El sentido numérico: Una guía esencial

El sentido numérico Rubén Espinoza Cóndor
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Editora
El Sentido
Numérico
Rubén Espinoza Cóndor

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Editora
El Sentido
Numérico
Rubén Espinoza Cóndor
Una guía sobre como entender y
desarrollar la capacidad numérica que
tienen todos los niños al nacer
2017

DEDICATORIA
A mi madre, Elba, por todo lo que hay de ella
en mi.

Índice General
Dedicatoria 3
Índice General 4
Prefacio 6
Introducción 7
PRIMERA PARTE 16
Antecedentes Filosóficos e Históricos
1.1 El origen de los objetos matemáticos: platonistas, formalistas e
intuicionistas
17
1.2 La evolución del concepto de Número 38
SEGUNDA PARTE 64
El Sentido Numérico
2.1 Definición de Sentido Numérico 65
2.2 El Sentido Numérico como un mecanismo de adaptación 74
2.3 Componentes del sentido Numérico 84
2.4 Importancia de la enseñanza-aprendizaje del sentido numérico 94
2.5 Características de un alumno con un sentido numérico desarro-
llado
103
2. 6 El sentido numérico a través de las etapas de la vida 110
TERCERA PARTE 123
Aspectos fundamentales del Sentido Numérico
3.1 La numerosidad 124
3.2 Ley de Weber 133
3.3 La subitización 138
3.4 Adaptación de la numerosidad 145
3.5 Línea numérica mental 154
CUARTA PARTE 175
El sentido numérico en los animales
4.1 Historias sobre animales aritméticamente dotados 176
4.2 Valor adaptativo del sentido numérico en los animales 187
4.3 Estimación de la numerosidad relativa en animales 194
4.4 Subitización y Estimación en los animales 199
4.6 Competencias numéricas en animales 201
1
3
4
2

QUINTA PARTE 235
El Sentido Numérico en los bebes
5.1 Lo que pensaba Piaget 236
5.2 Lo que los bebes son capaces de hacer 252
5.3 Dos sistemas cognitivos para la representación numérica no
verbal
266
5.4 Cálculos aritméticos con las numerosidades en los bebes 278
5.5 Otras dimensiones cuantitativas 288
5.6 Desempeño de los bebes a través de las dimensiones cuantitati-
vas
294
SEXTA PARTE 318
EL substrato neuronal de la numerosidad en el cerebro
6.1 La numerosidad en el cerebro 319
6.2 Los números no simbólicos en el cerebro 335
6.3 Los números simbólicos en el cerebro 351
6.4 La representación abstracta de las magnitudes numéricas 365
6.5 La representación de las magnitudes no numéricas 378
6.6 El mapa topográfico de la numerosidad parietal 400
SÉPTIMA PARTE 420
La enseñanza-aprendizaje del sentido numérico
7.1 Los niños y los números 421
7.2 El desarrollo de las competencias numéricas 436
7.3 Dificultades para el aprendizaje aritmético 451
7.4 La enseñanza del sentido numérico 469
ANEXOS 517
Rutinas para la enseñanza del sentido numérico
5
7
6

Prefacio
Este libro ha sido escrito en base a un amplio conjunto de artículos científicos tradu-
cidos del inglés y el francés. Los artículos tratan sobre un tema poco conocido en el
idioma castellano: el sentido numérico. Mi primer contacto con el término se produjo a
través de la lectura del libro de Stanislas Dehaene, “Number sense: How the Mind Creates
Mathematics”. De entrada, el título me pareció sugestivo y transgresor, pero he aprendido
a desconfiar de los títulos rimbombantes que, a menudo, prometen mucho más de los que
sus páginas ofrecen en realidad. Este no fue el caso. Con una prosa fluida y apoyándose
en datos científicamente comprobados, el libro fue desarmando, conforme avanzaba en
sus páginas, todo el marco conceptual que tenía establecido con respecto a los orígenes y
a la forma en que el ser humano representa y procesa la información numérica. Plantear
que una determinada habilidad o capacidad es un sentido, no es asunto de poca monta.
Se deben cumplir ciertos requisitos para que una habilidad o capacidad sea considerada
como un sentido: debe existir un estímulo externo que active tal sentido; debe existir un
órgano para captar el estímulo y ante la pérdida de ese órgano la habilidad debe mermar o
desaparecer; las otras especies animales también deben ser capaces de responder a tal es-
timulo externo; debe ser una capacidad innata presente incluso en las primeras etapas del
desarrollo; debe existir una región cerebral específica para el procesamiento del estímulo
externo y debe seguir las leyes de la psicofísica y ser pasible de adaptación y habituación.
El libro que tiene entre sus manos proporciona las evidencias de que el ser humano posee
un sentido numérico innato que le permite representar y procesar los estímulos numéricos
presentes en el medio ambiente, el cual es compartido con otras especies de animales
y que, en los seres humanos, se manifiesta en etapas tan tempranas como a los pocos
días de nacido. También demuestra que nuestro cerebro posee una región específica para
el procesamiento numérico, que el sentido numérico es independiente del lenguaje y la
educación, y que este sentido, primigenio y primitivo, es el sustento para el desarrollo de
las matemáticas superiores. Para recoger estas evidencias se han consultado cientos de
artículos científicos provenientes de distintas áreas del conocimiento humano que van
desde la neurología, la biología, la genética, la etología hasta la matemática cognitiva y
la educación, pasando por la lingüística y la filosofía, entre otros. Ha sido un arduo pero
placentero trabajo. Espero que Ud. disfrute leyendo el libro, de la misma manera que yo
disfrute escribiéndola.
Lima, setiembre 2017

