El documento describe la importancia de las matemáticas en el desarrollo del conocimiento científico y filosófico. Explica que las matemáticas permiten obtener conocimiento demostrado y preciso a partir de axiomas y deducciones lógicas. También analiza la influencia de las matemáticas y el método axiomático en filósofos como Platón y en el desarrollo de la lógica matemática.

1. LAS CIENCIAS FORMALES Y LOS
ELEMENTOS DE EUCLIDES.

2. Las ciencias formales y los
Elementos de Euclides
Importancia de las matemáticas:
-permiten obtener un conocimiento sólidamente
demostrado, distinto a las meras conjeturas o
suposiciones, hipótesis.
-Este ideal de conocimiento demostrado es el que
funda el conocimiento científico. En ese sentido,
Penrose establece que para que pudiera nacer la
ciencia, era necesaria la idea de demostración
matemática.

3. Importancia de las matemáticas (II)
Las matemáticas son un conocimiento exacto y preciso.
-Los conceptos matemáticos se definen con total precisión
introduciendo los complejos a partir de los simples y eliminando
cualquier ambigüedad. Este ideal de precisión se ha mantenido en la
historia de la ciencia, ha sido también muy importante para la filosofía y
ha sido una de las fuentes impulsoras de la creación de la lógica
matemática.
Todas las verdades matemáticas se deducen a partir de un pequeño
número de axiomas (verdades iniciales) mediante la aplicación estricta
de ciertas reglas precisas que permiten obtener nuevas verdades.
Las matemáticas nos permiten diseñar modelos con los que
entendemos el mundo y realizamos predicciones exactas. Por ejemplo,
el modelo astronómico de Ptolomeo (ver siguiente tema) es una
explicación científica del movimiento de los astros que permite hacer
predicciones exactas; Newton dio otro modelo matemático del
movimiento del cielo

4. La Naturaleza del conocimiento
matemático
Las matemáticas son una forma de conocimiento
deductivo que se apoya en el razonamiento puro,
independiente del conocimiento empírico (basado
en la experiencia) del mundo y que tiene
resultados exactos.
¿De qué tipo de realidad se ocupan las
matemáticas? Dos respuestas posibles:
-Los objetos matemáticos constituyen un mundo
propio (el mundo de las ideas de Platón, Penrose)
Las matemáticas se ocupan de relaciones entre
conceptos (Hume, positivismo lógico)

5. Influencias de las matemáticas (y el
método axiomático) en la filosofía
Ha sido enorme:
Platón: Padre de la filosofía occidental. Basa su
pensamiento en la distinción de dos mundos y de
dos formas de conocimiento:
-El mundo de los objetos matemáticos (ideas) tiene
características propias: no es espacial, sus objetos
son eternos (existen, pues, fuera del tiempo), sus
objetos son los modelos perfectos de los objetos
físicos, ese mundo se capta a través de un
conocimiento puramente intelectual independiente de
los sentidos.

6. INFLUENCIA DE LAS MATEMÁTICAS
EN LA FILOSOFÍA (II)
En el siglo XVII, junto con la ciencia moderna y la filosofía racionalista,
apareció una idea que fundamentó ambos movimientos: la de unas
matemáticas universales (mathesis universalis). Se trataba de buscar
una serie de conceptos elementales, simples y absolutamente
evidentes a partir de los cuales se podrían derivar de un modo
puramente lógico y deductivo (es decir, sin necesidad de recurrir a la
experiencia) las leyes fundamentales de la naturaleza que explicarían
todos los fenómenos.
Se llama metafísica a este intento de conocer las características
fundamentales de la realidad a partir del puro pensamiento. Por su
parte, el racionalismo será la corriente filosófica, muy asociada a las
matemáticas, que afirma que la razón es capaz de descubrir cómo es
el mundo a partir de ciertas ideas fundamentales que no se derivan de
la experiencia. Filósofos racionalistas fueron, por ejemplo, Descartes,
Spinoza y Leibniz.

7. INFLUENCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA FILOSOFÍA (III).
LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS Y EL PROGRAMA
LOGICISTA.
En el siglo XIX algunos matemáticos intentaron demostrar el postulado de las paralelas
de un modo indirecto, por reducción al absurdo (ver última diapositiva): negando el
postulado se llegaría a una contradicción, con lo que afirmaríamos indirectamente su
verdad. Pero ocurrió algo imprevisto: lejos de llegar a una contradicción se desarrollaron
nuevas geometrías que describían espacios distintos al tradicional euclídeo. Esto llevó a
una discusión acerca de la naturaleza de los axiomas y al desarrollo de la lógica
matemática.
La discusión sobre los axiomas llevó a muchos matemáticos a dejar de considerarlos
como proposiciones verdaderas; lo que caracterizaba a los axiomas era constituir un
punto de partida desde el que se deducían nuevas proposiciones. Esto llevó a entender
las matemáticas no como una descripción del mundo, sino como un juego de relaciones
de ideas, siguiendo una concepción que había planteado el filósofo David Hume en el
siglo XVIII: para Hume las matemáticas son totalmente seguras, pues parten de definir
ciertas ideas de un modo preciso y de sacar las consecuencias de esas definiciones. Pero
con ello las matemáticas no se refieren a la realidad, no nos informan sobre el mundo. Si,
por ejemplo, definimos el círculo tal y como lo hace la geometría de Euclides, resultará
necesariamente que el diámetro divide al círculo en dos partes iguales. Pero esto no
significa que existan círculos reales; las verdades matemáticas no se refieren al mundo,
sino a la relación entre nuestras ideas. Pero esto plantea un misterio ¿Cómo es posible,
entonces, que las matemáticas sean capaces de explciar el mundo?

8. EL PROGRAMA LOGICISTA
La discusión sobre la naturaleza de los axiomas llevó a algunos matemáticos y filósofos
a intentar deducir los axiomas de la aritmética a partir de la lógica. Ello llevó a desarrollar
la lógica matemática y a una discusión teórica que, entre otros resultados, conduciría a la
informática y a la ciencia de la computación que ha cambiado nuestro mundo (como
cuenta la película Breaking the code sobre la biografía de Alan Turing, padre de los
ordenadores y de la inteligencia artificial). Entre los principales impulsores de la lógica
matemática destacan Frege, Russell, Wittgenstein, von Neuman y Turing

9. REDUCCIÓN AL ABSURDO
La reducción al absurdo es un tipo de demostración indirecta conocido desde la época
griega que ha sido muy utilizada por los matemáticos desde entonces. Se basa en el
principio de que una afirmación verdadera no puede llevarnos a una afirmación falsa. El
proceso de reducción al absurdo sigue los siguientes pasos:
1) Tenemos un enunciado A cuya verdad queremos demostrar
2) Suponemos la negación de ese enunciado (no A)
3) A partir de no A intentamos deducir un enunciado B que sea falso (por ejemplo, una
contradicción)
4) Dada la falsedad de B establecemos la falsedad de no A
5) A partir de la falsedad de no A establecemos la verdad de A, que era nuestro objetivo
6) Por ejemplo, queremos demostrar que “el sr Pérez es fabricante”. Suponemos que “el
señor Pérez no es fabricante”. Sabemos que “si el señor ´Pérez no es fabricante,
entonces no paga contribución industrial. Suponiendo que no es fabricante, podemos
afirmar entonces que Pérez no paga contribución; pero vamos a Hacienda y
comprobamos que sí la ha pagado. Por lo tanto suponiendo que Pérez no es
fabricante, llegamos a una afirmación falsa, por lo que nuestra suposición es falsa y
su contrario es verdadero.