encon-
trado una asociación moderada pero estadísticamente significativa
entre la agudeza numérica y el desempeño matemático.
12
,

Lo que los bebés son
capaces de hacer2
A
pesar que los experimentos de Mehler y Bever demostraban que los niños de 2 a 4
años eran capaces de superar la prueba de la conservación del número, demostrando
con esto poseer una temprana comprensión numérica, todavía quedaba en pie la cues-
tión de si este conocimiento era una abstracción producida por la interacción del niño con su
medioambiente o era la manifestación de una habilidad innata. Después de todo, dos o tres
años son tiempo suficiente para que un organismo “aprenda” el concepto de número. Para
demostrar el carácter innato de la capacidad numérica temprana de los niños, era pues nece-
sario demostrar que esta se encontraba presente en los estadios inmediatamente posteriores
al nacimiento. Por supuesto, una de las dificultades que se encuentra en la investigación del
sentido numérico en los bebes es la imposibilidad de realizar preguntas en forma verbal. Para
superar esta dificultad comunicativa los investigadores se han apoyado en la inclinación innata
que tienen los bebes por la novedad. Cualquier padre de familia sabe que los bebes se quedan
mirando por largo rato los juguetes nuevos, hasta que finalmente pierden el interés y voltean
la mirada cuando se le presenta un juguete nuevo. Este hecho elemental prueba que los niños
han notado la diferencia entre el primer y segundo juguete. Esta técnica permite indagar en los
bebes una infinidad de cuestiones. De esta manera los investigadores han sido capaces de de-
mostrar que los bebes son capaces de percibir las diferencias en el color, la forma, el tamaño,
y por supuesto, en el número de elementos.1
En 1980, Starkey y Cooper6
utilizaron la preferencia de los bebes por la novedad, en un para-
digma de habituación. Presentaron varias veces una serie de imágenes conteniendo 2 puntos
a bebes de 4 meses, hasta que los bebes parecían aburrirse. En ese momento surge una ima-
gen de prueba conteniendo, según los casos, 2 o 3 puntos. Starkey y Cooper, observaron que
cuando la numerosidad de la imagen cambia en relación a la fase de habituación, los bebes
observan los estímulos significativamente por más tiempo que cuando la numerosidad perma-
nece igual (1.9 segundos sin cambio, 2.5 segundos con cambio). Esto significa que los bebes
detectan el cambio de dos a tres puntos, es decir, discriminan el dos del tres. Antell y Keating7
observaron resultados idénticos, algunos años más tarde en bebes recién nacidos, siguiendo
exactamente el mismo procedimiento. Años más tarde, Van Loosbroek y Smitsman8
utilizando
figuras geométricas en movimiento, las cuales se ocultaban unos a otros en el curso de su mo-
vimiento, demostraron que los bebes son capaces de notar la constancia de los objetos en un
medioambiente cambiante y extraer su numerosidad. Karen Wynn (1996)9
realizó dos experi-
mentos con el fin de analizar la habilidad de los bebes de seis meses de edad para
individualizar y enumerar acciones físicas: los saltos secuenciales de un muñeco.
13
,

En ambos experimentos, los bebes pudieron discriminar exitosamente secuencias de tres sal-
tos vs dos saltos. Estos resultados indican que los bebes pueden individualizar y enumerar
acciones físicas en una secuencia.
Figura 5. Para probar que los bebes discriminan las numerosidades 2 y 3, primero se les muestra una colección con un nú-
mero fijo de elementos, digamos 2 (izquierda). Después de esta fase de habituación, los bebes observan por más tiempo una
colección de tres elementos (derecha) que una colección de dos elementos. Debido a que la ubicación del objeto, su tamaño
y su identidad varían, solamente la sensibilidad a la numerosidad puede explicar la atención de los bebes. Basado en Starkey
and Cooper (1980)6
A menudo los experimentos con bebes han utilizado procedimientos más ingeniosos. Bijel-
jac-Babic y col (1991)10
realizaron un experimento basado en el ritmo de la succión por parte
de los bebes de 4 días de nacido para determinar si eran capaces de discriminar expresiones
formadas por varias silabas. La primera parte del experimento consistió en aburrir a los bebes
con la repetición constante de una secuencia de tres sonidos para posteriormente
introducir una secuencia nueva de dos sonidos a fin de determinar si llamaba su
Habituación Prueba
o
14
,