7
Introducción
Las cantidades tales como el espacio, el tiempo y la numerosidad son los aspectos básicos del
medio ambiente. La numerosidad es una propiedad intrínseca a toda colección de objetos. La
diferencia entre numerosidad y número estriba en que la numerosidad se refiere exclusivamente a la
cantidad de entidades discretas, individuales, que contiene dicha colección sin importar el orden (lo
que los matemáticos llaman cardinal de un conjunto), mientras que el significado de número, por otro
lado, puede tener diversos atributos: puede tener una significación cuantitativa, puede representar
una posición dentro de una sucesión ordenada, puede servir de señal o marca y hasta pueden tener
otras significaciones fortuitas. Si hablamos de estímulos (visuales, sonoros, táctiles, etc.), la numero-
sidad designa la cantidad de entidades discretas que contiene dicho estimulo no simbólico. La nume-
rosidad es una propiedad abstracta del conjunto, ya que es independiente de los atributos sensoriales
de sus elementos y de los parámetros físicos del conjunto, tales como forma, luminosidad, densidad,
duración, o frecuencia incluso, si estos parámetros covarian.
Para que los animales puedan desplazarse e interrelacionar exitosamente en su medioambiente, es
necesario que tengan la capacidad de representar y procesar la información cuantitativa relevante. La
ventaja evolutiva de tener la capacidad de extraer la numerosidad de dichas colecciones tiene relevan-
cia ecológica ya que permite al animal resolver una gran cantidad de problemas en su medioambiente
natural, tales como la selección de la cantidad más grande de recursos comestibles para optimizar la
ingesta de alimentos o seleccionar el grupo más numeroso de compañeros sociales para minimizar
“Cien veces todos los días me recuerdo a mí mismo que mi vida interior y
exterior, depende de los trabajos de otros hombres, vivos y muertos, y que yo
debo esforzarme a fin de dar en la misma medida en que he recibido.”
Albert Einstein

8
Primera
Parte
Antecedentes
Filosóficos e
Históricos

9
1.1. El origen de los objetos matemáticos:
platonistas, formalistas e intuicionistas
¿De qué estamos hablando cuando hablamos de números? ¿Se puede considerar a los núme-
ros como objetos de estudio de la misma manera que un físico lo hace con la materia? ¿De
dónde provienen los números y porque somos capaces de conocerlos y manipularlos? ¿pertenecen a
una realidad externa o son simples construcciones artificiales producto del intelecto humano? Según
Platón (428-347 aC), los objetos matemáticos existen independientemente de los matemáticos que
los observan y poseen propiedades intrínsecas. Platón creía en la existencia de un mundo fuera de las
mentes de las personas exclusivamente poblado de ideas y cuya existencia era incluso independiente
de la existencia de los seres humanos. Así por ejemplo el concepto o la idea de “triangulo: tres rectas
unidas por sus extremos” existía antes que el ser humano la descubriera y seguirá existiendo el día
en que ningún ser humano pueble la Tierra. Para Platón, los objetos ideales tenían mayor prevalencia
que los objetos físicos ya que permitían observar las propiedades de los objetos de un modo exacto
Dice usted [Hermite] muy bellamente en su carta del 27 de Nov.: “Los números (enteros)
me parecen constituir un mundo de realidades que existen más allá de nosotros con el
mismo carácter de absoluta necesidad que las realidades de la naturaleza, cuyo
conocimiento nos es dado por los sentidos, etc.”
Permítame, sin embargo, el comentario de que en mi opinión la realidad y absoluta
legalidad de los números enteros es mucho mayor que la del mundo sensorial. Y el que así
sea, tiene una única y muy simple razón, a saber, que los números enteros existen en el
grado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmente infinita, en la
forma de ideas eternas in intellectu Divino.
Cantor a Hermite, 30 Nov. 1895

