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1. Ing. Humberto Ramírez Romero
Universidad Técnica Particular de Loja
______________________________________________________________________
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
ASIGNATURA: ESTRUCTURAS II
PROFESOR: HUMBERTO RAMÍREZ ROMERO
TEMA: ANÁLISIS DE UNA VIGA EN CIMENTACIÓN ELÁSTICA.
MODELO DE WINKLER.
1
2
3
h
h
R1
R2
4
5
h
R3
n-1
h
R4
h
R5
Ri
h
n
h
Rn
Rn-1
Yn
Y1
Y2
Yi
EI = constante
Ks = Rigidez del resorte = Coeficiente de balasto = β
d
M = − EI
d
2
d
V =
d
y
2
x
M
X
= EI d
d
3
q =d d
d d
4
V
X
Y
4
X
Y
3
= − k S `B
y
X
Donde: K´s = Ks B
y = Deflexión, positiva hacia abajo.
B = Ancho de la viga, también designada con bz
Utilizando diferencias finitas:
´´
U
XX
U
XXX
=Y =
´´
1[
Y
h
=Y =
2
n −1
1 [
−Y
2h
3
]
− 2 Y n + Y n +1
n−2
+ 2 Y n −1 − 2 Y n +1 + Y n + 2
]
1

2. Ing. Humberto Ramírez Romero
Universidad Técnica Particular de Loja
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Como M = EI Y´´ y V = EIY´´´, para cualquier nodo “n” se tiene:
M
V
( n)
(n)
=
=
EI [
Y
h
2
n −1
EI [
−Y
2h
3
]
− 2 Y n + Y n +1
n−2
+ 2 Y n −1 − 2 Y n +1 + Y n + 2
]
Analizar la zapata combinada que se muestra en la figura. La columna 1 está sujeta a
PD = 75 000 kgf, PL = 35 000 kgf y la columna 2 a PD = 125 000 kgf y PL = 50 000
kgf. El esfuerzo admisible del terreno a nivel del fondo de la cimentación es 2 kgf/cm2,
Df = 1.20 m y hf = 1.50 m. Considere un peso promedio del suelo y la cimentación de
2000 kgf/m3 y una sobrecarga de 400 kgf/m2.
Otros datos: f´c = 210 kgf/cm2 y fy = 4200 kgf/cm2
Columna 1: 50 cm x 50 cm
Columna 2: 65 cm x 65 cm
L
C1
C2
B = bz
L1
Lz
P1
hf
P2
Df
hz
Lv
L1 = 5 m
R
P1
P2
Lx
Lx
Carga total sin mayorar (para calcular área requerida):
P1 = 75 000 + 35 000 = 110 000 kgf
P2 = 125 000 + 50 000 = 175 000 kgf
PT = R = P1 + P2 = 285 000 kgf
2

3. Ing. Humberto Ramírez Romero
Universidad Técnica Particular de Loja
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R Lx = P1(0.25) + P2(5.825)
Lx = 3.67 m
Longitud de la zapata Lz = 7.35 m
Longitud volada Lv = 1.20 m
Capacidad neta del suelo : σn = 16 600 kgf/m2
Ancho de la zapata B = bz = 2.35 m
Pu1 = 1.4PD1 + 1.7PL1 = 164 500 kgf
Pu2 = 1.4PD2 + 1.7PL2 = 260 000 kgf
Reacción neta del suelo por unidad de longitud de zapata
Wnu = (Pu1 + Pu2) / Lz = 57 755.10 kgf / m
Reacción neta del suelo por unidad de área:
wnu = Wnu / bz = 24 576.64 kgf / m2
P2
P1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10
11
X1 = 0.25 m
X2 = 5.825 m
h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
3
4
5
6
7
8
9
R10
R11
X
1
2
10
11
q
h/2
h
3

4. Ing. Humberto Ramírez Romero
Universidad Técnica Particular de Loja
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Tamaño de paso = h = Lz / n = 7.35 m / 10 = 0.735 m
q = β BY i
= β b zY
i
h
R = q = 1 βBhY = 1 β b z hY
2 2
2
R = q h = β b h Y i = 2,3....10
h 1
R = h = βBhY
2 2
1
1
i
i
11
1
1
i
z
11
11
Las ecuaciones para R1 a R11 son:
R = 1 β b z hY
2
R = β b z hY
R = β b z hY
R = β b z hY
1
2
4
R = β b z hY
8
8
9
9
10
5
R = β b z hY
7
R = β b z hY
R = β b z hY
R = β b z hY
R = 1 β b z hY
2
3
4
7
2
3
R = β b z hY
1
10
6
5
6
11
11
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Aplicar la siguiente ecuación en cada nodo
U
1
h
2
XX
1
=
[y
h
n −1
EI [y
h
2
n −1
n −1
[y
−2
Haciendo
C [y
2
n −1
−2
y +y
n
−2
n
n
]= M
n +1
]= M
n +1
y +y
EI
h
−2
y +y
n
EI
n
EI
]= M
n +1
n
= C , se tiene
2
y +y
n
]= M
n +1
n
4

