Resolución de sistemas 3x3 por el metodo de Gauss

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Los 345 atletas que llegaron a la meta en una prueba de maratón se pueden agrupar así: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo B: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 3 y 4 horas, Grupo C: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 4 y 5 horas.

2. El número de atletas del grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. La diferencia ente el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

3. a) X = atletas del grupo A Y = atletas del grupo B Z = atletas del grupo C Los 345 atletas.... X + Y + Z = 345 El número de atletas del grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. X = 4 + 3Z La diferencia ente el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Y – X = 4Z - 4

4. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss. X + Y + Z = 345 (E1) X - 3Z = 4 (E2) X - Y + 4z = 4 (E3) El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas . Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

5. X + Y + Z = 345 (E1) X - 3Z = 4 (E2) X - Y + 4z = 4 (E3) Eliminamos la X de E2 y E3: E´2 = E1 – E2 E´3 = E1 – E3 X + Y + Z = 345 (E1) Y + 4Z = 341 (E2) 2Y - 3Z = 341 (E3)

6. X + Y + Z = 345 (E1) Y + 4Z = 341 (E2) 2Y - 3Z = 341 (E3) Eliminamos la Y de E3: E´3 = 2E2 – E3 X + Y + Z = 345 (E1) Y + 4Z = 341 (E2) 11Z = 341 (E3)

7. X + Y + Z = 345 (E1) X = 345 – 217 – 31 = 97 Y + 4Z = 341 (E2) Y = 341 – 4*31 = 217 11Z = 341 (E3) Z = 341/11 = 31 SOLUCIÓN: ATLETAS DEL GRUPO A: 97 ATLETAS DEL GRUPO B: 217 ATLETAS DEL GRUPO C: 31