10
Segunda
Parte

11
2.1 Definición de Sentido Numérico
Los números son un parámetro fundamental cuando se trata de darle sentido al mundo que nos
rodea. Constantemente las estamos utilizando. No solamente cuando percibimos rápidamente
y con precisión la cantidad de elementos de una colección o grupo de objetos sino también cuando
utilizamos palabras que los representan en la vida diaria. La mayoría de nosotros tiene una fuerte
intuición aritmética que nos permite darnos cuenta rápidamente de que 9 es mayor que 5, de que el
3 está en el medio de 2 y 4 o que 12 + 15 no puede ser igual a 96, sin que esto nos lleve demasiado
tiempo de meditación. Esta intuición básica sobre las cantidades sirve también de guía en diversas
decisiones de la vida diaria, por ejemplo, cuando en el supermercado identificamos (y evitamos) la
fila más larga para el cajero o cuando nos dan escoger entre varias fuentes con fruta y escogemos el
que tiene mayor cantidad solamente “al ojo”, sin necesidad de contar. Esta intuición numerica tiene
un nombre: sentido numérico. El sentido numérico es una habilidad innata que nos permite tener una
comprensión general del número y sus operaciones y una inclinación para usar esta comprensión
en formas flexibles para realizar juicios matemáticos y para, además, desarrollar estrategias útiles y
eficientes en situaciones de índole numérica. Esta intuición nos permite utilizar continuamente una
variedad interna de “frenos y contrapesos” para juzgar la sensatez de los resultados numéricos. Cuan-
do un resultado esta en conflicto con los resultados esperados, la persona vuelve a revisar la situación
matemática, a menudo desde otra perspectiva, intentando resolver el conflicto. 1
“El hombre, aún en las etapas inferiores de desarrollo, posee una fa-
cultad que, a falta de un mejor nombre, llamare Sentido numérico. Esta
facultad le permite reconocer que algo ha cambiado en una colección
pequeña cuando, sin su conocimiento directo, un objeto ha sido removi-
do o añadido a dicha colección”.
Tobias Dantzig. NUMBER The Language of Science. (2005)

12
Tercera
Parte
Aspectos fundamentales
del Sentido Numérico

13
3.1 La numerosidad
La numerosidad (numérosité en francés, numerosity en inglés) es una propiedad intrínseca a toda
colección de objetos. Esta propiedad nos indica la cantidad de entidades discretas que contiene
dicha colección.1
Si hablamos de estímulos (visuales, sonoros, táctiles, etc.), la numerosidad designa
la cantidad de entidades discretas que contiene dicho estimulo. El termino numerosidad se opone al
de Número en el sentido en que el número designa el atributo de un objeto individual o colectivo
del mundo (por lo que un número es un objeto autónomo que podemos manipular) mientras que la
numerosidad, como hemos dicho, es un atributo exclusivamente colectivo.2
Además la numerosidad
se refiere exclusivamente al cardinal (el número total de elementos sin importar el orden) de un es-
tímulo no simbólico, mientras que el significado de número puede tener diversos atributos: puede
tener una significación cuantitativa (la numerosidad de un conjunto), también puede representar su
posición dentro de una sucesión ordenada (1 puede significar primer lugar, 2 segundo lugar, etc.),
puede servir de señal o marca (por ejemplo en número de archivo) y hasta pueden tener otras signi-
ficaciones fortuitas ( un modelo de auto, una marca de cerveza, el nombre de un periódico, un dato
“¿Cómo un hombre podría llegar a comprender una cosa si no estuviera en germen en sí
mismo? Aquello que puedo comprender debe abrirse en mi según leyes orgánicas; y lo que
parezco aprender no es realmente más que un alimento y una incitación a mi organismo”
Novalis, Journal et fragments. Stock. 1927
A un nivel más concreto, el número es una propiedad de un conjunto de objetos en el mundo
exterior. Esta propiedad puede ser reconocida y representada mentalmente mucho antes de
que se desarrolle cualquier forma de cognición numérica”
Stanislas Dehaene. ( 1992)

14
Continuidad ontogenética y filogenética en las señales básicas de
la representación de la magnitud numérica
Figura 1. Continuidad ontogenética
y filogenética en las señales básicas
de la representación de la magnitud
numérica. a) Cuando los niños y
adultos comparan cuál de los dos es-
tímulos numéricos es numéricamen-
te mayor, existe una relación inversa
entre la distancia numérica y el tiem-
po de reacción, esto se conoce como
efecto distancia y está basado en la
Ley de Weber. Además, el tiempo de
reacción están correlacionados po-
sitivamente con el tamaño absoluto
del estímulo numérico (el efecto ta-
maño). El efecto tamaño existe tanto
en niños como adultos, pero dismi-
nuye en fuerza con la edad. b) Cuan-
do a un niño de seis meses de edad
se le muestra repetidamente números
grandes de puntos, su tiempo de ob-
servación disminuye (habituación).
Cuando se compara el tiempo de ob-
servación de la primera numerosidad
(habituado) y la nueva numerosidad,
la habilidad de los bebes para distin-
guir entre la primera numerosidad y
la nueva numerosidad es dependiente
de la distancia entre las magnitudes
numéricas. Por ejemplo, los niños de
6 meses son sensibles a la diferencia
entre 16 y 32, pero fallan al discri-
minar entre 16 y 24. c) Los monos
Rhesus macacos pueden aprender a
ordenar pares de numerosidades, tocándolos secuencialmente en una pantalla táctil. La precisión y la rapidez con
la que pueden realizar esta tarea depende de la razón entre las numerosidades. La similitud en el desempeño de
los monos y los humanos sugiere que existe un alto grado de continuidad filogenética en la representación básica
de las magnitudes numéricas. Tomado de Ansari (2008)

