Ejercicios

1. -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-2
0
2
4
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
X
Y
Z
UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO
DIVISIÓN ACADÉMICA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ALGEBRA LINEAL
Catedrático: Adolfo Cornelio Palacio
Cunduacán, Tabasco: Ciclo: Febrero – Agosto 2020
Contacto: E-mail: copal69.acp@gmail.com
Celular: 9932 10 6744

2. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones consta de dos o mas ecuaciones de primer grado y cada una
de ellas tiene por lo menos una variable. Si cada ecuación del sistema es lineal, decimos
que se trata de un sistema de ecuaciones lineales o, un sistema lineal.
Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue:
ቊ
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2
Cada una de estas ecuaciones es una recta. La solución del sistema es el punto en que se
cortan las dos rectas. Si las rectas no se cortan, el sistema no tiene solución.
Un sistema lineal formado por tres ecuaciones y tres incógnitas, se puede escribir como
sigue:
2

3. ቐ
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2
𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3
Cada una de estas ecuaciones es un plano. La solución del sistema es el punto en que se
cortan las dos planos. El sistema tiene solución cuando los tres planos intersectan entre sí.
Métodos de solución:
a) Método se sustitución: en una de las dos ecuaciones del sistema se despeja una
incógnita y luego se sustituye esa expresión en la otra ecuación.
b) Método de igualación: en cada una de las dos ecuaciones del sistema se despeja la
misma incógnita, igualando luego ambas expresiones.
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
3

4. c) Método de reducción: Consiste en manipular de forma conveniente a las ecuaciones,
multiplicándolas por números adecuados, con el fin de que al sumarlas se cancele alguna
incógnita.
Ejercicio 4.1.1 Resuelva el sistema lineal dado
ቐ
3𝑥 − 2𝑦
5
−
2𝑥 − 4𝑦
3
=
𝑥 − 𝑦
2
+ 1 … … … .1
21𝑥 − 15 = 13 2𝑥 − 𝑦 + 45 … … … … .2
De la ecuación 1 el MCD=15 para el lado izquierdo y MCD=2 lado derecho, por lo tanto:
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
3 3𝑥 − 2𝑦 − 5 2𝑥 − 4𝑦
15
=
𝑥 − 𝑦 + 2
2
9𝑥 − 6𝑦 − 10𝑥 + 20𝑦
15
=
𝑥 − 𝑦 + 2
2
−𝑥 + 14𝑦
15
=
𝑥 − 𝑦 + 2
2
2 −𝑥 + 14𝑦 = 15 𝑥 − 𝑦 + 2
4

5. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
−2𝑥 + 28𝑦 = 15𝑥 − 15𝑦 + 30
−2𝑥 − 15𝑥 + 28𝑦 + 15𝑦 = 30
−17𝑥 + 43𝑦 = 30
Multiplicando toda la ecuación por -1:
17𝑥 − 43𝑦 = −30 … … … 3
De la ecuación 2:
21𝑥 − 15 = 26𝑥 − 13𝑦 + 45
21𝑥 − 26𝑥 + 13𝑦 = 45 + 15
−5𝑥 + 13𝑦 = 60
Multiplicando toda la ecuación por -1:
5𝑥 − 3𝑦 = −60 … … … 4
El nuevo sistema queda de la siguiente
manera:
ቊ
17𝑥 − 43𝑦 = −30 … … … 3
5𝑥 − 13𝑦 = −60 … … … . . 4
5

6. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
221𝑦 − 1,020 − 215𝑦 = −150
221𝑦 − 215𝑦 = 1,020 − 150
6𝑦 = 870
𝑦 =
870
6
y = 145
Sustituyendo y en la ecuación 5:
𝑥 =
13 145 − 60
5
Método de sustitución:
Despejando x de la ecuación 4:
𝑥 =
13𝑦 − 60
5
… … … 5
Sustituyendo x en la ecuación 3:
17
13𝑦 − 60
5
− 43𝑦 = −30
221𝑦 − 1,020
5
− 43𝑦 = −30
Multiplicando toda la ecuación por 5:
6

7. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
𝑥 =
1,885 − 60
5
𝑥 =
1,825
5
𝑥 = 365
Ejercicio 4.1.2 Sistema con una
solución única, considere el sistema:
ቊ
6𝑥 − 3𝑦 = 5 … … … 1
3𝑥 + 6𝑦 = 5 … … … 2
Método de reducción
Multiplicar la ecuación 1 por 2 y sumar a
ecuación 2 para cancelar la variable y:
12𝑥 − 6𝑦 = 10
3𝑥 + 6𝑦 = 5
15𝑥 = 15
𝑥 =
15
15
𝑥 = 1
7

8. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sustituyendo x en la ecuación 2:
3 1 + 6𝑦 = 5
6𝑦 = 5 − 3
6𝑦 = 2
𝑦 =
2
6
=
1
3
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
-1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00
Solución única
Figura 4.1 Rectas no paralelas, un punto de intersección
1,
1
3
8

9. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicio 4.1.3 Sistema con un
número infinito de soluciones,
considere el sistema:
ቊ
3𝑥 − 6𝑦 = 3 … … … 1
𝑥 − 2𝑦 = 1 … … … . . 2
De la ecuación 2:
𝑥 = 2𝑦 + 1 … … … 3
Sustituyendo x en la ecuación 1:
3 2𝑦 + 1 − 6𝑦 = 3
6𝑦 + 3 − 6𝑦 = 3
6𝑦 − 6𝑦 = 3 − 3
0𝑦 = 0
0 = 0
Si despejamos x de la ecuación 1:
𝑥 =
6𝑦 + 3
3
𝑥 =
3 2𝑦 + 1
3
𝑥 = 2𝑦 + 1 … … …4
9

10. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00
Número infinito de soluciones
Figura 4.2 Rectas que coinciden, número
infinito de puntos de intersección
Por lo tanto son ecuaciones equivalentes
con número infinito de soluciones.
Ejercicio 4.1.4 Sistema sin solución,
considere el sistema:
ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 1 … … … 1
2𝑥 + 4𝑦 = 3 … … . . 2
De la ecuación 1:
𝑥 = 1 − 2𝑦 … … … 3
Sustituyendo x en la ecuación 2:
2 1 − 2𝑦 4𝑦 = 3
2 − 4𝑦 + 4𝑦 = 3
0𝑦 = 3 − 2 ⟹ 0 ≠ −1 10

11. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Dado que el sistema es inconsistente se
considera sin solución.
Ejercicio 4.1.5 Dos pesas están
colgadas de dos poleas sin fricción como
se muestra en Figura 4.4 ¿Qué peso w
causará que el bloque empiece a
moverse hacia la derecha?
Figura 4.3 Rectas paralelas,
sin puntos de intersección
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00
Sistema Sin Solución
Figura 4.4
𝑤
30°45°
40 𝑙𝑏 300 𝑙𝑏
𝜇 = 0.30
11

12. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Dado que es un sistema en equilibrio se
hace un diagrama de cuerpo libre (DCL)
como se muestra en la figura:
𝑁 = Fuerza normal perpendicular a la
fuerza de fricción
𝑓𝑠 = 𝜇 𝑠 𝑁 = Fuerza de fricción
𝑇𝑥 = 40𝑙𝑏 cos 45°
𝑇𝑦 = 40𝑙𝑏 𝑠𝑒𝑛 45°
𝑤 𝑥 = 𝑤 cos 30°
𝑤 𝑦 = 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30°
෍ 𝐹𝑥 = 0
−𝑓𝑠 − 40 cos 45° + 𝑤 cos 30° = 0 … … … 1
෍ 𝐹𝑦 = 0
40 𝑠𝑒𝑛 45° + 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑁 − 300 𝑙𝑏 = 0 … … … 2
30°45°
𝑤
𝑤 𝑦
𝑤 𝑥
𝑁
300 𝑙𝑏
𝑓𝑠
40 𝑙𝑏 𝑇𝑥
𝑇𝑦
DCL
12

13. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
De ecuación 2
𝑁 = 300 𝑙𝑏 − 40 𝑠𝑒𝑛 45° − 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30°
𝑁 = 271.7 𝑙𝑏 − 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30°
𝑓𝑠 = 0.30 271.7 𝑙𝑏 − 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30°
Sustituyendo 𝑓𝑠 en ecuación 1:
−0.30 271.7 𝑙𝑏 − 𝑤 𝑠𝑒𝑛 30° − 28.30 𝑙𝑏 + 𝑤 cos 30° = 0
−81.50 𝑙𝑏 + 0.15 𝑤 − 28.30 𝑙𝑏 + 0.87 𝑤 = 0
0.15𝑤 + 0.87𝑤 = 81.50 𝑙𝑏 + 28.30 𝑙𝑏
1.02 𝑤 = 109.80 𝑙𝑏
𝑤 =
109.80 𝑙𝑏
1.02
𝑤 = 107.60 𝑙𝑏
13