Limites y continuidad. Actividad 3 segunda parte instituto universitario aeronáutico

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Unidad 2
Actividad 3 segunda parte
Ejercicio 4
Ejercicio 18
Desarrollo
Ejercicio 4
Vamos a analizar la función f (x)=
{
x+7 si x<−3
x ²+x−2 si −3≤x<4
|x−5| si 4≤x
Para evaluar la continuidad de dicha función, Deberíamos evaluarlo que sucede en los
siguientes puntos críticos::
x=−3 y x=4

2. Deberíamos considerar también que para que f(x) sea continua en un punto “a” debe
suceder que:
1. Existe F(a).
2. Existe el lim
x→a
F(x)=L
3. lim
x →a⁻
F(x) = L = lim
x→a⁺
F(x) = F(a)
Comprobemos entonces lo que ocurre con para el punto x=−3
1. ∃f (−3)=−3+7=4
2. lim
x →−3
x+7=4
3. lim
x →−3⁻
x+7 = lim
x→−3⁺
(−3)²−3−2= f (−3)=4
Al cumplirse los puntos anteriores podemos concluir que la función f (x) es continua
en x=−3
Comprobemos lo que ocurre en el punto x=4
1. ∃f (4)=|4−5|=1
2. lim
x →4⁻
4²+4−2=18 ≠ lim
x→4⁺
|4−5|=1 Por ende, al no existir el Limite podemos
concluir que no existe continuidad. En el punto x=4 se presenta una
discontinuidad esencial.
Intervalos de continuidad:
f(x) es continua (−∞,4)∪( 4,+∞)

3. Ejercicio 18
Sea la función h(x)=
{ −x+2 si x< −3
3x ²−9 x−30 si −3≤x
analizaremos:
a) lim
x →−3
h( x)→ lim
x→−3⁻
−x+2=5
lim
x →−3
h( x)→ lim
x→−3⁺
3 x ²−9x−30=24
Si bien, la h(−3) está definida y es igual a 24, Al no ser iguales los limites
laterales estamos en presencia de una discontinuidad esencial.
b) Para analizar la continuidad de h(x) en el intervalo [−4,0) debemos
demostrar que tanto h(−4) como así el limite por derecha en x=−4
existen y son iguales (dado que la rama de la función definida para x=-4 es una
función polinómica, está definida h(-4) y ademas existe el limite) sin embargo y,
como vimos en el inciso “a” la función h no es continua en un punto interno
del intervalo, es decir h(x) no es continua para x=−3 por tanto la función
h(x) no es continua en el intervalo [−4,0) .
c) Calculamos el limite de h(x) cuando x tiende a ∞
lim
x →−∞
h(x)→ lim
x→−∞
−x+2=∞
lim
x →+∞
h(x)→ lim
x →+∞
3 x²−9 x−30=∞
d)