15
Cuarta
Parte
en los animales

16
4.1 Historias sobre animales aritméticamente
dotados
Existe una especie de avispa llamadas
comúnmente “avispa solitaria” la cual
coloca sus huevos en celdas individuales per-
fectamente selladas. Dentro de cada celda la
avispa coloca cierta cantidad de orugas vivas
con el fin de que estas sirven de alimento a
la avispa-cría recién salida de la pupa. Lo no-
table de esto es que cada especie de avispa
tiene un número constante de víctimas para
la pupa: algunas especies proveen 5, otros 12,
otros tan alto como 24 orugas por celda. El
Creo que podría retornar y vivir con los animales, ellos son tan plácidos y autónomos
Me detengo y los observo largo rato.
Ellos no se impacientan, ni se lamentan de su situación.
No lloran sus pecados en la oscuridad de un cuarto.
No me fastidian con sus discusiones sobre sus deberes hacia Dios.
Ninguno está descontento. Ninguno padece la manía de poseer objetos.
Ninguno se arrodilla ante otro ni ante los antepasados que vivieron hace milenios.
Ninguno es respetable o desdichado en toda la faz de la tierra.
Así me muestran su relación conmigo y yo así lo acepto
Walt Whitman. Creo que una brizna de hierba…
Figura 1. Los insectos, como por ejemplo las avispas,tam-
bién poseen sentido numérico

17
caso más extraordinario de sentido numérico es
de la Genus Eumenus, una variedad en la cual el
macho es mucho más pequeño que la hembra.
De una forma aún desconocida por la ciencia, la
madre sabe si el huevo producirá a un macho o
una hembra por lo que distribuye la comida de
acuerdo con el tamaño de la pupa sin cambiar la
especie ni el tamaño de la presa: ¡si la pupa es
macho le proporciona 5 víctimas y si es hembra
10¡. Nunca falla ni en la determinación del sexo
ni en la cantidad de orugas que le corresponde a
cada sexo.1
A algunas personas les produce un sentimiento de incredulidad enterarse que numerosas especies
de animales, a las cuales solemos tener por estúpidas o indefensas, están en realidad dotadas de la
capacidad de percibir y procesar los estímulos numéricos presentes en su medioambiente. Esta incre-
dulidad incluso se convierte en rechazo cuando se trata de un público compuesto por matemáticos o
ingenieros. Después de todo, la mayoría de matemáticos consideran a las matemáticas como el sumun
de la capacidad humana, la etapa más alta en el proceso de abstracción y conceptualización, cuyo
aprendizaje no solo requiere de muchos años de estudio sino del conocimiento de los símbolos y el
lenguaje. La idea acerca de la superioridad del hombre con respecto a todos los demás seres vivos,
iniciada por los filósofos, alimentada por las religiones y sacramentada por el Renacimiento, nos hace
ver a los demás animales como especies menos evolucionadas y dotadas de menores capacidades vi-
tales. Por otro lado, la ubicación de las matemáticas dentro de las actividades estrictamente racionales
y no dentro de las actividades sensoriales, han alimentado esta falsa noción de que a los animales les
está vedado el razonamiento matemático.Pero si analizamos con frialdad el asunto veremos que los
animales que existen en la actualidad, al igual que los seres humanos, son seres altamente evolucio-
nados y perfectamente adaptados a su medioambiente pues de otra manera se hubieran extinguido.
Charles Darwin, el padre del evolucionismo, afirmaba que la inteligencia humana, al igual que el
resto de nuestras funciones, debe haber evolucionado desde organismos más simples, ya que todos
los organismos enfrentan los mismos desafíos vitales (buscar alimento, aparearse, enfrentarse a los
enemigos, etc.) cuyo enfrentamiento exitoso requiere de habilidades para la resolución de problemas,
basados en la percepción y procesamiento de los estímulos sensoriales de entrada. De esta afirmación
general podía deducirse que las habilidades numéricas también deberían haberse desarrollado en
muchas especies, ya que conocer el número de elementos de un conjunto de estímulo físicos es un
desafío al cual se enfrentan todos los animales en su medioambiente, incluido el hombre.

18
Quinta
Parte
en los bebes

19
5.1. Lo que pensaba Piaget
Sabemos ya que los animales son capaces de reaccionar a las propiedades numéricas de los con-
juntos, ya sea que se trate de un conjunto de objetos, o una secuencia de sonidos, una serie de ac-
ciones, etc…Esta capacidad está presente en una amplia variedad de especies desde las palomas a los
monos, pasando por las ratas, los perros, los leones y los delfines, e incluso está presente en hormigas,
salamandras y arañas. Resulta por lo tanto plausible pensar que, si el sistema de representación de las
cantidades numéricas en los animales es una habilidad surgida por la selección natural y conservada
por la evolución debido a sus beneficios, entonces los humano también podrían estar dotados de un
sistema homologo, que podría aparecer muy temprano en el curso de su desarrollo. A partir de estas
consideraciones surge la pregunta: ¿los bebes son sensibles a las propiedades numéricas de los con-
juntos, de la misma forma que lo son algunas especies de animales? ¿bajo qué formatos representan
estas cantidades? ¿son capaces también de manipular estas representaciones, es decir, son capaces
”Yo sostengo que cada persona tiene una edad hacia la cual apunta toda la
vida, como la aguja imantada apunta al norte. Marco Antonio tendrá siempre
dieciséis años, y del contraste entre esta edad y los años que realmente cuenta,
resulta un espectáculo cada vez más lamentable. Mi buen amigo Bruto ha sido
un cincuentón reflexivo y juicioso, desde la edad de doce años. César está siempre
en la cuarentena, como un Jano que mirase irresoluto hacia la juventud y hacia
la vejez. Según esta ley, Cleopatra, a pesar de su juventud, tendría cuarenta y
cinco, lo que hace aparecer desconcertantes sus gracias juveniles. Su redondez es
la de una mujer que ha tenido ocho hijos. Su andar y su porte son muy
admirados, pero no por mí. Tiene veinticuatro años y camina como si tratara de
representar veinticuatro años.”
Wilder (1949)

