1. 'DQQ 3HULFK &DPSDQD
PD[]HXV#FWFLQWHUQHWFO
Generalm ent e, en el quehacer m at em át ico, hem os oído hablar de dos
núm eros de gran im port ancia en m at em át ica: el núm er o designado con la let ra
griega S de valor 3,1415......, y que corr esponde a las veces que el diám et ro de
una circunfer encia est á cont enida en ella, y el núm ero designado por H, let ra
asignada por el apellido de su descubridor, el m at em át ico suizo Euler, cuy o valor
es 2,71828...... y que cor r esponde al lím it e de la sucesión de t érm ino general
 1
1 +  ; per o si consult áram os a art ist as plást icos, escult ores, dibuj ant es y
 Q
arquit ect os, seguram ent e nos señalarían un t ercer núm er o a los ya indicados, el
núm ero 1,618033989.... designado por Φ ( PHI ) , let ra inicial del nom bre del
escult or griego Fidias, que lo ut ilizó en sus t rabaj os.
Est os núm er os irracionales present an una difer encia m at em át ica y es que
π y e, QR son solución de ninguna ecuación polinóm ica, pero Φ sí lo es. Ya
verem os m ás adelant e la ecuación de la cual hablam os.
Puede par ecer ext raño, per o el núm ero que m ás convive con nosot ros es
precisam ent e Φ, m ás conocido com o el Q~PHUR GH RUR
Si obser vam os a nuest ro alrededor, v er em os que la figura que m ás v eces
aparece a nuest ra vist a es el rect ángulo; en puert as, vent anas, t elevisor,
m icroondas, r efrigerador es, cam as, cuadernos, libros, et c. Es así com o los
griegos det erm inaron que el rect ángulo m ás bello y arm ónico es aquel que
cum ple que el cuocient e ent r e el lado m ayor y el m enor da com o result ado el
núm ero de oro. Est e r ect ángulo es llam ado UHFWDQJXOR GRUDGR o r ect ángulo
aureo.
Realicem os la siguient e act ividad:
Dibuj em os un rect ángulo de lados x y 1.
1
x

2. Quit em os al rect ángulo ant erior el m ayor cuadrado posible
1
Quit ar - Æ 1
x- 1
1
Est ablezcam os una pr oporción ent re los dos rect ángulos ant erior es:
1 [ −1
=
[ 1
1 = x2 – x
0 = x2 – x - 1
1± 1+ 4
[=
2
1± 5
[=
2
Consider em os sólo el signo + , y a que con el negat ivo r esult aría un valor
final negat ivo, lo cual es im posible por ser x el lado de una r ect ángulo. Es así
que:
1+ 5
[=
2
Est e valor es el núm ero de or o, o sea
1+ 5
Φ=
2
ya que si det er m inam os 5 y r esolvem os la expresión ant erior, obt enem os el
valor decim al 1,618033....
Una prim era curiosidad de est e núm er o es que con sólo r est arle 1, se conviert e
1
en su recíproco, o sea Φ - 1 =
Φ
1
= 0,618033 ...
Φ
Ot ra part icularidad se pr oduce al efect uar el cuadrado de Φ
Φ 2 = 2,618033 ...
1
0 sea la part e decim al de Φ, y Φ 2 es la m ism a.
Φ

3. Un problem a clásico es const ruir, con r egla y com pás, la sección áurea de un
segm ent o dado.
1) Dado un segm ent o AB se const ruy e una perpendicular que pasa por P y
con el com pás hallam os el punt o C t al que AB = BC.
2) Const ruím os el punt o m edio del segm ent o BC y lo llam am os D.
3) Con la regla const ruím os el segm ent o AD.
4) Con cent r o en D y radio DB, t razam os un arco de circunfer encia y
calculam os E.
5) Con cent r o en A y radio AE, t r azam os un ar co de circunferencia y
calculam os P.
El punt o P divide al segm ent o AB en la razón áur ea y el segm ent o AP es la
sección áurea del segm ent o AB.
Const ruyam os un r ect ángulo aureo.
I niciem os dibuj ando un cuadrado de lado a y v ért ices ABCD
D C
A B
a
Efect uém os la división del cuadrado en dos rect ángulos iguales por m edio
de un segm ent o EF ( Verde)
F
D C
a
A B
a/2 E a/2
Trazam os ahora la diagonal EC = d ( Azul) del rect ángulo EBCF y copiam os
su m edida sobre la horizont al AB desde E, señalando el ext r em o alcanzado
com o G.
F
D C
a
A B
E a/2 G

