Estadistica 2

1. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
1 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente
distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30
focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de
96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa.
n =30
 = 40
x = 780
α= 0.04
2. A muchos pacientes con problemas cardiacos se les implantó un marca pasos para
controlar su ritmo cardiaco. Se monta un módulo conector de plástico sobre la parte
superior del marca pasos. Suponga una desviación estándar de 0.0015 y una distribución
aproximadamente normal, encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media de
todos los módulos conectores que fabrica cierta compañía. Una muestra aleatoria de 75
módulos tiene un promedio de 0.310 pulgadas.
n = 75
 = 0.0015
x = 0.310
α= 0.05
2
2





Z
n
x
Z
n
x 



2
2





Z
n
x
Z
n
x 



02
.
0
02
.
0
30
40
780
30
40
780 Z
Z 


 
025
.
0
025
.
0
75
0015
.
0
310
.
0
75
0015
.
0
310
.
0 Z
Z 


 
795
765 
 
310339
,
0
309661
,
0 
 

2. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
2 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
3. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media
de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Construya un intervalo
de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la universidad.
n = 50
 = 6.9
x = 174.5
α= 0.02
4. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate energético de cierta marca tiene, en
promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Construya un intervalo
de confianza de 99% para el contenido medio real de calorías de esta marca de barras de
chocolate energético. Suponga que la distribución de las calorías es aproximadamente
normal.
n = 10
s = 15
x = 230
α= 0.01
2
2





Z
n
x
Z
n
x 



   
1
1
2
2





 n
t
n
s
x
n
t
n
s
x 
 
01
.
0
01
.
0
50
9
.
6
5
.
174
50
9
.
6
5
.
174 Z
Z 


 
   
1
10
10
15
230
1
10
10
15
230 005
.
0
005
.
0 




 t
t 
77
.
176
23
.
172 
 
42
.
245
58
.
214 
 

3. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
3 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
5. Las siguientes mediciones se registraron para el tiempo de secado, en horas, de cierta
marca de pintura de látex: 3.4; 2.5; 4.8; 2.9; 3.6; 2.8; 3.3; 5.6; 3.7; 2.8; 4.4; 4.0; 5.2; 3.0; 4.8
Suponga que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal,
encuentre un intervalo con 95% de confianza para el promedio de los tiempos de secado.
n = 15
s = 0,971
x = 3,787
α = 0.05
6. En una muestra aleatoria de 1000 casas en cierta ciudad, se encuentra que 228 se
calientan con petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de
casas en esta ciudad que se calientan con petróleo.
n = 1000
p̂ = 228/1000 = 0.228
α = 0.01
   
1
1
2
2





 n
t
n
s
x
n
t
n
s
x 
 
   
n
p
p
Z
p
p
n
p
p
Z
p
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
2
2





 

   
1
15
15
1
15
15
025
.
0
025
.
0 




 t
s
x
t
s
x 
   
1000
228
.
0
1
228
.
0
228
.
0
1000
228
.
0
1
228
.
0
228
.
0 005
.
0
005
.
0





 Z
p
Z
324
.
4
249
.
3 
 
263
.
0
194
.
0 
 p

4. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
4 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
7. Calcule un intervalo de confianza de 98% para la proporción de artículos defectuosos en
un proceso cuando se encuentra que una muestra de tamaño 100 da 8 defectuosos.
n = 100
p̂ = 8/100 = 0.08
α= 0.02
8. Se considera un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes
pequeños de corto alcance. El sistema existente tiene p = 0.8 como probabilidad de
lanzamiento exitoso. Se realiza una muestra de 40 lanzamientos experimentales con el
nuevo sistema y 34 resultan exitosos.
a) Construya un intervalo de confianza de 95% para p.
b) ¿Concluiría que el nuevo sistema es mejor?
n = 40
p̂ = 0.8
α = 0.05
n = 40
p̂ = 0.85
α = 0.05
   
n
p
p
Z
p
p
n
p
p
Z
p
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
2
2





 

   
n
p
p
Z
p
p
n
p
p
Z
p
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
2
2





 

   
100
08
.
0
1
08
.
0
08
.
0
100
08
.
0
1
08
.
0
08
.
0 01
.
0
01
.
0





 Z
p
Z
   
40
85
.
0
1
85
.
0
8
.
0
40
85
.
0
1
85
.
0
85
.
0 025
.
0
025
.
0





 Z
p
Z
165946
.
0
029677
.
0 
 p
   
40
8
.
0
1
8
.
0
8
.
0
40
8
.
0
1
8
.
0
8
.
0 025
.
0
025
.
0





 Z
p
Z
923959
.
0
676041
.
0 
 p

5. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
5 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Ya que p=0.8 cae en el intervalo de confianza, no se puede concluir que el nuevo sistema es
el mejor.
9. Un fabricante de baterías para automóvil afirma que sus baterías durarán, en promedio,
tres años con una varianza de un año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9,
2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, construya un intervalo de confianza de 95% para 2 y decida si la
afirmación del fabricante de que 2 = 1 es válida. Suponga que la población de duraciones
de las baterías se distribuye de forma aproximadamente normal.
n = 5
α= 0.05
De acuerdo al intervalo de confianza para la varianza, se puede afirmar que la 2 = 1.
10. Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtiene una media de 72 y una varianza de 16
en un examen de colocación en matemáticas. Suponga que las calificaciones se distribuyen
normalmente y construya un intervalo de confianza de 98% para 2.
n = 20
s= 4
x = 72
α=0.02
 