20
de realizar operaciones aritméticas? Estas preguntas pudieran parecer absurdas a algunas personas.
Después de todo, el sentido común nos hace pensar que los bebes nacen desprovistos de todo tipo de
competencia, salvo, por supuesto, de la capacidad de aprender.
Esta forma de apreciar la cuestión surgió bajo la influencia de Piaget y la corriente constructivista,
quienes durante largo tiempo sostenían que los bebes venían al mundo sin ningún conocimiento a
priori del mundo y que necesitaba muchos años de aprendizaje para comprender un concepto fun-
damental: que el número representa la propiedad del conjunto que permanece invariante cuando se
desplazan los objetos de dicho conjunto o cuando se reemplazan por otros. Este principio, denomi-
nado principio de conservación, solo es comprendido por el niño bastante tarde: aproximadamente
a los 7 años, según Piaget. Desde esta perspectiva resulta inútil tratar de buscar cualquier huella de
representación numérica en los recién nacidos.
Según la teoría constructivista las habilidades lógicas y matemáticas son el resultado de un largo pro-
ceso de construcción mental llevada a cabo por los niños mediante la observación, la internalización
y la abstracción de las regularidades observadas en el mundo exterior, durante el transcurso de su
interacción con las personas y los objetos.1
Al nacer, el cerebro es una página en blanco desprovisto
de cualquier conocimiento conceptual ya que, según esta teoría, la evolución no ha dotado al organis-
mo de ningún conocimiento innato sobre el medioambiente en el cual vive, solo le ha proporcionado
herramientas perceptuales (los sentidos) y motoras (el movimiento de su cuerpo) y un mecanismo de
aprendizaje general que progresivamente toma ventaja de la interacción del sujeto con su medio am-
biente para auto organizarse, durante una primera fase que Piaget denomina sensorio-motor.1
Según
el propio Piaget:
“En el momento del nacimiento, la vida mental se reduce al ejercicio de aparatos reflejos, es
decir, de coordinaciones sensoriales y motrices montadas de forma absolutamente hereditaria
que corresponden a tendencias instintivas tales como la nutrición”. 2
En los primeros años de vida, por lo tanto, los niños están en una fase “sensorio-motor”: los bebes
exploran el mundo a través de sus cinco sentidos y aprenden a controlarlos a través de sus acciones
motoras. En este proceso, afirma Piaget, los niños no pueden dejar de notar ciertas regularidades so-
bresalientes. Por ejemplo, un objeto que desaparece detrás de una pantalla siempre reaparece cuando

21
Sexta
Parte
El substrato neuronal de
la numerosidad en
el cerebro

22
6.1 La numerosidad en el cerebro
La moderna neurociencia enfatiza el principio de que la percepción humana está determinada por
las propiedades del circuito cerebral y también reconoce que estos circuitos cerebrales evolucio-
naron para interpretar las propiedades del medioambiente físico. Esta relación entre medioambiente
físico y circuitos cerebrales ha sido reconocida por importantes investigadores.1
La numerosidad, al
igual que el color o el movimiento es una propiedad básica del medioambiente, un atributo percep-
tual primario. Ahora bien, todo sentido primario tiene una región en la corteza cerebral en la que se
asientan las neuronas encargados de procesar los estímulos correspondientes a dicho sentido. Así por
“El cerebro - es más amplio que el cielo -
colócalos juntos-
contendrá uno al otro
holgadamente - y a ti – también
el cerebro es más profundo que el mar -
sujétalos - azul contra azul -
absorberá el uno al otro -
como la esponja – en una cubeta –lo hace
el cerebro es el mismo peso de Dios -
sopésalos libra por libra -
se diferenciarán - si se pueden diferenciar -
como la sílaba del sonido –
Emily Elizabeth Dickinson (1830 - 1886)

