introducción a vibraciones torsionales

1. FACULTAD DE ESTUDIOS
SUPERIORES
ARAGÓN
INGENIERÍA MECÁNICA
VIBRACIONES MECÁNICAS
“Vibraciones torsionales”
Alumno: DavidRicardoFernández Cano Veronico
Grupo: 1753
Fechade entrega:04/11/2016

2. 2
Contenido
Vibración torsional ...............................................................................................................3
Frecuencia natural en la vibración torsional ....................................................................6
Oscilación síncrona y asíncrona........................................................................................6
Eje con varias masas de inercia........................................................................................7
Determinación de autovalores .........................................................................................11
Régimen transitorio en los sistemas vibratorios ...........................................................12
Régimen transitorio en la etapa de arranque ................................................................13
Señales transitorias ...........................................................................................................17
Fuerzas impulsivas ............................................................................................................17
Diseño bajo fuerzas impulsivas .......................................................................................18
Respuesta transitoria.........................................................................................................19
Bibliografía ..........................................................................................................................19

3. 3
Vibración torsional
La vibración torsional se presenta con la dirección angular 𝜃 alrededor del centro
de un eje. Esta es una función de la posición a lo largo del eje ( 𝑥) y del tiempo ( 𝑡).
La ecuación que describe su movimiento se obtiene al considerar el balanceo de
los momentos presentes en un elemento infinitesimal de largo 𝑑𝑥.
La vibración torsional es el movimiento angular oscilatorio en uno o más grados de
libertad angular, alrededor de una posición de equilibrio. Los problemas de
vibración torsional se presentan muy a menudo en problemas del diseño de ejes.

4. 4
Las vibraciones torsionales se presentan en todos los elementos de máquinas que
están sujetos a rotación, manifestándose en el arranque, paradas, y operación a
velocidades variables. Las vibraciones lineales son fácilmente percibidas en los
elementos de maquinas, debido a que estás producen ruido y además son muy
visibles en los soportes, donde incluso se puede llegar a tener problemas de
movimiento de la maquina si es que esta no se encuentra correctamente anclada
a una base fija. Sin embargo, para la detección de las vibraciones torsionales no
ocurre lo mismo, están son de difícil detección, ya que debido a las estructuras
adyacentes al eje de rotación, generalmente no son notadas hasta que ocurre la
falla del sistema.
Algunas de las consecuencias de la excesiva vibración torsional sobre los
elementos de máquinas son: puede generar torceduras en ejes o árboles de levas,
fallas en los acoplamientos, elevados niveles de ruido en engranajes, falla en
dientes de engranajes, aflojamiento de los embobinados de los motores eléctricos
o aflojamiento y falla de las transmisiones en cadena.
En la siguiente tabla se muestran las diferentes formulas para los momentos de
inercia de las secciones transversales de las vigas sometidas a torsión.

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En la siguiente figura se muestran las distintas configuraciones para un eje
sometido a vibración torsional junto con sus frecuencias características y los
modos que generan.

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Frecuencia natural en la vibración torsional
La vibración natural se presenta en el caso de la torsión cuando un sistema
torsional no amortiguado está vibrando libremente y no tiene intervención de
ninguna fuerza, torque o momento externo para mantener la vibración; ya que el
torque que produce la vibración es solo instantáneo, entonces se dice que esta
vibrando a una de sus frecuencias naturales torsionales (también tiene frecuencias
naturales por flexión).
Un sistema eje-rotor posee un número de frecuencias naturales discretas de
vibración por torsión y dependiendo de esta frecuencia natural se asocia a cada
una un modo de vibración, el cual a su vez genera una distorsión geométrica del
eje en el instante de máxima deformación durante la vibración.
El método de Holzer es un método de cálculo para determinar las frecuencias
naturales y los fenómenos promedio en los sistemas torsionales, en el cual se
supone una frecuencia natural y se le asigna inicialmente una amplitud unitaria en
un extremo del sistema, después se calcula progresivamente el torque y el
desplazamiento angular en el otro extremo. Las frecuencias que resulten en torque
externo cero o en condiciones de frontera compatibles en el otro extremo, serán
las frecuencias naturales torsionales del sistema. Los desplazamientos angulares
( 𝜃)correspondientes a estas frecuencias naturales son las formas modales o
promedio de las deformaciones torsionales.
Oscilación síncrona y asíncrona
Para el caso de los ejes rotatorios el desbalance es una de las fuentes más
comunes de oscilación, este podrá generar una oscilación síncrona con la
velocidad del eje, sin embargo, no todas las vibraciones son síncronas, también se
producen las vibraciones asíncronas, y estas últimas se involucran en los
problemas de vibraciones más destructivos.
En la siguiente imagen se puede apreciar una vista de un rotor (eje y disco)
oscilando y describe la diferencia esencial entre los dos tipos de movimiento; el

