derivacion

1. 1
37.INTEGRACION.
CALCULO INTEGRAL
Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La
inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar
una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada
propuesta. La integración es la inversa de la derivación.
Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la
primera representación de la suma.
 y1
 
dy
dx
dy   y´'
dx
y   y1
dx  C
El cálculo integral podríamos expresarlo como:
"Dado el diferencial de una función hallar su función original"
La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.
y  x
3
y' 3x
2
dy  3x
2
dx
3x
2
dx  x
3
38. FORMULAS DE INTEGRACION
Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante
puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma
algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.
 adx a dx
(du  dv  dw)  du dv w

2. 2
a 2
 v 2
v 2
 a 2
v
a2
 v2
v 2
 a 2

a

Fórmulas elementales de integración
1.dx  x  c
2.v
n
dv 
v n1
n 1
c
3.
dv
 ln v  c
v
4.a
v
dv   c
ln a
5.ev
dv  ev
 c
6. senvdv   cos v  c
7. cos vdv  senv  c
8.sec 2
vdv  tgv  c
9.C sec 2
vdv  ctgv  c
10.sec v * tgvdv  sec v  c
11.C sec v * Ctgvdv  C sec v  c
12.tgvdv  ln cosv  c  ln secv  c
13.Ctgvdv  lnsenv c
14.sec vdv  ln(sec v  tgv)  c
15.C sec vdv  ln( c sec v  ctgv)  c
16.
dv

1
arcTg
v
 C
v 2
 a2
a a
17. dv




1
1n
v  a
 C
 v 2
 a 2
2a v  a
18. dv




1
1n
a  v
 C
 a 2
 v 2
2a a  v
19.
dv  arcSen
v
 C
a
20.
dv
 1n(v v 2
 a 2
)  C
21.

a 2
 v 2
dv 
2
 arcsen
v
 C
a
a 2
22. dv   1n(v 
2
)  C
NOTA. Si bien es cierto que toda función es factible de derivarla, no toda integración puede ser resuelta
directamente. Para cuando se presente estos casos, su solución requiere de métodos aproximados.
v
2
v2
 a2
v 2
 a 2
v

3. 3
a2
 x2
x2
 a2
x2
 a2
x x
Ejemplo 54
11 2
 xdx 
1  1
 C 
2
 C
Ejemplo 55
2 1 2 dx 3x3
5x2
3 5x2
(3x 5x
x
)dx 3x dx 5xdx  x
  ln xC
3 2
x  ln xC
2
39.TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN:
Método de sustitución.
Cuando no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al
ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución.
Ejemplo 56
 adx /a  x adx /a  x
Pr oceso de
du  dx
 adu / u
sustitución
 a ln u  C
u  a  x
 a ln( a  x)  C
Ejemplo 57
e1 / x
dx/ x2
u  1/ x
du / dx  1/x2
dx  dux2
 eu
*dux2
/ x2
 eu
du
 eu
 C
 e1 / x
 C
Sustituciones trigonométricas
Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada,
sugiriendo el reemplazo correspondiente:
Ejemplo 58
1.  x  a*sen(t)
2.  x  a*sec(t)
3.  x  a*tg(t)
ó x  a*cos(t)

4. 4
x2
1
x2
1

x2
 1
dx
x
x  tg dx  sec2
d

sec2
d
 
secd

 csecd
tg tg2
 1 tg
ln( c sec  c tg )
x
1
solución  ln(
x

1
)  c
x
Integración por partes
Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la
siguiente igualdad.
udv  uv  vdu
(u * v)´ u´v  uv´
d (u * v)  vdu  udv
udv  uv  vdu
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse
de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten.
Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es
recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la
integración directa.
En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la
integración por partes


5. 5

Ejemplo 59 Ejemplo 60
xCos3xdx
w  3x dw  3dx
1
wcos wdw
9
x ln xdx
u  ln x du 
dx
x
x2
u  w du  dw dv 
x2
xdx v 
2
x2
dx
dv  coswdw v  sen w
2
ln x   2
*
x

1
(wsen w  sen wdw) x2
x2
ln x   C
9 2 4

1
(3x sen 3x  cos 3x)  C
9
Integrales de la forma AX2
+ BX + C
Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda
aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que
podamos expresarlo como: v2
 a2
ó a2
 v2
Ejemplo 61
dx
x2
 2x  5
completan do el trinomio nos quedaría :
dx
(x  1)2
 4
w  x 1 dw  dx
dw

1
arctg
w
 c 
1
arctg
x  1
c
 w2
 4 2 2 2 2
CASO ESPECIAL. Cuando la integral presente la configuración siguiente:
dx
(mx n) ax2
bxc




6. 6
Se sugiere utilizar el reemplazo mx+n = 1/ t, artificio que es aplicable también a la forma
la forma mx2
+ n = 1/t.
43. Aplicación de la teoría de las fracciones racionales
función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes
negativos o fraccionarios.
Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador
son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del
denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:
Nx
 C 
R
Dx D
Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración
aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión
en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
Para descomponer fracciones vamos a considerar los siguientes casos, cada uno con un
ejemplo explicativo:
Primer caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite
Ejemplo 62
2x  5


x(x  2)( x  3)
A

B


x x  2
C
x  3

( A  B  C)x2
 x( A  3B  2C)  (6 A)
x(x  2)( x  3)

A(x2
 x  6)  B(x2
 3x)  Cx(x2
 2x)
x(x  2)( x  3)
2x  5  x2
(A  B  C)  x(A  3B  2C)  6A
A  B  C  0
A  3B  2C  2
6 A  5
A  
5
, B 
9
,C  
1
6
2x  5
10 15
 
5

9

1
x(x  2)(x  3) 6x 10(x 2) 15(x  3)
Segundo caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se
repiten.
N
(x  m)n 
N
(x  m)n
N
(x m)n 1
N
(x  m)n2
 ..........
N
(x  m)1

7. 7
Ejemplo 63
x 3
1 
A


B

C

D
x(x 1)3
x (x 1)3
(x 1)2
(x 1)
x 3
1
x(x 1)3 
A(x 1)3
 Bx  Cx(x 1)  Dx(x 1) 2
x(x 1)3
aplicando el método de coeficientes in det er min ados :
x 3
:
x 2
:
x :
x 0
:
A  D  1
 3A  C  2D  0
3A  B  C  D  0
 A  1
resolviendo el sistema :
A  1

B  2
x 3
1
C  1
 
1

D  2
2

1

2
x(x 1)3
x (x 1)3
(x 1)2
(x 1)
Tercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.
N


x2  Px  Q
Ax  B
x2  Px  Q
Ejemplo 64.
2x 5

Ax  B

Cx  D
(x2  6 )(x2  5) x2  6 x2  5
 (Ax  B)(x 2  5 )  x(Cx  D)(x 2  6 )
 (C  A)x3  x2(B  D)  x(5A  6C)  5B  6D
A  2 B  5 C  2 D  5
2  5

 2x  5

2x  5
(x2  6 )(x2  5) x2  6 x2  5
Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten
N
(x2
PxQ)n 
Ax B
(x2
PxQ)n
 Cx D
(x2
PxQ)n1
 Ex F
(x2
PxQ)n2
 ...

