Constante de integración, un ejemplo y un problema de aplicación.

1. 4𝑥² + 3𝑥 − 5 𝑑𝑥 =
1. Encuentre el valor de la constante de integración de la siguiente integral:
4𝑥3
3
+
3𝑥2
2
− 5𝑥 + 𝐶
Cuando se tiene: F( 2 ) = 5
4𝑥² + 3𝑥 − 5 𝑑𝑥 =
Ahora se sustituyen las condiciones iniciales en el último resultado:
𝐹 2 =
4(2)3
3
+
3(2)2
2
− 5 2 + 𝐶 = 5
32
3
+ 6 − 10 + 𝐶 = 5
6.67 + 𝐶 = 5 𝐶 = 5 − 6.67 = −1.67 Finalmente se tiene:
4𝑥² + 3𝑥 − 5 𝑑𝑥 =
4𝑥3
3
+
3𝑥2
2
− 5𝑥 − 1.67
Para F( 2 ) = 5

2. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. PROBLEMA.
1. Un fabricante indica que el costo marginal es: 𝐶´ 𝑞 = 3𝑞2
− 60𝑞 + 400 dólares por unidad,
Cuando se producen q unidades. El costo total de producir las primeras 2 unidades es de
900 dólares. ¿Cuál es el costo total de producir las primeras 5 unidades?
Solución:
El costo marginal es la derivada del costo total, entonces C(q) es la integral:
3𝑞² − 60𝑞 + 400 𝑑𝑞 =
3𝑞3
3
−
60𝑞2
2
+ 400𝑞 + 𝐾
𝑞3
− 30𝑞2
+ 400𝑞 + 𝐾 𝐶 2 = 𝑞3
−30𝑞2
+ 400𝑞 + 𝐾 = 900
𝐶(2) = (2)3
−30 2 2
+ 400(2) + 𝐾 = 900
8 − 120 + 800 + 𝐾 = 900 688 + 𝐾 = 900
𝐾 = 900 − 688 = 212
El costo de producir 5 unidades es: 𝐶(5) = (5)3
−30 5 2
+ 400(5) + 212
𝐶 5 = 125 − 750 + 2000 + 212 = 1,587 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