atención o no. Si llamaba su a atención significaba que ellos consideraban que tres sonidos
eran diferentes de dos sonidos. Para determinar el grado de atención utilizaron el ritmo de
succión de los bebes en vez de la atención de la mirada: cuando los bebes están interesados
en algo succionan su chupón a mayor ritmo que cuando están aburridos. Para ello, los inves-
tigadores conectaron el chupón de los bebes a un transductor de presión, el cual a su vez
estaba conectado a una computadora. Cada vez que el bebe succionaba, la computadora lo
notaba e inmediatamente enviaba una palabra sin sentido como “bakifo” o “pilofa” a través de
los parlantes. Todas las palabras tenían el mismo número de silabas, por ejemplo, tres. Cuando
un bebe era colocado por primera vez en esta extraña situación donde la succión producía
sonidos, mostraba un gran interés, lo cual a su vez incrementaba el ritmo de succión. A los
pocos minutos, sin embargo, el ritmo de succión disminuía. Tan pronto como la computadora
detectaba estos cambios, la computadora variaba también su procedimiento y enviaba pala-
bras con solo dos silabas. La reacción del bebe era reanudar nuevamente su vigorosa succión
a fin de escuchar la nueva palabra. Para asegurarse de que esta reacción estuviera relacionada
al número de silabas antes que, a la simple presencia de una nueva palabra, se introducían
nuevas palabras con el mismo número de silabas a un grupo de control. En este grupo, no se
percibió ninguna reacción. Debido a que la duración de las palabras y la tasa de emisión eran
variados constantemente de prueba en prueba, el único parámetro que les permitía a los be-
bes diferenciar las primeras palabras de las segundas, era el número de silabas. De esta forma
lograron determinar que los bebes eran capaces de discriminar dos sonidos de tres, pero no
cuatro sonidos de seis.10
Estudios más recientes han demostrado que los bebes humanos también son capaces de dis-
criminar entre dos conjuntos grandes en base a la numerosidad cuando las variables cuan-
titativas continuas son controladas. Por ejemplo, los bebes discriminan exitosamente entre
conjuntos de 16 versus 32 discos, proporcionando evidencia de que su discriminación es de-
pendiente de la razón entre las numerosidades, al igual que en los adultos, los niños y la ma-
yoría de animales no humanos. Las evidencias también sugieren que la discriminación de las
numerosidades grandes por parte de los bebes está sujeta a una razón límite, de tal forma que
la discriminación es exitosa cuando las numerosidades difieren en una razón de 2.0 (8 vs. 4, 16
vs. 8, y 32 vs. 16) y fallan cuando las numerosidades difieren entre si con una razón de 1.5 (6
vs. 12, 12 vs. 8, 24 vs. 16). Sin embargo, en estos mismos experimentos, los bebes fallaban en
la discriminación de dos numerosidades pequeñas (1 vs. 2) cuando eran evaluados con los mis-
mos métodos y estímulos.11 Existe pues una clara separación en el desempeño de los bebes:
cuando se trata de numerosidades pequeñas y cuando se trata de numerosidades grandes.
Evaluaremos más adelante esta separación.
Faltaba por determinar si esta sensibilidad temprana a las numerosidades refleja solamente
el poder del sistema visual de los bebes o si obedece a una representación abstracta de la
numerosidad. Para esto el bebe debería ser capaz de representar una misma numerosidad en
diversos formatos (visuales, sonoros, táctiles, acciones, etc.) y además debería ser capaz de
manipular dichas representaciones (realizar operaciones aritméticas). Las pruebas demuestran
que esto es así. Starkey y col.12
realizaron experimentos con bebes de 6 a 8 meses de nacido.
Los bebes eran colocados frente a dos pantallas de proyección. En la derecha se mostraba dos
objetos comunes, ordenados en forma aleatoria. En la izquierda, una pantalla similar
15
,

mostraba tres objetos. Cuando se mostraban los objetos acompañados de sonidos de tam-
bor, los niños observaban por más tiempo la pantalla en la cual la numerosidad observada se
emparejaba con la secuencia de sonidos escuchados. Consistentemente observaban por más
tiempo tres objetos cuando escuchaban tres toques de tambor y cuando escuchaban dos to-
ques de tambor, observaban dos objetos. Aparentemente el bebe podía identificar el número
de sonidos y era capaz de compararlos con el número de objetos observados. Esto implica que
su representación numérica no depende de la percepción visual o auditiva y que los niños per-
ciben la numerosidad independientemente de que esta se presente como un patrón auditivo
o como una configuración de objetos. Esta representación interna, abstracta y amodal permite
que los niños noten la correspondencia entre el número de objetos de una pantalla y el núme-
ro de sonidos que escuchan simultáneamente. La conducta de los bebes podría evidenciar la
existencia de un módulo abstracto para la percepción numérica, implantada por el proceso de
evolución, dentro del cerebro de los humanos y animales.
Otros experimentos realizados en las últimas décadas han confirmado la conclusión de que los
bebés son sensibles a los números ordenados espacialmente y en secuencias temporales. Las
evidencias que apoyan la existencia de estas habilidades provienen de experimentos que han
utilizado una amplia variedad de medidas incluyendo la observación preferencial, habituación
del tiempo de observación, giro del cabeza anticipatorio, alcance exploratorio, y las medicio-
nes de neuroimagen o electroencefalografía. En el 2009, Izard y col.13
demostraron en un ex-
perimento que los humanos recién nacidos responden a las cantidades numéricas abstractas a
través de diferentes modalidades (sonoras y visuales) y formas (secuencial vs simultaneo). Los
bebes espontáneamente asociaron un conjunto visual-espacial estacionario de 4-18 objetos
con secuencias sonoras de eventos en base al número. Este desempeño proporciona eviden-
cias de la existencia de una representación numérica abstracta al inicio de las experiencias
post-natales.
Para determinar si los bebés eran capaces de realizar operaciones con sus representaciones
numéricas, Karen Wynn, en 1992,14
realizó una serie de experimentos que echaron al tacho
la creencia secular de que los conocimientos aritméticos solo eran algo que se adquiría en los
años escolares. Para ello se basó en la habilidad innata que poseen los bebes para detectar los
eventos físicamente imposibles. Por ejemplo, si ellos ven que un objeto permanece misteriosa-
mente suspendido en medio del aire después que se le ha quitado el soporte, los bebes obser-
van con atención esta escena increíble; expresan sorpresa cuando observan una escena que
sugiere que dos objetos físicos ocupan el mismo espacio; y si se esconde un objeto detrás de
una pantalla, los bebes se muestran asombrados sino vuelven a ver el mismo objeto después
que se ha levantado la pantalla. En todas estas situaciones, la sorpresa de los bebes se de-
muestra mediante un incremento significativo en la cantidad de tiempo que pasan observando
la escena, comparado con la situación de control en las cuales las leyes de la física no han sido
violados. Karen Wynn adaptó estas ideas para demostrar el sentido numérico de los bebes: les
mostro a los bebes eventos que pudieran ser interpretados como una transformación numéri-
ca y evaluar si los bebés esperaban un resultado numérico preciso. Durante el experimento, el
bebé de 5 meses era colocado delante de un teatro improvisado con una pantalla corrediza al
frente. La mano del experimentador ingresaba, por un lado, sosteniendo un muñeco, el
cual era colocado en el escenario. Se levantaba la pantalla, ocultando al muñeco.
16
,