8. 8
 
Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas
de reducción, como la siguiente:
dv




1  u  )2n  3) du 

(u2
 a2
)n
2(n 1)a2 
(u2
 a2
)n 1 (u2
 a2
)n 1 

Ejemplo 65
x2
 8x  7 x2
 8x  7
(x2
 3x  10 )2
dx  (x  5 )2
(x  2 )2
dx
A
(x  5 )2
 B x
 5
C
(x  2 )2
 D x
 2
A  
8
,B 
20
,C 
27
,D  
20
49 343 49 343
8 dx

20 dx

27 dx

20 dx
49  (x  5)2
343 x  5 49 (x  2)2
343 x  2

8

49(x  5)
27
49(x  2)
20
ln
343
Integración de funciones irracionales
Cuando la integral contiene potencias fraccionarias de la forma X ó a  bx
m
m
, donde n es el
mínimo común múltiplo de las raíces existentes, es conveniente asumir la siguiente
sustitución: x = zn
ó (a + bx ) = zn
Integración de diferenciales binomias
Una diferencial de la forma
llama diferencial binomia.
xm
(a  bxn
)p
dx donde m, n, p son números racionales, se
Para su solución se plantea tres casos:
CASO I. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desarrollar el binomio de Newton o
aplicar otra forma conveniente de integración..
m  1
CASO II. Cuando
n
es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
fracción r/s , se efectúa la sustitución a + bxn
= zs
CASO III. Cuando m  1

r es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una
n s
fracción r/s, se efectúa la sustitución a + bxn
= zs
xn
.
x  5
x  2

9. 9
Integración de funciones trigonométricas
Para su solución se plantean diversos casos, en los cuales se utilizan reducciones
trigonométricas sencillas:
CASO I. Integrales de la forma sen m
xCosn
xdx
- Si m ó n son números impares, enteros, positivos se sugiere aplicar las entidades
trigonométricas Sen2
x = 1 – cos2
x ó cos2
x = 1 - sen2
x, y, resolver la integral en las
formas básicas conocidas.
- Si m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las
siguientes entidades trigonométricas:
sen2
x 
1
1  cos 2x
2
cos2
x 
1
1  cos 2x
2
sen x cos x 
1
sen 2x
2
CASO II. Integrales de la forma:
sen mxcosmxdx, sen mxsen nxdx cos mxcos nxdx
Donde m  n, se recomienda el uso de las siguientes fórmulas:
sen mxcos nx 
1
senm  nx  senm  nx
2
sen mxsen nx 
1
cosm  nx  cosm  nx
2
cos mxcos nx 
1
cosm  nx  cosm  nx
2
CAS0 III. Integrales de la forma
tgn
xdx, c tgn
xdx secn
xdx, c secn
xdx
Se recomienda usar las fórmulas:
tg2
x  sec2
x 1, c tg2
x  csec2
x 1
44. CONSTANTE DE INTEGRACION
Es el valor que adopta la constante C para un caso particular de la variable,
geométricamente, permite la graficación de un número infinito de curvas (familia de curvas)
de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.

10. 10
y
x
2
Ejemplo 66. Encontrar la función cuya pendiente es y´= 2x-3 y pasa por el punto(3,5)
y   y'
dx  (2x 3)dx  2 xdx3dx
y  x2
3x  c
cálculo de la cons tan te:5  99 c  c  5
y  x 2
 3x  5
Ejemplo 67: En cada uno de los siguientes ejercicio a), b) hallar la función, si se tiene como
datos la pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica:
a) y’ = x ; P(1,1)
x 1
y 1
y  y´dx
1
2
y   C
x
x2
1
1  C
2
y  
2 2
Solución : 2 y  x2
1
b) y´ = xy (3,5)
dy
 xy
dx

dy
 xdx
x  3
y  5
dy
 xdx
y
ln y 
x
 C
2
ln5 
9
C
2
x 2
c  1.6 
9
2
C  2.9
ln y   2.9
2
Ejemplo 68: En cada punto de cierta curva y” = 20/x3
hallar la función sabiendo que la curva
pasa por el punto (1,0) y, es tangente a la recta y = 5x-6

11. 11


8
5
y'
20
dx
x 3
 y'  
10
c
x 2
derivamos la
y' 5
recta y  5x 6
como las pendientes son iguales ,
calculamos c para x  1
5  
10
 c
12
 c 15
y  (
10
15)
x 2
 y 
10
15x c
x
calculamos c para x 1, y  0
0 
10
15*1 c
1
 c  25
 y 
10
15x  25
x
45. EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN:
01. (x2
 3x  7)dx
02. (x3
 3x)dx.
03. (
5
15
x
x )dx
04. (x2 / 3
 ln x 
x
x5 / 4
)dx
05. x1 / 2
 x1 / 3
 3
(
x1 / 4
x
)dx
06. (e2x
 ex
 e x
)dx
x3
 x2
3x
07.
08.
(
x
(
x
)dx
)dx
09. (
5
x 3
)dx
10. (
25
4  x
)dx
11. ( x2
 7 )dx
12. ( x2
 7 )dx
13. ( 3x2
 5)dx
14. ( 5  3x2
)dx





12. 12
4  x2
x2
1
7  x 2
e
(
5
 2
(
5
3
15.
16.
 x2
4
(
3
)dx
)dx
17.
 4  x 2
(
14
3x  7
)dx
18.  x2
4
)dx
19.
20.
(
3
(
14
)dx
)dx
21. (x
3x 2
 7
x 2
12)dx
22. (3x 5)( 4x2
8)dx
23. (x2
 2x)(
x
 x2
3
1)dx
24. (
2x  2
)dx
x2
 2x
25.
3x
(
x2
7
)dx
26.
27.
(
x
(
6x
)dx
)dx
28. 7 cos45xdx
29. arcsenxdx
30. e7x
dx
x
31. e x
1
32.
33.
34.
 x2
7x  5dx
 3x2
 x  3dx
dx
 x 2
 7x  5



