Matematica 1º2 b

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58COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do. Año Secundaria MATEMATICA 2do. Año
Secundaria
En la multiplicación así como en la potenciación existen expresiones que pueden escribirse directamente
los resultados teniendo en cuenta ciertos principios. A éstas expresiones se llaman PRODUCTOS
NOTABLES.
01. Binomio al cuadrado
2bab22a2)ba( ++=+ Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto
2bab22a2)ba( +−=− Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto
Efectuar:
=− 2)3y2x( ......................................................................
=+ 2)23( ......................................................................
2
n2xnx 




 − = ......................................................................
=





+
2
a
b
b
a
......................................................................
02. Binomio al cubo
Formas desarrolladas:
3b2ab3b2a33a3)ba( +++=+
3b2ab3b2a33a3)ba( −+−=−
Formas abreviadas:
)ba(ab33b3a3)ba( +++=+
)ba(ab33b3a3)ba( −−−=−
Equivalencias de
Cauchy
Efectuar:
=+ 3)1x2( ......................................................................
=





−
3
2
3
x ......................................................................
=




 −−
3
n1xnx ......................................................................
03. Producto de la suma por diferencia
2b2a)ba)(ba( −=−+ Resulta una diferencia de cuadrados.
Efectuar:
(x+3)(x-3) = ......................................................................
( ) =−+ )35(35 ......................................................................
=




 +




 − x2xx2x ......................................................................
(a + b + c + d)(a + b – c – d) = ......................................................................
04. Producto de dos binomios con un término común
abx)ba(2x)bx)(ax( +++=++ Equivalencias de Stiven
Efectuar:
(x+5)(x+8) = ......................................................................
(2x-3)(2x+7) = ......................................................................
)33y()93y( −+ = ......................................................................
(a+b+5)(a+b-3) = ......................................................................
05. Producto de un binomio por un trinomio
3b3a)2bab2a)(ba( +=+−+
S2MA32B “El nuevo símbolo de una buena educación…” S2MA32B “El nuevo símbolo de una buena
educación…”
PRODUCTOS NOTABLES Y

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Secundaria
3b3a)2bab2a)(ba( −=++−
Efectuar:
(x+2) )4x22x( +− = ......................................................................
=





++





−
3
4
3
10
3
25
3
2
3
5 ......................................................................
=




 +−




 + x4x6x9x2x3 ......................................................................
(xy+z) =+− )2zxyz2y2x( ......................................................................
06. Trinomio al cuadrado
Forma desarrollada:
bc2ac2ab22c2b2a2)cba( +++++=++
Forma abreviada:
)bcacab(22c2b2a2)cba( +++++=++
Efectuar:
=+− 2)3yx2( ......................................................................
( ) =−+
2
5232 ......................................................................
07. Trinomio al cubo
Forma desarrollada:
abc6b2c3a2c3c2b3a2b3c2a3b2a33c3b3a3)cba( +++++++++=++
Forma abreviada:
)cb)(ca)(ba(33c3b3a3)cba( ++++++=++
Efectuar:
=++ 3)x3x21( ......................................................................
EQUIVALENCIAS IMPORTANTES
08. Equivalencias de Legendre
)2b2a(22)ba(2)ba( +=−++
ab42)ba(2)ba( =−−+
Ejemplos:
=−−+ 2)2x(2)2x( ......................................................................
( ) ( ) =−++
2
25
2
25 ......................................................................
09. Equivalencia de Lagrange
2)bxay(2)byax()2y2x)(2b2a( −++=++
Ejemplo:
=++ )92n)(42m( ......................................................................
10. Equivalencia condicional
A) Si: a + b + c = 0, se demuestra que:
⇒ 2c2b2a ++ =- 2(ab+bc+ac)
⇒ 3c3b3a ++ = 3abc
⇒ (ab + bc + ac)2
= (ab)2
+ (bc)2
+ (ac)2
B) Si: a2
+ b2
+ c2
= ab + bc + ac ∀ a; b; c ∈ R
Se demuestra que: a = b = c
educación…”

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Secundaria
EJERCICIOS DE CLASE
01. Indique la igualdad correcta:
a) )ba)(ba(2)ba( −+=+ b) 2b2a)ba)(ba( +=−+
c) 2c2b2a2)cba( ++=++ d) 8a63a3)2a( +−=−
e) 3a1)1a2a)(1a( +=+−+
02. Efectuar: x2)1x(22)2x( ++−+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
03. Hallar: 3)21(143)22(5 +−+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04. ¿A qué es igual: xy42)yx( +− ?
a) x-y b) x+y c) yx − d) yx + e) xy
05. Reducir: 4 8b)ba)(4b4a)(2b2a)(ba( +−+++
a) a b) 2a c) b d) 2b e) ab
06. Efectuar y simplificar: 


 −+−+ )153(2)35(2)35[(
a) -40 b) 30 c) 15 d) -15 e) N.a.
07. Efectuar:
2
b
a
b
a
b
a








+
a) a+b b) ba + c) 2 ab d) 4ab e) a/b
08. Si el producto de 2 números es igual a 1 y su suma es 4, hallar la suma de sus cuadrados.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
09. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados.
a) 21 b) 19 c) 18 d) 15 e) 12
10. Después de efectuar y simplificar:
)xx1()xx1()xx1()x1(xM
18963227
++++++−+=
se obtiene:
a) 1 b) -1 c) 3x d) 9x e) 27x
11. Efectuar:
)6x2x)(2xx9()x32x)(6x2x( −+++−++++
a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45
12. Si: a + b = 5; ab = 2.
Hallar: S =
2b2a
3b3a
+
+
a) 21/95 b) 95/21 c) 21/17 d) 17/21 e) 19/21
13. Si: 3
2
n
1
n =





+ . Hallar: 3n
13n +
a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) No se puede
determinar
14. Calcular: E = xy + xz + yz. Si: 292z2y2x =++ ∧ x + y + z = 9.
a) 26 b) 20 c) 81 d) 52 e) 16
educación…”

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15. Si: a + b = 5 ; 2b2a + = 17. Hallar a – b; si a > b.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16. Suponiendo que: x + y + z = 0, entonces el valor de:
xy
2z
xz
2y
yz
2x
++
a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) N.A.
17. Calcular : E = 6
x
1
x4
2x
12x +





+−+
a)
x
2)1x( − b)
x
2)1x( + c) 2)1x(
x
−
d)
1x
x
−
e)
x
1x −
18. Simplificar:
2y2x
2)bxay(2)byax(
+
−++
a) a b) 2b2a + c) ab d) abxy e) 2b2a
19. ¿Cuánto vale “m” si se sabe que la siguiente expresión: 25x9m82mx +++ es un
trinomio cuadrado perfecto
a) - 4 b) 0 c) 7 d) 16 e) 27
20. Hallar: E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), para x =
2
55 −
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Simplificar: 




 +−








−




 + 18n2xn2x
2
nx6
2
3nx
a) 81 b) n4x c) 9
2nx + d) 9n2x + e)N.A.
02. Simplificar: 932x2x213.213 −




 +




 −+−
a) 2x13 − b) 4x c) 4 - 2x d) 2x4x − e) N.A.
03.Simplificar:
2)bxax(]ab)ax)(bx[(]ab)bx)(ax[( −++−++−+
a) 2b2a4x ++ b) 2a4x + c) 2b4x − d) 4x e) N.A.
04. Si: x + y = 6, el valor de:
M = y12x12xy62y32x3 −−++ , es :
a) 48 b) 36 c) 30 d) 28 e) N.A.
05. Efectuar: A = 2975843629768436 −
a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951 d) 14 863 951 e) 26 873 951
06. Simplificar:
3 3
71
3
491
3
7 





