Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE CIENCIAS DE LA SALUD
PROGRAMA DE INGENIERIA BIOMEDICA
UNIDAD CURRICULAR: CALCULO NUMERICO.PROF.ING.GILBERTO ISEA DELMORAL MSc.
Gilbertoisea760@gmail.com
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
Una de las funciones más útiles y de fácil manipulación son los polinomios ya
que estas son fáciles de derivar y de integrar, además los resultados son
también polinomios. La expresión ⋯
con 0, representa un polinomio entero en x de grado n (entero no
negativo) y a0, a1,. . ., an son constantes reales o complejas.
Una razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones
continuas. Dada cualquier función definida y continua en un intervalo
cerrado, existe un polinomio que se encuentra tan “cerca” de la función
como se desea.
Acá estudiaremos tres métodos numéricos para encontrar polinomios que
nos permitan aproximar e interpolar funciones más complejas, además estos
métodos nos permiten describir o ajustar un polinomio a cierta serie de datos,
estos son los siguientes:
• Método de Interpolación de Lagrange.
• Método de las Diferencias divididas de Newton.
• Interpolación cuadrática.
Método de Interpolación de Lagrange.
Este método consiste en construir un polinomio interpolador de grado n que
pasa por los (n+1) puntos de la forma:
El polinomio está dado por:
Para k=0, 1,2,…, n se obtiene:

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A continuación mostramos el desarrollo del polinomio de Lagrange hasta el
grado dos:
El polinomio de Lagrange de grado 1 representa la recta que pasa por los
puntos , , y tiene la forma:
El polinomio de Lagrange de grado 2 representa la Parábola que pasa por
los puntos , , , y tiene la forma
Suponga que Pn(x) es el n-ésimo del polinomio de Lagrange que concuerda
con la función f en los nodos, las diferencias divididas se usan de f se usan
para expresar Pn(x) en la forma:
Donde , , , … , son constantes.
Para luego hacer el respectivo proceso de demostración hasta llegar al
polinomio de grado 3.
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Ejemplo.
Encuentre un polinomio interpolante de grado 2 que aproxime la función
e interpole el valor para x = 3 en la siguiente tabla de datos.
x F(x)
2 ½
2.5 1/2.5
4 1/4
Aplicando el método de Interpolación de Lagrange para n =2 tenemos que

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x F(x)
2 ½
2.5 1/2.5
3 0.325
4 1/4
Como se observa, el resultado obtenido de la resolución de la ecuación,
coincide en la tabla de valores del enunciado del ejercicio.
Luego se determina el error de la siguiente manera:
Un error porcentual de 2,5 %, es una buena aproximación considerando que
la hemos hecho con un polinomio de grado 2.
Ejercicios propuestos.
1. Construya los polinomios interpolantes de Lagrange para la función
en los puntos x0=0, x1=1/2, x2=1 evalúe en
x=0.75 y Ajuste mediante un polinomio interpolador de Newton con
diferencias divididas y compare los resultados mediante el error
relativo y porcentual.

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2. Ajuste mediante un polinomio interpolador de Newton con diferencias
divididas para la función sin en los puntos x0=-1.5, x1=-0.75,
x2=0, x4=1.5 evalúe en x=1.