Figura 6. La figura muestra como
los bebés fueron familiarizados con
secuencias sonoras conteniendo
un número fijo de silabas, y luego
fueron evaluados con imágenes del
mismo o diferente número de ele-
mentos (aquí 4 o 12). Las secuencias
sonoras fueron igualadas con los
números en los parámetros exten-
sivos (duración total), y los conjun-
tos visuales fueron igualados en los
parámetros intensivos (tamaño de
cada elemento, densidad del con-
junto) Izard y col.13
La mano aparecía por segunda vez con un segundo muñeco el cual era depositado detrás de la
pantalla junto al primer muñeco oculto. Esta serie de eventos describía un proceso de adición
1+1: inicialmente había un solo muñeco detrás de la pantalla, y luego se añadía un segundo. Fi-
nalmente se levantaba la pantalla y se observaba dos posibles resultados: un resultado correc-
to mostrando dos muñecos (esperado) o un resultado incorrecto mostrando un solo muñeco
(inesperado). En promedio, los bebes observaban por más tiempo el resultado incorrecto, una
prueba de que tal situación les producía asombro. Lo mismo sucedió cuando se les presento
a los bebes una situación de sustracción: observaban por más tiempo el resultado incorrecto
(2-1=2) que el resultado correcto (2-1=1). La conclusión era irrefutable: lo bebes saben que
1+1 es igual a 2, no a 1 o 3. Este mismo procedimiento fue replicado más tarde utilizando mo-
nos Rhesus en estado salvaje. A los monos se les dejaba dos berenjenas en una caja (el mono
observaba esta operación), pero en algunas de las pruebas se quitaba subrepticiamente una
de las berenjenas (el mono no observaba esta operación) antes que el mono abriera la
caja. Ante este resultado los monos se ponían a escrutar por un largo rato la caja
Familiarización (2 min)
Prueba (4 pruebas)
Número congruente Número incongruente
17
,

tratando de encontrar la segunda berenjena.
Estos resultados, sin embargo, no necesariamente significa que los bebés son capaces de abs-
traer y manipular las numerosidades implicadas en el experimento, pues podría ser que el bebe
utilizara simplemente una imagen mental de la primera situación y los comparara con la ima-
gen del resultado. Para dilucidar esta cuestión, se realizó con posterioridad otro experimento
similar al primero, pero con una variación: los objetos colocados detrás de la pantalla estaban
en continúo movimiento de tal forma que el bebe no pudiera formarse una idea precisa de la
imágen, ya que era imposible predecir donde se encontraban los objetos detrás de la panta-
lla. Nuevamente los bebes se mostraron sorprendidos por los resultados incorrectos ,1+1=1
y 2-1=2. Esto demostraba que los bebés no esperaban encontrar una configuración precisa
de objetos detrás de la pantalla, sino solamente dos objetos, ni más, ni menos. De hecho, ni
siquiera esperaban encontrar los mismos objetos: a diferencia de los niños mayores los bebes
no se sorprenden si se producen cambios en la apariencia de los objetos durante las opera-
ciones aritméticas. Si dos muñecos se ocultaban detrás de la pantalla, ellos no se sorprendían
de encontrar dos pelotas cuando se levantaba la pantalla. En contraste, la desaparición de un
objeto o su inexplicable replicación, les parece un milagro pues viola sus profundas expectati-
vas numéricas.1
Para rematar esta secuencia de habilidades numéricas que poseen los bebes, debemos refe-
rirnos a una habilidad que hasta hace poco se consideraba propio de edades más tardías en
el desarrollo del niño: la habilidad de relacionar número y espacio. Esta relación es evidente
cuando en la escuela aprendemos a utilizar la recta numérica, en el cual cada número ocupa
una posición constante en una configuración espacial, en este caso una línea. Aunque algunos
aspectos importantes de la relación número-espacio están modulados por la experiencia y la
educación, estudios recientes han demostrado que el cerebro humano está predispuesto a
tratar número y espacio como dos magnitudes relacionadas entre sí. En el 2010 de Hevia y
col.15
realizaron experimentos para evaluar la hipótesis de una posible conexión número-es-
pacio. Utilizando el método de la preferencia a la habituación/novedad mostraron primero a
los bebes (7 a 8 meses de vida) una serie de proyecciones de familiarización en un orden casi
aleatorio, con una secuencia no ordenada. Cada proyección contenía un conjunto de elemen-
tos visuales (puntos) colocados encima de una línea horizontal. A lo largo de las pruebas, los
puntos variaban en número y la línea en longitud, de tal forma que las líneas más largas estu-
vieran acompañadas de un mayor número de puntos. Siguiendo a la etapa de familiarización,
se les presentaba a los bebés nuevos números y nuevas longitudes de línea emparejados ya
sea positivamente (como en la familiarización) o inversamente (líneas cortas acompañadas con
un mayor número de puntos). Si los bebes podían deducir la regla de que un incremento en el
número de puntos estaba relacionado con un incremento en la longitud de la línea (relación
positiva), deberían mostrar una preferencia por las muestras que seguían esta regla. Los resul-
tados muestran que los bebes son capaces de generalizar que un incremento (o disminución)
en la numerosidad se relaciona con un incremento (o disminución) en la longitud de una línea.
Además, son capaces de establecer una relación positiva entre número y longitud de línea a
partir de unos cuantos ejemplos y generalizar esta relación a nuevos valores, pero esto
no sucede cuando se presenta una relación inversa (los bebes no pueden aprender
una relación en la cual a una numerosidad grande le corresponde una longitud
18
,