−+





+
a) 7 b) 12 c) 11 d) 0 e) 8
07. ¿Cuál es el valor de: 2r - 2 r – 2.
Si: r = 2 + 1
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) - 2
08. Si: ab = 4; a + b = 3.
Calcular: 2b2a +
a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 6
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09. Si: a + b = ab = 3. Obtener: 3b3a +
a) 0 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81
10. Evaluar: 8)mn2(n42)n3m( +−−− , si sabemos que m – n = 8.
a) 32 b) 40 c) 72 d) 64 e) 90
11. El resultado de: 1)1n2(32)1n2(33)1n2( ++++++ es equivalente a:
a) 8n2 + b) 8n8 + c) 3)2n2( + d) 6n6 +
e) N.A.
12. Efectuar:
)n2nn2n(22)nnnn(2)nnnn( −−−−++−−
a) nn2 b) nn2 − c) n2n4 d) - n2n4 e) n2n4 −
13. Si: a + b + c = 3 , 92c2b2a =++ .
Calcular: E = 2)cb(2)ca(2)ba( +++++
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
14. Efectuar: (1+ )2361()236 −−+++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Si: a + b + c = 3 ; 93c3b3a =++ . Obtener: N = (a+b)(b+c)(a+c).
16. Calcular: ( ) ( )532532 −+++
a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5 d) 2 6 e)
2
17. Sabiendo que: a + b + c = 4; 2c2b2a ++ = 6. Hallar: ab + ac + bc.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
18. Dados: x + y = 3 ; 93y3x =+ . Luego xy resulta.
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
19. Calcular el valor numérico de:
N = 2y3xy52x3 +− . Si: x = 12 + ; y = 12 −
a) 5 b) 0 c) –3 d) -9 e) 13
20. Luego de efectuar: 8
1)82)(10)(4(2 +
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
TAREA DOMICILIARIA
01. La sexta potencia de: 3232 −++ es:
a) 4 b) 64 c) 81 d) 27 e) 216
02. Si: p2)Kx(2x32x +−≡+− . ¿Cuál es el valor de P?
a) – 1/4 b) 2 c) 3 d) -2 e) 1
03. Si: a + b + c = 0.
Calcular: E =
abc9
3c3b3a ++
a) 0 b) 1 c) 3 d) 1/3 e) 1/9
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04. Efectuar:
)6x2x()9x2x()3x2x()6x2x( −+++−−+++
a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45
05. Conociendo que:
ax + by = 8
ay – bx = 6
52b2a =+
Calcule: 2y2x +
a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25
06. Si: a + b = 6 ; 302ba =+ . Hallar:
a
2b
b
2a
+ .
a) 54 b) 52 c) 48 d) 36 e) 45
07. Efectuar: )4x)(3x)(2x)(1x(2)5x52x( +++++++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. Si: a – b = b – c = 2, hallar el valor de: acbcab2c2b2a −−−++
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20
09. Si se cumple que:
x
y2
y2
x
+ = 2. Calcular:
8
y
x






a) 1 b) 256 c) 1256 d) 162 e) 0 Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente dadas otras dos denominadas
dividendo y divisor de modo tal que se cumpla:
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
De donde:
D(x) : dividendo
d(x) : divisor
q(x) : cociente
r(x) : resto o residuo
educación…”
LA DIVISIÓN

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I. Ley de Signos
(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (-) = +
(-) ÷ (+) = -
II. Ley de Exponentes
Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente resultante la
diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Ejemplo:
nma
na
ma −= 8x210x
2x
10x
=−=
III. Clases de División
a) División exacta:
Si: r(x) = 0 ⇒ D(x) = d(x) . Q(x)
En este caso, también se afirma que D(x) es divisible por d(x).
b) División inexacta:
En este caso, el residuo no es nulo; r(x) ≠ 0
IV. Métodos para dividir polinomios
A. Método Clásico
Pasos a seguir:
1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma
descendente), en caso falte un término, este se completa con un cero.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose
el primer término del cociente. Luego éste se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y se coloca con el signo cambiado, debajo de cada término del dividendo, sumando
luego ordenadamente el producto obtenido con el dividendo.
3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que
el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o
en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo.
Ejemplo:
Dividir: 6x222x384x55x6 +−++ entre 1x32x2 +− .
Solución:
+38x -22x+66x
5
+5x
4
+0x 3 2 2x -3x+12
-6x
5
+9x
4
-3x3
14x 4 2
+38x-3x3
-14x 4 2
-7x+21x
3
18x 2 -22x- 31x
3
-18x 2
-9x+27x
3
-4x
2
+6- 31x
4x2
+ 2+6x
-37x + 8
r(x)
3x +7x3 +9x- 22
Q(x)
Luego: Q(x) = 2x9x7x3 23 −++
r(x) = - 25x + 8
B. Método de Horner
Se recomienda cuando el polinomio divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los
coeficientes de los polinomios ordenados y completos. Dichos coeficientes se distribuyen en un
cuadro como el siguiente:
D I V I D E N D O
I
V
I
S
O
R
C O C I E N T E R E S I D U O
El procedimiento se detalla a continuación:
1. Se anotan los coeficientes del dividendo en la parte superior del cuadro en forma horizontal
(ordenados y completos)
2. Se anotan los coeficientes del divisor en la parte izquierda del cuadro en forma vertical con
los signos cambiados a excepción del primero.
3. La línea de trazos no continuos separa al cociente (Q) del residuo (r) y para su trazo se
considera el grado del divisor: se cuentan tantos espacios como grado tenga el divisor, desde
la columna final (extremo derecho).
4. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente de (D) entre
el primer coeficiente de (d).
5. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de
signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia
la derecha.
educación…”

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6. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide
entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la
última columna del dividendo.
7. Para acabar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que
conformará los coeficientes del polinomio residuo.
Ejemplo:
Dividir: 7x122x253x134x205x6 +−+−− entre 1x2x3 +−
3
+1
-1
+2
6 -20 -13 25 -12 7
-2
-6 +6
-7 +7
+8 -8
2 -6 -7 8 3 -1
dos columnas porque el divisor
es de 2do grado.-21-18
÷
24
Q(x) = 8x72x63x2 +−−
r(x) = 3x - 1
C. Método de Ruffini
Se emplea para dividir polinomios entre divisores de la forma: ax ± b, o cualquier expresión
transformable a ésta.
Pasos a seguir:
1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable. En caso falte este
se completa con cero.
2. En caso hubiesen dos o más variables se considera sólo a una de ellas como tal y las demás
harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes
del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable
y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del esquema.
3. Se baja el primer coeficiente del (D) siendo este el primero del (Q). Luego se multiplica por
el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.
4. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última
operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del (D). Llegado este momento se
reduce la columna que falta y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer
al resto, y éste siempre será un valor numérico.
Esquema Gráfico:
D I V I D E N D O
C O C I E N T E
R E ST O
x = N
Ejemplo: Dividir: 113x54x3x72x2 +−+− entre x + 2.
Solución: Ordenando el dividendo: 11x72x23x54x3 +−+−
Aplicando el método de Ruffini :
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
3 -5 2 -7
-6 22 -48
11
110
1213 -11 24 -55
-2
x
Q(x) r(x)
Luego: Q(x) = 55x242x113x3 −+−
r(x) = 121
V. Teorema del Resto
Este teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar
toda la operación. El divisor debe ser de la forma ax + b o transformable a ella.
Pasos a seguir:
1) Se iguala a cero el divisor, encontrándose un valor para la variable.





 −
=⇒=+
a
b
xbax
2) El valor hallado para la variable se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.





