Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver ecuaciones matriciales. Explica que una ecuación matricial generalmente consiste en varias matrices y una matriz desconocida que debe encontrarse. Luego describe un algoritmo común para resolver ecuaciones matriciales que implica reducir la ecuación a una de dos formas posibles y expresar la matriz desconocida. Finalmente, proporciona ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones matriciales de ambas formas y verificar las soluciones.

1. Ecuaciones matriciales. Ejemplos de soluciones
Ahora son las 12:00 del 21 de diciembre de 2012 y felicito a todos los visitantes del sitio
sobre el Fin del Mundo. Resultó ser un verdadero hallazgo para mí, porque cada vez, al
comenzar un nuevo artículo, lucho con el primer párrafo para seleccionar
correctamente frases secas, precisas y orientar al lector en el tema.
Los monjes tibetanos dijeron que el Armagedón duraría dos semanas (al parecer, todos
eran estudiantes y aprobaron las sesiones), por lo que los tontos aún tienen tiempo
para familiarizarse con las lecciones Acciones con matrices , Propiedades de
operaciones con matrices y expresiones de matrices , ¿Cómo encontrar la
inversa de una matriz? ¡No es tan difícil ni tanto como parece! Es decir, para dominar
las ecuaciones matriciales, debes tener algunas habilidades y ser, si no un chamán
matricial, al menos un cazador de matrices. No se preocupe, el Fin es el Fin y las
ecuaciones matriciales estarán a merced del ganador.
Comencemos con una ecuación lineal simple , como una ecuación . Consiste
en signos matemáticos, números y la "x" desconocida. Mueve el "tres" al lado derecho
y encuentra la solución a la ecuación:
Comprobemos, para esto sustituimos el valor encontrado en la ecuación original:
Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución se encuentra
correctamente.
¿Hablar de ecuaciones matriciales? =) Están organizados casi de la misma manera,
solo que en lugar de números ... correctamente - matrices (y por supuesto, también hay
números, recuerde que una matriz se puede multiplicar por un número). Más chips
especiales típicos para acciones con matrices. Todo es sencillo y no debería haber
ninguna dificultad especial.
Principios generales para resolver ecuaciones matriciales
Una ecuación matricial típica generalmente consta de varias matrices y una matriz
desconocida que se debe encontrar. Es decir, la matriz es la solución de la
ecuación matricial .
Ejemplo 1
Resolver ecuación matricial, comprobar
¿Cómo resolver una ecuación matricial?

2. De hecho, debe utilizar un algoritmo para resolver la ecuación de un niño con números.
En el lado derecho, multiplicamos cada elemento de la matriz por tres, y movemos la
matriz del lado izquierdo hacia la derecha con un cambio de signo:
Peinamos el lado derecho:
Expresemos , para ello multiplicamos ambos lados de la ecuación por :
Todos los números de la matriz son divisibles por 2, por lo que es apropiado
deshacerse de la fracción. Y al mismo tiempo desde el "menos". Dividimos cada
elemento de la matriz por –2:
Respuesta :
¿Cómo verifico?
Sustituye el valor encontrado en el lado izquierdo de la ecuación original y
simplifica:
La última acción eliminó los "tres" de la matriz.
Se obtiene el lado derecho de la ecuación original, lo que significa que la solución se
encuentra correctamente.
Por cierto, ¿una ecuación matricial siempre tiene una solución? Por supuesto que no
siempre. Con el movimiento citar una prueba sencilla: .
El ejemplo que hemos analizado es elemental y, para ser honestos, la probabilidad de
encontrar algo similar en la práctica es pequeña. Por tanto, pasemos a tareas más

3. significativas, que con una probabilidad de tender al 100%, cumplirás en una prueba
real. Pero primero, sistematicemos el rumbo general de la solución:
Un algoritmo común para resolver una ecuación matricial
Entonces, un personaje estándar, formado por varias matrices, algunos multiplicadores
y un pájaro de la felicidad, cayó sobre su cabeza .
En el primer paso, la ecuación se reduce a uno de dos tipos:
o , donde se conocen matrices.
Nota : También hay un tercer tipo :, pero en realidad es extremadamente
raro. Sin embargo, al final del artículo consideraré este caso.
¿Cómo llevar la ecuación a la forma o ? Todas las acciones que vio en
el Ejemplo # 1 son transferir matrices de parte a parte, “empaquetar” factores en
matrices, suma / resta de matrices.
En el segundo paso, es necesario expresar o, para decirlo de manera más
académica, resolver la ecuación con respecto a .
1) . Para resolver esta ecuación con respecto a , multiplicamos ambos lados
por la izquierda (en adelante asumimos que existe la matriz inversa ):
!!! ¡Atención! El producto de las matrices no es permutable, por lo que
es fundamental de qué lado realizar la multiplicación.
Por la propiedad de las operaciones matriciales :, por lo tanto:
La matriz de identidad se puede eliminar (ver la lección Propiedades de las
operaciones en matrices. Expresiones de matrices ):
Que es lo que se requería lograr. La matriz se no sabe que nosotros .
2) . Multiplicamos ambos lados de la ecuación por la derecha :
Según la propiedad de las operaciones matriciales , obtenemos:
Eliminamos la matriz unitaria:
Hecho. Nuevamente, no conocemos la matriz .
Así, en el segundo paso, la solución se expresa en la forma o en la
forma . Como no conocemos la matriz inversa, la tercera etapa de la
solución consistirá en encontrarla. Esta es la tarea estándar de la lección ¿Cómo
encontrar la inversa de una matriz?
En el último cuarto paso, realizamos la multiplicación de matrices o , y, de
hecho, obtenemos la respuesta.