Figura 7. En el experimento de Karen Wynn se demostró que los bebes esperan que 1+1 sea igual a 2. Primero se
oculta un muñeco detrás de una pantalla. Luego se añade un segundo muñeco, similar al primero. Finalmente se
levanta la pantalla, algunas veces revelando dos muñecos, y otras veces solo uno (el otro muñeco había sido su-
brepticiamente extraído). Los bebés observaban sistemáticamente por más tiempo el evento imposible “1+1=1”
que el posible “1+1=2”, sugiriendo que ellos esperaban observar dos objetos. Tomado de Wynn (1992)14
Secuencia inicial: 1+1
Resultado posible: 1+1=2
Resultado imposible: 1+1=1
1. El objeto es colocado en el escenario 2. Se levanta la pantalla
3. Se agrega el segundo objeto 4. La mano queda vacía
5. Se baja la pantalla Revela 2 objetos
5. Se baja la pantalla Revela 1 objetos
19
,

Figura 8. Ejemplo de estímulo para el mapeo interdimensional. Mapeo positivo entre número y longitud. De Hevia y col.14
Pero eso no es todo, los bebés no solo son capaces de relacionar el número con el espacio,
sino también ¡número, espacio y tiempo! Efectivamente en el 2014, de Hevia y col.16
demos-
traron que los neonatos (edad media 51.9 horas de nacido) relacionan tanto el número y la
duración con la longitud espacial cuando estas dimensiones variaban en la misma dirección
(cuando el número o la duración se incrementaba la longitud también se incrementaba), pero
no en la dirección contraria (cuando el número o la duración se incrementaba la longitud dis-
minuía). En los experimentos, cada bebe fue familiarizado con una línea visual simple (ya sea
corta o larga) emparejado con una numerosidad sonora simple (una secuencia ya sea de 6 o 18
silabas) y/o una duración (corta o larga). Durante la prueba, la numerosidad sonora y/o la dura-
ción cambiaban y era emparejado con una longitud visual nueva y una longitud visual familiar
en dos pruebas sucesivas. En la etapa de prueba, después de 60 segundos de familiarización,
se les presento a todos los bebes películas nuevas (fase de prueba) que implicaba ya sea un
incremento (de 6 a 18) o una disminución (de 18 a 6) en la numerosidad sonora con respecto
a la fase de familiarización. En dos pruebas consecutivas, esta nueva secuencia sonora fue
emparejada con cada una de las dos longitudes de línea (la familiar y la nueva), produciendo
una prueba en el cual solo la información sonora cambiaba y una prueba en la cual tanto la
información visual como la sonora cambiaba. Si los bebes eran sensibles a la estructura común
de los diferentes tipos de magnitudes, entonces ellos reaccionarían en forma diferente cuando
los cambios en las dos dimensiones se produjeran en la misma dirección comparados con los
dos cambios en direcciones opuestas. Se observó una interacción significativa entre las condi-
ciones de familiarización y las condiciones de prueba, lo cual era consistente con esta predic-
ción. Los resultados mostraron que cuando los cambios en la numerosidad y la longitud desde
la familiarización hasta la prueba fueron en la misma dirección, los recién nacidos observaban
por más tiempo la nueva longitud de la línea que la familiar. Esta preferencia fue
observada tanto para los bebes que experimentaron un incremento como para los
pequeña). Todo indica entonces que los bebés forman y utilizan esta relación entre número y
espacio antes de la adquisición del lenguaje y del conteo y antes de conocer los símbolos vi-
suales, reglas u otros instrumentos de medición. Las matemáticas, las ciencias y la tecnología,
por lo tanto, se construyen en parte utilizando esta predisposición cognitiva insertada en el
cerebro por el proceso evolutivo.
20
,