4. Y así, pr olongando DC hast a un punt o H, form am os el r ect ángulo dorado o
aureo AGHD.
Verifiquem os que es así.
Com encem os calculando la diagonal d a t ravés del t eor em a de Pit ágoras.
En el t riángulo EBC:
(% 2 + % 2 = ( 2
D
2
  +D =G
2 2
2
D2
+ D2 = G 2
4
D 2 + 4D 2
=G2
4
5D 2
=G2
4
D 5
=G
2
Det erm inem os ahora la base AG del rect ángulo:
D D D 5 D + D 5 D (1 + 5 )
$* = + G = + = =
2 2 2 2 2
Ahora podem os v erificar si el rect ángulo AGHD es dorado, efect uando la
razón ent re su largo y su ancho.
D(1 + 5 )
/ arg R 2 D(1 + 5 ) 1 + 5
= = =
$QFKR D 2D 2
Adem ás, en un rect ángulo dorado los lados t ienen una relación cercana a
phi, es decir, una propor ción de 5: 3, de 8: 5, de 13: 8, et c. Los núm eros son,
desde luego, vecinos en la serie de Fibonacci. Est e rect ángulo t iene las
propor ciones m ás agr adables a la per cepción, por lo que suele usarse par a
definir el t am año de libros o caj as, adem ás de t ener int er esant es
propiedades.
Ot ra propiedad de est e r ect ángulo es que
si se colocan dos rect ángulos áureos
iguales en la form a que indica la figura, se
for m a ot ro r ect ángulo áureo.

5. Si al rect ángulo aureo le quit am os un cuadrado, el rect ángulo que queda
es t am bién dorado. Si efect uam os esa acción sucesivam ent e y t razam os
arcos circulares corr espondient e a un cuart o de circunfer encia, se form a una
espiral logarít m ica com o podem os ver en la siguient e figura. Est a espiral fue
descubiert a por Albert o Dur er o.
Est a curva fue est udiada por Descart es, est ableciendo que es una curva de
vect or es radiales que se t raza desde el cent ro de la espiral con un ángulo
const ant e de 137,5 gr ados.
Est a espiral se encuent ra en un gran núm ero de m oluscos, com o el
Naut ilus, un t ipo de caracola.

6. Tam bién en las hoj as de una r osa y en los girasoles.
El pint or im presionist a George Seurat t am bién ut ilizó el rect ángulo dorado
en m últ iples cuadr os, com o La Parade en 1888.
En el libro “ La Divina Propor ción” del m onj e Franciscano Luca Pacioli,
Luca Pacioli ( 1455- 1510)

7. edit ado en Venecia en 1509, apar ece el fam oso dibuj o de Leonardo da Vinci
que da cuent a de pr opor ciones arm oniosas para el cuerpo hum ano. Pacioli,
conocido t am bién com o Luca di Borgo, propone un hom br e perfect o en el que
las relaciones ent re las dist int as part es de su cuerpo sean pr oporciones
áureas.
En la figura vem os una circunfer encia que circunscribe al hom bre cuy o
cent r o se ubica en el om bligo.
El cuadrado cor responde a la alt ura de la persona y t am bién a la m edida
ent re los ext r em os de los dedos de las m anos cuando los brazos est án
ext endidos en 180º.
Y he aquí lo herm oso de est a figura, el cuocient e ent re la alt ura del
hom br e y la dist ancia del om bligo a la punt a de la m ano es el núm ero de oro.
Ot ras razones que t am bién dan el núm ero de oro, señaladas por el
arquit ect o francés Le Cor busier, son:
La alt ura de la per sona con la alt ura desde el suelo al om bligo.
La alt ura de la per sona con el brazo levant ado, con la alt ura a la que est á
el brazo puest o en horizont al.
Est e arquit ect o dest acó por descubrir el secr et o de una const rucción en
serie, invent ando el Modulor ( m ódulo de or o) , sist em a de pr oporciones
arquit ect ónicas que perm it en levant ar edificios arm oniosos y fáciles de
const ruir.
¿Y cóm o est ar án t us pr oporciones con respect o a lo que Corbusier
plant ea?
Mide t u est at ura y luego la m edida desde el suelo hast a t u om bligo.
Efect úa el cuocient e ent re am bas y si da 1,61.... ¡¡Felicit aciones! ! Y si no, no
t e pr eocupes hay cosas m ás im port ant es que ser bien propor cionado.
( Com ent ario del “ picado” )