23
ejemplo el sentido de la vista tiene como región cerebral el lóbulo occipital en los primates, el sentido
auditivo en el lóbulo temporal, etc. Si hemos asumido que la numerosidad es un atributo perceptual
primario, representada y organizada por el sentido numérico, entonces, al igual que los otros sentidos,
también tiene que tener una región especifica en el cerebro para procesar las representaciones numé-
ricas. Dado que los seres humanos tienen una habilidad única entre todas las especies para utilizar
símbolos abstractos que representan entidades concretas del medioambiente, cuando hablamos de
representaciones numéricas, debemos incluir, junto a las representaciones numéricas no simbólicas
(conjuntos de puntos, de sonidos, de acciones, etc.), a las representaciones simbólicas (números ará-
bigos hablados y escritos). La mayoría de investigadores piensa que las representaciones cerebrales
que subyacen a los números no simbólicos son innatas y que tienen una larga historia evolutiva.2,3
En
contraste, la representación cerebral de los números simbólicos puede ser construido a lo largo del
desarrollo y a través del aprendizaje y la educación.3,4
En este capítulo proporcionaremos una visión
global de las investigaciones que han evaluado: (1) las lesiones cerebrales que indican la existencia
de una región específica para el procesamiento numérico (2) el circuito neuronal que subyace en el
procesamiento numérico tanto simbólico como no simbólico; (3) el debate en curso con respecto a si
el número es representado abstractamente en el cerebro; y (4) como las representaciones numéricas
simbólicas y no simbólicas se relacionan con las representaciones neuronales de los estímulos conti-
nuos no numéricos.
Los primeros indicios de la existencia de regiones cerebrales sustentando el procesamiento numérico
surgieron de estudios sobre casos de pacientes con daños cerebrales que resultaban con un déficit en
el procesamiento numérico. Estos estudios reportaron que los déficits de cálculo adquiridos apare-
cían en pacientes con daño cerebral en áreas cercanas a la juntura parieto-occipital-temporal.5,6
Los
pacientes con lesiones en las regiones fronto parietal también mostraban un déficit específico para
el procesamiento numérico.7,8
Los resultados precisos del trauma en estas regiones variaban, pero
lo común es una mezcla de habilidades numéricas intactas y deterioradas, tales como la habilidad
preservada del cálculo de adición de pequeñas cantidades, mientras que existe una incapacidad para
reconocer o escribir los números arábigos. Esta temprana indicación de que un daño en la corteza
parietal deteriora las habilidades numéricas ha conducido a los investigadores a escudriñar el cerebro
en búsqueda de los pilares neuronales del procesamiento numérico. Salomon Henschen,6,9
un neu-
rólogo que trabajó en el Instituto Karolinska, en Estocolmo, hasta finales de la década de 1920, fue
quien acuñó el término “akalkulia” , ‘acalculia’ , para describir trastornos en los cálculos numéricas

24
REFERENCIAS DE
LA SEXTA PARTE
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Séptima
Parte
La
enseñanza-aprendizaje
del sentido numérico

35
7.1 Los niños y los números
Imagínese que Ud. naufraga en una isla lejana habitada por unos habitantes que hablan un idioma
completamente desconocido. De pronto uno de los habitantes señala a un grupo de conejos y
empieza a farfullar: “wertty gup haka”. Ud. intuye que tales sonidos señalan algún atributo de los
animales, pero, ¿qué atributo?: ¿estará señalando la cantidad de conejos: ¿uno, dos, tres? ¿estará se-
ñalando el color de cada conejo: ¿negro, marrón, blanco? ¿estará señalando el tamaño: ¿chico media-
Si un niño no puede aprender de la manera que enseñamos,
quizá debemos enseñarle de la manera que el aprende.
Ignacio Estrada

36
no, grande? ¿estará diciendo el nombre de cada uno de los conejos? ¿o será que esas tres “palabras”
en realidad son una sola palabra cuyo significado es, “conejo”? Las posibilidades son diversas, pero
de seguro con el tiempo, mediante el aprendizaje y la convivencia, usted lograra traducir de forma
correcta el bendito sonido. Algo similar les ocurre a los niños con respecto a los números. Los niños
conviven con los números en distintas instancias y momentos de su vida diaria, pero no son capaces
de comprender a cabalidad el propósito y el sentido de su utilización.1
Cuando un niño ve contar
cosas a un adulto enumerándolos en voz alta, “uno, dos, tres, ... a menudo piensa que el adulto está
nombrando a las cosas en forma individual de la misma manera que uno señala a las personas y dice
su nombre: “Pedro, Juan, María, etc.” Esto sucede porque los niños no son aun capaces de entender
que el número final de la enumeración de los elementos de un conjunto representa la cantidad total de
elementos de dicho conjunto. Si ponemos cinco galletas en una fila y luego aumentamos la distancia
de separación entre las galletas los niños pequeños afirmaran que el número de galletas se ha incre-
mentado del mismo modo que se ha incrementado la distancia. Esto se debe a que los niños confían
más en su percepción visual que en su sentido numérico. Del mismo modo si al niño le presentamos
cinco botones de diferentes colores, y empiezan a contar los cinco botones a partir del verde, cuando
cuenten los mismos botones a partir de lo rojo ¡el niño afirmará que la cantidad total de botones será
diferente! Para la lógica implacable de los niños pequeños los resultados de contar los elementos de
un conjunto en una circunstancia serán distintos a los resultados de contarlos en otras circunstancias.
Les toma mucho tiempo a los niños entender cabalmente el significado de los números.1
Por otro lado, los adultos hemos olvidado lo difícil que fue aprender el concepto de número. Los
números simbólicos no existen por sí mismo en realidad, sino que han sido instalados en nuestros
cerebros en forma de idea. Además, los números nombran una cantidad en términos absolutos, pero
también pueden hacerlo en forma relativa. Tres es un número pequeño si pensamos en tres granos
de arroz, pero es grande cuando pensamos en tres elefantes. Los números también son una forma de
describir experiencias. Esto explica la diferencia que existe en salir al aire libre con una temperatura
de 20°C (nos sentimos frescos, abrigados, hasta contentos, etc.) y salir con una temperatura de 10°C
(nos morimos de frío, no tenemos ganas de seguir afuera, etc.). No podemos ver los números. Si tene-
mos tres manzanas frente a nosotros, podemos ver el color rojo, oler su aroma y hasta probar su sabor,
pero no podemos ver el “tres”. Tres es solo una idea o una relación que nuestro cerebro ha construido.
La forma más usual de utilizar los números es para determinar cuánto tenemos: si tenemos suficiente,
poco o mucho. 1