que experimentaron una disminución en el número. Estos resultados implican que dado un de-
terminado número de silabas (número) con una determinada duración (tiempo) que representa
a su vez una determinada longitud (espacio), los bebes son capaces de relacionar los cambios
que se producen en cada una de estas dimensiones, de tal forma que si, por ejemplo, aumenta
el número de silabas, los bebes esperan que también se produzca un aumento en la duración
de su emisión y un aumento en la longitud de la línea. Lo mismo sucede (pero en sentido inver-
so) cuando se produce una disminución en el número de silabas. Los autores concluyen que, al
nacer, los humanos son sensibles a la estructura común de estas magnitudes fundamentales.
De esta forma, la mente humana debe estar predispuesta a relacionar estas tres dimensiones
fundamentales antes de cualquier experiencia relacionada con la extensión, produciendo una
correlación natural entre el número de objetos, la extensión espacial y la duración temporal.
Estas investigaciones han revelado no solo las características sino también las limitaciones de
las representaciones numéricas de los bebés. Primero, es impreciso. Por ejemplo, los bebés
de 6 meses pueden discriminar 8 puntos de 16 puntos, pero no 8 puntos de 12. Segundo, la
discriminación depende de la razón entre las dos numerosidades: los bebes que discriminan
8 puntos o sonidos de 16 pero no 8 de 12 también discriminan 4 puntos o sonidos de 8 pero
no 4 de 6. Tercero: la precisión en la discriminación se incrementa con el desarrollo. De los
6 a los 9 meses, la razón critica decrece de 2.0 (4 vs. 8) a 1.5 (4 vs. 6). Cuarto, la discrimina-
ción falla con las numerosidades pequeñas cuando los bebes son evaluados con los mismos
métodos o controles, por ejemplo, los bebes de 6 meses no muestran ninguna evidencia de
discriminación con las numerosidades 1 vs. 2 o 2 vs. 4, ya sean puntos o sonidos: mientras
que los bebes de 9 meses de edad no muestran ninguna evidencia de discriminación con las
numerosidades 2 vs. 3 sean puntos o sonidos.17
Quinto, los bebés no solo discriminan los nú-
meros sino los ordenan y son capaces de sumar dos números presentados en forma sucesiva y
comparar esta suma con un tercer número.18
La precisión en la comparación y la suma parecen
estar sometidos al mismo límite de razón que la discriminación. Finalmente, los bebés rela-
cionan espontáneamente los cambios en los números con los cambios en diferentes variables
cuantitativas, como la longitud de una línea. Por ejemplo, los bebes que están habituados a
observar conjuntos de puntos que se incrementan progresivamente (o disminuyen) en número
generalizaran esta habituación a conjuntos de líneas que progresivamente se incrementan (o
disminuyen) en longitud.15
Los limites encontrados en la razón de las numerosidades que pueden ser evaluados por los
bebés, sugiere que los bebes representan las numerosidades de una manera imprecisa y la
existencia de estos mismos limites en distintos tipos de conjuntos y operaciones indica que la
fuente de estas limitaciones debe encontrarse en el sistema numérico mismo que les permite
tanto comparar las numerosidades como combinarlos de acuerdo con las operaciones aritmé-
ticas. Por esta razón, este sistema ha sido denominado Sistema Numérico Aproximado (ANS,
por sus siglas en inglés)). El hecho de que los bebés fallen en enumerar los objetos a los cuales
les están prestando atención (como en el caso de las numerosidades pequeñas) sugiere que
este ANS no sirve para hacer explicita o evidente la identidad o la propiedad de las entidades
individuales que se enumeran. En realidad, la presentación de entidades individuales puede
bloquear la operación de este sistema por lo que los investigadores creen que existe un
sistema numérico especial para detectar las numerosidades pequeñas. Finalmente,
21
,

Figura 9. Proyecciones presentadas a los recién nacidos durante las pruebas de familiarización, con un cambio en la
etapa de prueba y con dos cambios en la etapa de prueba. Cada bebe recibió solo uno de los cuatro tipos de familia-
rización y de las pruebas (condiciones 1,2,3,4). Los bebes familiarizados con 6 silabas y/o una secuencia de duración
corta emparejados con una línea larga, experimentaron dos pruebas de cambio donde las dos dimensiones cambiaban
en la misma dirección (condición 1 y2). Los bebes familiarizados con 6 silabas y/o una secuencia de duración corta
emparejados con una línea larga, al igual que los bebes familiarizados con 18 silabas y/o secuencia de duración larga
emparejado con una línea corta, experimentaron dos pruebas de cambio en los cuales cambiaban tanto en las dimen-
siones como en las direcciones opuestas (condiciones 3 y 4). de Hevia y col.16
PRUEBA DE
FAMILIARIZACIÓN
PRUEBAS
1-CAMBIO 2-CAMBIOS
Condición 1
(n=8)
Condición 2
(n=8)
Condición 3
(n=8)
Condición 4
(n=8)
18 silabas
y/o duración larga
6 silabas
y/o duración corta
6 silabas
y/o duración corta
18 silabas
y/o duración larga
6 silabas
y/o duración
corta
6 silabas
y/o duración
corta
18 silabas
y/o duración
larga
18 silabas
y/o duración
larga
Cambios
congruentes
Numerosidad.
duración y
longitud
se
incrementan
Cambios
congruentes
Numerosidad.
duración y
longitud
disminuye
22
,

la conexión entre la representación de los números y la longitud sugieren que este sistema de
representación numérica es parte de una sensibilidad más general a las magnitudes.19
23
,

LECTURA
Una cuestión en el desarrollo cognitivo
humano es si el razonamiento numéri-
co no verbal es realmente innato. Aunque
los bebes pueden demostrar sensibilidad
hacia la cantidad en una etapa temprana
de su desarrollo utilizando el paradigma del
tiempo de observación, tiene que pasar un
año para que ellos sean capaces de realizar
tareas en la cual se necesita hacer una elec-
ción explicita entre cantidades, tal como es-
coger la mayor cantidad de un conjunto de
opciones.
La comparación entre los bebes humanos y
los bebes monos nos pueden ayudar a ana-
lizar las influencias genéticas y madurativas
versus la influencia de la experiencia en el
desarrollo numérico humano. Durante la in-
fancia, los monos maduran mucho más rá-
pido que los humanos debido a diferencias
en su maduración genética. A los bebes hu-
manos les toma 8-10 meses gatear, mien-
tras que los monos pueden gatear dentro
del primer mes de vida. Del mismo modo,
los monos son capaces de localizar objetos
ocultos tres veces más temprano en su in-
fancia que los bebes humanos.
Hemos capitalizado estas diferencias en el
desarrollo de humanos y monos para eva-
luar si la percepción numérica depende de
la tasa de maduración neuronal de las espe-
cies. Si la percepción numérica, al igual que
la percepción de los objetos, se basa en la
tasa de maduración, se debería desarrollar
más rápido en los monos que en los huma-
nos (aproximadamente tres veces más tem-
prano). Además, si la percepción numérica
es una habilidad fundamental del desarrollo
con una base innata, se debería desarro-
llar lo más temprano posible dentro de las
constricciones madurativas conocidas de
cada especie.
Para evaluar esto, babuinos bebes y adultos
fueron sometidos a una tarea de elección
de comida en el cual se les presentaba dos
conjuntos de objetos comestibles, los cua-
les variaban de 1 a 8 objetos. Los monos
escogían un conjunto mediante el toque de
una puerta ubicada frente al conjunto. Ellos
recibían los objetos del conjunto elegido,
independientemente de si ellos escogían
el conjunto más numeroso de los dos o no.
De esta manera, ellos no recibían un refor-
zamiento diferencial o un entrenamiento
numérico. Los bebés monos escogían es-
pontáneamente y con precisión el mayor
de los dos conjuntos con objetos comes-
tibles y mostraban una precisión que era
dependiente de la diferencia de razón: eran
más propensos a escoger el conjunto más
grande cuando la razón entre los conjun-
tos era más grande. Lo interesante es que
no se encontró ninguna diferencia entre el
desempeño de los adultos y el desempeño
de los bebés en esta tarea. El ajuste para
la precisión de los monos adultos y bebés a
la predichas por la Ley de Weber, se mues-
tran en la figura. Ambos grupos mostraron
un efecto que depende de la razón numéri-
ca en su desempeño, aun cuando no hubo
diferencias entre los grupos. Los monos
bebes y adultos también tuvieron la misma
precisión general y la misma sensibilidad a
la diferencia de razón entre los conjuntos.
De esta manera, la habilidad numérica es-
pontanea de los monos están bastante de-
sarrolladas a la edad de un año y permanece
relativamente estable en la adultez.
Luego comparamos el desempeño de los
La maduración genética
24
,