8. Cam biem os de t em a ( apar ent em ent e) y analicem os el siguient e problem a:
¢XiQWRV SDUHV GH FRQHMRV VH SXHGHQ SURGXFLU D SDUWLU GH XQ VROR
SDU VL FDGD SDU SURGXFH XQ QXHYR SDU FDGD PHV FRQVLGHUDQGR TXH
VyOR ORV FRQHMRV GH PiV GH XQ PHV GH HGDG SXHGHQ UHSURGXFLUVH
TXH QLQJXQR VH PXHUH
Observ a el dibuj o siguient e, donde las par ej as de conej os con fondo de
color verde claro r epr esent a a las que aún no pueden r eproducirse.
Cada fila es un m es:
Al cont inuar desarr ollando la int errogant e obt enem os la secuencia

9. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, .....
Est a serie la present ó Leonardo de Pisa, m ás conocido com o Fibonacci, en su
libro Liber Abaci ( 1202)
Y en est a serie t enem os las siguient es m aravillas:
En prim er lugar, observem os que los núm er os de la serie se van obt eniendo
por la sum a se los dos elem ent os ant eriores a él, con ex epción de los unos
iniciales.
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21, et c.
En segundo lugar, efect uem os el cuocient e ent re cada elem ent o de la sucesión y
el núm ero que lo pr ecede:
1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,66...
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,61538...
34 : 21 = 1,61904...
55 : 34 = 1,61764...
55 : 89 = 1,61797...
El cuocient e se apr oxim a al núm ero de or o.
Lo ant erior podem os expr esarlo com o

10. D 1+ 5
lim =
¡
¡
→∞ D −1
¡
2
Fué Robert Sim pson de la Universidad de Glasgow en 1753 quien not ó que dicha
división se aproxim aba a Φ
Realicem os ahora la siguient e act ividad:
Tracem os un segm ent o de longit ud 1 y dividám oslo en dos part es desiguales:
1
1 - x x
Est ablezcam os la siguient e propor ción:
7RGR 0DRU
=
0DRU 0HQRU
1 [
= ⇒1 − [ = [ 2 ⇒ [ 2 + [ −1 = 0
[ 1− [
Al resolver la ecuación obt enida, se t iene que
− 1+ 5
[=
2
Dividam os ahora el segm ent o m ay or por el segm ent o m enor:
−1 + 5 −1+ 5
[ 2 2 − 1 + 5 ( −1 + 5 ) • (3 + 5 ) − 3 − 5 + 3 5 + 5 2 + 2 5
= = = = = =
1− [ −1 + 5 3− 5 3− 5 (3 − 5 ) • (3 + 5 ) 9−5 4
1−
2 2
[ 2(1 + 5 ) 1 + 5
= = ¡¡¡El núm ero de oro! ! !
1− [ 4 2
Dibuj em os un pent ágono r egular y t racem os sus diagonales con lo cual
obt endr em os una est rella de cinco punt as.

11. Est a figura era el sím bolo de los pit agóricos, quienes pensaban que el
universo est aba form ado según un orden num érico. Pero Eudox o ( de la
escuela plat ónica) echó por t ierra sus t eorías ya que en su propio sím bolo
dem ost r ó el caráct er no racional del núm ero que r esult a al efect uarse la razón
ent re la diagonal y un lado del pent ágono r egular. Para los seguidores de
Pit ágoras r esult ó t an ilógico lo det erm inado, que llam aron a ese núm er o,
irracional.
D
E C
A B
'LDJRQDO (
= = 1,618...
/DGR ('
Verifiquem os est a relación, considerando O com o la m edida del lado y G la de
la diagonal.
l = AB = BC = CD = DE = EA
d = AC = CE = EB = BD = DA
O
Por dem ost rar , que =Φ
G
∠MCD = ∠ABE por ser ángulos inscrit os en arcos iguales.
∠CDM = ∠AEB por ser ángulos inscrit os en arcos iguales.
Luego, por el t eorem a de sem aj anza ángulo- ángulo, los t riángulos MCD y ABE
son sem ej ant es.
Ent onces podem os est ablecer la proporción
%( $(
=
' 0'