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En el nodo 2:
C (y − 2 y + y ) = M
1
2
2
3
=
P (h − x ) − R h
1
1
1
(Cy − 2 C y + C y ) = P (h − x )− 1 β b h y
2
2
1
2
3
Haciendo f = β
1
⎛
⎜C +
2
⎝
1
bh
2
1
z
1
y agrupando términos, se tiene:
z
⎟
f ⎞ y − 2 Cy + Cy = P (h − x )
⎠
1
2
1
3
Ec. 1
1
Procediendo de la misma manera en los nodos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, en este ejemplo, se
tienen las siguientes ecuaciones:
⎜
f y + ⎛C
⎝
1
+
⎟
f ⎞y
⎠
3
f y + 2 fy
2
1
2
2
3
+ ⎛C +
⎜
⎝
2 f y + 3 fy + 2 fy
1
2
3
2
⎟
f ⎞y
⎠
3
+ ⎛C +
⎜
⎝
3
4
4
⎟
f ⎞y
⎠
2
3
4
5
5
P (3h − x )
1
5
⎟
f ⎞y
⎠
5
+ ⎛C +
⎜
⎝
6
1
2
3
4
5
6
P (4h − x )
1
6
⎟
f ⎞y
⎠
6
7
P (5h − x )
1
1
− 2 Cy + Cy =
7
+ ⎛C +
⎜
⎝
8
P (6h − x )
1
1
2
3
4
5
⎟
f ⎞y
⎠
7
− 2 Cy + Cy =
8
(
+ Cy =
10
6
7
+ ⎛C +
⎜
⎝
2
3
4
⎟
f ⎞y
⎠
)
8
1
1
2
5
6
2
7
8
9
Ec. 7
− 2 Cy +
P (8h − x ) + P (8h − x )
9
f y + 8 fy + 7 fy + 6 fy + 5 fy + 4 fy + 3 fy + 2 fy
2
1
Ec. 6
1
= P1 7h − x1
4 f y + 7 fy + 6 fy + 5 fy + 4 fy + 3 fy + 2 fy
Ec. 4
1
− 2 Cy + Cy =
=
7
f y + 6 fy + 5 fy + 4 fy + 3 fy + 2 fy
2
Ec. 3
1
− 2 Cy + Cy =
+ ⎛C +
⎜
⎝
4
Ec. 2
1
− 2 Cy + Cy =
3 f y + 5 fy + 4 fy + 3 fy + 2 fy
1
1
4
5
f y + 4 fy + 3 fy + 2 fy
2
1
P (2h − x )
− 2 Cy + Cy =
+ ⎛C +
⎜
⎝
9
Ec. 8
⎟
f ⎞y
⎠
9
−
5

6. Ing. Humberto Ramírez Romero
Universidad Técnica Particular de Loja
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P (9h − x ) + P (9h − x )
Haciendo sumatoria de momentos en el nodo 11 (ΣM = 0) , se tiene:
2Cy + Cy
10
11
=
1
2
1
Ec. 9
2
11
5 f y + 9 fy + 8 fy + 7 fy + 6 fy + 5 fy + 4 fy + 3 f y + 2 fy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
fy
10
P (10h − x ) + P (10h − x )
Haciendo sumatoria de fuerzas verticales (∑ Y = 0 ), se tiene:
=
1
f y + fy
2
1
2
+
fy
3
+
fy
4
+
1
fy
5
2
1
+
fy
6
+
fy
7
+
f y
Ec. 10
2
8
+
fy
9
+
=
fy
10
+
1
fy
2
11
= hP1 + hP 2
=
Ec. 11
En forma matricial, el sistema de 11 ecuaciones con 11 incógnitas, (Yi), se escribe así:
AY = P
Donde la matriz “A” es
C+½ f
f
3/2 f
2f
5/2 f
3f
7/2 f
4f
9/2 f
5f
½f
-2c
C+f
2f
3f
4f
5f
6f
7f
8f
9f
f
+c
-2c
C+f
2f
3f
4f
5f
6f
7f
8f
f
0
+c
-2c
C+f
2f
3f
4f
5f
6f
7f
f
0
0
+c
-2c
C+f
2f
3f
4f
5f
6f
f
0
0
0
+c
-2c
C+f
2f
3f
4f
5f
f
0
0
0
0
+c
-2c
C+f
2f
3f
4f
f
0
0
0
0
0
+c
-2c
C+f
2f
3f
f
0
0
0
0
0
0
+c
-2c
C+f
2f
f
0
0
0
0
0
0
0
+c
-2c
f
f
0
0
0
0
0
0
0
0
+c
0
½f
El vector columna “Y” contiene las 11 incógnitas Y, y el vector “P” los términos
independientes tal como se ilustra en la siguiente tabla:
P1(h-X1)
P1(2h-X1)
P1(3h-X1)
P1(4h-X1)
P1(5h-X1)
P1(6h-X1)
P1(7h-X1)
P1(8h-X1) + P1(8h-X2)
P1(9h-X1) + P2(9h-X2)
P1(10h-X1) + P2(10h-X2)
hP1 + hP2
Cabe aclarar que si se trabaja con “n” estados de carga, tanto “Y” como “P” se
convierten en matrices de “n” columnas.
6