7. 7
elemento sombreado en color negro representa la una pequeña masa
desbalanceada. Para el caso del esquema de la derecha se presenta la vibración
síncrona y el caso representado por la figura de la izquierda es el de la vibración
asíncrona.
Si la velocidad de oscilación es la razón de cambio del ángulo 𝜑 respecto al
tiempo (
𝑑𝜑
𝑑𝑡
= 𝜑̇), entonces el ángulo β permanece constante y la velocidad de
oscilación y la del eje son iguales. De esta manera se presenta la oscilación
síncrona. Según se muestra en esta imagen el desbalance U del rotor está
adelantado respecto al vector de oscilación V por un ángulo constante β.
Para la imagen de la oscilación asíncrona la razón de cambio del ángulo β
respecto al tiempo (
𝑑β
𝑑𝑡
= β̇ ) es la velocidad de rotación del rotor con respecto al
vector de oscilación V; de esta forma la velocidad del eje se presentaría como la
suma: 𝜑̇ + β̇ . En este caso la velocidad de oscilación y la del eje no son iguales
(oscilación asíncrona).
Eje con varias masas de inercia
A diferencia de la vibración lineal o lateral que se desarrolla en un plano
transversal al eje de rotación, la vibración torsional se presenta en planos que
rotan respecto a los ejes de giro de las máquinas rotativas; los elementos que
intervienen en su análisis se presentan según el diagrama de cuerpo libre que se
presenta a continuación:

8. 8
En este diagrama se consideran las inercias polares de los discos y la rigidez
torsional cada una de las secciones de eje según sea el caso. Cabe mencionar
que para el análisis en máquinas rotativas la función que desempeñan los apoyos
no influye en la vibración torsional, pues la acción que éstas puedan generar se
presentan en planos transversales, por lo que la función de los apoyos solo se
considera para el caso de análisis de los sistemas con vibraciones en flexión.
La inercia de cada sección del eje es usualmente dividida en partes iguales y
concentradas dentro de los discos a cada extremo de la sección. La rigidez
torsional en cada sección de un eje está dada por:
𝑘 𝑛 =
𝐺𝐼 𝑝𝑛
𝑙 𝑛
Donde:
𝐼𝑝𝑛 =
𝜋𝑑 𝑛
2
32
: Momento de inercia polar para el caso de un eje macizo en la sección 𝑛

9. 9
𝐺: Módulo de corte
𝑙 𝑛: Longitud del eje en la sección 𝑛
𝑑 𝑛: Diámetro del eje en la sección 𝑛
El concepto de sección es introducido para representar a un elemento de inercia
con su respectivo elemento flexible; esto quiere decir que una estación se
compone de un disco con su respectivo momento polar de inercia (que puede
representar un engrane o una rueda) y el eje elástico contiguo (elemento eje).
Usualmente las porciones con forma de discos de grandes diámetros son
representadas en un modelo por un elemento masa y las porciones con más
delgadas representan porciones del eje; pero para poder obtener resultados
mejores un eje de longitud apreciable puede ser dividido en un número adecuado
de secciones para poder obtener mejores resultados. En la siguiente imagen
anterior muestra la 𝑛 −ésima estación que consiste en una masa inercial
conectada a la rigidez del eje.
En el análisis de vibración torsional el número de estaciones 𝑁 debe ser como
mínimo uno más que el número de frecuencias naturales a calcular.
Para representar la disipación de la energía vibratoria, se incorporan en los
sistemas vibratorios amortiguadores viscosos, las características viscosas
producen torques opuestos y linealmente proporcional a la velocidad angular del
amortiguador.