−
=
a
b
Dr
Ejemplo:
Hallar el resto de dividir: P(x) = 3x2
+ x + 1 entre 2x – 4.
Procedemos así:
1) Igualamos a cero el divisor: 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
2) Sustituimos x = 2 en el dividendo: r(x) = P(2).
R(x) = 3 2)2( + (2) + (1) = 15∴ El resto es 15
educación…”

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EJERCICIOS DE CLASE
I. Efectuar por el método clásico
1.
5x3x4
19x212x53x4x2
−+
−+−+
2.
5x22x3
9x182x73x54x6
++
+−+−
3.
2x52x3
18x152x3x4x6
++
++++
4.
6x22x3
8x282x413x224x15
++
++++
II. Efectuar por el método de Horner
1.
6x32x2
14x442x293x134x2
++
++++
2.
3x52x
13x82x33x134x3
+−
+−+−
3.
3x32x7
5x82x103x54x21
+−
++++
4.
3x42x2
15x132x403x324x8
−+
−+++
5.
5x62x2
11x92x53x104x6
+−
++−−
III. Efectuar por el método de Ruffini
1.
1x
9x72x33x
−
−+−
2.
1x
1x92x54x2
+
++−
3.
2x
32x73x94x5
−
−+−
4.
3x
21x52x43x34x
−
−−+−
5.
1x2
9x32x43x4
+
++−
6.
2x5
2x72x53x64x15
−
−+−−
IV. Ejercicios aplicativos de los métodos estudiados.
1. Calcular A + B , si la división:
1x22x3
BAx2x253x164x6
++
++++
es exacta.
2. Calcular B - A , si la división:
7x32x3
BAx2x204x6
−−
++−
es exacta.
3. Calcular A . B , si la división:
2x32x4
B2Ax3x34x20
++
+++
es exacta.
4. Calcular A - B , si la división:
5x32x2
BAx2x133x124x12
+−
−++−
deja como resto 4x +
5.
5. Calcular A . B , si la división:
Ax32x4
Bx102Ax43x74x20
−+
+−++
deja como resto 3x -
1.
educación…”

57
Secundaria
6. Calcular A+B+C, si la división:
32x3x2
CBx2Ax3x45x8
++
++++
deja como resto 2x5
+11x+7.
V. Teorema del Resto.
Calcular el resto de dividir:
1.
1x
9x52x73x
−
+−+
2.
1x
1x52x83x94x
+
−−+−
3.
2x
9x72x327x228x
+
+−++
4.
12x
x9x73x4x25x
+
−+−+
5.
25x
1x4x15x318x221x
−
++−+−
6. Calcular “a” si la división
1x
2x)1a(7x
+
−++ es exacta:
01. El resto de la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) se obtiene
sustituyendo en el polinomio dado:
a) la “x” por –a b) la “x” por a
c) (x-a) por (x+a) d) “a” por 1
e) N.A.
02. En una división por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado:
1 6 b 12
a -8 c
e
-4
01 4 5 d
-2
Hallar: a + b - c + d – e.
a) -11 b) 13 c) 18 d) 19 e) -15
03. Al dividir: 6x242x333x264x55x6 +−+−+ entre 1x33x2 +− la suma de los
coeficientes del cociente es:
a) 11 b) 3 c) 13 d) 14 e) 15
04. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta:
2x2x5
bax2x153x114x5
−−
+++−
a) a = 1 b) a = c) a = 1 d) a = 4 e) N.A.
b = 5 b = - 6 b = - 6 b = 7
05. Al dividir P(x) = 27a1628x829x ++ entre (x - a) el residuo es cero (0). ¿Cuál es el valor de
a?
a) -4 b) 8 c) 1 d) 4 e) 2
06. Calcular a + b, si la división:
1x2x
bax2x53x34x
+−
+++−
deja por residuo 7x + 8.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17
07. ¿Qué valor debe tomar “r” para que el polinomio: rxyy2x23x2 +−+ sea divisible por
x+y?
a) 2y b) - 2y c) 2y d) –2y e) - y
08. Al dividir:
bx
abx2ax3
+
−+ ; b ≠ 0, se obtuvo de resto 7, y además el término independiente del
cociente es: (-2 ab). Calcular a + b.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
educación…”

57
Secundaria
09. Calcular el resto que resulta al dividir:
1x2
15mx62x43x8
−
+−+ sabiendo que la suma de
coeficientes del cociente es 37.
a) 40 b) -40 c) 3 d) 42 e) 44
10. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo este esquema:
a
b
c
2
6 e f g h
-2
3
2 3 1 -4
2-1d
j
4
-3 6
1
-2 5
Determinar la suma de coeficientes del dividendo:
a) -4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4
11. Calcular el residuo de dividir: x4x32x74x25x57x ÷++−++
a) 0 b) -4 c) 4 d) 2 e) -2
12. Calcular el residuo de dividir:
12x
6223x)223(5x
+−
++−+
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 3
13. Calcular m+n, si 1nx2mx3x +++ es divisible entre x-1.
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2
14. Calcular el resto de dividir:
1x52x
25)3x)(2x)(1x(
+−
+−−−
a) 3x + 1 b) 4x + 2 c) 5x + 20 d) 6x - 3 e) 7x – 1
15. El residuo de dividir 20x52x3x3 +−+ entre x + 2 es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10
16. Hallar m sabiendo que el resto de dividir: mx42x23x)1m( +−++ entre (x+2) es 1.
a) -1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 3/2
17. Hallar el residuo de la división: 60x222x1733x504x75x2 +−−−+ entre 2x -
2x+15.
a) 0 b) x-1 c) 2x+4 d) 2x-4 e) x+4
18. En el esquema de Horner mostrado determine el valor de: α = (m+n+p) – (a+b+c).
1
m
2
9
3 a 1 b c
d
e
f
g h
n -2 p 4 -3
a) 5 b) 1 c) –2 d) 0 e) N.A.
19. Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por la regla de Paolo
Ruffini.
A B C D
1 3 5
E
7
ea b c d
-1
F
9
0
a) -5 b) -10 c) –25 d) -50 e) -100
20. Si en la división siguiente:
1x2x
aax2x23x4x3
−+
+++−
el residuo no es de primer grado. Hallar
dicho residuo.
a) -9 b) 13 c) 22 d) 18 e) 24
TAREA DOMICILIARIA
educación…”

57
Secundaria
01. Calcular A/B si la división:
2x32x3
BAx2x54x3
++
+++
es exacta:
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 2/3 e) 3/2
02. Calcular el resto en
a2x
7a7x7)ax(
+
−−+ :
a) 0 b) - 7a64 c) 126 7a d) 128 7a e) - 126 7a
03. Dividir: 5x10x15x20x −−+ entre 5x10x15x −+ . Dar la suma de coeficientes del
cociente.
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2
04. Determínese el resto en:
22x
32x45x6x27x313x
+
++−++
a) 36x-21 b) x-1 c) 12x+7 d) 24x-5 e) N.A.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable.
2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable.
3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucran cocientes notables.
PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACION
En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la
aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos.
Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor,
¡ahora! Nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES
NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.
B. CONTENIDO TEORICO
1. COCIENTES NOTABLES
Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma:
ax
ax nn
±
±
, n +∈Z
El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la
división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que
obedecen a una misma ley de formación, de la forma general:
x a
n
±
±
n
x a
Exponente Común
Bases
Podemos extraer las siguientes características:
. El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a
ellos.
. Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.
educación…”
COCIENTES

57
Secundaria
. Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el
número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.
2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE
Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar
combinando adecuadamente los signos.
Primer Caso
ax
ax nn
−
−
Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0 ⇒ x = a
Reemplazamos en el Dividendo: R = nn aa − ⇒ R = 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente notable exacto. Luego el
cociente es:
1n2n23n2n1n
nn
axa....axaxx
ax
ax −−−−− +++++=
−
−
Segundo Caso
ax
ax nn
−
+
Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0 ⇒ x = a
Reemplazamos en el Dividendo: R = nn aa + ⇒ R = na2 ≠ 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto.
Luego el cociente es:
ax
a2
axa...axaxx
ax
ax n
1n2n23n2n1n
nn
−
++++++=
−
+ −−−−−
Tercer Caso
ax
ax nn
+
−
Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x = - a
Reemplazamos en el Dividendo:
Si n es un número par
R = 0
Origina un cociente exacto.
R = nn a)a( −− ⇒
Si n es un número impar
R = - na2 ≠ 0
Origina un cociente completo.
Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par
1n2n23n2n1n
nn
axa.....axaxx
ax
ax −−−−− −+−+−=
+
−
Ocupa lugar par
Si “n” es un número impar
ax
a2
axa.....axaxx
ax
ax n
1n2n23n2n1n
nn
+
−+−−+−=
+
− −−−−−
Ocupa lugar impar
Cuarto Caso
ax
ax nn
+
+
educación…”