4. Después de completar la tarea, es recomendable realizar una verificación, sin
embargo, en la mayoría de los casos, debe realizarse de acuerdo con la condición de
la tarea. El esquema es ordinario: debe sustituir el valor encontrado en la ecuación
original y asegurarse de que "todo encajará".
Consideremos ejemplos de soluciones a ecuaciones de ambos tipos con más detalle:
Solución de una ecuación matricial de la forma
... y nada que agregar =)
Ejemplo 2
Resolver ecuación matricial, comprobar
Solución : La ecuación ya tiene la forma , por lo que no se requieren acciones
preliminares.
Para resolver la ecuación con respecto a multiplicar ambos lados por
la izquierda :
Sí, eso es exactamente lo que escribimos al tomar una decisión. Aunque podemos
limitarnos a una sola frase: “Buscamos una solución en el formulario ”, sin
explicaciones ni derivaciones de la fórmula .
Las matrices se conocen a partir de la condición , sin
embargo, no conocemos la matriz inversa . Tendremos que encontrarlo:
Encontramos la matriz inversa por la fórmula :,
donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los
elementos correspondientes de la matriz .
- la matriz de los menores de los elementos correspondientes de la
matriz .
- matriz de complementos algebraicos.

5. - matriz transpuesta de complementos algebraicos.
Entonces, la inversa de la matriz es:
Al final, realizamos la multiplicación de matrices y obtenemos la solución:
Respuesta :
Verificación: Sustituya el valor encontrado en el lado izquierdo de la ecuación
original:
Se obtiene el lado derecho de la ecuación original. Por tanto, la solución se encontró
correctamente.
La siguiente tarea es bastante interesante y algunos de ustedes harán un
descubrimiento inesperado por sí mismos:
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación matricial y verifique:
Solución : La incógnita está ubicada a la derecha de la matriz, y la ecuación
obviamente se reducirá a la forma . Usamos las acciones ya conocidas del
Ejemplo No. 1:
Para resolver la ecuación con respecto a multiplicar ambos lados por
la izquierda :

6. Encontramos la matriz inversa por la fórmula :,
donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los
elementos correspondientes de la matriz .
- la matriz de los menores de los elementos correspondientes de la
matriz .
- matriz de complementos algebraicos.
- matriz transpuesta de complementos algebraicos.
Matriz inversa:
Entonces la solución a la ecuación:
Respuesta :
Fracción más bonita dejar antes de que el vector columna , aunque es aceptable para
escribir de esta manera: .

7. Verificación: Sustituya el valor encontrado en el lado izquierdo de la ecuación
original:
Se obtiene el lado derecho de la ecuación original, por lo que la solución se encuentra
correctamente.
Permítanme recordarles la técnica que discutimos en la lección Propiedades de las
operaciones con matrices. Expresiones matriciales . Después de la
sustitución en el lado izquierdo de la ecuación, la constante se ubica entre las
matrices. En tales casos, el número debe adelantarse y tratarse al final, después de la
multiplicación de matrices.
Y ahora detengámonos en el siguiente momento…. Regresemos al principio de la
solución, cuando obtuvimos la ecuación matricial en la forma . El
desafío fue encontrar el vector de columna desconocido .
Reescribamos la ecuación en la forma y en el lado izquierdo
multiplicamos las matrices según la regla habitual:
Imagen dolorosamente familiar =) Dos matrices son iguales cuando sus elementos
correspondientes son iguales. Este es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas:
Y recibimos la respuesta es una solución del sistema:
.