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Los amortiguadores son denotados por 𝐶 𝑛 y representan la energía disipada en el
movimiento torsional relativo a los ejes y acoplamientos; los amortiguadores
denotados por 𝐵 𝑛 y representan la energía disipada por los soportes. El propósito
de agrupar los parámetros en secciones o estaciones discretas es describir
matemáticamente la dinámica de cada inercia por una ecuación diferencial
ordinaria, evitando las ecuaciones en derivadas parciales más complejas
requeridas para el modelo de masas distribuidas, que deberían ocuparse si se
considera el eje como un modelo completo de estudio con las distintas masas de
inercia añadidas.
Si 𝜃 𝑛 es el desplazamiento angular de la 𝑛 −ésima masa de inercia, el sistema
tiene 𝑁 grados de libertad, es decir tiene 𝑁 coordenadas generalizadas (1 ≤ 𝑛 ≤
𝑁); de esta forma el movimiento del eje en rotación es entonces modelado por 𝑁
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes constantes.
Esta ecuación diferencial puede ser deducida de las leyes de Newton, o por medio
de las ecuaciones de Lagrange. Generalmente son estas últimas las que se
ocupan para el análisis de ejes rotativos.
En el análisis de las ecuaciones de Lagrange se tiene que a cada coordenada le
corresponde un movimiento 𝜃 𝑛( 𝑡) que satisface las ecuaciones de Lagrange,
escritas en función de 𝜃̇ 𝑛 y 𝜃 𝑛:
𝑑
𝑑𝑡
[
𝜕𝐿
𝜕𝜃̇ 𝑛
] −
𝜕𝐿
𝜕𝜃 𝑛
= 𝑄 𝑛
Donde
𝐿 = 𝐸 − 𝑈: Función de Lagrange
𝐸: Energía cinética del sistema
𝑈: Energía potencial del sistema
𝑄 𝑛 : Torque no conservativo de la 𝑛 −esima coordenada

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La energía cinética 𝐸 se considera como la suma alrededor de todas las masas de
inercia
𝐼 𝑝𝑛 ×𝜃̇ 𝑛
2
2
, por lo que queda expresada como:
𝐸 = ∑
𝐼𝑝𝑛 × 𝜃̇ 𝑛
2
2
𝑁
𝑛=1
Mientras la energía potencial 𝑈 se calcula sumando todas las energías de los
elementos elásticos torsionales
𝑈 = ∑
𝑘 𝑛( 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑛+1)2
2
𝑁−1
𝑛=1
Si en el sistema de transmisión se presentan engranes reductores o
multiplicadores de velocidad, se calcula
𝐼 𝑝𝑛 = 𝑟𝑡
2
𝐼′ 𝑝𝑛
𝑘 𝑛 = 𝑟𝑡
2
𝑘′ 𝑛
Donde
𝑟𝑡 : Relación de transición
𝐼′ 𝑝𝑛 : Inercia resultante de la sección 𝑛
𝐼𝑝𝑛: Inercia efectiva
𝑘′ 𝑛: Rigidez resultante en la sección 𝑛
𝑘 𝑛: Rigidez efectiva
Determinación de autovalores
Los autovalores en términos matemáticos corresponden con las frecuencias
naturales, y con frecuencia estas son el objetivo más importante dentro del análisis
de los sistemas torsionales. De la misma manera la determinación de los