12. per o MD = d – MB, ent onces al r eem plazar t odos los t érm inos de la
propor ción obt enem os
G O
=
O G − 0%
Com o MB = BC = l, por ser el ∆MBC isósceles ( es un t riángulo dorado) ,
result a
G O
=
O G −O
G 2 − GO − O 2 = 0
de donde obt enem os que G =
(
O 1+ 5 )
2
Efect uam os la razón ent r e d y l:
(
O 1+ 5 )
G 2 1+ 5
= = ¡El núm ero de oro!
O O 2
La est r ella de cinco punt as dibuj ada el int erior del pent ágono r egular, figura
en los r oset ones de las cat edrales gót icas y fue uno de los sím bolos de la
deidad.
La Tum ba Rupest r e de Mira en Asia Menor est á const ruída en base al
pent ágono r egular.
Dent r o de lo vist o ant eriorm ent e, la serie de Fibonacci y la espiral logarít m ica
se dan fr ecuent em ent e en la nat uraleza, com o ser en la filot axia espiral,
ciencia agronóm ica que est udia la dist ribución de las hoj as a lo largo del t allo
con m ét odos m at em át icos. Est a ciencia concluye que la m ej or colocación de
las hoj as, t ant o por insolación, com o por est abilidad m ecánica del t ronco, se
produce cuando su disposición t iende al núm ero de or o.
La filot axia es repr esent ada por la siguient e fracción:
Q~PHUR GH YXHOWDV DOUHGHGRU GHO WDOOR
Q~PHUR GH KRMDV HQ HVH UHFRUULGR

13. siendo de gran not abilidad el hecho que est os últ im os son t odos t érm inos de
la serie de Fibonacci.
A est o podem os agr egar la serie que se da con el núm er o de pét alos en las
flores:
Lila ----------Æ 3
Ranúnculo - - - - - - - - - - Æ 5
Espuela ----------Æ 8
Caléndula - - - - - - - - - - Æ 13
Ast er - - - - - - - - - - Æ 21
Tipos de Margarit as - - - - - - - - - - Æ 34; 55; 89
Per o no sólo en el cr ecim ient o de las plant as se encuent ra la espiral
logarít m ica, t am bién aparece en las piñas, los ananas, en las alcachofas, las
conchas de caracol y en los ret or cidos cuernos de los anim ales.
Ahora, una pregunt a: ¿cuál es el único núm er o posit ivo que elevado al
cuadrado da lo m ism o que sum arle 1?
Resolvam os:
[ 2 = [ +1
[ 2 − [ −1 = 0
¿Te r esult a conocida est a ecuación? Por supuest o, es la que da com o
result ado el núm ero de or o Φ
Analicem os lo siguient e:
Φ 2 = Φ +1
Φ 3 = Φ 2 • Φ = (Φ + 1) • Φ = Φ 2 + Φ = Φ + 1 + Φ = 2Φ + 1
Φ 4 = Φ 3 • Φ = (2Φ + 1) • Φ = 2Φ 2 + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 2Φ + 2 + Φ = 3Φ + 2
Φ 5 = Φ 4 • Φ = (3Φ + 2) • Φ = 3Φ 2 + 2Φ = 3(Φ + 1) + 2Φ = 3Φ + 3 + 2Φ = 5Φ + 3
Φ 6 = Φ 5 • Φ = (5Φ + 3) • Φ = 5Φ 2 + 3Φ = 5(Φ + 1) + 3Φ = 5Φ + 5 + 3Φ = 8Φ + 5
Si obser vam os det enidam ent e los result ados obt enidos verem os que aparece
m ágicam ent e la sucesión de Fibonacci, o sea se puede det erm inar que

14. Φ 7 = 13Φ + 8
Φ 8 = 21Φ + 13 , et c.
Conozcam os, ahora, el t riángulo dorado.
Sea el t riángulo ABC isósceles de la figura con base de 1 unidad.
C
36
x x
72 72
A B
Tracem os la bisect riz en B, form ándose dos t riángulos isósceles.
C
36
D 108
x x
72 36
72 36
A B
Los t riángulos ABC y DAB son sem ej ent es, luego
1 [
=
[ −1 1
[ 2 − [ =1
[ 2 − [ −1 = 0
x = Φ
Conozcam os ahora el nudo áureo.

15. El rect ángulo dorado t am bién aparece en las pr oporciones de los t em plos
griegos com o el Part enon, const ruído por Menesicles, baj o la dirección de
Fideas,
en las cat edrales gót icas eur opeas, el edificio de la O.N.U. en New York , en
algunas pint uras com o Leda At óm ica de Dalí, et c.