8. Por tanto, el método matricial para resolver el sistema es, de hecho, un caso
especial de la ecuación matricial.
Ejemplo 4
Encuentre a partir de la ecuación matricial:
Comprueba el resultado.
Tenga en cuenta que a la derecha está la matriz nula, no la nula. La matriz cero para
matrices es el análogo del cero para números. Y no tiene que escribirlo después de
transferir algo al lado derecho.
Una solución completa y una muestra final aproximada de la tarea al final de la lección.
En el proceso de resolver ecuaciones matriciales, los principiantes pueden tener
dificultades con la multiplicación de matrices. En este caso, vuelva a las expresiones
matriciales y practique esta acción.
Solución de una ecuación matricial de la forma
El algoritmo de la solución es exactamente el mismo con algunas diferencias
sustantivas y técnicas:
Ejemplo 5
Resuelve la ecuación matricial, verifica la solución encontrada.
Solución : La ecuación tiene una forma predefinida , lo que le permite tratar
inmediatamente con la "X".
Para resolver la ecuación, multiplicamos ambos lados por la derecha :
A la hora de diseñar, puede anotar y abreviar: "Buscamos una solución en el
formulario ".
Se conoce la matriz "bae". Tomamos la matriz y, sin comentarios,
exploramos el reverso de la luna:

9. , donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los
elementos correspondientes de la matriz .
- la matriz de los menores de los elementos correspondientes de la
matriz .
- matriz de complementos algebraicos.
- matriz transpuesta de complementos algebraicos.
Así, la matriz inversa:
Encuentra la solución, y no te olvides del orden de multiplicación de matrices , la
matriz inversa viaja en el segundo carro:
Respuesta :

10. Verificación: Sustituya el valor encontrado en el lado izquierdo de la ecuación
original:
Se obtiene el lado derecho de la ecuación original. Por tanto, la solución se encontró
correctamente.
Compliquemos la tarea:
Ejemplo 6
Resuelva la ecuación matricial, compruebe:
Solución : El extraño está ubicado a la izquierda de la matriz, por lo que la ecuación se
reduce a la forma . Empaquetamos los factores, movemos la matriz libre al lado
derecho y restamos las matrices:
Para resolver la ecuación, multiplicamos ambos lados por la derecha :
Encontramos la matriz inversa por la fórmula :,
donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los
elementos correspondientes de la matriz .

11. - la matriz de los menores de los elementos correspondientes de
la matriz .
- matriz de complementos algebraicos.
- matriz transpuesta de complementos algebraicos.
Matriz inversa:
Aquí es recomendable agregar un signo menos a la matriz. Quizás esté cansado de la
imagen monótona de encontrar la matriz inversa en cada ejemplo, podría omitir
fácilmente este elemento y escribir inmediatamente: "la matriz inversa es tal y cual
...". No, la solución completa no se da por casualidad. ¡Esta es una gran oportunidad
para practicar! Además, algunos alumnos realmente tienen un nivel de formación muy
bajo y una plantilla completa de tal o cual ejemplo será de gran utilidad. Y el propio
Google, verá, aprenderá a resolver ecuaciones matriciales =)
Encontramos una solución:
Respuesta :
Verificar: Sustituya el valor encontrado en el lado izquierdo de la ecuación original:
Se

12. obtiene el lado derecho de la ecuación original, por lo que la solución se encuentra
correctamente.
Ejemplo 7
Resuelva la ecuación matricial y verifique:
Este es un ejemplo de una solución independiente. Un ejemplo aproximado de terminar
al final de la lección.
En conclusión, consideraremos brevemente otro tipo de ecuación matricial, que
prácticamente no ocurre: donde se conocen matrices. Es decir, nuestro
partisano se encontraba entre dos matrices.
Resolvamos esta ecuación . Primero, multipliquemos ambos lados por
la izquierda :
Ahora multipliquemos ambos lados por la derecha :
No encontré un ejemplo listo para usar en mi colección, pero ahora seguiré recogiendo
algo de esta ópera…. Aquí está:
Sí, hay más trabajos aquí. Dos veces. ¿Como resolver esta ecuación?
- para la matriz encontramos la matriz inversa ;
- para la matriz encontramos la matriz inversa ;

13. - Multiplicamos tres matrices (ver el artículo sobre las propiedades de las
operaciones matriciales ).
Quién puede prorratear este ejemplo, la respuesta correcta .
¡Felicidades de nuevo! Si estás leyendo estas líneas, ¡el fin del mundo nunca llegó! El
fin del mundo es como el dinero, ama el silencio =) De hecho, fue así: los cronistas
mayas confeccionaron su calendario hasta el solsticio de invierno de 2012. Y luego se
cansaron.
Pero por si acaso, le digo hola a la próxima civilización. Algún día desenterrarán un
servidor bien conservado en el permafrost y descifrarán nuestro código cuneiforme =)
¡Aprobación exitosa de pruebas y exámenes!
Soluciones y Respuestas:
Ejemplo 4: Solución : Llevemos la ecuación a la forma : Para resolver la
ecuación con respecto a multiplicar ambas partes por la izquierda: Hallar la matriz
inversa por la fórmula :, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos
de los elementos correspondientes de la matriz . - la matriz de los menores de los
elementos correspondientes de la matriz . - matriz de complementos algebraicos. -
matriz transpuesta de complementos algebraicos. Matriz inversa: Solución del
sistema: Respuesta : Verificar: sustituir el valor encontrado en el lado izquierdo de la
ecuación original:

14. Se obtiene el lado derecho de la ecuación original, por lo que el valor se encuentra
correctamente.