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autovectores corresponde en un sistema de vibración torsional con los modos de
la vibración torsional.
Las ecuaciones diferenciales son linealizadas tomando el torque inicial como una
constante, y los valores de 𝜃 𝑛. Las ecuaciones resultantes son lineales y también
pueden caracterizarse como ecuaciones diferenciales homogéneas, de segundo
orden y con coeficientes constantes. Con este método se tienen la solución para
estas ecuaciones de la forma
𝜃 𝑛( 𝑡) = ‖ 𝑎‖ 𝑐𝑜𝑠( 𝜔 𝑛 𝑡)
Donde
‖ 𝑎‖: es la amplitud de la 𝑛 −ésima sección
Régimen transitorio en los sistemas vibratorios
Se sabe que la energía total de un sistema, cualquiera que éste sea: mecánico,
eléctrico, electromecánico, etc., no puede variar bruscamente, no es posible pasar
de una forma de energía a otra forma de energía instantáneamente.
Este principio en el caso de los sistemas vibratorios implica que la energía no es
posible pasar de un estado de régimen permanente a otro estado de régimen no
permanente de una manera instantánea o discontinua de forma que se tiene
presente el llamado régimen transitorio. Este régimen transitorio puede ser
oscilante o aperiódico.
El régimen transitorio se presenta aperiódico cuando los parámetros que definen
el estado de un sistema están sujetos a variaciones unidireccionales. Y es
oscilante cuando tales variaciones son periódicas, en ambos casos las variaciones
se superponen al régimen final.
Por lo general tanto en los regímenes permanentes o transitorios si la causa que
dio origen a estos, cesa o se estabiliza, las variaciones terminan por amortiguarse,
quedando al final únicamente un nuevo régimen permanente.

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Se acepta que el tiempo de duración de un régimen transitorio ha terminado
cuando las variaciones en el tiempo de los parámetros afectados no son ya
medibles, pues generalmente este no queda bien delimitado, ya que los cálculos
en teoría lo suponen infinito.
Si se considera un sistema electromecánico, los regímenes transitorios eléctricos
están asociados con circuitos eléctricos conteniendo inductancias y capacitancias,
de forma análoga en el caso de los regímenes transitorios mecánicos con
elementos mecánicos estos están dotados de inercia y rigidez.
La presencia de los regímenes transitorios se observa en los sistemas
electromecánicos cuando ocurre cualquier variación brusca en los parámetros
como el incremento de la corriente, del voltaje o la autoinducción, son causa de
perturbaciones eléctricas o mecánicas. Estos casos se presentan por ejemplo
cuando se realiza el cierre o apertura de un circuito, la etapa de arranque de un
motor o el cambio de carga del mismo,
Régimen transitorio en la etapa de arranque
Durante la etapa de arranque de un motor síncrono se producen vibraciones
torsionales muy importantes a analizar, a continuación se presenta una
descripción de esta etapa.
Los motores síncronos de polos salientes son puestos en marcha por medio de
inducción, con el campo cortocircuitado a través de un resistor, lo que genera un
esfuerzo de torsión pulsante durante el arranque, con una frecuencia de excitación
igual al doble de la frecuencia de deslizamiento del motor.

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Si consideramos que la frecuencia de la línea de alimentación es de 60 Hz, la
excitación comienza a 120 Hz, la cual decrece linealmente hasta cero cuando el
motor alcanza la velocidad de sincronismo (como se muestra en las figura 1).
Las frecuencias naturales que se presentan dentro de rango son excitadas durante
la etapa de arranque (lo cual se muestra en la figura 2).