13. 13
(
x2
 7
)dx
11 t 2
x 25  x2
y2 y2
 7
x3 x2
5
11 x2
x2
 25
2

35.
dx
1 x  x2
36.
dx
1 x  x2
37. xex
dx
38. 5x2
ex
dx
39. xcos7xdx
40. x ln xdx
41.
42.
(x2
(x2
)(
x2
12)dx
x2
 8)dx
43.
44.
x2
(
t
)dx
x2
45. (
(x2
 8)3 / 2 )dx
46.
47.
48.
49.
(
x
(


5
x2
1
dx
dy
dx
)dx
)
50.  x2 dx
51.  x
dx
52.
53.
54.
 x2
 x1dx
 dx
dx
x  4




14. 14
ax  b
 2
x

55.
56.
57.
dx
(x  4)( x  3)
dx
(x  4)( x  3)( x  2)
4
dx
58.
59.
 x2
 7x12
x  5
dx
(x 3x  7)(x  3)
x 2
 7x 12
(x2
 7)( x2
 4)( x  2)
dx
60.
61
(x 1)3
(x2
1)
dx
(x2
(x  5)2
dx
62. (
dx
)
63. (a1/ 3
 x1/ 3
)2
dx
64. (e x
ln x)dx
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
(e x
(x3
1)x
(senxcos x)dx
sen3
xdx
ex
dx
a  be x
xex2
dx
ecox
senxdx
a3x
e3 x
dx
73  sen
1cosx
74. sec2
xdx
75.
76.
dx
(x)( x  3)
dx
 x 2
 5x
( ax )dx



dx


15. 15
(x 2
17)3
x4 21 x2
25x  x 2
 277
4
dx
5x x
Integrar las siguientes expresiones aplicando formulas directas:
78.
79.
80.
81.
x
x2

x2
5  7xdx
5  7xdx
dx
x
x 2
 5dx
82. 
dx
dx
83.
84
x4

21 x2
dx
dx
85.  x3 dx
46. INTEGRAL DEFINIDA
Del teorema “ La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una
coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el
diferencial de la abscisa correspondiente “, así: du = y dx
Si la curva AB es el lugar geométrico de y = f(x), entonces du = y dx.
Siendo du la diferencial de área entre la curva, al eje de las x y dos coordenadas a, b, como
se indica en la siguiente figura:
F
E
Y
C D
a
b
x 4

16. 16
b
 
Integrando tenemos.
u   f (x)dx  F(x)  C
Para determinar C, observamos que u = 0 cuando x= a
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:
0 = F(a) + C ; C = -F(a)
obteniéndose : u = F(x) - F(a)
El área CEFD que se pide es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:
Area CEFD = F(b) - F(a)
TEOREMA “La diferencia de los valores de  ydx para x=a y x=b da el área limitada por la
curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b”.
Esta diferencia se representa por:
b
f (x)dx
a
ó a
ydx
Que se lee: “La integral desde a hasta b de ydx”.
La operación se llama operación entre límites: a es límite inferior y b es límite superior.
Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA.
Integral definida.- La integral definida es un valor resultante de la suma de valores
infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la
integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando x  O.
b
lim n
F(X )dx 
x  0
 f (xi) * i
a i1
47. INTEGRAL IMPROPIA
Se le da esta denominación a aquellas integrales cuyos límites son infinitos, en estos casos
se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.
 b
f (x)dx  lim f (x)dx
b
a a
Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado entre los límites (lo que
puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá

17. 17
 
b
b

para los nuevos límites un valor  menor y mayor al valor donde se produce lo
discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:
b
f (x)dx  lim
 0
a
c 
f (x)dxlim
 0
a
b
 f (x)dx
c 







48. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo de áreas:
La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la curva como un método exacto,
cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el
de Simpson, de los trapecios y otros, que no son considerados en el presente estudio pues
se los puede enfocar en un tratado de Métodos Numéricos.
Criterios para el cálculo de área bajo la curva
1. El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula A  a
ydx, (deducida del área
2. de una franja vertical de base x , altura y: A=x*y) considerando siempre que a<b.
3. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o
sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de
las x.
4. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula
A  a
ydx, nos dará un valor resultante de áreas.
x b
A  a
ydx  x
ydx
4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 curvas, se deberá calcular los
puntos de intersección y aplicar la siguiente fórmula:
función que abarca mayor cantidad de área.
A 
b
y1 y2dx, donde y1 es la
a
c

18. 18
x
9
5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que
los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.
Y
a  ( y1  y2)x
b
A  ( y1  y2)dx
a
Y
a b
6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de los puntos de intersección
vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las
curvas lo cual deberá definirse en el gráfico.
Ejemplo 69. Calcular el área limitada por y = x3
/9, ubicada en el primer cuadrante, limitado
entre x=0 y x=2.
Procedimiento:
1.- Ubicar la franja de análisis
2.- Calcular el área bajo la curva indicada limitada entre los puntos a, b tomando como
referencia el eje x
b
A   ydx
a
2 3
A   dx
0
 x4

2
A   36

 0
A 
4
u 2
9
Y=x3
/9
y
x 2

19. 19
2 
2

4
4

1

49. AREAS EN COORDENADAS POLARES
Deducción de la fórmula de área
tagd 
arco

arco   * tagd
como tagd  d
 arco   * d

dA 
 * d
2
A 
1
2
d




Ejemplo 70. Calcular el área limitada por P = a Sen  + b Cos entre  = 0 y  = /2.
1 90
 



 2

A  
0
aSen  bCos d
A 
1
a2
Sen2
  2abSenCos  b2
Cos2
 d
2
1 90
 


90 2 2 2 ab 90
A   a b
0
d  
0
(a b )Cos 2d 
Sen2d
0

 a2
b2


a2
 b2
 
ab  90

A
 4 8
Sen2 Cos2 0
4
(a2
 b2
)II
A 
8
 ab

ab
4 4
(a2
 b2
)
A 
8
22
Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la
gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la
gráfica pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis
se recomienda para el cálculo de áreas comunes de dos funciones.
Se deja a interés del lector estas observaciones y su respectiva comprobación
d



A
2

20. 20
1 
x

 y 
2
 
s
x


x

B
B

50. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA
s 

S 

S 

 x2
 x2
y2
 2

x2 
x
s  dx
ds 
S  A
1 y´2
dx
1 y/
2
dx
por
S  A
ana log ía :
1  x/
2
dy
Longitud de arco de curvas en coordenadas polares: S  
  2
  /
2
d

Ejemplo 71: Calcular la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y = x 2
+ 1 entre los
límites x 1 = 3 y x 2 = 7
y
S
3 7
x2
 y2