57
Secundaria
Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x = - a
Reemplazamos en el Dividendo:
Si n es un número par
R = ≠na2 0
Origina un cociente completo.
R = nn a)a( +− ⇒
Si n es un número impar
R = 0
Origina un cociente exacto.
Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par
ax
a2
axa....axaxaxx
ax
ax n
1n2n34n23n2n1n
nn
+
+−++−+−=
+
+ −−−−−−
Si “n” es un número impar
1n2n34n23n2n1n
nn
axa....axaxaxx
ax
ax −−−−−− +−+−+−=
+
+
OBSERVACIONES
Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:
- Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.
- Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: +,
-, +, -, ....
- El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor, obteniéndose 1nx −
- A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1,
mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n – 1).
- El desarrollo es un polinomio homogéneo.
3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE
rq
pm
ax
ax
±
±
Es división notable o inmediata si y sólo si:
n
r
p
q
m
==
Donde: n = número de términos del cociente.
m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ +Z
De la división notable expuesta podemos concluir:
* Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los
exponentes de las variables mencionadas.
* Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r – q).
* Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r).
Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo No. 1
30253206159101251518
53
3521
aaxaxaxaxaxx
ax
ax
++++++=
−
−
G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30
Ejemplo No. 2
151249861231620
34
1824
aaxaxaxaxx
ax
ax
+++++=
−
−
G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15
4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes
notables, sin necesidad de conocer los demás:
Para una división de la forma:
educación…”

57
Secundaria
1n2n
k
23n2n1n
nn
axa...T....axaxx
ax
ax −−−−− ±±+±±+±=
±
±
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
1 2 3 k n-1 n
1kkn
k axSignoT −−=
El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar.
* Cuando el divisor es de la forma (x – a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+).
* Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será :
(-) Si el lugar que ocupa es PAR.
(+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Ejemplo 1.
Hallar el octavo término del desarrollo de:
65
7260
yx
yx
+
−
Resolución:
1kkn
k axSignoT −−=
Cómo el divisor es de la forma (x+a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el sino será negativo (-).
1868125
8 )y()x(T −−−=
4220
8 yxT −=
Ejemplo 2.
Calcular el valor de “n” en:
3n21n
n54n4
yx
yx
−+
+
+
−
, para que sea un cociente notable.
Resolución:
3n2
n5
1n
4n4
−
=
+
+
⇒
3n2
n5
)1n(
)1n(4
−
=
+
+
⇒ 8n – 12 = 5n ⇒ 3n = 12
4n =
Ejemplo 3.
Si el grado del octavo término del cociente notable:
1x
1x
3
n
−
−
, es 12, hallar el número de términos de
su desarrollo.
Resolución:
Número de términos será: n/3
2418
8
3
n
3
8 x)1(xT −−
−
=



=
Luego: n – 24 = 12.
36n =
Luego, el número de términos será 12.
Ejemplo 4.
¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?
74
280160
yx
yx
−
−
Resolución:
Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.
1k7k404
K )y()x(T −−=
G A kT = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153.
Por dato del problema: G.A. kT = 252
3k + 153 = 252
33k =
PRACTICA DE CLASE
En su cuaderno de trabajo y con ayuda de sus compañeros de grupo efectúe los siguientes ejercicios.
1. Hallar los cocientes de las siguientes divisiones notables.
educación…”

57
Secundaria
a)
1x
1x
2
8
−
−
b)
1x
yx 55
−
+
c)
b3a2
b81a16 44
−
−
d)
2x
32x
3
15
−
+
e)
23
1421
y2x
y128x
+
+
f)
325
151025
zyx
zyx
+
+
2. Hallar el término que se indica en cada uno de los desarrollos de las divisiones notables.
a) 12T de :
32
213142
yx
yx
−
−
b) 15T de :
45
280350
yx
yx
+
−
3. Dado el cociente notable:
75
nm
yx
yx
−
−
Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos.
4. Encontrar el cociente de dividir el 5T entre el 10T del siguiente desarrollo:
2573
348511951
nmba
nmba
−−
−−
−
−
5. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo:
54
n5n4
yx
yx
−
−
6. Si la expresión:
2n1n
)6n(53n5
yx
yx
+−
++
−
−
Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo.
7. En el desarrollo de:
35
93155
yx
yx
+
+
Existe un término cuyo grado absoluto es 122. Hallar la diferencia entre los exponentes de “x” e
“y” en dicho término.
8. Simplificar:
P =
1xx.....xxx
1xx.....xxx
36171174177
36351354357
++++++
++++++
01. Indique la división que dio origen al cociente notable:
x4n – 2
- x4n – 4
+ x4n – 6
- ....+ x2
- 1
a)
1x
1x
2
n4
+
+
-1 b)
1x
1x
4
n4
−
−
c)
1x
1x
2
n4
+
−
d)
1x
1x
2
n4
+
−
e)
1x
1x
2
n4
+
−
02. Sabiendo que uno de los términos del desarrollo notable de:
2
ba
yx
yx
+
+
es –x4
y10
Calcular: ab
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 50
03. Calcular el término idéntico de los desarrollos:
yx
yx
yx
yx
4
1456
34
3648
−
−
∧
−
−
a) 340 yx b) 620 yx c) 930 yx d) 1220 yx e) 340 yx−
04. Calcular el número de términos de términos del cociente notable:
9n8n
3n412n4
yx
yx
−−
−+
−
−
educación…”

57
Secundaria
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
05. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de:
49
80180
zx
zx
−
−
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
06. Hallar α + β en el cociente notable:
43 yx
yx
−
− βα
Si: 2012
7
96
yx
t
tt
=
•
a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.a
07. Hallar el número de términos del siguiente producto:
( ) 1x...xxx(1x...xxK m18m19m20mm19m20 +−+−++++=
a) 31 b) 22 c) 21 d) 28 e) 27
08. Si: xa
y24
es el término central del desarrollo del C.N:
2c
b75
yx
yx
−
−
, el valor de a + b + c, es:
a) 49 b) 73 c) 91 d) 85 e) 89
09. Calcular el número de términos racionales enteros en el cociente notables.
25
3075
yx
xx
−
−
−
−
a) 5 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
10. Hallar la suma de los términos naturales del desarrollo de:
43
2243/22
23
23
+
−
a) 602 b) 160 c) 1602 d) 1702 e) 2403
11. ¿Cuál será el cociente de la división:
2x
32x5
−
−
a) x4
- 2x3
+ 4x2
– 8x + 16 b) x4
+ x3
+ x2
+ x + 2
c) x4
+ 2x3
+ 4x2
+ 8x + 16 d) x4
- 2x3
+ 2x2
- 2x + 16
e) N.a
12. La expresión: an
+ bn
es divisible exactamente entre a – b, cuando:
a) n es impar b) n es cualquier entero
c) n es par d)n es mayor que a + b
e) nunca es divisible
13. Hallar la suma de los polinomios que se obtienen al desarrollar estos cocientes:
ax
ax
;
ax
ax 4444
+
−
−
−
a) 2x3
+ 2a2
x b) 2ax3
+ 4a3
c) x3
+ ax d) x3
- ax +2 e) 4x4
+ 2a3
14. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de:
educación…”