bebés monos con los primeros datos de los
bebés humanos. El desarrollo de las habili-
dades numéricas en los monos fue mucho
más rápido que en los humanos. Los bebés
monos hacen estimaciones numéricas pre-
cisas sobre conjuntos de objetos que los
bebes humanos fallan en discriminar hasta
los 2.5-3 años de edad. Los niños no discri-
minan entre conjuntos de objetos cuando
se comparan cantidades grandes (más de
tres objetos) en tareas de elección explicita.
Los bebés monos son capaces de eleccio-
nes numéricas explicitas con números gran-
des de hasta 8 objetos, después de 1 año de
experiencia.
Si los bebés monos pueden ganar la expe-
riencia necesaria para realizar estimaciones
numéricas con solo un año de experiencia
con el mundo físico, entonces los bebés hu-
manos serán también capaces de ganar la
experiencia necesaria dentro de 1 año. Du-
rante 1 año, los bebes humanos han tenido
igual o más experiencia con el mundo físico
(y con las cantidades) que los bebes monos.
Probablemente, el lento desarrollo del sis-
tema numérico humano no se deba a la falta
de experiencia. En vez de eso, vemos que la
diferencia en el ritmo del desarrollo numé-
rico entre monos y humanos es similar a los
de su desarrollo perceptual, motor y neuro
anatómico. Las habilidades numéricas de
un mono bebé de un año de edad son equi-
valentes a los de un niño humano de 2.5-3
años de edad. Estos diferentes umbrales en
la tasa de desarrollo entre especies, sugiere
que, al igual que el desarrollo perceptual, el
desarrollo de las habilidades numéricas está
limitado por la tasa de maduración genética
de las especies. Animales y humanos son
capaces de representar la numerosidad a
una edad muy temprana de sus vidas. Sin
embargo, la línea temporal del desarrollo
de estas habilidades, difiere entre las es-
pecies. Los monos, al madurar más rápido
que los humanos, desarrollan sus habilida-
des numéricas en una etapa muy temprana
de sus vidas. Esta diferencia en el desarro-
llo probablemente se debe a las diferencias
de maduración cognitiva y neuronal entre
las especies. La relación entre maduración
neuronal y percepción numérica sugiere
que la percepción numérica se desarrolla lo
más temprano posible entre las especies.
Tomado de Ferrigno y col. (2017)20
Figura 1. (A) Un bebe mono es evaluado en una tarea de elección numérica. (B) La precisión en los bebés y
los adultos está en función de la razón entre las cantidades (cantidad más pequeña/cantidad más grande). Las
líneas solidas (adultos) y las líneas punteadas (bebes) el ajuste predicho por un modelo basado en la Ley de
Weber. (C) La fracción promedio de Weber para los animales bebes y adultos. Los valores más pequeños de
w significan mejor desempeño y un sistema numérico aproximado más sensible. (D) Precisión global para los
animales bebes y adultos. La barra de error representa el error estándar de la media. Tomado de Ferrigno y col.
(2017)20
razón de cantidad
Precisión
25
,

La subitización
La subitización es el conteo rápido de cantidades pequeñas de obje-
tos presentados en forma simultánea. Esta definición, sin embargo, es
meramente descriptiva y revela poco acerca de los mecanismos sub-
yacentes del proceso. La subitización es un proceso perceptual an-
tes que un proceso cognitivo o enumerativo y que involucra algunas
formas de reconocimiento de patrones utilizando modelos flexibles.
También se le define como el uso de un proceso de conteo preverbal
y de mapeo desde las magnitudes resultantes hacia las palabras nu-
méricas con el fin de generar rápidamente la palabra numérica que
representa a una pequeña numerosidad.
26
,

