Trabajo para Matemática

1. Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal.
LA DERIVADA Y SUS
APLICACIONES.
Frank Molina
C.I: 26.205.444
Julio de 2021.

2. Introducción.
La matemática es una ciencia que está en todos lados y la derivada que forma
parte de esta, también lo está, es muy útil para saber si una función es creciente o
decreciente, encontrar máximos y mínimos, concavidad, puntos de inflexión, etc.
Un ejemplo de lo que estamos hablando, se da en el ámbito financiero, por
ejemplo, si conocemos la función ganancia y costo de una empresa por mes, la
derivada nos ayuda a encontrar cuáles son esos puntos máximos de ganancia y
mínimos de los costos, para que dicha empresa pueda ser rentable.
Por esta y más razones, a continuación se presentaran conceptos que nos
ayudaran a entender mejor las derivadas de una función, como lo son las
derivadas por definición, el criterio de la segunda derivada y como este nos
permite identificar la concavidad, mediante elementos como máximos y mínimos,
puntos de inflexión y su gráfica.

3. Índice.
1. Concepto de Derivada.
2. Derivada por Definición.
3. Criterio de la Segunda Derivada.
3.1. Puntos de Inflexión y número de Inflexión.
3.2.Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos.
4. Aplicación.
5. Conclusiones.
6. Referencias Electrónicas.

4. 1. Concepto de Derivada
La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva de la
misma, evaluada en un punto. Esto es: sea F(x) la función a estudiar, entonces
F´(Xo)=m, donde m es la pendiente antes mencionada y Xo el valor donde se
evalúa la F’(x).
Gráficamente seria:
2. Derivada por Definición
La definición de derivada es la siguiente:
Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto.
3. Criterio de la Segunda Derivada
En el cálculo, la segunda derivada, derivada segunda o derivada de segundo
orden, de una función f es la derivada de la derivada de f. En el gráfico de una
función, la segunda derivada corresponde a la curvatura o concavidad del gráfico.
El criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la
siguiente manera.
a) Puntos críticos.
b) Valores máximos y mínimos.
c) Punto de inflexión.
d) La gráfica de la función.

5. Antes de analizar cómo es la relación de la segunda derivada conoceremos
algunas definiciones:
Sea f una función entonces:
a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.
b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.
Cóncava hacia abajo: Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando
la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a, b). Si la pendiente de
la recta tangente decrece a medida que esta se mueve a lo largo de la curva.
Una línea recta no tiene concavidad
3.1. Puntos de inflexión y número de inflexión:
Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales
que b<a<c y además:

6. a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a, c), o
viceversa.
Bajo las condiciones anteriores el punto (a, f(a)) se llama punto de inflexión, y al
número a se llama número de inflexión.
Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,
b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.
3.2. Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos
Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo
abierto conteniendo al número a. Si f´´ está definida entonces podemos considerar
los siguientes aspectos:
a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
Este criterio nos ayuda a hacer un gráfico que se asemeje más a la función dada,
hallando los intervalos de concavidad, ya sea hacia arriba o abajo
4. Aplicación
La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los
puntos críticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son
máximos o mínimos.
Si hay extremos, podemos deducir la monotonía de la función alrededor de éstos.
Además de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser
puntos de inflexión (puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo
(concavidad y convexidad)).
Ejemplo
Determinar si los extremos de la siguiente función son máximos o mínimos:
Calculamos la primera derivada:

7. Calculamos los puntos críticos:
Calculamos la segunda derivada:
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
Por tanto, f tiene un máximo local en x=0 y un mínimo local en x=2.
Gráfica:

8. Conclusiones
Podemos concluir en que la importancia de la Derivada, recae en que tiene un
amplio uso en muchas áreas de la ciencia, como por ejemplo la Astronomía, La
Medicina, La Química, la Metalúrgica, La Mecánica, etc. Podemos decir en
resumen que la aplicación de la derivada sirve para resolver problemas de
optimización de los resultados, es decir donde la función alcance sus máximos o
mínimos, monotonía, es decir el comportamiento de crecimiento o no. Puntos de
inflexión, concavidad. Que los podemos interpretar como los parámetros y
variables, necesario para resolver los problemas en cualquier campo de estudio de
los antes mencionados.

9. Referencias.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Der
ivada_de_una_funcion.htm
https://sites.google.com/site/gurpo4matematica/criterio-de-la-segunda-derivada
https://blogs.ua.es/matesfacil/funciones/criterio-de-la-segunda-derivada/