Estructuras Discretas. Teoria de Conjuntos

1. Gregory Cordero
C.I. 14.879.114

2. La teoría de los conjuntos se compone de tres
elementos básicos que son:
1. Elementos
2. Conjuntos
3. Relación de pertenecía (Є)
Es un conjunto La reunión en un todo de objetos bien
definidos y diferenciables entre si, que se llaman
elementos del conjunto.
Conjunto Universal: El conjunto que contiene
todos los elementos a considerar.

3. Diagrama de Venn:
Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente
en representar los conjuntos matemáticos con unas
“circunferencias”. Con estas circunferencias se
representan una serie de operaciones como
la unión, la intersección, etc.
Ejemplos:
Subconjunto:
La unión:

4. Ejemplos de conjuntos:
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q: el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Normalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y los
elementos con letras minúsculas.
Los conjuntos se pueden definir por:
Extensión: enumerando todos y cada uno de sus elementos.
A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}
Comprensión: diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o
iguales a 1 y menores o iguales a 5)

5. Pertenencia: La relación clave en un conjunto es la pertenencia:
cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un
miembro de B, se denota por a ∈ B
y si no lo es, se denota por a ∉ B.
Ejemplo:
4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero 7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B
Subconjuntos: Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto
que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos)
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento
de A es a su vez un elemento de B. Simbólicamente lo
expresaremos como: A Ì B Û ( " x Î U) ( x Î A Þ x Î B )
Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:
1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.
2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B.
3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C.

6. Conjunto Potencia: El conjunto potencia de A es el conjunto Ã(A)
cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Esto es:
Ã(A)={X/ X Ì A}
Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces
Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}
Características del Conjunto Potencia:
1. La principal característica de este conjunto es que es un
conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son
conjuntos.
2. Dado un conjunto A podemos conocer el número de
elementos de à (A), ya que si A tiene n elementos,
entonces Ã(A) tiene 2n elementos.
El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la
relación de inclusión.
Teorema. A Ì B Û Ã(A) Ì Ã(B)

7. Igualdad de Conjuntos: Entenderemos la igualdad de conjuntos en
sentido de identidad, es decir, los conjuntos A y B son iguales, y
escribiéremos A=B, si ambos tienen exactamente los mismos
elementos.
El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos
son iguales.
Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,
A=BÛAÌBÙBÌA
Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la
definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:
(x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A )

8. Unión e Intersección de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos la
unión de A y B es el conjunto: A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
Propiedades de la Unión de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes
propiedades:
1. AUA=A
2. AUU=U
3. AUf=A
4. AUB = BUA
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define
como el conjunto:
A I B = { xÎ U / xÎ A Ù xÎ B}
Es decir, los elementos que están en A y también están en B.

9. Diferencia :
Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B
como el siguiente conjunto.
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los elementos que
están en A pero que no están en B.
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)
2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)
3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)
4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

10. Complemento:
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de
elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se
representa por comprehensión como: A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
1. A - B = AI C(B)
2. C(C(A)) = A
3. AUC(A) = U
4. AI C(A) = f
5. C(U) = f
6. C(f ) = U
7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)
Teorema: (Leyes de De Morgan para conjuntos)
1. C(AUB) = C(A) I C(B)
2. C(AIB) = C(A) U C(B)

11. Leyes del algebra de conjuntos:
• Leyes de Idempotencia
a) A U A = A I A = A
b) A
• Leyes Asociativas
a) A U (BUC) = (AUB) U C
b) A I (BIC) = (AIB) I C
• Leyes Conmutativas
a) AUB=BUA
b) AIB=BIA
• Leyes Distributivas
a) A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)
b) A
• Leyes de Identidad
a) A U f = A I f = f
b) A

12. Leyes del algebra de conjuntos:
• Leyes de Dominación
a) A U U = U U: conjunto universal
b) A I U = A
• Leyes de Complementación
a) A U C(A) = U
b) A I C(A) = f f f) = U
c) C (C(A)) = A
d) C (U) =
e) C(
• Leyes de De Morgan
a) C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)
b) C(A

13. Productos Cartesiano
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto
producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = {
(a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A
Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
1. Ax B = F Û A = F Ú B = F
2. Ax (BUC) = (Ax B) U (Ax C)
3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)
4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

14. Operaciones Generalizadas
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de
conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo
denotaremos {Ai}iÎ I.
Ejemplo
Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por
extensión cada miembro de la familia.
Solución
La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita. Sin embargo,
podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el
conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una
familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales
Algunos de los miembros de la familia son:
Definición
Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:
1. La unión de esta familia como el conjunto
2. La intersección de esta familia como el conjunto
Observación: dado un conjunto de índice I={n, n+1, & , n+k}, entonces se
denota también las uniones e intersecciones como

15. Partición:
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se
dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición
es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-
vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la
unión de todos los miembros da X.
Ejemplo
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} ,
entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

16. Cardinalidad:
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número
natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En
caso contrario se dice que es infinito.
Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el
conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de
conjuntos infinitos.
Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que:
1. El cardinal de A es 0 si A =f.
2. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos.
Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6
Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego:
1. B - A) = #B - #(AI B)
2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B)
Teorema: Si A;ByC son tres conjuntos finitos entonces:
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).
Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando
los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A
continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría
de cardinalidad de conjuntos

17. En conclusión se pude decir que las operaciones básicas entre conjuntos
son:
La Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene
cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
La Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no
pertenecen a A.
Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no
a ambos a la vez.
Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer
(segundo) elemento pertenece a A (a B).