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Figura 1: frecuencia de la máquina síncrona en función de la velocidad del rotor
Figura 2: frecuencias excitadas durante la etapa de arranque
Las tensiones que se presentan durante la etapa transitoria deben de ser
calculadas, debido a que el esfuerzo de torsión pulsante puede ser lo bastante alto
como para exceder el límite de resistencia torsional del eje, por lo que también
deben de ser posteriormente comparadas con límite de resistencia torsional del
eje. No es necesario que las tensiones transitorias sean menores que la tensión

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del límite de resistencia; sin embargo, las tensiones deben ser suficientemente
bajas como para permitir un número aceptable de arranques.
Un caso particular de estos problemas se presenta en los programas de diseño de
helicópteros para mantener la estabilidad torsional del motor y del tren motriz
mientras se proporciona una respuesta suficientemente rápida a las demandas
para los cambios de velocidad. El esquema a continuación representa el tren
motor de un helicóptero:
En el esquema se aprecian los principales elementos de su funcionamiento
generador de gas (que produce un torque), el tren motriz y el controlador de
velocidad. El tren motriz es un sistema torsional de tres inercias (turbina, caja de
engranajes, hélice) y tiene dos frecuencias naturales diferentes de cero. La rigidez
torsional del eje 2 de la hélice es reducida grandemente por el cociente del
cuadrado de la relación de transmisión, lo cual produce bajas frecuencias
naturales.

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Señales transitorias
Las señales transitorias aparecen cuando el sistema es sometido a la acción de
fuerzas excitadoras que actúan por un breve período de tiempo, estas fuerzas
provocan vibraciones que tienden a desaparecer un tiempo después que cesa su
acción. Entre esas fuerzas excitadoras se encuentran las de tipo impulsivo.
Fuerzas impulsivas
Cuando se aplica una fuerza de corta duración, usualmente de un período menor
que el período natural de un sistema, se denomina fuerza impulsiva.
Los sistemas de vibración electromecánica pueden estar sometidos a fuerzas
excitadoras que provoque un cierto comportamiento dentro del mismo. En la
siguiente figura se muestra el comportamiento de una fuerza impulsiva con
respecto al tiempo.
Las fuerzas impulsivas tienen como característica que tienen un tiempo de
duración muy pequeño, pero son de elevada magnitud por lo que le imprimen al
sistema una velocidad inicial que será proporcional a su masa (inercia) y a su
amortiguamiento.
La fuerza impulsiva se representa mediante la segunda ley de Newton y a partir de
esta se puede obtener el impulso provocado por la fuerza como

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𝑖 = ∫ 𝐹( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑡+∆𝑡
𝑡
Si ∆𝑡 → 0, entonces la fuerza impulsiva es comparativamente grande y se
considera que el impulso 𝑖 adquiere el valor de la unidad. Esto quiere decir que la
fuerza impulsiva será unitaria cuando ∆𝑡 → 0 y tomara las características de una
función 𝛿( 𝑡 − 𝜏).
Diseño bajo fuerzas impulsivas
Esta fuerza impulsiva causa un incremento significativo de los desplazamientos,
velocidades, aceleraciones o también de los esfuerzos de un sistema mecánico.
Por lo general la fatiga es una de las mayores causas de falla bajo excitaciones
armónicas, sin embargo este fenómeno no es importante cuando el sistema es
sometido a cargas impulsivas.
El impulso puede ser descrito mediante un impacto, velocidad de impacto o
mediante el espectro de respuesta impulsiva. Los pulsos de impacto son
introducidos como la aplicación súbita de fuerzas o desplazamientos en la forma
de funciones de tipo rectangular, medio seno, triangular o funciones similares
como las mostradas en la figura 3. Un impulso de velocidades es causada por un
cambio súbito de la velocidad, como consecuencia de dejar caer algún cuerpo de
una altura determinada. En el espectro de respuesta impulsiva se describe la
forma como una máquina o estructura, responde a un impacto específico.
Diferentes tipos de pulsos impulsivos son usados en productos comerciales,
industriales o militares.
Figura 3

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Respuesta transitoria
En los sistemas mecánicos la respuesta transitoria de un sistema se presenta en
ocasiones en las que sucede por ejemplo un choque. El choque representa una
aplicación súbita de una fuerza u otra forma de perturbación. El valor máximo de la
respuesta es una buena medida de la severidad del choque y depende de las
características del sistema.
Bibliografía
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CRC y Press.
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20. 20
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