57
Secundaria
y3x2
y243x32 55
+
+
a) 24 b) 52 c) - 34 d) 34 e) 54
15. El número de términos de:
53
ba
yx
yx
−
−
es ocho. ¿Cuál es el quinto término?
a) x20
y9
b) x8
y18
c) x9
y20
d) x18
y8
e) x12
y20
16. Hallar "n" si la división:
2n1n
)6n(53n5
yx
yx
+−
++
−
−
origina un cociente notable
a) x20
y9
b) x8
y18
c) x9
y20
d) x18
y8
e) x12
y20
17. Hallar (m + n) si el T17 del cociente notable:
75
nm
yx
yx
−
−
a) 480 b) 470 c) 460 d) 450 e) 440
18. ¿Qué lugar ocupa el desarrollo del cociente notable:
yx
yx
2
2040
−
−
el término que tiene grado absoluto 34. término?
a) 4to b) 5to c) 6to d) 7mo e) 8vo
19. x12
+ x8
+ x4
+1 es cociente de:
a)
1x
1x
2
16
+
−
b)
1x
1x16
−
+ c)
1x
1x
4
16
−
−
d)
1x
1x
4
12
−
−
e)
1x
1x
4
16
+
−
20. Calcular el t21 en el cociente notable:
20
2
1a1
aa2
−−
−
a) a+1 b) a - 1 c) 1a − d) 1a − e) (a – 1)20/21
TAREA DOMICILIARIA
01. El cociente notable:
23
n39n3
yx
yx
+
++
Calcular el valor numérico del término central para x = 1; y = 2
a) 256 b) 428 c) 512 d) 1048 e) 864
02. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:
yx
yx
3
nn3
−
−
el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38.
El número de términos del desarrollo es:
educación…”

57
Secundaria
a) 12 b) 16 c) 18 d) 25 e) 32
03. Reducir:
1xxx
1x....yx
246
21214
+++
++++
a) x8
+ 1 b) x6
+ 1 c) x5
+ 1 d) x7
+ 1 e) x8
- 1
04. Hallar el número de términos de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos:
15631270 yxyx.... −+
a) 4 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
05. Suponiendo que a169
b36
se encuentra contenido en el desarrollo del cociente:
nn
m2013n21
ba
ba
−
−−
Calcular n – m:
a) 7 b) 13 c) 6 d) 19 e) N.a
06. Si el cuarto término es independiente de x; en el cociente notable:
nn
n2m2
xx
xx
−
−
−
−
Calcular la relación entre n y m.
a)
2
7
m
n
= b) 14
m
n
= c) 1
n
m
= d)
2
7
n
m
= e) 14
n
m
=
07. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:
1x
2)3x( 84
−
−+
a) 256 b) 128 c) 1024 d) 1684 e) 343
08. La siguiente división:
24
28416
3
3
−
−
genera un cociente notable cuyo menor término racional es:
a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1
09. En el cociente notable generado por la división:
3
35335
xx
xx
−
−
¿Cuántos términos son irracionales?
a) 6 b) 30 c) 31 d) 7 e) 29
10. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de:
44
100100
yx
yx
−
−
; es:
a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800
METODOS DEL FACTOR COMUN Y ASOCIACION
OBJETIVOS ESPECIFICOS
educación…”
FACTORIZACIÓ

57
Secundaria
1. Comprender que la factorización algebraica es el proceso contrario a la multiplicación.
2. Aplicar el método del factor común en la factorización de polinomios.
3. Aplicar el método del factor común por asociación, en la factorización de polinomios.
4. Transformar polinomios racionales enteros en una multiplicación de factores (factorización) por
medio de métodos sencillos o por una combinación de éstos.
PROCEDIMIENTOS:
MOTIVACION
Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente
manera:
x(x + y + z) = 2x + xy - xz
Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la
ejecución de una multiplicación, veamos:
2x + xy – xz = x (x + y + z)
De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la
propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
CONTENIDO TEORICO
FACTORIZACION ALGEBRAICA
Factorizar una expresión algebraica racional entera y de coeficientes racionales, es la
transformación equivalente de la mencionada expresión en un producto indicado de potencias de
sus factores primos también racionales enteros y de coeficientes racionales.
Ejemplo: Factorizar: 3 2x +x – 10 = (3x – 5)(x + 2)
Términos del Factores
polinomio
Factor: Es una expresión que forma parte de una multiplicación y que nos conduce a la expresión
dada inicialmente.
Ejemplos:
15 x 11 = 165 → 15 y 11 son factores de 165
A x B = C → A y B son factores de C
2x (x+5) = 23 x5x + → 2x y (x+5) son factores de 23 x5x +
Factor Primo
Es aquel factor que no puede expresarse como la multiplicación de otros polinomios, diferentes de
él mismo y la unidad.
Ejemplo:
4 x 7
Factor
no primo
Factor
primo
x (x+2)( 2y)y2
+
Factor no primo
Factor primo
Factor primo
x y)(x2
+
Factor primo
Factor primo
Factor primo
3 y 2
Los factores primos son: x ; y ; 2x + y. Mientras que 23 y;x no son factores primos.
Observaciones:
Se dice que las factorizaciones se llevan a cabo en expresiones algebraicas primitivas, que conducen a
la obtención de factores primitivos (coeficientes de sus términos, primos entre si).
La definición inicial de factorización se puede ampliar a otros campos de los números, pero dejando
claramente establecido en qué campo estamos trabajando. Por ejemplo, si alguien me pide factorizar
(x – y), la respuesta es no se puede, pero si alguien me pide expresar (x – y) como un producto de dos
factores en el campo de las expresiones algebraicas irracionales, el resultado es:
x – y = (( ) )yxyx +−
Podemos continuar.
x – y = 





++





−
3 233 233
yxyxyx
Podemos continuar.
En la factorización se presentan diversos grados de dificultad inherentes a cada expresión propuesta
para tal fin, por lo que es necesario disponer de un conjunto de reglas, procedimientos o métodos que
permitan la factorización en forma correcta, ordenada y sistemática.
PRINCIPALES METODOS DE FACTORIZACION
Método del factor común
Es posible utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común.
El factor común puede ser un monomio o un polinomio.
educación…”

57
Secundaria
Ejemplo 1.- Factorizar: 233222 yzx8zxy4yzx12 −+
Factor Común Monomio: 2xyz4 . Luego:
)x2yzx3(xyz4yzx8zxy4yzx12 22233222 −+=−+
Ejemplo 2.- Factorizar: 222 z)zyx(y)zyx(x)zyx( +++++−++
Factor Común Polinomio: (x+y+z), Luego, la expresión factorizada es:
(x+y+z)( 222 zyx +− )
Método del factor común por asociación
Consiste en agrupar convenientemente los términos que conforman el polinomio, de tal manera
que se consiga los factores comunes.
Ejemplo: Factorizar: 7625344352678 xyyxyxyxyxyxyxx +++++++
Por simple inspección, vemos que el polinomio tiene un factor común monomio a todos sus
términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus
términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así:
x )yxyyxyxyxyxyxx( 765243342567 +++++++
El polinomio expresado dentro del paréntesis no tiene factor común a todos sus términos;
entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos.
Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así:
x )]yxy()yxyx()yxyx()yxx[( 765243342567 +++++++
)]yx(y)yx(yx)yx(yx)yx(x[x 642246 +++++++
Ahora extraemos el factor común binomio: (x + y)
x(x+y)[ 642246 yyxyxx +++ ]
Volvemos a agrupar convenientemente:
x(x+y) [ )yyx()yxx( 642246 +++ ]
x(x+y) [ )yx(y)yx(x 224224 +++ ]
)yx)(yx)(yx(x 4422 +++
PRACTICA DE CLASE
I. Factorice por el método del factor común.
1. 91187510 yx25yx10yx5 −−
2. 1n1m1n6m2n4m yx3yx5yx ++−+++ −−
3. b)zxy(a)zyx( −−−+−
4. (a+b)(x+y+z) + (a+b)(x-2y-2z)
II. Factorice por el método del factor común por asociación
5. 22 )bxay()byax( −++
6. bppabnnabmam yzzxyyxyxx +−−+− ++
7. 3x3xxx3x 3n3n1n1n2 −+−++ +++
Factorizar cada uno de los siguientes polinomios.
1. 4334 yxyyxx +−− 2. 1xxxxx 23n2n −+−+++
3. 4x4x25x25x36x36 2345 ++−−+ 4.
32222223 abxabxaxaxbabx +−−−+
D. TAREA: Factorizar
1. 3x3xxx3x 3n3n1n1n2 −+−++ +++
2. F(a,b,c,x,y,z) = ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz
3. G(m,n) = n20nm4nm5mn 423324 −+−
4. P(x,y,z) = yzxzzyxyzxyxzyx 222222333 ++++++++
5. E (x,y,z,a) = 2332524224225233 byxbxybyxayxaxyayx −−+−+
6. M(a,b,c) = abcbcabcabcabcacba 323232333222 −−−−++++
7. R(x) = bcdacdxabdxabcxdxacxabxaxa 22222233 +++++++
8. N(x,y,z) =
xyz4)x1)(y1(z)z1)(x1(y)z1)(y1(x 222222 −−−+−−+−−
educación…”
MÉTODO DE LAS