 
 
 
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2






 n
s
n
n
s
n

 


 
 
 
 
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2






 n
s
n
n
s
n

 


 
 
 
 
1
5
1
*
1
5
1
5
1
*
1
5
2
975
.
0
2
2
025
.
0 








960656
.
0
739344
.
0 
 p
730
.
6
293
.
0 2

 

6. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
6 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
11. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma
aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40
horas. Pruebe la hipótesis de que  = 800 horas contra la alternativa   800 horas si una
muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de
significancia de 0.04.
n = 30
x = 788
 = 40
Con (1-0.04)100% de confianza rechace 0
H a favor de 1
H si:
Error
estándar
de la
N Media media IC de 96% Z P
30 788,00 7,30 (773,00; 803,00) -1,64 0,100
Como el valor p=0,10 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
Hipótesis Nula 0
H , lo que quiere decir,que se distribuyeen promedio 800 horas de luz.
800
:
800
:
1
0




H
vs
H
2
0



Z
n
x


02
.
0
30
40
800
788
Z


 
 
 
 
1
20
16
*
1
20
1
20
16
*
1
20
2
99
.
0
2
2
01
.
0 








8
.
39
4
.
8 2



7. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
7 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
12. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante
particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2,
9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de
0.01 y suponga que la distribución del contenido es normal.
n = 10
x = 10,06
s = 0,2459
Con (1-0.01)100% de confianza rechace 0
H a favor de 1
H si:
Error
estándar
de la
Variable N Media Desv.Est. media IC de 99% T P
contenido 10 10,0600 0,2459 0,0777 (9,8073; 10,3127) 0,77 0,460
Como el valor p=0,460 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
Hipótesis Nula 0
H , lo que quiere decir, contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de
10 litros.
13. Un ingeniero civil está probando la resistencia de compresión del concreto. Prueba 12
muestras y obtiene los siguientes datos:
2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295
Las especificaciones indican que la resistencia media del concreto debe ser 2250 psi. ¿Se
puede concluir que este concreto cumple con las especificaciones? Use un nivel de
significancia de 0.05
10
:
10
:
1
0




H
vs
H
)
1
(
2
0



n
T
n
s
x


)
9
(
10
10
005
.
0
T
s
x


2250
:
2250
:
1
0




H
vs
H

8. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
8 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
n = 12
x = 2259,9
s = 35,6
Con (1-0.05)100% de confianza rechace 0
H a favor de 1
H si:
Error
estándar
de la
Variable N Media Desv.Est. media IC de 95% T P
resistencia 12 2259,9 35,6 10,3 (2237,3; 2282,5) 0,97 0,355
Como el valor p=0,355 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
Hipótesis Nula 0
H , es decir, que cumple con las especificaciones.
14. En cierto proceso industrial se afirma que la variabilidad del mismo, medida a través de
la desviación estándar, no supera las 5 unidades. Una muestra aleatoria de tamaño 10
proporcionó una desviación estándar de 3.58 unidades. ¿Es válida la afirmación de que la
desviación estándar es menor a 5 unidades? Use =0.05
n = 10
s = 3.58
Con (1-0.05)100% de confianza rechace 0
H a favor de 1
H si:
)
1
(
2
0



n
T
n
s
x


)
11
(
12
2250
025
.
0
T
s
x


   
1
1 2
1
2
0
2



 n
s
n
a


   
9
25
8164
.
12
*
1
10 2
95
.
0



5
:
5
:
1
0




H
vs
H
   
9
5
58
.
3
*
1 2
95
.
0



n

9. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
9 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Estadística
Método de prueba GL Valor p
Chi-cuadrada 4,61 9 0,133
Como el valor p=0,133 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
Hipótesis Nula 0
H , es decir, que la desviación estándares menor a 5 unidades.
15. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de
fotolito grafía. Se prueba una muestra aleatoria de 300 circuitos, la cual da como resultado
13 circuitos defectuosos. Según el departamento de calidad la proporción de fallas es del
5%. ¿se puede afirmar que los departamento de calidad tienen razón? Use un nivel de
significancia de 0.05.
n = 300
x = 13
p̂ = 13/300 = 0.04
Con (1-α)100% de confianza rechace H0 a favor de H1 si:
Valor p
Muestra X N Muestra p IC de 95% exacto
1 13 300 0,043333 (0,023272; 0,072961) 0,605
05
.
0
:
05
.
0
:
1
0


p
H
vs
p
H
  2
0
0
0
1
ˆ

Z
n
p
p
p
p



  025
.
0
300
05
.
0
1
05
.
0
05
.
0
04
.
0
Z




10. Maestría en Mejora de Procesos
Profesor:Marcos Mendoza
10 Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Como el valor p=0,605 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la
Hipótesis Nula 0
H , es decir, que la proporción de fallas es aproximadamentedel 5%.