21. 21

4
4
y' 2x
7
S  
3
S  
1  ( y/
)2
dx
1  4x2
dx
S 
1
2
1  u2
dx
S  40.21
51. CENTROS DE GRAVEDAD
Es el punto CG(x,y) en el que se encuentra el cuerpo en equilibrio.
Para el cálculo del centro de gravedad, se requiere del uso del efecto llamado Momento
(momento es el efecto que una fuerza causa a un punto situado a una distancia de la
ubicación de dicha fuerza)
Mc = Longitud * Distancia
Ma = Area * Distancia
Deducción de fórmulas
My  A * d
My  ( ydx)X
My  xydx
b
My   xydx
a
Mx  A * d
Mx  ( ydx)
y
2
Mx 
1
y2
dx
2
1 b
Mx  Y 2
dx
2 a
Ejemplo 72: Calcular el centro de gravedad del área limitada por y = x2
, x = 4 y que está
ubicada en el primer cuadrante
Mx  YX
Y
2
My  XYx
4
A  0
Ydx 64
Mx 
1 4
Y 2
dx My  0
XYdx My  A * X 
64
2 0
My  


X 3
dx A  0
X 2
dx
3
102.4
Mx 
1

4
(X 4
)dx Mx  A * y 3 4 64
2 0 4
 X 3
4 My 
 X 

 


A  
3
 CG(3;4.8)
 X 5
0  4   0
Mx   
 
64
 10 
Mx  102.4
My  64 A 
3
4
0

4
0

22. 22
16 x2
2  2 

2

2
4 4
64
Ejemplo 73: Calcular el centro de gravedad de la figura
A1  ydx
4
 16  x2
dx  4Unidades2
0
Mx1 
1
y2
dx 
0
1
(16  x2
)dx 
0
128
U 3
3
41   3
My  xydx  x 16  x2
dx  U3
0
A2  ydx
2
 4  x2
dx  Unidades2
0
Mx2 1 2
y dx 
2 0
1 2
(4  x )dx 
2 0
16
U 3
3
2
8
My2   xydx  x
0
4  x2
dx  U3
3
FIGURA Ai Mxi Myi
1 4 128/3 64/3
2 (restar)  16/3 8/3
 3 112/3 56/3
Mx  A * y  y 
3
 
 y 
112
9

unidades
My  A * x  x 
3
 
 x 
56
unidades
9
centro de gra vedad :  CG(
56
,
112
)
9 9
x
4
y y1 
2
y2  4  x2
2 4
112
3
56
3

23. 23


52. AREAS LATERALES O SUPERFICIES DE REVOLUCION
Un área lateral o superficie de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un
arco limitado de la curva y = f(x)”.
Deducción de la fórmula de superficie de revolución:
Considerando la superficie de revolución del gráfico, donde la longitud de arco está definida
por:
s  1 y´2
x
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución “CUBIERTO POR UN CASCARON
EXTERNO DENOMINADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUCION”, esta
superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:
AL  S * 2Y dAL  2Yds
B
AL  2 Yds
A
B
Por analog ía AL  2 Xds
A
Se debe recordar que ds representa la longitud de arco de una curva y es calculable por:
s  1 y´2
x ó s  1 x´2
y
Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.
x
y
2y

24. 24
53. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION:
Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una
circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, este volumen es calculable
aplicando el siguiente análisis:
1.- Girando la franja indicada alrededor del eje x, manteniendo la base de la franja fija en el
eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que el
volumen es igual al área del círculo multiplicado por el espesor.

x
V  Y 2
* x
b
Vx    y 2
dx
a
2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la
franja se movilizará en su totalidad haciendo un recorrido de 2, formando un cilindro
hueco cuyo volumen vendría dado por:
V  2Y * X * y
b
Vy  2 yxdy
a
x
y
x
y
Franja a girar una
revolución en el eje x

25. 25
y
y
Ejemplo 74. Calcular el volumen que se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la
función y=x2
, ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor del eje x, b) alrededor del eje y.
a) alrededor del eje x
4 4
x5

4
256
V   y2
dx  x4
dx      
0 0  5 0
5
b) alrededor del eje y
En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje.
El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la facilidad
que el planteamiento presente para la integración y solución del problema.
x y

26. 26

4 4
x4

4
V  2xydx  2xx2
dx  2   128
0 0  4 0
54. RELACION DE FORMULAS ENTRE MOMENTOS Y VOLUMENES.
Con la finalidad de optimizar el tiempo de cálculo, se puede encontrar una relación de
fórmulas entre momentos y volúmenes:
Mx  A * d
Mx  ( ydx)
y
2
Mx 
1
y 2
dx
2
1 b
My  A * d
My  ( ydx) X
My  xydx
b
My   xydx
a
Mx  y2
dx
2 a
V  2y * x * y
b
V  y 2
*x
b
Vy  2 yxdy
a
Vx   
a
y2
dx Vy  2My
Vx  2Mx
55. INTEGRALES MULTIPLES
Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en
especial de volúmenes en el espacio (tres dimensiones), se debe tomar en cuenta el
siguiente criterio: ”cuando se considera a una de las variables como tal, las otras
permanecen como constantes”.
Aplicación de integrales dobles:
Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.
b y2 b y2
Ax*y A dx* dy A  *dy*dx
a y1 a y1
Y


Y

27. 27
b
Nota: Se debe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.
b y 2
b
 y
y2 1
b
 

Mxx    ydydx  
2

dx 
2  Y2 Y1dx
a y1 b y1 a
y 2
Myy    xdydx   xY 2  Y1dx
a y1 a
En forma similar se puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.
56. VOLUMENES BAJO UNA SUPERFICIE
De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que el volumen viene definido por:
x 2 y 2 z 2
V  x1 y1 z1
dzdxdy
Se recomienda previo al análisis, y, con la finalidad de definir los límites de las integrales,
trabajar previamente en el plano XY que por lo general constituye la base donde se va a
levantar el volumen.
z
y
x
y
Se debe recordar que al trabajar con tres ejes (x,y,z), el espacio se divide en
octantes, como lo indica el siguiente gráfico:
Z
x

