1. 1
MATRICES
SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES

2. 2
Sea el sistema:
Se tiene:
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21 x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ...+amnxn= bm
...
...
Método Matricial
a11 a12 ...a1n
a21 a22 ... a2n
am1 am2... amn
...
...
Matriz
del
sistema.
a11 a12 ...a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
am1 am2... amn bm
...
...
...
Matriz
Aumentada
del
sistema.

3. 3
OPERACIONES ELEMENTALES
DE FILAS
1. Intercambiar dos filas cualesquiera de la
matriz. NOTACIÓN: Fi X Fj
2. Multiplicar cualquier fila de la matriz por una
constante diferente de cero.
NOTACIÓN: c.Fi ;
3. Reemplazar cualquier fila de la matriz por el
resultado de sumarle a ella un múltiplo de
cualquier otra fila. NOTACIÓN:Fi+ cFj;c= 0
c= 0

4. 4
MATRICES EQUIVALENTES
POR FILAS
Sea A una matriz. Si B se obtiene
de A mediante una sucesión finita
de operaciones elementales de filas
se dice que A y B son equivalentes
por filas y se escribe:
A B

5. 5
Matriz escalonada por fila
Definición:
Una matriz se llama escalonada por filas si:
1.Todas las componentes que se encuentran debajo de
la componente guía de una fila son ceros.
2. La componente guía de cada fila se encuentra a la
derecha de la componente guía de la fila que la
precede.
3.Todas las filas nulas se encuentran al final de la
matriz.

6. 6
Observación:
Si además en la definición anterior, se cumple que :
1. Todas las componentes guías son 1.
2. Cada columna que incluye una componente guía
contiene ceros en los demás elementos, la matriz se
llama: “ escalonada reducida por filas”
EJEMPLOS:

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MÉTODO DE GAUSS
(forma matricial)
1.Representar el sistema mediante su matriz ampliada.
2.Mediante operaciones elementales filas reducir la
matriz ampliada a una forma escalonada.
3.Obtener el sistema equivalente que resulta.
4. Resolver el sistema por sustitución regresiva
tomando las variables libres necesarias.
Nota:
Si en el 2do paso se obtiene la matriz escalonada
reducida, el 4to paso se simplifica enormemente
(Método de Gauss-Jordan)
Donde: No de var. libres = no de incóg. - no de ecuaciones

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OBSERVACIONES
1. Un sistema compatible es determinado si y sólo si su
forma escalonada tiene tantas filas no nulas como
incógnitas.
2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas
que ecuaciones y ya está en su forma escalonada,
entonces hay infinitas soluciones, es decir es
indeterminado.
3. Un sistema lineal de ecuaciones es incompatible si y
sólo si su matriz escalonada por fila tiene alguna fila
de la forma [0 0 ...0 c] con c 0.

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Sistemas Homogéneos
Son los que tienen todos sus términos independientes
nulos.
a11x1 + a12x2 + ...+a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ...+a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ...+amnxn = 0
...
...
TEOREMA: Todo sistema homogéneo es compatible.
Determinado: La única solución es la solución trivial.(todas
las incógnitas son ceros)
Indeterminado: Existen infinitas soluciones. Además de la
trivial, existen otras soluciones.
SISTEMA HOMOGÉNEO :