37
Agarrando las magnitudes numéricas
Utilizar los dedos para contar o calcular es un tipo
de conducta motora que podría servir de enlace fun-
cional entre dedos y números. La magnitud numéri-
ca y la representación del movimiento de los dedos
involucrado en la acción de agarre también se in-
fluyen uno al otro. Esto sugiere que el mecanismo
sensorio-motor del acto de agarrar un objeto pue-
de ser el mecanismo subyacente al procesamiento
numérico, debido presumiblemente a que ajustar la
apertura del agarre al tamaño del objeto requiere
calcular una magnitud estimada interna.
Efecto de la magnitud numérica en el ajuste de
agarre
Recientes hallazgos han demostrado que existe una
interferencia del procesamiento de las magnitudes
numéricas en el ajuste de la abertura del agarre. Se
ha demostrado que los números pequeños retrasan
la iniciación del movimiento de los dedos cuando la
respuesta requiere abrir el agarre, mientras que los
números grandes retardan el inicio del movimien-
to cuando la respuesta requiere cerrar el agarre. En
forma similar, los números pequeños facilitan la ac-
ción de agarre con precisión (la punta de los dedos
del pulgar y el dedo índice se oponen uno al otro
para agarrar los objetos pequeños) mientras que
los números grandes facilitan el agarre con fuerza
(el pulgar se opone a los otros dedos para agarrar
objetos grandes). El registro cinemático registrado
durante el acto de alcanzar un objeto para agarrarlo
revela además que el procesamiento de los núme-
ros grandes comparado con los números pequeños
incrementa la apertura del agarre a mediada que la
mano empieza a moverse hacia el objeto. Final-
mente, se ha encontrado que la magnitud numérica
interfiere con la percepción de los movimientos de
agarre: la respuesta al agarre cerrado se ve facili-
tado por la proyección de números pequeños y la
respuesta al agarre abierto se ve facilitado por la
proyección de números grandes.
Figura 1. La abertura del agarre cuando se agarra un bloque de madera con un número pequeño o grande impreso
en la cara visible. Los numeros grandes inducen un incremento en la abertura del agarre durante las primeras etapas
del movimiento (ilustrado por la razón gris-blanco de los rectangulos) este efecto disminuye progresivamente a
medida que la mano se aproxima al objeto

38
Anexos
Rutinas para la
enseñanza del sentido
numérico

39
Una forma de mejorar el sentido numérico dentro del ámbito educativo es a través de las rutinas.
Se denomina rutina a cualquier actividad o evento que ocurre en forma regular durante un pe-
riodo de tiempo. Las rutinas son una parte consustancial de la actividad diaria en general por lo que
no es una actividad exclusiva del ámbito escolar. Dentro del ámbito escolar los ejemplos de rutina son
variados: las rutinas de formación antes de entrar a clase, los saludos protocolares, el aseo del aula,
los recreos,etc. Los mismos profesores estructuran sus clase en base a rutinas: revisión de cuadernos,
recuperación de saberes previos, planteamiento de una situación problemática,evaluación, repaso,
etc. Las rutinas son el marco de referencia que organiza nuestro día y nos proporciona un sentimiento
de pertenencia, posesión y predictibilidad, todo lo cual crea un medioambiente de aprendizaje seguro
para el estudiante.3
Es en este ambiente seguro y predecible donde, paradójicamente, el estudiante está
más dispuesto a asumir riesgos y probar nuevas cosas. La cuestión es entonces re-definir las rutinas
con en fin de encaminarlas hacia el pleno desarrollo del sentido numérico innato de los niños.
Las características de una buena rutina según Jessica Shumway son:
• Proporciona experiencias diarias sobre el sentido numérico
 Incluyen discusiones acerca de los números y la relación entre ellos
 Responde la conocimiento actual que poseen los alumnos
 Se basa en el sentido numérico de los alumnos
 Alienta a los alumnos a jugar con los números y a enriquecer su
pensamiento matemático
 Ayuda a los estudiantes a conectarse con las grandes ideas de las
matemáticas