16. Chart r es y su fabulosa cat edral es uno de los m onum ent os gót icos m ás
represent at ivos de la arquit ect ura m ist érica francesa.
La cat edral est á const ruida siguiendo la ley del núm er o de oro ( 1618) y t odas
las dist ancias ent re los pilares y longit udes de la nave, los cruceros y el coro,
son, t odas, m últ iplos del núm ero de oro.
Cuando quer em os det erm inar el enésim o t érm ino en la sucesión de
Fibonacci, podem os ut ilizar la definición explícit a:
1+ 5  1− 5 
¢ ¢
  − 
 2   2 
   
) =
¢
5
No result a una expr esión fácil, pero con paciencia y buscando el cam ino
adecuado es de gran ut ilidad.
Veam os un ej em plo:
Det erm inar el oct avo núm er o corr espondient e a la serie de Fibonacci. ( Ya
sabem os, por los conej os, que debe salir 21)

17. 8 8
1+ 5  1− 5 
  − 
 2   2 
   
)8 =
5
(1 + 5 ) − (1 − 5 )
8 8
)8 = 256
5
5376 5
)8 =
256 5
)8 = 21
Ot ra curiosidad: En 1876 un fam oso psicólogo alem án, Gust av Fechner ,
llevó a cabo algunos experim ent os t rat ando de est ablecer cuáles de ciert as
propor ciones son de m anera nat ural seleccionadas m ás frecuent em ent e por
un grupo de personas: Se les per m it ía escoger ent re r ect ángulos de
diferent es pr oporciones arr eglados al azar, y se les pedía que escogieran de
acuerdo al que les pareciera m ás est ét ico. Los result ados de sus
experim ent os m ost raron que un 75% de las personas escogen r ect ángulos
cuyos lados t ienen m edidas t ales, que al est ablecer la razón ent re ellas,
result an núm eros m uy pr óxim os a la razón dorada Φ
Una experiencia int eresant e de conocer es la efect uada por est udiant es de
Arquit ect ura y Bellas Art es de la Universidad de Granada quienes hicieron un
análisis m at em át ico de las obras de Velásquez. Ent r e ellos, la alum na María
José Jim enez, dem ost r ó que en /DV 0HQLQDV t odos los per sonaj es est án
inscrit os en un r ect ángulo áureo. Y si a ese r ect ángulo se le incorpora la
espiral de Dur er o, la curv a se inicia j ust o en la palet a del pint ar. I nt er esant e,
¿no les parece?.
Diego Velásquez de Silva ( 1599 – 1660)

18. El ciruj ano plást ico St ephen Marquardt , uno de los m ás pr est igiados de
Hollywood, afirm a que Michelle Pfeiffer es la m uj er m ás bella del m undo, ya
que la m asa facial de la act riz coincide con la fórm ula de la verdadera belleza:
el núm ero de or o.
Marquardt m idió los rost r os de varios fam osos, descubriendo que Michelle
t iene las m edidas perfect as, ya que su boca es 1,618 veces t an ancha com o
su nariz.
Act ualm ent e se han generado algunos cuadr os de gran herm osura,
basados en la espiral de Fibonacci, ut ilizando para ello el program a
com put acional Visual Basic. Un ej em plo es el cuadro creado por Ned May:
Y a seguir probando: t u carnet , las t arj et as de cr édit o, las caj as de
cigarrillos, et c. ¿vivirá en ellos el núm ero de oro?

19. $ /$ ',9,1$ 352325,Ï1
Rafael Albert i
A t i, m aravillosa disciplina,
m edia, ext rem a razón de la herm osura,
que claram ent e acat a la clausura
viva en la m alla de t u ley divina.
A t i, cárcel feliz de la ret ina,
áurea sección, celest e cuadrat ura,
m ist eriosa font ana de m esura
que el Universo ar m ónico origina.
A t i, m ar de los sueños, angulares,
flor de las cinco form as r egulares,
dodecaedro azul, arco sonor o.
Luces por alas un com pás ardient e.
Tu cant o es una esfera t r ansparent e.
A t i, divina proporción de oro.
Aún queda m ucha m ás para exponer sobre el núm er o de or o, per o con la
visión dada m e par ece suficient e para m ot ivar a seguir invest igando sobr e
est e m aravilloso y un poco olvidado núm ero de oro.