Dos sistemas cognitivos para
la representación numérica
no verbal
3
U
na característica de la discriminación numérica aproximada en los adultos es que sigue
la Ley de Weber, la cual establece que es la razón (proporción) antes que la diferen-
cia absoluta entre las numerosidades la que permite discriminar una numerosidad de la
otra. Este hecho, ampliamente constatado en muchas investigaciones, sugiere que los adultos
representan las cantidades discretas aproximadamente como una magnitud mental continua,
también conocida como magnitudes analógicas, que son proporcionales a las magnitudes que
están siendo representadas. Diversas investigaciones, tanto en niños como en animales, han
encontrado resultados similares, sugiriendo una continuidad evolutiva y de desarrollo en el
sistema de magnitudes analógicas no verbales.
Lo mismo que en la representación numérica en los adultos y los animales no humanos, la
conducta numérica de los niños está determinado por la razón o proporción que presentan las
numerosidades entre sí. Los bebes de 6 meses de edad, detectan los cambios numéricos según
una razón especifica: prefieren observar una imagen con cambio numérico que una imagen
sin cambio, solo si las numerosidades que cambian en la imagen cambiante varían como una
función de determinadas razones o proporciones numéricas. Específicamente, la magnitud de
la preferencia se incrementa si se incrementa la razón o proporción de los valores numéricos
en las imágenes cambiantes. Así, los bebés muestran mayor preferencia cuando la razón entre
los valores numéricos comparados es 1:4 (ejemplo, 2 y 8) que cuando es 1:2 (ejemplo, 3 y 6)
o 1:3 (ejemplo, 3 y 9).21
Todo esto indica que los bebes de 6 meses son capaces de discriminar
numerosidades que difieren entre si con una razón de 1:2 pero no con 2:3, lo que sugiere que
su umbral de discriminación se encuentra entre las razones de 1:2 y 2:3.21
La agudeza en la percepción de la numerosidad se incrementa a lo largo del desarrollo, por lo
que la precisión de las representaciones numéricas es mayor en los adultos que en los niños.22
Al nacer, los bebes necesitan una razón de 1:3 (4 vs 12) para discriminar entre dos numerosi-
dades,23
una proporción que disminuye progresivamente durante el primer año de vida, de tal
forma que los bebes de 4-6 meses de vida son capaces de discriminar numerosidades con una
razón o proporción de 1:2 (Ejemplo,8 vs 16) 24,25
A los 9 meses de edad, son capaces de detectar
la diferencia numérica de dos numerosidades con una proporción o razón de 2:3 (ejemplo, 8
vs 12 )26,27
Los niños de 6 años de edad pueden discriminar razones o proporciones más finas
como la razón 5:6 (10 vs 12), y en la adultez la razón necesaria para la discriminación disminuye
en promedio entre las razones 7:8 y 9:10.28,29
Además, la razón o proporción necesaria para
la discriminación de las numerosidades se aplican de manera similar a las diferentes
formas de presentación de los estímulos, ya sea conjunto de puntos u objetos,30,25,11
27
,

Figura 10. Diseño experimental de una tarea de detección del cambio numérico. Cada prueba empieza después de la presen-
tación de un estímulo de fijación central (atractor). Durante cada prueba, se les presento simultáneamente a los bebés dos
secuencias de imágenes en dos pantallas periféricas. Una de las pantallas contenía las secuencias de imágenes cambiantes
con imágenes de dos numerosidades (aquí, 10 y 20) mostradas en forma alterna, mientras que la otra pantalla contenía una
secuencia de imágenes no cambiantes con la misma numerosidad (aquí 10). Se midió el tiempo de observación para cada una
de las secuencias de imágenes. Tomado de Libertus y Brannon (2010)21
Figura 11. Puntajes de las prefe-
rencias de los bebés de 6 meses de
edad para las secuencias de imáge-
nes numéricamente cambiantes en
cuatro diferentes condiciones de
razón. Un puntaje de preferencia
positiva indica un tiempo mayor de
observación a la secuencia de imá-
genes numéricamente cambiante
en comparación con la secuencia
no cambiante. Se encontraron
puntajes de preferencia positiva-
mente significativas para las ra-
zones 1:2, 1:3 y 1:4 (* = p<0.05).
Además, los puntajes de preferen-
cia se incrementaron a medida que
se incrementaba la razón. Tomado
de Libertus y Brannon (2010)21
secuencia de sonidos,31
o secuencia de acciones.32
Lo que permite a los bebes realizar todas las proezas anteriormente señaladas, es uno de los
componentes centrales del sentido numérico, el Sistema Numérico Aproximado (ANS, por sus
siglas en inglés). El ANS está presente en los humanos al nacer23
y ha sido
documentado en una amplia variedad de especies animales,33
apoyando el
Condición
%deobservaciónalcambiomenos%deobservaciónalconstante
28
,