28. 28
57. EJERCICIOS DE Aplicación
Identificada el área limitada por las funciones indicadas y UBICADA EN EL PRIMER
CUADRANTE , calcular:
- El área plana limitada por las funciones indicadas
- El perímetro que bordea dicha área
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionadaalrededor
del eje x
- El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionadaalrededor
del eje y.
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje x
- El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje y
- El centro de gravedad de dicha área
-
86
87.
y  x
y  x 2
x  5,
x  5,
y  0
y  0
88. y 2
 x 2
 4 x  5, y  3 y  0, x  0
89. y  5, y  5  x, y  x 2
90. y  3x 6, y  0, x  5, y  4x  x 2
91 y  x 2
, y  4x  x 2
, x  0
92 x 2
 y 2
 25, y  4x  x 2
, x 0 y  0
93 y  x, y  x  2, y  0
94 y  x 2
, y  4  x 2
, y  0
95. Calcular el volumen limitado arriba por la superficie z = 6 - x – y, dentro de y = 5 – x, y
los planos coordenados
96. Calcular el volumen limitado arriba por z = 4 – y2
, abajo por el plano z = 0, y, dentro de
los planos y = x2
, y=2, x=0
97. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2
– y2
, sobre el plano z = 0 y en el
interior de x2
+ y2
= 9
98. Calcular el volumen limitado arriba por z = x2
, sobre z = 0, y por los planos y = 0, y = 5,
x = 2, x = -2.
99. Calcular el volumen limitado arriba por z = 16 - x2
, y los planos y=4 – x, x=0, y=0, z =0
100.Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2
– y2
, y por los planos z = 0, y = 0, x
= 0, x + y = 3
Se recomienda resolver para fines de
aprendizaje los ejercicios 93 y 94
aplicando franja vertical y franja
horizontal

29. 29
58. SOLUCION DE LOS PROBLEMAS PLANTEADOS
86
Area 
25
2
Perímetro  10 ALx  25  25 2 ALy  25 2  50  25
Vx 
125
3
Vy 
250
3
Mx 
125
6
My 
250
6
10
CG(
3
;
5
)
3
87
Area 
125
3
Perímetro  30 25.87 ALx  625 631.164

ALy  25  250  169.006
Vx  625 1963.49 Vy 
625 981.75 Mx 
625
My 
625 15 15
CG( ; )
2 2 4 4 2
88
Area  15    11.858 Perímetro  12 

ALx  44  8

ALy  76  8
Vx  45 
16
 
119
 Vy  75 
16
 
209

Mx 
119
My 
209 CG(2.938;1.673)
3 3 3 3 6 6
89
Area  11.20  7.343 1.835  2.022 Perímetro  2.236  2.533  1.848  6.617
ALx  22.360  20.792  15.148  58.300 ALy  5.  5.088  7.466 17.554
Vx  56  30.652  7.493 17.755 Vy  25  12.208  7.354  5.438
Mx  8.878 My  2.719 CG(1.344;4.389)
90
Area 12 1.667 10.333 Perímetro 1 9  3.168  40  19.493
ALx  24 10  81 9.613  166.507 ALy  50.597  99  22.49  172.087
Vx  78  3.533 74.467 Vy  100  11.167 88.833
Mx  37.234 My  44.417 CG(4.299;3.603)
91
Area  5.333  2.667  2.667 Perímetro  4.647  4.647  9.294
ALx  20.232  16.984  37.216 ALy  11.515  7.071 18.587
Vx  17.067  6.4 10.667 Vy  13.333  8  5.333
Mx  5.333 My  2.667 CG(1;2)
50

30. 30
92
Area  19.635 10.667 8.968 Perímetro  5  7.854 1 9.293 

23.147
ALx  50  40.464  25 115.464 ALy  9  50 11.834  77.832
Vx  83.333  34.133  49.20 Vy  83.333  42.667  40.667
Mx  24.60 My  20.334 CG(2.267;2.743)
93 solución con franja vertical
Area  5.333  2  3.333 Perímetro  4.647  2 2  2  9.476
ALx  11.515  5.65717.172 ALy  16.964  16.971  4 37.935
Vx  8  2.667  5.33 Vy  25.6 13.333 12.267
Mx  2.667 My  6.134 CG(1.8402;0.80)
93 solución con franja horizontal
Area  6  2.667  3.333 Perímetro  4.647  2 2  2  9.476
ALx  11.515  5.657 17.172 ALy  16.964  16.971  4  37.935
Vx  13.33  8 5.33 Vy 18.667  6.4 12.267
Mx 2.667 My 6.134 CG(1.8402;0.80)
94 solución con franja vertical
Area  0.943  0.619  1.562 Perímetro  2.562  2.085  2  6.647
ALx  4.453  4.188  8.841 ALy  4.33  7.182  4 15.512
Vx  1.13  0.85  1.98 Vy  2  2 4
Mx  0.99 My  2 CG(1.28;0.634)
94 solución con franja horizontal
Area  3.448  1.886 1.562 Perímetro  2.562  2.085  2  6.647
ALx  4.453  4.188  8.841 ALy  4.33  7.182  4 15.512
Vx  6.507  4.526  1.98 Vy  6  2 4
Mx  0.99 My  2 CG(1.28;0.634)
95 33.33
96 4.31
97 127.24
98 26.67
99 106.67
100 27.00

31. 31
ECUACIONES DIFERENCIALES,
CONCEPTOS BASICOS
59. ecuación diferencial.
Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus
derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable
independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y(n)
Simbólicamente se representa como:
F( x, y, y', y'', y''', y... y(n)
) = 0
Otra forma de representar es:
F (x, y,
dy
dx
d 2
y
,
dx2
,...........
d n
y
0
dxn
60. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.


32. 32
El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de
Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población.
61. Tipo de una ecuación.
Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden
ser ordinarias o parciales.
Ecuación diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable
independiente, así:
y''3y  3  0
d 2
y


dx2
3 dy
dx  2  0
Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las
derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas
parciales " así.
du
 3
du
 0
dx dy
62. Orden de una ecuación diferencial.
El orden es la máxima derivada que aparece en una ecuación, así.
y'  0 primer orden)
63. Grado de una ecuación.
y'''2y' 0 (tercer orden)
Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:
y'''3( y'')2
 5y'  0 (tercer orden, primer grado)
Ejemplo 75
1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:
dy


dx
d 2
y
3
dx 2 y,,,
5
 0
TIPO
ordinadiria
GRADO
V
ORDEN
III
d 2
y


dx 2
dy




5
d 2
y
 
,,,
5

ordinadia I II
dx
3
dz2
y 0 parcial V III


33. 33
64. Solución de una ecuación diferencial.
Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus
respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.
Ejemplo 76
❖ Determinar si y = e-2x
es solución de la ecuacióndiferencial
y''3y'2 y  0
y  e
2x
y' 2e
2x
y'' 4e
2x
4e
2x
 6e
2x
 2e
2x
 0
0  0(como cumple la igualdad SI ES SOLUCION )
❖ Comprobar si y = 3e-2x
+ 5e-x
es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0
y  3e
2x
 5e
x
y' 6e
2x
5e
x
y''12e
2x
 5e
x
reemplazamos en la ecuación duferencial
0  0(como cumple la igualdad SI ES SOLUCION )
65. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales
Solución particular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a
la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una
solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que
pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores
iniciales y de valores en la frontera.
Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un
conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así;
si la ecuación es:
F( x, y, y', y'', y''',... y(n)
) = 0 (ecuación que define el problema) , x = a el punto inicial,
entonces, y(a)= y(o) , y'(a) = y'(o) , y''(a) = y''(o) , y''' = y'''(o) , y(n)
(a) = y(n)
(o)
Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:

34. 34
x
F(x,y) = 0
X = a
Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con
condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en
particular, si x = a y x = b, es decir que el dominio de soluciones está en el intervalo
cerrado [a , b]
Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx3
, y, si es
solución, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2
Derivando la solución: Y' = 3cx2
Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx2
) - 3 (cx3
) = 0
3cx3
- 3cx3
= 0 , 0 = 0 , por lo tanto, y = cx3
Si es solución
Reemplazando las condiciones iniciales en la solución, se obtieneque
Por lo tanto, la solución particular es C 
2 3
27
C  
2
27
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una
familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la
constante arbitraria.
Ejemplo 78: resolver la ecuación y’ +x2
=7, para la condición inicial P(3,5)

35. 35
x
y' 7  x
2
dy
7 
2
dx
dy  (7  x
2
)dx
y  (7  x
2
)dx
x3
Y 7x   C
3
Reemplazando x, y en la
x3
solución : C  7
Por lo tan to Y 7x   7
3
UNA ECUACION DIFERENCIAL SE
CONSIDERA RESUELTA CUANDO SE HA
REDUCIDO A UNA EXPRESION EN
TERMINOS INTEGRALES, PUEDA O NO
EFECTUARSE LA INTEGRACION
66. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er
orden y de 1er
grado.
Este tipo de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son
funciones de x o de y. Las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase o forma
son:
I. Ecuaciones diferenciales con variables separadas
II. Ecuaciones homogéneas
III. Ecuaciones Lineales
IV. Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal.
Ecuaciones con variables separadas: Cuando la ecuación diferencial puede reducirse a la
forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y
únicamente.
El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución
se obtiene por integración directa así:
 F ( x)dx   F ( y)dy  C
donde C es una constante arbitraria.
Ecuaciones homogéneas.

36. 36
3
x3
 y 3
3 (x)
3
 (y)
3
3 3
x
3
 3
y
3
Para aplicar el método de solución es necesario previamente comprobar la homogeneidad
de la función de análisis, de acuerdo al siguiente análisis: FUNCION HOMOGENEA: la
función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si
para todo valor  se cumple la siguiente Identidad f(x, y) = n
f(x,y) donde  es una
constante arbitraria o un número real
Ejemplo 79. Comprobar si las funciones
son homogénea e identificar el grado.
f ( x, y)  n
f ( x, y)
f (x, y) 
f (x, y) 
f (x, y)  3 x
3
 y
3
f (x, y)  f ( x, y)
f (x, y)  y f (x, y)  xy  y 2
En conclusión, la función es homogénea y de grado 1
f (x, y)  (x)(y)  (y)
2
f (x, y)  2
xy  2
y
2
f (x, y)  2
( xy  y
2
)
f (x, y)  2
f ( x,y)
La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de ).
La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son
funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se sugiere el
siguiente procedimiento:
1. Se expresa el ejercicio como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
2. Se comprueba si M, N son homogéneas y del mismo grado
3. Al comprobarse el criterio de homogeneidad, se utiliza el artificio y = vx
4. Se sustituye y = vx lo cual da como resultado una ecuación diferencial
dependiente de las variables v, x, luego de lo cual se puede separar las variables
y para su resolución aplicar el método de separación de variables.
Ejemplo 80

37. 37
(1 x2
)(1 y2
)
 Re solver : 
xdx
(1 x2
)
 dx


x
ydy
 C
(1  y 2
)

1
ln(1  x 2
)  ln x 
1
ln(1  y 2
)  C
2 2
ln x  ln
ln
x
 c
 ln c
x  c (solución general)
Ejemplo 81
Re solver (2  y)dx  (3  x)dy  0
(2  y)dx
(2  y)(3  x)

(3 x)dy
 0
(2  y)(3 x)

dx
 
dy
 0 
 ln( 3  x)  ln( 2  y)
(3  x) (2  y)
(3  x)(2  y)  C (solución general)
Ejemplo 82: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y cuya pendiente en
un punto cualquiera es: y´ (1 
y
)
x
(1 x2
)(1 y2
)
(1 x2
)(1 y2
)


38. 38
22
 2* 2*1
2


dy
 
x  y  xdy  (x  y)dx 0
dx
M  x,
x
N  x  y son funciones hom ogeneas de grado 1
y  vx  dy  vdx xdv
x(vdx  xdv)  (x  vx)dx  0
vdx  xdv  (1  v)dx  0
(1  2v)dx  xdv  0
(1  2vdx

xdv
 0 
dx
 
dv
 0
(1 2v)x (1  2v)x x (1  2v)
ln x  1
ln(1  2v)  c
ln x  C ln  ln C
 c  c c 

x2
 2xy  8  0 (solucion particular )
Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y’+ Py = Q donde P y Q son
funciones de x únicamente, ó constantes. Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente
de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = 0, es Homogénea.
Procedimiento de solución (según sugerencia de Granville):
1. Expresar el problema en la forma y’+ Py = Q
2. Utilizar el artificio y = uz, derivar considerando que u , z son funciones de x, y,
reemplazar en la ecuación propuesta:
u
dz
 z
du
 Puz  Q
dx dx
u
dz

 du

Pu  * z  Q
dx  dx 

3. Calcular u integrando
du
 Pu  0
dx
,Por facilidad de resolución, en el cálculo de u
es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.
4. Calcular z integrando integrando
de u calculado en el punto .
u
dz
dx
 Q , reemplazando previamente el valor
5. Expresar la respuesta multiplicando u*z
Ejemplo 83 Resolver la ecuación y’ – y = ex
x  2 y
x
x 2
 2xy
x 2
 2xy 8

39. 39

e
e e e
1. y'y  e
x
2. Artificio y  u * z ,

dy
 z
du
 u
dz
z
du
 u
dz
 uz  e
x
dx dx dx
dx dx
u
dz

 du

x
dx

dx
u z 

3. Cálculo de u
du
 u  0 
dx
u  e
x
4. cálculo de z
u
dz

x
dx
x dz

x
dx
z  x  c
5.
y  uz
Solución
 y e
x
x  c


Sugerencia de aplicación del método anterior
Este método parte del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación
y’ +py = q.
Resolviendo la ecuación
du
 Pu  0 tenemos:
dx
ln u  Pdx  0 ln u   Pdx u  e
Pdx
Sustituyendo en Sustituyendo u  e
Pdx
en u
dz
 Q
dx
dz  QePdx
dx integrando y sustituyendo en y  uz
considerando como un factor integrante : u  e Pdx
y  u 1
* uQdx  C 


Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de
solución
Ejemplo 84 resolver y'
3y
x  5
 x  5

40. 40

x5 
5
y'

u
3y
x  5
e
3dx
 x  5
e
ln(x5)3
Aplicando criterios log arítmi cos :
ln u  ln e
ln(x5)3
 ln( x5)
3
* ln e
u  (x5)
3
y  u 1
* uQdx  C 
y  (x5)
3
*(x5)
3
* (x5) dx  C 
 (x5)
5


y  (x5)
3
*

 C


 
 
 


Ecuaciones diferenciales exactas (EDE).
“La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 se llama EDE si su primer miembro es la
diferencial total de una función u(x,y).
La condición necesaria y suficiente para que sea M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 EDE es:”
dM

dN
dy dx
Para la solución de este tipo de ecuaciones se sugieren varios métodos, que los
explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios:
Método sugerido por Earl Rainville:
Ejemplo 85. resolver la ecuación 3x(xy – 2)dx + (x3
+ 2y)dy = 0
1.- Comprobamos si es una EDE:
M  3x2
y  6x
dM
 3x2
dy

dM
dy

dN
dx
 EDE
N  x3
 2 y
dN
 3x2
dx


41. 41
( y)
C  y
2. Determinamos F tomando M = dF/dx ó N = dF/dy según lafacilidad que presente.
dF/dx = M = 3x2
y – 6x entonces: F = x3
y – 3x2
+C(y)
Se integró respecto a X manteniendo constante la variable Y
Determinamos C(y) considerando que la función F calculada satisface también a dN/dy:
dF
 x3
 C'
dy

dF
dy
 N  x3
 2 y
C'( y )  2y  2
( y )
F  x3
y  3x2
 y2
como F  C  x3
y  3x2
 y2
 C (Solución)
Ejemplo 86 . resolver la ecuación
de Kisielov-Makarenko.
x3
dx  xy2
dx  x2
ydy  y3
dy  0 utilizando la sugerencia
Se comprueba que es EDE; y, a continuación:
x 3
dx  xy2
dx  x 2
ydy  y 3
dy  0
x 3
dx  xy( ydx  xdy)  y 3
dy  0
si : w  xy 
dw
 y  x
dy
dw  ydx  xdy
dx dx
x 3
dx  wdw  y 3
dy  0
x 4

w2
4 2

y 4

4
x 4
 2(xy) 2
 y 4
 C
Factores integrantes
Solución
Para aplicar estos factores integrantes, es suficiente recordar las siguientes diferenciales
exactas que frecuentemente se presentan
c

42. 42
N 

d (xy)  xdy  ydx
d (
x
) 
y
d (
y
) 
x
ydx  xdy
y2
xdy  ydx
y2
d (arctg
y
)
x
xdy  ydx
x2
 y2
Determinación de factores integrantes.
Se sigue el siguiente procedimiento: Siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una
función (x,y) que sea factor integrante de tal manera que la ecuación Mdx + Ndy = 0
sea exacta.
d
{
dy
(x, y,) M (x, y) } 
d
{
dx
(x, y,) N ( x, y ) }

dN
 N
d
 
dM
 M
d
dx dx dy dy
d
 0dy
dN
 N
d
  dM
dx
( x)
dx ( x) dy
 (
dN

dM
)  N
d
(x) dx dy ( x, y )
dx
' 1  dM dN 
   
  dy dx 

'



De lo anterior, se deduce que:
función exclusiva de x
1.- Si
1  dM

dN 
 

f (x) es función exclusiva de x , entonces
N  dy dx 


e f ( x)dx
será factor int egrante


43. 43

e ( y
)e


e e
1  dM dN 
2.- Si 
 dy

dx
 g( y) es función exclusiva de y, entonces
e
g( y)dy
será factor int egrante
Si ninguna de las condiciones indicadas se verifica, la ecuación no tiene ningún factor de
integración que sea función exclusivamente de x o de y.
Ejemplo 86
(2x 2
y  2 y 2
 2xy)dx  (x 2
 2 y)dy  0
dM
 2x 2
 4 y  2x
dy
dN
 2x
dx
f (x)  1
(
dM
N dy

dN
) 
dx
2(x 2
 2 y)
(x2
 2y)
2
e f (x)dx
 e2dx
 e
2x
e
2x
[(2x2
y  2y2
 2xy)dx  (x2
 2y)dy]  0
[(2x2
ye
2x
 2y2
e
2x
 2xye
2x
)dx  (x2
e
2x
 2ye
2x
)dy]  0
derivando se comprueba :
dM

dN
dy dx
F  Mdx  (2x2
ye
2x
 2y2
e
2x
 2xye
2x
)dx
F  x 2
y
2 x
 y2 2 x
 c
dF
 x2 2 x
 2 y
2 x
 c´,
( y )  N
dy
c,
( y )  0  c( y )  0
F  x2
ye
2x
 y2
e
2x
 x2
ye
2x
 y2
e
2x
 C
Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal
Y´+ pY = Qyn
Si n = 0 Es una ecuación lineal
Si n = 1 se puede resolver por separación de variable
Si n > 1 No es lineal
Y = uz
M

44. 44




udz

zdu
 Puz  Qu n
z n
dx dx
a. calculamos u manteniendo la constante de integración C=0.
b. Calculamos z (como en el análisis del tema anterior, manteniendo la igualdad a Q un
zn
,
es decir:
u
dz
 Qu n
zn
dx
Ejemplo 87. Resolver la ecuación diferencial
xdy
 2 y  2x considerándola como lineal y,
dx
COMPROBAR SU RESPUESTA RESOLVIENDOLA COMO ECUACIÓN DIFERENCIAL
HOMOGENEA
Solución como ecuación lineal:
y´
2 y
 2
x
y' py  Q
y  uz u
dz
 z
du
 2 *
u * z
 2
dx dx x
u
dz

 du

2u 
z  2
dx

dx x


 du

2u 
 0 


 
u  x 2

dx x


u
dz
 2
dx
y  uz
 z  c 
2
x
 y  cx 2
 2x
64. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de II orden con coeficientes
constantes.
Sea la ecuación Y’’ + PY’ + QY = 0 (1) donde P, Q son constantes, para encontrar la
solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:

45. 45
1 2
1 2
1 2
1 2
y  erx
Derivando :
y' rerx
Sustituyendo :
y'' r 2
erx
r 2
erx
 Pr erx
 qerx
 0
erx
r2
 Pr Q 0  r2
PrQ 0 2

Entonces, si r es la solución de la ecuación (2), será la solución de la ecuación (1).
A la ecuación (2) se la conoce como SOLUCION AUXILIAR O ECUACION
CARACTERISTICA DE LA ECUACION, y, dependiendo de las soluciones de la ecuación
(2), se presentan tres casos:
1. Si r1 y r2 son raíces reales e iguales (r1 = r2), la solución es: y  C e
r1
 C xe
r2
2. Si r1 y r2 son raíces reales y distintas (r1  r2), la solución es: y  C e
2x
 C e
x
3. Si r1 y r2 son raíces imaginarias, la solución es: y  e
ax
C cosbx  C senbx

Donde a, b donde a, b se determinan resolviendo la
ecuación cuadrática por medio de la fórmula Ax2
+ Bx +
C:
r 
2 A
r  
B

2A 2A
r  a  bi
Donde: a = 
B
2 A
, b =
2A
Para una mejor comprensión, la ecuación
característica se la expresará con D en lugar
de r, lo que permitirá relacionar con la
DERIVADA.
Ejemplo 88 : Resolver la ecuación y” +4y’ +4y = 0
Ecuación característica: r2
+ 4r + 4 = 0
(r + 2)2
= 0  r1 = r2 = -2
y  C e
2x
 X C e
2x
Ejemplo 89. resolver la ecuación y” +y’- 2 = 0
 B  B2
 4AC
B2
 4 AC
B 2
 4AC

46. 46
1 2
1 2
1 2
1 2
e
IV III II I
Ce e
Ecuación característica: r2
+ r - 2 = 0
(r + 2)(r – 1) = 0  r1 = -2 r2 = 1
y  C e
2x
 C e
x
Ejemplo 90: Encontrar la solución particular de la ecuación y” + 2y’ + 5y = 0 para las
condiciones iniciales y=0, x=0, y’=1.
D2
+ 2D + 5 = 0 su solución es: D = -1  2i  a = -1, b = 2
y  C e
x
cos2x  C e
x
sen 2x (solución general)
y' C (e
x
cos2x  2e
x
sen 2x)  C (e
x
sen 2x  2e
x
cos2x)
0  C e
0
cos0  C e
0
sen0  C  0
1
1  C (
0
sen 0  2
0
cos 0)  
1
2
2
y 
1  x
sen2x
2
solución particular )
64. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes
constantes
Dada la ecuación diferencial de la forma:
Yn
+ p1Y n-1
+ p2Y n-2
+ ..............+ pnY = 0
su ecuación característica será:
rn
+ p1r n-1
+ p2r n-2
+ ..............+ pn = 0,
donde r es un factor diferencial que representa a cada derivada y su grado correspondiente,
algunos editores prefieren expresarlo como
Dn
+ p1D n-1
+ p2Dn-2
+ ..............+ Dn = 0
Resolviendo la ecuación característica, se encuentran sus raíces o soluciones y,
dependiendo de ellas el resultado se irá CONSTRUYENDO según se presenten los tres
casos antes indicados.
Ejemplo 91: resolver y  4 y  10 y 12 y  5 y 0
r
IV
 4r
III
10r
II
12r
I
 5  0
r1 = r2 = 1; r3 = r4 = 1  2i
y  C1e
x
 C2
xe
x
 C3e
x
cos2x  C4 e
x
sen 2x
2

47. 47
65. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de n-simo orden con
coeficientes constantes
Sea la ecuación: Yn
+ p1Y n-1
+ p2Y n-2
+ ..............+ pnY = R(x)
La solución viene dada por: Y = yh + yc, donde:
Yh es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y,
Yc es cualquier solución particular de la ecuación originalmente planteada.
Una vez que se ha explicado la solución de Yh, a continuación se detalla las sugerencias
para resolver Yc, y completar el estudio para resolver una EDLNH, para lo que se requiere,
aprender a CONSTRUIR UNA ECUACION HOMOGENEA PARTIENDO DE UNA
SOLUCION PARTICULAR, como se explica a continuación:
La propuesta es encontrar la ecuación homogénea partiendo de la solución, es decir, por
ejemplo, si el resultado es Ceax
, proviene de una raíz D=a o del factor (D-a); análogamente,
CX eax
, aparece cuando proviene de (D-a)2
, respuestas como C eax
cosbx ó C eax
senbx
corresponden a D=a bi o al factor [(D – a)2
+ b2
].
Lo que se deberá considerar simplemente es que si en la solución particular existen
coeficientes, estos son irrelevantes,
Ejemplo 92: Encontrar la ecuación homogénea cuya solución es y = 4e2x
+ 3e-x
4e2x
 Ce2x
 m= 2  (m – 2)
3e-x
 Ce-x
 m= -1  (m + 1)
(D – 2)(D + 1) = 0
D2
- D – 2 = 0  Y” - Y’ – 2Y = 0
Una vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS, que consiste en definir o calcular
dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el
miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación
diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
Se debe recordar que la propuesta del
método es convertir a la EDLNoH
propuesta en una EDLHcon
coeficientes constantes.
Ejemplo 93 Resolver la ecuación: Y” + Y’ – 2Y = X + 5cos2X

48. 48
1 2
1 2
1
1.Cálculo de Yh
D2
 D  2  0 (D  2)(D 1)  0  yk  c e x
 c e 2 x
2.Cálculo de Yc
x  e0 x
 xeox
 D  0, D  0
5cos 2x a  0, b  2 (D  a) 2
 b 2
  D 2
 2 2
3.Unificación de Yh y Yc
(D  2)(D 1)D 2
(D 2
 4)  0
4.Solución general parcial
Yg  c e 2 x
 c e x
 A  Bx  C cos 2x  Dsen2x
5.Deter min ación de coeficiente de Yc
yc  A Bx  C cos 2x  Dsen2x
y ,
c  B  2Csen2x  2D cos 2x
y,,
c  4C cos 2x  4Dsen2x
Reemplazo en la ecuación diferencial propuesta
seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones
 6C  2D  40
 2C  6D  0
 2B  2
B  2 A  0
1
A   B  1
2
C  6 D  2
6.Solución general
Yg  c e 2 x
 c ex

1
 x  6cos 2x  2senx
2
Hemos visto que el método de los coeficientes indeterminados es aplicable a la solución de
ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución
particular de la E.D.L.H. con coeficientes constantes.
2