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                   Helmuth villavicencio fern´ndez
                                             a


1. a) Probar
                                                                  +
                   a4 + b4 + c4    (a + b + c)abc ∀a, b, c ∈      0
  b) Probar
               (bc)2  (ac)2 (ab)2
                     + 2 + 2              a2 + b2 + c2    ∀a, b, c = 0 ∈
                a2      b    c
Soluci´n
      o

1. a) Sabemos que M edia P otencial ≥ M edia Aritm´tica es decir
                                                  e

                           4   a4 + b4 + c4   a+b+c
                                            ≥
                                    3           3
                                          a+b+c 3
                     a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)(  )
                                              3
  pero sabemos que M edia Aritm´tica ≥ M edia Geom´trica es decir
                               e                  e
                                  a+b+c  √
                                         3
                                        ≥ abc
                                    3
  Luego reemplazando tenemos
                                                   √
                                                   3
                        a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)( abc)3
                         ∴ a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)abc
  b) Haciendo el cambio m = a2 , n = b2 , r = c2 tenemos:
                          nr mr mn
                            +   +               m+n+r
                          m   n   r
  observemos que m, n, r estan en las condiciones de la parte a luego
                               (nr)2 + (mr)2     2r2 mn
                            (mr)2 + (mn)2        2m2 rn
                               (nr)2 + (mn)2     2n2 rm
                 (nr)2 + (mr)2 + (mn)2 m2 nr + n2 mr + r2 mn
                          nr mr mn
                  (mnr)(     +     +     ) (mnr)(m + n + r)
                          m     n     r
                            nr mr mn
                         ∴     +     +      m+n+r
                            m     n     r




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Des2

  • 1. Desigualdades Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. a) Probar + a4 + b4 + c4 (a + b + c)abc ∀a, b, c ∈ 0 b) Probar (bc)2 (ac)2 (ab)2 + 2 + 2 a2 + b2 + c2 ∀a, b, c = 0 ∈ a2 b c Soluci´n o 1. a) Sabemos que M edia P otencial ≥ M edia Aritm´tica es decir e 4 a4 + b4 + c4 a+b+c ≥ 3 3 a+b+c 3 a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)( ) 3 pero sabemos que M edia Aritm´tica ≥ M edia Geom´trica es decir e e a+b+c √ 3 ≥ abc 3 Luego reemplazando tenemos √ 3 a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)( abc)3 ∴ a4 + b4 + c4 ≥ (a + b + c)abc b) Haciendo el cambio m = a2 , n = b2 , r = c2 tenemos: nr mr mn + + m+n+r m n r observemos que m, n, r estan en las condiciones de la parte a luego (nr)2 + (mr)2 2r2 mn (mr)2 + (mn)2 2m2 rn (nr)2 + (mn)2 2n2 rm (nr)2 + (mr)2 + (mn)2 m2 nr + n2 mr + r2 mn nr mr mn (mnr)( + + ) (mnr)(m + n + r) m n r nr mr mn ∴ + + m+n+r m n r 1