57
Secundaria
Aplicar el método de las identidades en la factorización de polinomios.
PROCEDIMIENTOS
MOTIVACION
En el módulo anterior hemos tenido la oportunidad de estudiar los dos primeros métodos para la
factorización de polinomios. El presente módulo nos va a permitir el estudio de otro método de
factorización, el cual hace uso de identidades algebraicas conocidas (productos notables), tales como:
trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc.
CONTENIDO TEORICO
METODO DE LAS IDENTIDADES
Consiste en dar la forma de un producto notables a la expresión propuesta; para luego factorizar
en base a dicha identidad.
Trinomio cuadrado perfecto
= (A B )+ B
K K 22K
B
K
Raíces cuadradas
Doble producto de raíces
A
2K
AK
+
- B
K
2A
K +
-
B
K
2A
K
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en un binomio al cuadrado.
Es necesario tener en cuenta que donde aparecen cuadrados perfectos, existe la posibilidad
del trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: Factorizar
22422 )y2x3(y4xy12x9 −=+−
↓√ ↑ ↓√
3x 2(3x)(2 2y ) 2 2y
Doble producto
Diferencia de cuadrados
- B = (A + B )(A - BA2K
)2K K K K K
A K
B K
Raíces cuadradas
Expresión factorizada
Ejemplo 01: Factorizar 48 yx −
Solución:
48 yx − = )yx()yx( 2422 −+
↓√ ↓√ ↓√ ↓√
24 yx yx2
Luego: 48 yx − = )yx()yx()yx( 2224 −++
Ejemplo 02: Factorizar 622 zyxy2x −++
Solución:
622 zyxy2x −++ = 62 z)yx( −+ = [(x +y)+z3
][(x+4) – z3
]
↓√ ↓√
(x+y) z3
Luego: 622 zyxy2x −++ = )zyx)(zyx( 33 −+++
Suma y diferencia de cubos
+ B = (A + B )(A - AA3K
)3K K K 2K K
A K
B
K
Raíces cúbicas
B
K + B
2K
( ) ( )
2 2
3 3
+ B = (A + B )(A - AA
3K
)3K K K 2K K
A K
B
K
Raíces cúbicas
B
K + B
2K
( ) ( )
2 2
3 3
educación…”

57
Secundaria
Ejemplo 01: Factorizar 612 ba −
Solución:
612 ba − = 2326 )b()a( − → Diferencia de cuadrados
612 ba − = )ba()ba( 3636 −+ → Suma y Diferencia de cubos
612 ba − = )bbaa)(ba)(bbaa)(ba( 22422242 ++−+−+
Utilizando sumas y rectas (método del pon y quita)
Ejemplo 02: Factorizar 44 y4x +
Solución: 224224 yx4y4yx4x −++
22222 yx4)y2x( −+ → Diferencia de cuadrados
)xy2y2x)(xy2y2x( 2222 −+++
Ejemplo 03: Factorizar 4224 yyxx ++
Solución:
224224 yxyyx2x −++
22222 yx)yx( −+ → Diferencia de cuadrados
)xyyx()xyyx( 2222 −+++
PRACTICA DE CLASE
En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes
ejercicios :
Factorice cada uno de los siguientes polinomios:
1. 224 y4yx4x +−
2. n2nnn2 y9yx12x4 ++
3. 1x8 −
4. 22 )a5bx()b5ax( −−−
5. 12648 y25yxx ++
6. 816 yx4 +
7. 1x12 −
TAREA
Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios:
Factorizar cada una de los siguientes polinomios:
1. zy2zx2yx2zyx 2323246 −−+++
2. )1x)(2x(25x2xx4x 3236 +++++++
3. 222222 zy4)zyx( −−−
4. 222222222 zxzyyx)yxyx( −−−++
5. 4224 yyxx ++
6. 1x2x3x4x 246 −−++
7. 3243336 )1xx()1x()1x()1x2( +−−+++
educación…”

57
Secundaria
1. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa simple en la factorización de
polinomios.
2. Aplicar el método del aspa simple en la factorización de polinomios.
3. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa doble en la factorización de
polinomios.
4. Aplicar el método del aspa donde en la factorización de polinomios.
PROCEDIMIENTOS
MOTIVACION
En el presente módulo, vamos a abordar tres de los métodos más conocidos para la factorización de
polinomios, nos referimos al método del aspa simple, aspa doble y aspa doble especial, el primero de
ellos bastante aplicado en la solución de ecuaciones de segundo grado o convertibles.
CONTENIDO TEORICO
METODO DEL ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
CBxAx nn2 ++ ó m2mnn2 CyyBxAx ++
Ejemplo 1.- Factorizar: 2x15 + 14x – 8.
Resolución:
15x + 14x - 8
2
- 2 = - 6x5x
3x 4 = +20x
+14x
Luego: 2x15 + 14x – 8 =    4)(3x2)-(5x +
Expresión Factorizada.
Ejemplo 2.- Factorizar: 22 y10xy7x +−
Resolución:
x - 7xy + 10y
2
- 5y = - 5xyx
x - 2y = - 2xy
- 7xy
2
Luego:   
)y2x()y5x(y10xy7x 22 −−=+−
Expresión Factorizada.
METODO DEL ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
FEyDxCyyBxAx mnm2mnn2 +++++
Nota: En caso de faltar algún término, se puede completar con cero.
Ejemplo 1.- Factorizar: 6y7x5y2xy3x 22 +++++
Resolución: Apliquemos aspa simple en los tres primeros términos.
x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 6
x
x
2y
yI
Luego descomponemos el último término para formar otra aspa simple:
x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 6
32y
y II 2
Finalmente se forma otra aspa simple con los términos extremos (aspa simple auxiliar).
x + 3xy + 2y2 2 + 5x + 7y + 6
32y
y
III
2
x
x
educación…”
MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

57
Secundaria
Luego los factores se toman en forma horizontal, así:
   2)y)(x32y(x ++++
Expresión Factorizada
OBSERVACION: Aparentemente el proceso anterior es largo, pues la explicación se realizó paso a
paso; en la práctica, las tres aspas simples se pueden realizar en una misma figura (se superponen
las aspas).
Ejemplo 2.- Factorizar: 14y31x41y15yx34x15 2224 +++++
Resolución:
15x + 34x y + 15y + 41x + 31y + 144 2 2 2
5x
3x
3y
5y
2
7
2
2
Luego de comprobar, el polinomio factorizado es:
)7y5x3()2y3x5( 22 ++++
METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomio de una sola variable, generalmente de grado cuatro, pero no
necesariamente, puede tener la forma general:
EDxCxBxAx nn2n3n4 ++++
Nota: La forma de proceder es similar a la del aspa doble.
Ejemplo 1.- Factorizar: 28x3x4x2x 234 −+++
Resolución: En primer lugar descomponemos los términos extremos para formar un aspa simple,
así:
x + 2x + 4x + 3x - 284 3 2
x2
x2
+ 7 = 7x
- 4 = -4x
3x
2
2
2
Si sumamos los productos de multiplicar en aspa, se obtiene 2x3 . Observe en el polinomio que
necesitamos obtener 2x4 . Para obtener lo que se necesita sumamos 2x , que es el término que
desdoblado convenientemente se coloca en el centro de las dos aspas simples:
x + 2x + 4x + 3x - 284 3 2
2x
x2
x
x
+7
- 4
Nótese que al multiplicar en aspa y sumarlos, se obtiene x3yx2 3 , luego tomamos los
factores en forma horizontal y obtenemos la expresión factorizada, así:
)4xx()7xx( 22 −+++
PRACTICA DE CLASE
expresiones polinómicas:
1. 10x11x3 2 ++
2. 15x29x14 24 −−
3. 6324 y21yx32x12 ++
4. 25x75yxy11x26 22 ++−−
5. 3y11xy6xy11x10 22 −−−−+
6. 6x16x21x22x5 234 ++++
7. 12x26x17x7x 234 ++++
TAREA
Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:
1. 8/34/xx2 −+
2. 22 y24xy29x4 −−
3. 11478312 yx4yx68yx64 +−
educación…”