40
▶ Materiales: tarjetas con figuras de puntos ordenados de distintas maneras o en grupos
▶ Las tarjetas pueden estar ordenados en base al número dos, cinco o diez o en forma similar a los dados o
los dominós
▶ Mostrar la tarjeta rápidamente, dándoles de 3 -5 segundos para que los estudiantes puedan visualizar la
cantidad
▶ Preguntarles a los estudiantes cuantos puntos ven
▶ El profesor/a deberá alentar a los alumnos a contar los puntos agrupándolos en grupos antes que contarlo
de uno en uno
1. Desarrollar la subitazión perceptual
▶ Mostrar al niño las cartas del 1 al 5
▶ 3 puntos: ¿cuentas cada punto o simplemente ves el tres
como un solo grupo?
▶ 5 puntos: ¿cuentas los puntos o simplemente ves una
cantidad? (algunos estudiantes pueden ver el 5 como una
cantidad completa; otros pueden ver el 3 y el 2 y otros el 4
y el 1)
▶ 3 puntos y 1 punto: ¿cuantos puntos ves?
¿como lo ves?
▶ 2 puntos y 2 punto: ¿cuántos puntos ves?
¿cómo lo ves?
2. Enseñar los nombres de los números
▶ Mostrar la carta y decir el nombre del
número
Imágenes rápidas con
tarjetas de puntosRutina 1

41
Construyendo
númerosRutina 9
Esta rutina consiste en hacer que los alumnos escriban un número determinado de todas la maneras posibles.
Para ello pueden utilizarse cantidades, modelos, gráficos y se pueden utilizar las cuatro operaciones básicas.
Pueden ser abiertas o cerradas. En las rutinas abiertas el profesor(a) solamente da el número que debe ser
construido, mientras que en las cerradas se especifican ciertas condiciones que deben cumplirse en la cons-
trucción del número, por ejemplo, piense en una forma de construir este número utilizando tres sumandos, etc...
Esta rutina proporciona una gran oportunidad al estudiante de jugar con las cantidades y las diferentes for-
mas en que estas pueden componerse y descomponerse, entender que el valor de un número depende de su
ubicación, utilizar el número 10 como punto de referencia y las relaciones que existen entre el 1, el 10 y 100.A
continuación un ejemplo de como los alumnos tienen distintas maneras de formar un número determinado.
En este caso se les pidió formar el número 100 de distintas maneras.
1 2
3 4
Basado en Suhumway (2011)

42
Pixel Editora
Lima-Perú
2017

43
• ¿De dónde provienen los números y porque somos capaces de conocerlos y manipu-
larlos? ¿pertenecen a una realidad externa o son simples construcciones artificiales
producto del intelecto humano? ¿en qué momento de la historia empieza a germinarse
este concepto? ¿El concepto de número nació de la experiencia o la experiencia solo
sirvió para hacer explicita algo que ya existía en las mentes primitivas?
• ¿Por qué la habilidad para estimar las cantidades tiene una utilidad adaptativa? ¿Ani-
males como la hormiga o los peces pueden tener tal habilidad? ¿Es posibles que los
animales puedan realizar operaciones aritméticas elementales, sin el lenguaje y sin un
entrenamiento explícito?
• ¿Los bebes son sensibles a las propiedades numéricas de los conjuntos de la misma
forma que lo son algunas especies de animales? ¿bajo qué formatos representan estas
cantidades? ¿son capaces también de manipular estas representaciones, es decir, son
capaces de realizar operaciones aritméticas?
• ¿Existen regiones cerebrales en el cerebro humano que sustenten el procesamiento
numérico? ¿Por qué algunas personas son incapaces de realizar operaciones tan sim-
ples como 3-1 o 7 x 8? ¿Cuáles son las diferencias neuronales de un niño comparado
con la de un adulto, en lo que respecta al procesamiento numérico? ¿Cuáles son las
regiones involucradas cuando resolvemos un problema matemático?
• ¿Por qué se considera que el conocimiento numérico no simbólico es la base de las
matemáticas avanzadas? ¿Por qué nos resulta tan difícil aprender la tabla de multipli-
car? ¿Por qué los chinos son tan buenos para las matemáticas?
Estas son solo algunas de las preguntas que este libro trata de responder. Rubén Espinoza
Cóndor (Junín, 1970), profesor de matemáticas y traductor, con estudios de Ingeniería
Electrónica en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos proporciona en este libro
las evidencias de que el ser humano posee un sentido numérico innato que le permite
representar y procesar los estímulos numéricos presentes en el medio ambiente, el cual es
compartido con otras especies de animales y que, en los seres
humanos, se manifiesta en etapas tan tempranas como a los
pocos días de nacido. También demuestra que nuestro cerebro
posee una región específica para el procesamiento numérico,
que el sentido numérico es independiente del lenguaje y la
educación, y que este sentido, primigenio y primitivo, es el
sustento para el desarrollo de las matemáticas superiores. Para
recoger estas evidencias ha consultado cientos de artículos
científicos provenientes de distintas áreas del conocimiento
humano que van desde la neurología, la biología, la genética,
la etología hasta la matemática cognitiva y la educación, pa-
sando por la lingüística y la filosofía, entre otros.
Correo electrónico: ruben_espincond@hotmail.com

El sentido numérico: Una guía esencial

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