argumento de que el ANS es independiente del lenguaje y de la adquisición de los símbolos
numéricos. En los humanos, el ANS está activo a lo largo de todas las etapas de la vida, desde la
infancia hasta la vejez.34
Finalmente, estudios en imágenes de cerebros sanos han identificado
al surco intraparietal como la región neuronal del ANS.35
Una de las características principales
del ANS es que produce estimaciones imprecisas del número de elementos de los estímulos
provenientes de distintas modalidades sensoriales (pitidos, objetos representados visual o tác-
tilmente, golpeteos de un dedo). Estas estimaciones numéricas son la base del cálculo cuan-
titativo del tipo “mayor que…”, “menor que…”, de la adición, la sustracción, la multiplicación y
la división. 36,37,38,18
Esta inherente imprecisión del ANS afecta la precisión de las estimaciones
numéricas de un observador y su desempeño al comparar o calcular, de acuerdo a la Ley de
Weber, de tal forma que la precisión disminuye con las estimaciones numéricas más grandes.
De esta forma, como ya hemos visto, la discriminación de dos representaciones del ANS está
en función de la razón entre ellos. Todavía no se sabe con precisión si esta representación im-
precisa del ANS llega a integrarse con habilidades matemáticas más formales, y el papel que
desempeña. Una hipótesis plantea que el ANS es necesario para la adquisición de habilidades
numéricas simbólicas como el conteo y la aritmética. 39,40,41
Otra posibilidad es que el ANS no
sea indispensable para una comprensión matemática temprana y que solo más tarde se integra
a las representaciones numéricas simbolicas.42
Para la mayoría de los investigadores, sin embargo, el papel que desempeña el ANS es crucial
para que los niños adquieran las matemáticas formales. Recientes investigaciones han demos-
trado que las diferencias individuales en la agudeza del sentido numérico están relacionadas
con las diferencias individuales en el rendimiento matemático temprano en la época pre-esco-
lar,43
secundaria,29
y en la escuela, 44
y que el entrenamiento aritmético no-simbólico mejora el
desempeño matemático simbólico tanto en niños como en adultos.45,46
Además, la agudeza del
sentido numérico durante la infancia, evaluada por medio de tareas de detección de cambios
numéricos, predicen las habilidades matemáticas posteriores.47
Todos estos estudios apoyan
el punto de vista de que el sentido numérico pre-verbal, es decir, la representación del ANS,
está relacionado con la adquisición de habilidades matemáticas más sofisticadas, tales como la
adquisición de los símbolos numéricos y de los conceptos matemáticos.22
Existe una controversia acerca de si los bebés son capaces de representar cualquier número,
pequeño o grande, utilizando solo el ANS. Coubart y col. (2015),48
utilizaron el paradigma del
emparejamiento sonoro-visual para evaluar la sensibilidad a la numerosidad desde valores de 2
hasta 12. A lo largo del estudio, los recién nacidos fueron capaces de discriminar parejas de nu-
merosidades grandes en una proporción de 3:1 incluso cuando la numerosidad más pequeña
fue el 3 (3vs. 9). En contraste, los recién nacidos fallaron en discriminar las parejas que incluían
a la numerosidad 2, incluso cuando se lo presentaba en la misma proporción (2 vs. 6). Estos
hallazgos demuestran la existencia de una disociación que ya ha sido reportada en bebes de
mayor edad, aunque en estos casos la discontinuidad se encontraba entre las numerosidades
2 y 3. Los autores plantean dos alternativas para explicar estos resultados: o bien los bebes re-
cién nacidos tienen un sistema separado para procesar conjuntos pequeños, y la capacidad de
este sistema está limitado a 2 objetos; o bien los bebes recién nacidos poseen un solo sistema
para representar las numerosidades, y que este sistema o no es funcional o es
extremadamente impreciso cuando es aplicado a las numerosidades pequeñas.
29
,

Estudios similares, han dado los mismos resultados, por lo que muchos investigadores piensan
que en los primeros años de vida los bebés poseen dos sistemas cognitivos que codifican la
información numérica: uno para procesar la numerosidad de conjuntos de 4 a más elementos
bajo el dominio del ANS y el segundo para rastrear hasta 3 objetos en paralelo.48
Mientras
que estudios anteriores han demostrado que el primer sistema está ya presente a las pocas
horas del nacimiento, todavía está en discusión si el segundo sistema es funcional a esa edad.
Cuando los niños son presentados con números pequeños de objetos, eventos o sonidos ellos
pueden intentar llevar el control de cada elemento en forma individual a través de mecanis-
mos de atención basados en el objeto u otros mecanismos similares. En estos casos los bebes
representan cada conjunto de objetos mostrados como una colección de entidades individua-
les con distintas propiedades antes que como un conjunto con una cardinalidad distintiva. La
predisposición de los bebes a representar los números pequeños de objetos o eventos como
individualidades antes que como un conjunto explica porque ellos prefieren responder en base
a las variables perceptuales continuas en los estudios de discriminación de números peque-
ños: tales variables se caracterizan por los objetos individuales mientras que la numerosidad
se caracteriza por el conjunto antes que por sus miembros individuales.
En contraste, cuando los bebés se ven enfrentados a números grandes su mecanismo de ras-
treo de individualidades distintas se ve sobrepasado. Bajo estas condiciones, los bebés deben
enfocar su atención no en las individualidades sino en la colección, aprehendiendo propieda-
des tales como la distribución espacial global, la densidad, y la numerosidad. La predisposición
de los bebes a representar los números grandes de elementos como un conjunto antes que
como individualidades puede explicar el éxito de sus respuestas a los números bajo condicio-
nes en los cuales las variables perceptuales continuas son controladas. La existencia de estos
dos mecanismos puede explicar las divergencias en los desempeños de los bebes en las tareas
de discriminación, por ejemplo, cuando la sensibilidad a la numerosidad requiere de una dife-
rencia de proporción de 1:2, ya que en estos casos la habilidad para rastrear objetos o eventos
individuales puede operar ya sea considerando a todo el grupo como un conjunto de varios
elementos o como tres individualidades presentadas en forma simultánea. Esto explicaría los
resultados obtenidos anteriormente por Coubart y col.48
La existencia de esta disociación ha hecho que se planteen ciertos modelos de cognición nu-
mérica que postulan la existencia de otro mecanismo no-verbal utilizado para el rastreo o
seguimiento exclusivo para los números pequeños: el sistema de rastreo de objetos (OTS, por
sus siglas en ingles). En los adultos, este sistema les permite la subitización, es decir, el rastreo
o seguimiento de un número pequeño de objetos en forma paralela y exacta. Tradicionalmente
se ha considerado que este sistema tiene una capacidad limitada de representación: hasta tres
objetos en los infantes y hasta 4-5 objetos, en los adultos, utilizando un índice de objetos que
les permite señalar cada objeto a medida que aparecen o cambian de ubicación.49,50,51
Este sis-
tema permite realizar cálculos numéricos simples, tales como la comparación y las aritméticas
elementales, utilizando el procedimiento de la correspondencia uno a uno. Todo esto se debe
a que, a diferencia del ANS, el OTS es un sistema de individualización en paralelo que no está
dedicado exclusivamente a la representación numérica en forma explícita. Este sistema, al
igual que el ANS tiene propiedades que le permiten la indexación y el rastreo de
conjuntos de individualidades, pero no contiene ningún símbolo para los valores
30
,

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