57
Secundaria
4. 1y5xy6yx5x6 224224 −+−−+
5. 2422 y3x9y2xy2x12 −+−+
6. 72x24x2x 248 +−+
7. 1xx14x9x15 nn2n3n4 +−−+
Identificar en qué casos es posible hacer uso del método de evaluación o divisores binomios en la
factorización de polinomios.
Aplicar el método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.
PROCEDIMIENTOS
MOTIVACION
En el presente módulo, estudiaremos un método más para factorizar determinados polinomios,
empezaremos nuestro estudio identificando cuáles son las características que debe reunir un
polinomio para ser factorizado por este método y finalmente detallaremos el procedimiento a seguir
para la factorización de dicho polinomio.
CONTENIDO TEORICO
METODO DE EVALUACION O DIVISORES BINOMIOS
Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, (de preferencia,
el grado debe ser mayor que 2). Además debe aceptar por lo menos un factor de primer grado.
FORMA GENERAL:
NMx....CxBxAx 2n1nn ++++ −−
CONCEPTOS PREVIOS:
TEOREMA DEL FACTOR
De esto se deduce que si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por (x - a).
Observación: En la práctica no se calcula el valor numérico de P(a), sino se divide usando el
algoritmo de RUFFINI.
CEROS RACIONALES DE P(X)
Además, si para x = a, P(a) = 0, entonces; se dice que “a” es un cero de P(x).
El método se fundamenta en buscar los ceros racionales del polinomio; para lo cual,
identificamos los posibles ceros de la siguiente manera:
Posibles ceros (x) =
Divisores término independiente
Divisores Coef. término principal
Ejemplo 1.- Factorizar: 6xx36x4x48 234 ++−−
Posibles ceros = Divisores término independiente (6)
Divis. coefic. término principal (48)
Posibles ceros =
48;24;16;11;8;6;4;3;2;1
6;3;2;1
±±±±±±±±±±
±±±±
Posibles ceros = ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6 ; ;
4
3
;
3
2
;
3
1
;
2
1
±±±± .....
x = 1/2
x = -2/3
x = 3/4
48
48
48
-4
24
20
-32
-12
36
24
-36
10
-26
8
-18
18
0
1
-13
-12
12
0
6
- 6
01
educación…”
Sea P(x) un polinomio, si para x = a se cumple que
P(a) = 0; entonces (x-a) es factor de P(x).
MÉTODO DE EVALUACIÓN O

57
Secundaria
Luego: P(x) = )24x48(
4
3
x
3
2
x
2
1
x +





−





+





−
Finalmente: )1x2)(3x4)(2x3)(1x2()x(P +−+−=
Ejemplo 2.- Factorizar: P(x) = 2x3xx3x 234 −−++
Resolución:
Posibles ceros = Divisores término independiente
Divis. coefic. término principal
Posibles ceros =
1
2;1
±
±±
Posibles ceros = ± 1 ; ± 2
Ahora debemos determinar cuál de estos cuatro valores son ceros de P(x); para lo cual evaluamos el
polinomio para cada valor del conjunto de los posibles ceros, usando el algoritmo de RUFFINI.
P(x) = 2x3xx3x 234 −−++
x = 1
x = -1
1
1
3
1
4
- 1
3
1
4
5
-3
2
-3
5
2
-2
0
-2
2
01 P(1) = 0;
(x-1) es un factor
P(-1) = 0;
(x-1) es un factor
Luego: P(x) = (x-1)(x+1)( 2x +3x+2)
Aplicamos aspa simple
P(x) = (x - 1) (x + 1) (x + 1) ( x + 2)
Finalmente:
)2x()1x)(1x()x(P 2 ++−=
Ejemplo 3.- Factorizar: P(a) = (a+1)(a+3) 2)2a( + – 5 a(a+4) - 27
Resolución:
Efectuando las operaciones indicadas tenemos:
P(a) = )a4a(5)4a4a)(3a4a( 222 +−++++ - 27
Realizamos el siguiente cambio de variable: 2a + 4a = x . Así:
P(x) = (x + 3)(x + 4) – 5x - 27
P(x) = 2x + 7x + 12 – 5x - 27
P(x) = 2x + 2x – 15
x – 3
x + 5
P(x) = (x – 3) (x + 5)
Finalmente regresamos a la variable original. Así:
)3a4a)(5a4a()a(P 22 −+++=
Ejemplo 4.- Factorizar: P(x) = 1a2a3a4a 246 −−++
Resolución:
Cuando el grado es par, formaremos un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta
situación se formará una diferencia de cuadrados.
Para formar el trinomio cuadrado perfecto reemplazamos: 2a3 por 22 aa4 − . Luego:
P(a) = 1a2aa4a4a 2246 −−−++
Trinomio Cuadrado Perfecto
P(a) = )1a2a()a2a( 223 ++−+
Trinomio Cuadrado Perfecto
P(a) = 223 )1a()a2a( +−+
Diferencia de cuadrados
P(a) = )1aa2a)(1aa2a( 33 −−++++
)1aa)(1a3a()a(P 33 −+++=
PRACTICA DE CLASE
educación…”

