Modelo de colas (M/G/1, M/D/1, M/EK/1) con distribución no exponencial

1. MODELO DE COLAS CON DISTRIBUCIÓN NO
EXPONENCIAL
INTEGRANTES:
 LUZBELLA ZAMORA
 STEPHANY FITORIA
 JESSICA MENDOZA
 KARELY JARQUIN
 ALBERTO FUENTES

2. ENFOQUES
Introducción
Modelos
Formulas Generales
Etiquetas para distintos modelos
Medidas de desempreño
Ejemplos
Conclusión

3. INTRODUCCION
 Las hipótesis pueden resultar inapropiadas para modelar
determinadas situaciones:
1. Las llegadas programadas a la consulta de un médico.
2. Las colas que se forman cíclicamente en los semáforos de las
ciudades.
3. En el caso del servicio, si el tiempo que requiere cada cliente es mas
o menos constante, por ejemplo en una cadena de montaje.
 Los modelos de colas que se han visto hasta el momento están
basados en los procesos de Nacimiento y Muerte.
 Suponían tiempo entre llegadas y tiempo de servicio de tipo
exponencial

4. MODELOS
 M /G /1: Sistema de líneas de espera con llegadas
aleatorias, distribución general de los tiempos de
servicio, un canal de servicio y una línea de espera.
 M / D/1: Este sistema de líneas de espera es con
llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante,
una línea de servicio y una línea de espera. En este
modelo los tiempos de servicio son determinísticos,
en donde la desviación estándar es igual a cero.
 M / E k /1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos
de servicio.
M/G/
1
M/D/
1
M/EK/
1

5. FORMULAS GENERALES
 𝑃𝑜 = 1 − 𝜌
 𝑃𝑤 = 𝜌
 𝐿𝑞 = λ2 𝜎2 + 𝜌2
2(1 − 𝜌)
 𝐿 = 𝐿𝑞 + 𝜌
 𝑊𝑞 = 𝐿𝑞
λ
 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1
𝜇
𝜌 < 1
 𝑃 = λ
𝜇
 𝐿𝑞 = 𝜌2
2(1 − 𝜌)
 𝐿 = λ. 𝑊
 𝑊 = 𝑊𝑞 + 1
𝜇
 𝑊𝑞 = 𝐿𝑞
λ
 𝐿𝑞 = 𝜌 2 𝑘 + 1
2𝑘 1 − 𝜌
 𝐿 = λ. 𝑊
 𝑊𝑞 = 𝐿𝑞
λ
 𝑊= 𝑊𝑞+1
𝜇
M/G/1 M/D/1 M/EK/1

6. MEDIDAS DE DESEMPEÑO
 1. 𝑃𝑜: Probabilidad de que no haya clientes en el sistema
 2. 𝐿𝑞: Número promedio de clientes en la cola
 3. 𝐿: Número promedio de clientes en el sistema
 4. 𝑊𝑞: Tiempo promedio de espera en la cola
 5. 𝑊: Tiempo promedio de espera en el sistema
 5. P: Factor de utilización del sistema
Notación de Kendall: A/B/c
 A: Distribución de tiempos entre llegadas
 B: Distribución de tiempos de servicio
 M : distribución exponencial
 D: distribución degenerada
 Ek: distribución Erlang
 c: Número de servidores
ETIQUETAS PARA DISTINTOS MODELOS

7. Un lavado de autos puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es
de 9autos/hora. 𝜎 = 2 𝑀𝑖𝑛 Obtenga; a) Las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/G/1 b) Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema c) La
probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. a)
𝐿𝑞 = 0. 152 + 0.752 =
0.6525
5
= 1.31 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
2 1 − 0.75
𝑊 = 8.7 +
1
2
= 13.7 𝑀𝑖𝑛
𝐿 = 1.31 + 0.75 = 2.06 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
b)
𝑃 = 1 − 0.75= 0.25
c)
𝑃 𝑤=0.75
λ = 0.15
𝜇= 0.2
𝑃= 0.75
Datos
𝑊𝑞 =
1.31
0.15
= 8.7 𝑀𝑖𝑛
EJEMPLO M/G/1

8. EJEMPLO M/D/1
Un lavado de autos puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es
de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo
M/D/1
𝐿𝑞 = 0. 752 = 1.125 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
2 1 − 0.75
𝑊 = 7.5 +
1
2
= 7.5 + 5 = 12.5 𝑀𝑖𝑛
𝐿 = 0.15 ∗ 12.5 = 1.875
𝑊𝑞 =
1.125
0.15
= 7.5 𝑀𝑖𝑛
λ = 0.15
𝜇= 0.2
𝑃= 0.75
Datos

9. EJEMPLO M/EK/1
Un lavado de autos puede atender un vehículo cada 5 min, la tasa media de llegadas
es de 9 autos/hora. suponga σ = 3.5 min (aprox.).Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/Ek/1
𝐿𝑞 = 0. 752 2 + 1 =
1.6875
1
= 1.6875 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
2 2 1 − 0.75
𝑊 = 11.25 +
1
2
= 16.25 𝑀𝑖𝑛
𝐿 = 0.15 ∗ 16.25 = 2.4375 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑊𝑞 =
1.6875
0.15
= 11.25 𝑀𝑖𝑛
λ = 0.15
𝜇= 0.2
𝑃= 0.75
Datos

10. CONCLUSION
 Cuando el tiempo de servicio consiste básicamente en la
misma tarea rutinaria que el servidor realiza para todos los
clientes, tiende a haber poca variación en el tiempo de
servicio requerido.
 La teoría de los modelos no exponenciales demuestra que
para alcanzar un estado estacionario es suficiente que la
relación entre tasas de llegadas y tasas de salidas del
sistema por unidad de tiempo sea inferior a la unidad.