57
Secundaria
expresiones polinómicas:
1. 10x3x6x 23 −++
2. 6x5x2x 23 −−+
3. 12x26x17x7x 234 ++++
4. 72x24x2x 24 +−+
5. 1xx14x9x15 234 +−−+
6. 6x16x21x22x5 234 ++++
7. x12
– 1
TAREA
Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:
1. 30x19x3 −−
2. 48x40x11x 23 +++
3. 9x18x8x2x 234 −−−+
4. 40x42x5x6x 234 +−−+
5. 60x52x27x17x3x 2345 ++−−+
6. 5x17x8x12 23 −−−
7. 1xx14x9x15 234 +−−+
PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO
Haz uso de tu habilidad e ingenio en la solución de los siguientes ejercicios.
I. Factorizar por el Método común
1.1 Factorización de un polinomio con factor común monomio.
1. 8x2
y + 6x3
yz – 10 xy2
w.
2. 2.4ab2
– 1.8a3 b
– 0.9 ab
3. 12x3
y2
z3
- 15x3
yz3
– 6 x2
y3
z4
+ 9x3
y5
z3
4. (2/ 6)x2
y2
+ (4/ 9)x3
yz + (8/ 15) (xyw)
5. - 48ab3
+ 64a3
bx – 16 a2
b2
x2
6. 0.8x2
y2
- 1.6xy3
+ 0.4 xy
7. 3xa
+ 2xa + 1
– xa + 2
8. 3xa + 3
+ 21x3a
– 14 xa + 2
1.2 Factorización de un polinomio con factor común polinomio.
1. 8a2
(x – 2)4
+ 16a3
(x – 2)2
- 24a5
(x – 2)3
2. 5x (2a – 7b) – 2a + 7b
3. 5x2
(a + b – 3c) – 2x3
(3c – a- b)
4. 9ab2
y3
(x2
– z2
) – 5a2
by2
(x2
- z2
)
5. - 6x2
+ 9y2
+ 4w(2x2
– 3y2
)
6. (a + b) (5x – 2y – z) – (a – 2b) (2y + z – 5x)
7. 3x (2a – b + 3c) – 5y (b – 2a – 3c)
1.3 Factorización por agrupación de términos.
1. ac + ad + bc + bd
2. mx + m – x - 1
3. 2x2
+ 2xc – 3bx – 3bc
4. 3y2
- 2ax + 3x – 2ay2
+ 4 - 6
5. x2
+1/ 5x + 5x + 1
6. xn+2
+ x3
+ xn
+ x + x2
+ 1
7. 3by + az + cy + 3bz + ay + cz
8. 6 ax – 5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy
II. Factorizar por el Método de identidades
2.1 Factorización por trinomio cuadrado perfecto.
1. x2
– 8x + 16 7. 49a2
x2
+ 28a2
x + 4a2
2. x2
+ 26x + 169 8. 0.36x4
- 1.2x2
y + y2
3. 121x2
+ 132x + 26 9. 9x6
+ 1.2x3
+ 0.04
4. x2
- 12x + 36 10. 4x2
+ 28x + 49
5. 49x4
- 14x2
+ 1 11. 25a4
- 30ab + 9b2
6. 2x2
- 8xy + 8y2
12. 36x2
- 12x + 1
2.2 Factorización por diferencia de cuadrados.
1. 16x2
– 36 6. x2
- (y – x)2
2. 0.64 – x8
7. x4
– 16b2
3. 16a2n
- 25 8. x4
- y4
4. (2x – y)2
- (3x + z)2
9. 9x3
- x2
- 9x + 11
5. (x + y)2
- 4z2
10. 64x2
- z2
+ 6z – 9
2.3 Factorización por suma de cubos
1. 8x3
– y6
6. 0.027x3
+ y3
2. 27 + 125a3
7. 8a6
+ 1000b3
3. 0.001 + x9
8. x3n
+ 1
4. 27a3
+ 64b3
9. (x + 2y)3
+ 64z3
5. 125x3
+ 1 10. 64x6
+ 216
2.4 Factorización por diferencia de cubos.
educación…”

57
Secundaria
1. 8a3
- a6
6. (x + y)3
- (3 – y)3
2. 27a3
– 64b3
7. (x + y)3
- 27 y3
3. 1 – x3n
8. 8(x – 2)3
- (2x + 1)3
4. 64x3
- (x – 1)3
9. (x – 3y)3
- (2x + 1)3
5. (2x + y)3
- 8x6
11. 8x3n
– 27y3n
III. Factorizar por el Método del aspa
3.1 Factorización por aspa simple
1. x2
- 9x + 14 6. 2x2
+ 7x + 6
2. x2
+ 11x + 24 7. 3x2
- 10x - 8
3. x2
- 14x - 32 8. 3x2
- 10x - 8
4. x2
+ 15x - 16 9. 5x2
- 17x – 12
5. x2
- 128 – 8x 11. 10x2
+ 17x + 6
6. x2
+ 9x + 14 12. 6x2
+ 19x + 3
3.2 Factorización por aspa doble.
1. 6x2
+ 3xy – 3y2
+ 19x + 13y + 10
2. 15x2
+ 7xy – 2y2
+ 41x - 3y + 14
3. 8x2
+ 4xy + 18x + 6y + 9
4. 7x2
+ 19xy – 6y2
+ 35x - 10y
5. 15x2
- 19xy + 6y2
- 11y + 19x - 10
IV. Factorizar por el Método de Evaluación
1. x3
+ 2x2
- 5x - 6
2. x4
- 9x2
+ 4x + 12
3. 3x3
+ x2
- 8x + 4
4. x3
- 8x2
+ 17x - 10
5. 2x3
– 5x2
+ x + 2
6. 12x5
– 8x4
– 13x3
+ 9x2
+ x – 1
V. Aquí se presentan diversos casos, con los cuales tú tendrás que decidir que método aplicar.
1. x4
- 13x2
+ 36
2. x6
- 64
3. x6
+ 26x3
- 27
4. x2
+ 2xy + y2
+ 2x + 2y - 15
5. ax + az + bx + by + cy + cz + ay + bz + cx
6. (x2
+ y2
)2
- 4x2
y2
7. (a + x)2
- (ax + 1)2
8. 2x2
– xy – y2
+ x + 5y- 6
01.Calcular uno de los factores del polinomio: 1 +x(x+1)(x+2)(x+3)
a) x2
+ x + 1 b) x2
+ 3x + 1 c) x2
- x + 1 d) b) x2
+ 1 e) N.a
02.Hallar los factores del polinomio (x – 1) (x + 3) (x2
- 4) + 4
a) x2
+ x + 1 b) x2
+ 3x + 1 c) x2
+ x - 4 d) b) x2
+ 1 e) N.a
03.Señalar uno de los factores del polinomio: (x – 2)2
(x2
– 4x + 6) –8 y dar como respuesta la suma de
ellos:
a) 2x2
-8x + 10 b) 2x2
- 6x + 7 c) 2x + 3 d) b) x2
+ 4 e) N.a
04.Sabiendo que: x2
+ y2
- 10x – 6y = - 18. Hallar R = (x – 5)2
+ (y – 3)2
a) 9 b) 25 c) 35 d) 16 e) 18
05.Cuál es uno de los factores del polinomio: x4
- 2x2
+ x2
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) x2
+ 1 d) x – 1 e) 2x + 3
06.Señalar un factor primo de:
E = ab (x2
+ y2
) + xy (a2
+ b2
)
a) (a + b) b) (x + 4) c) (ax + by) d) (a – b) e) (ax – by)
07.Uno de los factores de:
3m3
– 20 + 12m2
- 5m es:
a) m + 3 b) m2
+ 2 c) m - 4 d) m + 1 e) m + 4
08.¿Cuántos factores primos tiene la expresión:
mn (x2
– y2
) + xy (m2
- n2
) ?
a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5
09.Señale uno de los factores de:
x(y2
+ z2
) + y (z2
- x2
)
a) x- y b) x+ 2y c) x d) y + 1 e) x + y
10.Dar uno de los factores primos de:
educación…”

57
Secundaria
ac (a + c) + ab (a – b) – bc ( b + c)
a) b2
+ c b) b + c c) b + c2
d) b + 5c e) b – 5c
11.Uno de los factores de:
x2
+ 4xy + 4y + 2x + 4y2
es:
a) x– 2y
b) x+ 2y c) x + y d) b) x- y e) x + 1
12.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
9m2
+ 12mn + 6m + 4n + 4n2
a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5
13.¿Cuántos factores primos lineales admite?
x5 -
4x3
+ x2
- 4
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3
14.¿Cuántos factores lineales se obtiene al factorizar P(x)? Si:
P (x) = 18x4
+ 25x2
- 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno
15.¿Cuántos factores primos lineales tiene P(x) si:
P (x) = 3 x6
- 2x3
- 1?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16.¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene P)x, y), si:
P (x, y) = 8x8
y + 63x5
y – 8x2
y
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17.¿Cuántos factores primos lineales tiene:
P (x) = 2x4
- 3x2
- 20?
a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
18.¿Cuántos factores primos se segundo grado tiene P (x)? Si:
P (x) = 3x6
+ 23x3
- 8?
a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
19.Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en:
P (x) = 4x4
- 3x2
- 1?
a) 0 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3
20.Señalar uno de los factores de:
P (x) = 18x4
+ 55x2
- 28?
a) 3x - 6 b) 6x - 3 c) 5x - 1 d) 3x + 2 e) 3x - 7
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01
01. D
02. B
03. A
04. D
05. C
06. B
07. C
08. E
09. E
10. E
11. C
12. E
13. A
educación…”

57
Secundaria
14. E
15. C
16. A
17. A
18. B
19. C
20.
educación…”

Matematica 1º2 b

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